доквантовая физика

оператор Лапласа

единственным выражением не меняющим своего значения при любом повороте осей системы координат является сумма квадратов координат вектора:

но закон преобразования частных производных ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z некоторой функции f(x,y,z) при повороте осей системы координат совпадает с законом преобразования координат вектора, причём вторые производные ∂²/∂x², ∂²/∂y², ∂²/∂z² преобразуются как квадраты координат. это обстоятельство определяет роль в физике т.н. оператора Лапласа :

для боле-менее строгого введения оператора Лапласа используют операции векторной алгебры: градиент ∇ и дивергенция ∇ · ∇ :

лапласиан произведения скаляра λ на вектор v определяется формулой :

очевидно, что первый и последний члены при этом тождественно равны нулю

уравнение Лапласа

уравнение Лапласа - дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими

в одномерном вещественном эвклидовом пространстве уравнение Лапласа

(сводящееся к равенству нулю второй производной) имеет общим решением линейную функцию:

уравнению Лапласа на двумерном эвклидовом пространстве удовлетворяют аналитические функции комплексной переменной

в трёхмерном эвклидовом пространстве с декартовыми координатами (x, y, z) уравнение Лапласа для функции f записывается так:

• в декартовых координатах

          ∂²f/∂²x  +  ∂²f/∂²y  +  ∂²f/∂²z  =  0  

• в сферических координатах (r, θ, φ) :

          1/r² . [ ∂/∂r (r² . ∂f/∂r)  +
                   1/(sin θ) . ∂/∂θ (sin⁡ θ . ∂f/∂θ)  +
                   1/(sin²⁡ θ) . ∂²f/∂²φ ]  =  0

  особые точки r = 0, θ = 0, θ = π
• в цилиндрических координатах (r, φ, z) :

          1/r . [ ∂/∂r (r ∂f/∂r)  +
                  ∂²f/∂²z +
                  1/r . ∂²f/∂²φ ]  =  0

  особая точка r = 0

уравнение Пуассона

общий вид :

    (∂²/∂²x  +  ∂²/∂²y  +  ∂²/∂²z)   (φ (x, y, z))   =  f (x, y, z)

    или

    ∆ φ(x,y,z) = f(x,y,z) 

и вообще, физические законы, удовлетворяющие накладываемым изотропностью и однородностью пространства условиям симметрии, могут записываться лишь одним из трёх дифференциальных уравнений с участием лапласиана Δ :

    Δ φ = f                  уравнение потенциала (уравнение Пуассона)

    Δ φ = f ⋅ ∂φ/∂t          уравнение диффузии, теплопроводности

    Δ φ = f ⋅ ∂²φ/∂²t        волновое уравнение

    где
    Δ                        оператор Лапласа ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²

    φ (x, y, z, t)           какая-то функция, имеющая инвариантный физический смысл

    f (x, y, z, t)           матфункция 

в самом общем виде на "плоском" фазовом пространстве с декартовыми координатами (x,y) уравнение в частных производных функции φ(x,y) может быть записано как

                                ( a   b )    ⋅    ( ∂φ/∂x

       ( ∂φ/∂x , ∂φ/∂y)    ⋅    ( 0   c )           ∂φ/∂y )     =     0

• d > 0 - гиперболические уравнения (например, волновое уравнение)
• d = 0 - параболические уравнения (например, уравнение диффузии или уравнение теплопроводности)
• d < 0 - эллиптические уравнения (например, уравнение потенциала)

Якобиан

для функции f

  f : ℝⁿ → ℝⁿ
  f (X)  = (f₁(X), ..., fₙ(X))

  где
    X = (x₁, ..., xₙ)

матрица эта образована частными производными функции f(x₁,x₂,...xₙ) называется матрицей Якоби и якобиан - определитель матрицы Якоби:

