среди Галилеевых преобразований имеются сдвиги во времени. инвариантность относительно таких сдвигов означает, что "законы природы постоянны"
среди Галилеевых преобразований имеются сдвиги в пространстве. инвариантность отоносительно таких сдвигов означает, что пространство однородно - "имеет одинаковые свойства во всех своих точках"
среди Галилеевых преобразований имеются повороты. инвариантность относительно таких поворотов означает, что пространство изотропно - "в нем нет предпочтительных направлений"
с точки зрения физиков, в векторной форме преобразования записываются так :
g' = g - v * t t' = t g - вектор положения v - вектор скорости t - скаляр времени
координата-время синхронизировано и абсолютно, координата-положение меняется при сдвиге системы отсчета. координата-скорость меняется при переходе в другую ИСО. это базовые вещи для классической механики
такие преобразования пространственных координат, при которых временная координата не изменяется, называются boost - физиками и shear - математиками
с точки зрения математиков, группа Галилея - это преобразования 4-ки координат X выполняемые по формуле
X’ = Г * X + Bгде B - 4-вектор смещения, Г - матрица 4x4
примем соглашение о том, что первые три координаты - пространственные, четвертая - временная
очевидная и применимая ко всем случаям жизни точка зрения - групповая, сводится к выбору:
пусть дана группа G размерности n с параметрами {a₁,...,aₙ}. это значит, что каждый элемент группы однозначно определяется заданием набора параметров количеством не более n. предположим, что элементы группы G являются операторами преобразования некоторого множества S в себя
выберем параметры так, чтобы единичный элемент группы G0 (тождественное преобразование) соответствовал a₁=0,...,aₙ=0
идея локального рассмотрения непрерывных групп состоит в следующем: если все параметры малы, то с точностью до членов первого порядка, действие A группы выражается как:
n A = G0 + Σ ki * Gi i=1где Gi - генераторы группы G (инфинитезимальные операторы), а k - скалярный множитель
надо прояснить, что такое физически - "генератор группы". физически - это векторное поле, которое характеризует скорость смещения точек пространства под действием образующего элемента группы. векторный базис в точке x=(x₁,x₂,x₃,t) образован векторами
∂/∂x1 = (1, 0, 0, 0) ∂/∂x2 = (0, 1, 0, 0) ∂/∂x3 = (0, 0, 1, 0) ∂/∂t = (0, 0, 0, 1)
генераторы группы Галилея нужны чтобы построить алгебру Ли этой группы. в свою очередь эта алгебра Ли нужна, чтобы построить ее представление матрицами 4х4
найдем генераторы группы Галилея
начнем с простейшей подгруппы - пространственных сдвигов, определяемых формулой
X’ = X + B⁺ * Xгде B - вектор, определяющий сдвиг начала пространственных координат B=(s₁,s₂,s₃,0)
рассмотрим сдвиги на малый вектор. соответствующий оператор преобразования можно записать в виде :
A = 1 + (x₁ , x₂ , x₃, 0)
соответствующая матрица преобразования Галилея имеет вид
Г = ( 1 + x₁ 0 0 0 0 1 + x₂ 0 0 0 0 1 + x₃ 0 0 0 0 1 )и для генераторов сдвига берем производную по соответствующей координате:
S1 = ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) S2 = ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) S3 = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 )
легко проверяется, что [Si , Sj] = 0 т.е. генераторы пространственных сдвигов коммутируют. коммутативность операторов означает, что соответствующие преобразования могут выполняться в любом порядке - конечный результат не зависит от порядка выполнения этих преобразований. если мы сначала сдвинули по оси х, а потом по оси у, то это эквивалентно тому, что мы сперва сдвинули по оси у и потом - по оси х. конечный результат зависит от величин сдвигов, но не от их порядка
соответствующая матрица преобразования представления группы Галилея имеет вид
Г = ( 1 0 0 v₁ 0 1 0 v₂ 0 0 1 v₃ 0 0 0 1 )где v - вектор скорости
для генераторов:
X1 = ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) X2 = ( 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) X3 = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 )легко проверяется, что [Xi , Xj] = 0 т.е. генераторы переходов в движущуюся систему координат коммутируют. коммутативность операторов означает, что соответствующие преобразования могут выполняться в любом порядке - конечный результат не зависит от порядка выполнения этих преобразований. при переходе в движущуюся систему скорости складываются
рассмотрим поворот 4-пространства на угол φ вокруг осей. соответствующие матрицы представления группы Галилея :
Г1 = ( 1 0 0 0 0 cos φ - sin φ 0 0 sin φ cos φ 0 0 0 0 1 ) Г2 = ( cos φ 0 sin φ 0 0 1 0 0 -sin φ 0 cos φ 0 0 0 0 1 ) Г3 = ( cos φ - sin φ 0 0 sin φ cos φ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )для нахождения соответствующего генератора J дифференцируем эти матрицы по φ в нуле. искомые генераторы имеют вид:
J1 = ( 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) J2 = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 ) J3 = ( 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )NB: любой (а не только малый) поворот вокруг оси k на угол φ задается матрицей
exp (φ * Jk)
коммутаторы группы пространственных вращений имеют вид
[J₁, J₂] = J₃ [J₂, J₃] = J₁ [J₃, J₁] = J₂смысл в следующем - коммутатор малых поворотов вокруг двух различных осей дает поворот вокруг третьей оси (и они подчиняются правилу Якоби, что и должно быть для группы Ли). эти генераторы не коммутируют: порядок выполнения поворотов важен!
коммутаторы вращений и переходов в движущуюся вдоль оси x систему координат имеют вид
[J₁, X₁] = 0 [J₂, X₁] = - X₃ [J₃, X₁] = X₂NB: при поворотах сдвиги X преобразуются как векторы (и выполняется правило Якоби, что и должно быть для группы Ли)
все это можно посмотреть в СКА Maxima: матрицы генераторов и тесты
мы провели линеаризацию группы Галилея в окрестности единицы группы, т.е. построили касательное линейное пространство. это касательное линейное пространство является объединением касательных прямых в точке многообразия, которая соответствет единице группы. размерность построенного линейного пространства равна количеству параметров в группе (т.е. - числу генераторов группы)
линейное пространство с бинарной операцией [X , Y], удовлетворяющей тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. т.о. мы получили алгебру Ли для группы преобразований Галилея
в случае общей (не линейной) группы Ли преобразований, генераторы группы уже не являются линейными полями, а значит, не могут быть представлены подобным образом