  J(f) = det ( ∂f₁/∂x₁  ∂f₁/∂x₂  ⋯  ∂f₁/∂xₙ
               ∂f₂/∂x₁  ∂f₂/∂x₂  ⋯  ∂f₂/∂xₙ
                      ⋯     ⋯    ⋯     ⋯
               ∂fₙ/∂x₁  ∂fₙ/∂x₂  ⋯  ∂fₙ/∂xₙ )

i-ая строка матрицы указывает веса всех старых базисных векторов в i-координате нового базиса. j-ый столбец матрицы указывает вес старого базисного элемента j во всех новых ортах

в целевом пространстве столбец якобиана является касательным вектором к образу соответствующего базисного вектора из исходного пространства

если функции f_i определяют преобразование координат, то Якобиан является показателем отношений объёмов "элементарных параллелепипедов" каждого базиса. при этом - НЕРАВЕНСТВО Якобиана нулю служит необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат , т.е. означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом

пример

функция f (r, θ) = (f₁ = r ⋅ cos θ, f₂ = r ⋅ sin θ) есть преобразование полярных координат в прямоугольные в пространстве ℝ². тогда матрица Якоби такого преобразования:

    cos θ    -r ⋅ sin θ
    sin θ     r ⋅ cos θ  

    1    0
    0    1  

    0.707   -0.707
    0.707    0.707  

проверим в СКА Maxima :

(%i40) f1 : r ⋅ cos (phi) ;
(%o40)                            cos(phi) r

(%i41) f2 : r * sin (phi) ;
(%o41)                            sin(phi) r

(%i42) j : jacobian ([f1, f2], [r, phi]) ;

                              [ cos(phi)    - sin(phi) r ]
(%o42)                        [                          ]
                              [ sin(phi)      cos(phi) r ]


(%i45) g (x,y) := matrix [  [ev (j[1,1], [phi=y]) , ev (j[1,2], [phi=y, r=x])],
                            [ev (j[2,1], [phi=y]) , ev (j[2,2], [phi=y, r=x])]  ] ;

(%o45) g (x, y) := subscript (matrix, [ev(j    , [phi = y]),
                                           1, 1
ev (j    , [phi = y, r = x])], [ev (j    , [phi = y]),
     1, 2                            2, 1
ev (j    , [phi = y, r = x])])
     2, 2


(%i46) g (1,0) ;
(%o46)                       matrix
                                   [1, 0], [0, 1]

(%i47) g (1,%pi/4) ;
(%o47)          matrix
                          1          1          1        1
                      [-------, - -------], [-------, -------]
                       sqrt(2)    sqrt(2)    sqrt(2)  sqrt(2)

Гессиан

матрица Гессе образована вторыми частными производными функции f(x₁,x₂,...,xₙ). определитель такой матрицы, гессиан :

  H(f) = det [   ∂²f/∂²x₁    ∂²f/∂x₁∂x₂   ...    ∂²f/∂x₁∂xₙ
                ∂²f/∂x₂∂x₁    ∂²f/∂²x₂    ...    ∂²f/∂x₂∂xₙ
                  ...          ...        ...      ...
                ∂²f/∂xₙ∂x₁   ∂²f/∂xₙ∂x₂   ...     ∂²f/∂²xₙ  ] 

в СКА Maxima :

(%i22) myfun : a*x^2 + b*x*y ;
                                            2
(%o22)                           b x y + a x

(%i23) hessian (myfun, [x, y]) ;
                                  [ 2 a  b ]
(%o23)                            [        ]
                                  [  b   0 ]

если же f - векторизованная функция, т.е.

    f(x₁..xₙ) = (f₁(x₁..xₙ), f₂(x₁..xₙ), …, fₙ(x₁..xₙ)

Лагранжиан

fundamentally, motion is a description about changes. if a net force is acting on you, your position will change and this is how we measure velocity and acceleration. ultimately, dynamics and motion are optimization processes. when a ball rolls down a hill, its height will decrease in some way, but its velocity, on the other hand, will increase as it rolls. if you really begin to think about it, there are only two quantities that we need in order to fully describe the motion of any object; its position and velocity at any given point. once we know where an object is and which direction and how much velocity it has, we can fully predict where it will be at the next instant

now, the next question is, how can these two quantities be combined into a useful theory? the answer is actually simple - energy. in fact, the kinetic and potential energy of an object is all you need to know to fully predict where it will move next (not taking into account friction, for now)

since we established that motion could be described by energies, we are going to invent a function L, which is a function of the kinetic and potential energies. it is called the Lagrangian. now, the action is basically a quantity that describes a specific trajectory an object would take. so, each trajectory through space and time has a different action associated with it.the action is defined as an integral over time of the Lagrangian at each point of the trajectory. this would also make intuitive sense: if we know the kinetic and potential energy (i.e. the value of this Lagrangian function) at each point, we can determine the entire trajectory by simply adding all of them up

based on a lot of evidence, we’ve seen that physical objects (and even fields) will always behave and move in such a way that the action is minimized (or more accurately, stationary). the useful thing in the context of classical mechanics is that the principle of stationary action will uniquely define the trajectory a system will take

the Lagrangian for classical mechanics is defined as the difference of the kinetic and potential energy of the object or system:

now, you may want to ask something like "Why is this the Lagrangian? Why is it the difference of energies (U-K) and not the total energy (K+U), for example?" the answer is that, actually, both of them would work, but K+U is used in a formulation called Hamiltonian mechanics

the Lagrangian has very little to do with the total energy, it can rather be thought of as a state of motion at any particular point in time, which is described by the kinetic and potential energies since they include information about both the velocity and position. potential energy, however, isn’t really something that describes motion by itself. it can be converted into other forms of energy (namely kinetic energy), but potential energy itself does not describe motion, only the changes in potential energy do. this is why it makes sense to describe motion by the difference of kinetic and potential energy, rather than the sum of the two; it allows for a sensible trade-off between the kinetic and potential energies (i.e. they can convert into one another) because of the sign difference between them

there is also another way to think about this and it is through the notion of energy conservation. since the total energy (T+V) is a conserved quantity, it doesn’t change with time. thus, it isn’t particularly useful in describing motion (although it can be made work in a different way, such as is done in Hamiltonian mechanics). the difference in energies (K-U), on the other hand, is not a conserved quantity (meaning its values can change with time), so it makes for a much more useful tool for describing motion

in more advanced theories of physics, Lagrangians are simply treated as functions that generate equations of motion. so, a Lagrangian is judged by the usefulness of what results it gives and there is nothing more to it. in classical mechanics, this particular Lagrangian, L=K-U, is precisely the Lagrangian that generates Newton’s second law, F=m⋅a

first of all, the action is defined as this integral over time, which can intuitively be obtained by "dividing" the trajectory into small pieces of the form L dt (the value of the Lagrangian L over a tiny period of time dt; these Ldt-pieces essentially represent the action over a small interval dt of the trajectory). the action of the full trajectory is then the sum of all these little pieces of Ldt, or more accurately, the integral of Ldt

firstly, what does it even mean for something to be stationary? the answer to this is actually very simple and you might even know it from basic high school math. a stationary point for a function is simply a point at which the tangent line is horizontal (i.e. the derivative at this point is zero). now, the same idea of stationary points applies to the action as well, but with a little more math involved (since the action is actually a functional, not just a function). the basic idea is that a stationary point in the action is defined as the functional differential equal to zero (denoted as δA=0). this basically just means that a slight variation (differential) in the action should be zero. the path a system takes is then the path in which the action satisfies this equation. you may be thinking that this is interesting and all, but why exactly should physical systems obey this principle? why should an object take the path of stationary action instead of some other path? nobody actually knows the real answer to this. it’s quite funny how the stationary action principle underlies pretty much all of modern physics, but nobody knows why it happens to be true. if this seems too abstract, the point here really is that everything we can observe in the universe obeys the principle of stationary action, so the most reasonable thing is to just take it as postulate and work with it

mathematically stated, the action is defined as an integral over time of a function called the Lagrangian (i.e. basically adding up all of the Lagrangians over the trajectory):

Now, what you’ll get is that in order for the action to be stationary, the Lagrangian should satisfy something known as the Euler- Lagrange equation :

the above equation is arguably the most important equation you’ll need in Lagrangian mechanics; it is essentially the Lagrangian version of Newton’s second law. now, what is the Euler-Lagrange equation actually? in short, the Euler-Lagrange equation is a condition that the Lagrangian has to satisfy in order for the principle of stationary action to be true. it is essentially what generates the equations of motion of a system given a specific Lagrangian, just as Newton’s second law does for a given force. so, the EL equation is actually very general, not just a result of some arbitrarily chosen Lagrangian (it is actually a very general equation used to calculate minima and maxima of functions in a field of math called calculus of variations). there is actually a very close (and a very beautiful) connection between Newton’s equation, F=ma, and the Euler-Lagrange equation. firstly, we know that Newton’s second law can be expressed in terms of momentum like this:

in fact, if you we’re to choose the kinetic energy as simply K=mv²/2, then the Euler-Lagrange equation would produce exactly F=ma

usually, the Euler-Lagrange equation is written in terms of something called generalized coordinates, which are denoted by q’s (the i- index here simply represents how many coordinates you have; for example, with multiple different coordinates, you’d have one Euler-Lagrange equation for q₁, another for q₂ and so on):

but what exactly are these generalized coordinates? these are (as the name may suggest), more general types of coordinates, ones which allow for much more freedom in our choice of coordinates and coordinate systems. in Lagrangian mechanics, we are not limited to any particular set of coordinates such as the typical x,y,z -coordinate system. instead, you could have, for example, some angle θ as your coordinate in a problem involving rotation motion

as you start using the Euler-Lagrange equation, there are clear patterns that you might notice start showing up. the most interesting of these is one of the terms in the Euler-Lagrange equation, which always somehow happens to give a momentum-like quantity. this term is, in fact, the definition for generalized momentum. we have this thing called generalized momentum, denoted by p_i (i here represents the fact that each generalized momentum p_i is always associated with a certain generalize coordinate q_i in the system):

what is this generalized momentum actually useful for, though? well, the first reason is that it allows us to quickly identify the different momenta in a system, pretty much with the following statement: if the Lagrangian has a time derivative of some generalized coordinate q_i, then there must exist a generalized momentum p_i associated with the coordinate q_i

the process for finding equations of motion in Lagrangian mechanics goes more or less like this:

1. find a set of convenient coordinates (= generalized coordinates, expressed by q’s) for the specific problem. it is usually easier to express these generalized coordinates first in terms of ordinary Cartesian coordinates (x,y,z)
2. define the Lagrangian through the generalized coordinates. the Lagrangian will generally be the sum of the kinetic and potential energies of every object of the system
3. plug the Lagrangian into the Euler-Lagrange equations. you’ll have one Euler-Lagrange equation for each generalized coordinate
4. simplify and solve the differential equations. at this point, you should have a set of second order differential equations (how many equations you have will depend on how many generalized coordinates you have)

one of the key differences between Lagrangian and Newtonian mechanics, particularly in the context of how they can be used in problem solving, is the way the two formulations handle constraints. a constraint is simply a kind of rule that constrains a system or object to only be able behave or move in a certain way. for example, a constraint could allow an object to only move along a particular surface. the nice thing about Lagrangian mechanics is that by choosing a suitable set of generalized coordinates, such that they implicitly encode the constraints themselves, we can essentially bypass the whole process of adding these constraint forces. this then allows us to find the right equations of motion that are completely consistent with all the constraints, but without actually adding in any unnecessary constraint forces

in short, generalized coordinates in Lagrangian mechanics are specific choices of coordinates that will often implicitly encode the constraints in a system. thus, generalized coordinates replace constraint forces from Newtonian mechanics and can be used to easily calculate constrained equations of motion. however, if we only care about the motion and not the constraints themselves, then generalized coordinates provide a very powerful method to obtain equations of motion

Lagrangian mechanics has a nice theorem associated with it, from which it is fairly simple to systematically derive conservation laws and find conserved quantities. this theorem is called Noether’s theorem. essentially, Noether’s theorem states that for every symmetry in the laws of physics of a system, there exists an associated conservation law. a symmetry means that the value of the Lagrangian does not change even if there is a change in a particular generalized coordinate. more generally, Noether’s theorem states that if there is a symmetry associated with a change in any generalized coordinate of the form

(i.e. the Lagrangian remains unchanged), then there must exist a conserved quantity Q, meaning:

the big three conservation laws coming from Noether’s theorem (although there are more as well) are:

• position-translation symmetry (x ~ x + Δx) → momentum conservation
• time-translation symmetry (t ~ t + Δt) → energy conservation
• rotational symmetry (θ ~ θ + Δθ) → angular momentum conservation

в классической механике лагранжиан позволяет получить уравнения движения из принципа наименьшего действия :

где φ - обобщенные координаты, а величина S, называемая действием, является функционалом - мерой движения системы. принцип наименьшего действия демонстрирует, что природа по сути - ленива

в 1918г. эмми Нетер доказала теорему, устанавливающую связь между свойствами симметрии и законами сохранения. суть теоремы в том, что непрерывными преобразованиями в пространстве-времени, оставляющими инвариантным действие, являются:

• сдвиг во времени,
• сдвиг в пространстве,
• пространственное вращение,
• четырехмерные вращения в пространстве-времени

согласно этой теореме,

• из инвариантности действия относительно сдвига во времени следует закон сохранения энергии
• из инвариантности действия относительно пространственных сдвигов - закон сохранения импульса
• из инвариантности действия относительно пространственного вращения - закон сохранения момента импульса

а инвариантность действия относительно преобразований Лоренца (четырехмерные вращения в пространстве-времени) - это обобщенный закон движения центра масс: "центр масс системы движется равномерно и прямолинейно"

уравнение Эйлера-Лагранжа

пусть есть пространство функций F. рассмотрим линейный функционал Ф : F → ℝ такой что

    Ф(f) = a∫b L (f, f', t) dt

пусть есть вариация g ∈ F такая что на [a,b] имеют место: g(a)=0, g(b)=0, g(x)≠0

    Ш = Ф (f + g)
    Ш = a∫b L (f + g , (f + g)' , t) dt    =   a∫b L (f + g , f' + g' , t) dt

    Ш' = a∫b (∂L/∂f ⋅ g  +  ∂L/∂f' ⋅ g') dt = 0

    Ш' = a∫b (∂L/∂f ⋅ g) dt    -   a∫b ((∂L/∂f')' ⋅ g) dt    +    ∂L/∂f' ⋅ g |ba   =   0

g на всем промежутке, кроме границ, нулю не равно и значит

есть условие экстремума функционала Ф. это уравнение называется уравнением Эйлера-Лагранжа

применение уравнения в классической механике

лагранжиан L для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией K и потенциальной энергией U :

выразим лагранжиан через массу, скорость и высоту. полагая, что масса тела m=1 получаем :

первый член - кинетическая энергия K, второй - потенциальная энергия U

Def: ньютонова система характеризуется обобщенными координатами q и обобщенными скоростями q', ее лагранжиан, зависящий от обобщенных координат, скоростей и от времени есть L (q, q', t), а интеграл по времени от этого лагранжиана при заданной траектории и является действием S. траектория объекта получается отысканием пути, который минимизирует S

поскольку постулируется, что на любом участке траектории лагранжиан L должен быть минимален, то тогда, по уравению Эйлера-Лагранжа, имеем :

где r - радиус-вектор тела, p - импульс тела

лагранжиан L инвариантен при замене базиса - переписываем формулы для K и U и последнее уравнение остается в силе

лагранжиан инвариантен при преобразованиях Галилея. а такая инвариантность лагранжиана по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований приводит, по теореме Нётер, к следующим соответствиям:

• однородности времени соответствует закон сохранения энергии
• однородности пространства - закон сохранения импульса
• изотропии пространства - закон сохранения момента импульса

Гамильтониан

пусть x, y - две координаты простейшего фазового пространства над полем ℝ². если найдется такая функция ℋ = H (x, y, t)

    dx/dt = - ∂H/∂y

    dy/dt = + ∂H/∂x

пространство состояний

определимся с выбором подходящего для представления классической механики пространства состояний S

начнем с простейшего случая - одной материальной точки

как задать состояние одной материальной точки? мы предпочтем использовать гамильтоновы переменные, т.е. радиус-вектор пространственных координат и вектор импульса

мы ищем представление группы Галилея автоморфизмами S, чтобы в S для рассматриваемой системы материальных точек можно было определить:

• сдвиги в пространстве,
• повороты в пространстве,
• переходы в движущуюся ИСО,
• развитие системы во времени

теперь уточним вид операторов, действующих на S : с помощью этих операторов мы будем строить представление алгебры Ли нашей группы

в качестве операторов мы примем функции от времени и состояния. более точно, речь идет о дифференциальных операторах, определяемых этими функциями. операторы реализуются посредством скобок Пуассона

нас интересуют операторы, действующие на состояния. но результат действия операторов на состояние в общем случае может представлять собой некоторую функцию от состояния, на результат которой мы можем захотеть снова подействовать некоторым оператором и т.д. следовательно, мы должны опредлить наши операторы на множестве функций состояния

пусть даны φ(t,x,p) и ψ(t,x,p). выражение [φ , ψ] мы интерпретируем, как результат действия оператора φ на функцию ψ, а для двух операторов их скобки Пуассона задают коммутатор операторов. говорим, что результат применения оператора φ(t,x,p) к функции ψ(t,x,p) равен

    [φ , ψ] = ∂φ/∂xi ∂ψ/∂pi - ∂φ/∂pi ∂ψ/∂xi 

оператор временных сдвигов просто равен импульсу

гамильтониан не зависит от пространственных координат, а зависит только от квадрата импульса. поскольку [Q,H]=p получаем :

    ∂Qi/∂xi ∂H/∂pi = pi

    ∂Qi/∂xj = 0 

итак, ищем представление алгебры Ли группы Галилея. для этого надо найти генераторы H,P,X,J действующие в выбраном нами фазовом пространстве и образующие алгебру Галилея. фактически, это означает, что мы должны решить систему уравнений для этих генераторов

эти генераторы являются функциями состояния. в нашей алгебре [H_i,X_j]=0 следовательно ∂H/∂x=0, т.е. H зависит только от импульса. также в нашей алгебре [H_i,J_j]=0 следовательно H зависит только от квадрата импульса

строго говоря в алгебре Галилея [X_i,P_j]=0, но в этом случае не существует искомого представления алгебры Галилея! и мы делаем трюк - расширяем нашу алгебру Галилея, добавив туда новый генератор, коммутирующий со всеми, уже имеющимися. поскольку этот новый опреатор коммутирует со всеми остальными, то состояния физической системы, полученные сдвигом в направлении этого генератора, следует считать эквивалентными. новый оператор (оператор Казимира) равен константе, которую мы обозначим m и будем называть "массой частицы". тогда

    [Xi, Pj] = m ⋅ δij , где δ - символ Кронекера

    H = p² / (2 ⋅ m)   +  c , где с - константа 

расширение алгебры Галилея означает расширение группы симметрий - вложение группы Галилея в более богатую группу

какой смысл в терминах групп преобразований фазового пространства имеет расширение алгебры Галилея оператором массы? если взять алгебру Ли и рассматривать линейные комбинации разных степеней генераторов, то это называется "обертывающая алгебра". и Казимиры лежат в расширенной

канонические уравнения Гамильтона

ограничиваясь попарным взаимодействием частиц мы приходим к выражению

где U_ij = U (pⁱ_α, p^j_β)

из условий коммутации с оператором импульса:

а из условия коммутации с операторм момента импульса:

по построению гамильтониана - это генератор сдвигов по времени

поскольку гамильтониан является оператором сдвига по времени, то для любой функции состояния X из выражения [H,X]=0 мы заключаем, что в замкнутой системе X - консервативен, т.е. dX/dt=0

симметрия и законы сохранения

попробем подойти к выводу классической механики из Галилеевой инвариантности бесхитростным путем: найти наиболее общее дифференциальное уравнение второго порядка вида

    x˝ = F(x,x',t) 

рассмотрим расширенное фазовое пространство S={(x₁,y₁,z₁,..,xₙ,yₙ,zₙ,t)

в этом пространстве действует группа преобразованиий, являющеяся представлением группы Галилея. генераторы имеют вид

    T = ∂/∂t

    P1 = Σ ∂/∂xi
    P2 = Σ ∂/∂yi
    P3 = Σ ∂/∂zi

    X1 = Σ t∂/∂xi
    X2 = Σ t∂/∂yi
    X3 = Σ t∂/∂zi

    J1 = Σ (-zi∂/∂yi + yi∂/∂zi)
    J2 = Σ (-zi∂/∂xi + xi∂/∂zi)
    J3 = Σ (-yi∂/∂xi + xi∂/∂yi)

преобразования, порожденные этими операторами, означают сдвиги и повороты системы как целого

что такое наши генераторы X, P, J? это ведь и есть интегралы системы дифуров! в гамильтоновом варианте теорема Нетер очевидна

extended model

the most complete version of Hamiltonian mechanics lives on the extended phase space that includes position, momentum, time and energy. the general idea is that, instead of just having phase space consisting of position and momentum, we extend it to include time and energy. this way we can separate time as a coordinate (so that we can do all the coordinate changes we want) and time as the evolution parameter (so that we can keep describing the evolution no matter the coordinates)

each point particle will have trajectories x(s), p(s), t(s), E(s) where s is the evolution parameter. the equations of motion will be given by:

where H is the extended Hamiltonian. time and energy have equations that are similar to the ones for position and momentum, except they have a sign difference. under coordinate transformations will change as a covector. this is very easy to see now because we can rewrite the equations as:

so, what is the connection between the standard Hamiltonian and the extended Hamiltonian? between the standard set of equations and the extended set of equations? suppose we have a particular coordinate system where we can set H=H(x,p)-E. we have:

so t=s and we recover the standard equations. that is: in the special case where we use time as the evolution parameter and the energy does not change in time we recover standard Hamiltonian mechanics

    g = exp (λ ⋅ G1}, h = exp (λ ⋅ G2), k = g ⋅ h ⋅ g⁻ 

   k  =  1 + λ² ⋅ [G1 , G2]                                         (1) 

    G  =  a ∂/∂x  +  b ∂/∂y  +  c ∂/∂z  +  d ∂/∂t 

    G ⋅ F  =  a ⋅ ∂/∂x F  +  b ⋅ ∂/∂y F  +  c ⋅ ∂/∂z F  + d ⋅ ∂/∂t F 

    exp (λ ⋅ G) xi = xi + (λ ⋅ G ⋅ xi) + (λ²/2! ⋅ G² ⋅ xi) + ...    i=1,..,4

    g = exp (λ ⋅ Gi), h = exp (λ ⋅ Gj), k = g ⋅ h ⋅ g⁻

    k = 1 + a₁(λ) ⋅ G₁ + ... +  aₙ(λ) Gₙ + ...                         (2) 

    [Gi, Gj] = skij ⋅ Gk, где skij - структурные константы алгебры Ли