группа Галилея


  • генераторы пространственных сдвигов
  • генераторы перехода в движущуюся систему координат
  • генераторы группы пространственных вращений

  • преобразования Галилея и законы природы

    среди Галилеевых преобразований имеются сдвиги во времени. инвариантность относительно таких сдвигов означает, что "законы природы постоянны"

    среди Галилеевых преобразований имеются сдвиги в пространстве. инвариантность отоносительно таких сдвигов означает, что пространство однородно - "имеет одинаковые свойства во всех своих точках"

    среди Галилеевых преобразований имеются повороты. инвариантность относительно таких поворотов означает, что пространство изотропно - "в нем нет предпочтительных направлений"

    преобразования Галилея

    с точки зрения физиков, в векторной форме преобразования записываются так :

        g' = g - v * t
        t' = t
        g - вектор положения
        v - вектор скорости
        t - скаляр времени 

    координата-время синхронизировано и абсолютно, координата-положение меняется при сдвиге системы отсчета. координата-скорость меняется при переходе в другую ИСО. это базовые вещи для классической механики

    такие преобразования пространственных координат, при которых временная координата не изменяется, называются boost - физиками и shear - математиками

    с точки зрения математиков, группа Галилея - это преобразования 4-ки координат X выполняемые по формуле

        X’ = Г * X + B  
    где B - 4-вектор смещения, Г - матрица 4x4

    примем соглашение о том, что первые три координаты - пространственные, четвертая - временная

    очевидная и применимая ко всем случаям жизни точка зрения - групповая, сводится к выбору:

    а уж полученные генераторы задают инвариантным образом ВСЕ "изменения" состояния системы

    пусть дана группа G размерности n с параметрами {a₁,...,aₙ}. это значит, что каждый элемент группы однозначно определяется заданием набора параметров количеством не более n. предположим, что элементы группы G являются операторами преобразования некоторого множества S в себя

    выберем параметры так, чтобы единичный элемент группы G0 (тождественное преобразование) соответствовал a₁=0,...,aₙ=0

    идея локального рассмотрения непрерывных групп состоит в следующем: если все параметры малы, то с точностью до членов первого порядка, действие A группы выражается как:

                          n
           A  =  G0   +   Σ  ki * Gi
                         i=1
          
    где Gi - генераторы группы G (инфинитезимальные операторы), а k - скалярный множитель

    надо прояснить, что такое физически - "генератор группы". физически - это векторное поле, которое характеризует скорость смещения точек пространства под действием образующего элемента группы. векторный базис в точке x=(x₁,x₂,x₃,t) образован векторами

        ∂/∂x1 = (1, 0, 0, 0)
    
        ∂/∂x2 = (0, 1, 0, 0)
    
        ∂/∂x3 = (0, 0, 1, 0)
    
        ∂/∂t  = (0, 0, 0, 1)  

    генераторы группы Галилея нужны чтобы построить алгебру Ли этой группы. в свою очередь эта алгебра Ли нужна, чтобы построить ее представление матрицами 4х4

    найдем генераторы группы Галилея

    генераторы пространственных сдвигов

    начнем с простейшей подгруппы - пространственных сдвигов, определяемых формулой

        X’ = X + B⁺ * X
    где B - вектор, определяющий сдвиг начала пространственных координат B=(s₁,s₂,s₃,0)

    рассмотрим сдвиги на малый вектор. соответствующий оператор преобразования можно записать в виде :

        A = 1 + (x₁ , x₂ , x₃, 0) 

    соответствующая матрица преобразования Галилея имеет вид

        Г = ( 1 + x₁    0         0         0
              0         1 +  x₂   0         0
              0         0         1 +  x₃   0
              0         0         0         1 )
    и для генераторов сдвига берем производную по соответствующей координате:
        S1 = ( 1 0 0 0
               0 0 0 0
               0 0 0 0
               0 0 0 0 )
    
        S2 = ( 0 0 0 0
               0 1 0 0
               0 0 0 0
               0 0 0 0 )
      
        S3 = ( 0 0 0 0
               0 0 0 0
               0 0 1 0
               0 0 0 0 ) 

    легко проверяется, что [Si , Sj] = 0 т.е. генераторы пространственных сдвигов коммутируют. коммутативность операторов означает, что соответствующие преобразования могут выполняться в любом порядке - конечный результат не зависит от порядка выполнения этих преобразований. если мы сначала сдвинули по оси х, а потом по оси у, то это эквивалентно тому, что мы сперва сдвинули по оси у и потом - по оси х. конечный результат зависит от величин сдвигов, но не от их порядка

    генераторы перехода в движущуюся систему координат

    соответствующая матрица преобразования представления группы Галилея имеет вид

        Г = ( 1 0 0 v₁
              0 1 0 v₂
              0 0 1 v₃
              0 0 0 1   )  
    где v - вектор скорости

    для генераторов:

        X1 = ( 0 0 0 1
               0 0 0 0
               0 0 0 0
               0 0 0 0 )
    
        X2 = ( 0 0 0 0
               0 0 0 1
               0 0 0 0
               0 0 0 0 )
    
        X3 = ( 0 0 0 0
               0 0 0 0
               0 0 0 1
               0 0 0 0 ) 
    легко проверяется, что [Xi , Xj] = 0 т.е. генераторы переходов в движущуюся систему координат коммутируют. коммутативность операторов означает, что соответствующие преобразования могут выполняться в любом порядке - конечный результат не зависит от порядка выполнения этих преобразований. при переходе в движущуюся систему скорости складываются

    генераторы пространственных вращений

    рассмотрим поворот 4-пространства на угол φ вокруг осей. соответствующие матрицы представления группы Галилея :

        Г1 = (  1      0           0      0
                0     cos φ    - sin φ    0 
                0     sin φ      cos φ    0 
                0      0           0      1 )
    
        Г2 = ( cos φ       0     sin φ    0
                0          1        0     0
              -sin φ       0     cos φ    0
                0          0        0     1 )
    
        Г3 = ( cos φ    - sin φ     0     0
               sin φ      cos φ     0     0 
                0          0        1     0
                0          0        0     1 )
    для нахождения соответствующего генератора J дифференцируем эти матрицы по φ в нуле. искомые генераторы имеют вид:
        J1 = ( 0  0  0  0
               0  0 -1  0
               0  1  0  0
               0  0  0  0 )
    
        J2 = ( 0  0  1  0
               0  0  0  0
              -1  0  0  0
               0  0  0  0 )
     
        J3 = ( 0 -1  0  0
               1  0  0  0
               0  0  0  0
               0  0  0  0 ) 
    NB: любой (а не только малый) поворот вокруг оси k на угол φ задается матрицей
        exp (φ * Jk)

    коммутаторы группы пространственных вращений имеют вид

      [J₁, J₂] = J₃
    
      [J₂, J₃] = J₁
    
      [J₃, J₁] = J₂
    смысл в следующем - коммутатор малых поворотов вокруг двух различных осей дает поворот вокруг третьей оси (и они подчиняются правилу Якоби, что и должно быть для группы Ли). эти генераторы не коммутируют: порядок выполнения поворотов важен!

    коммутаторы вращений и переходов в движущуюся вдоль оси x систему координат имеют вид

        [J₁, X₁] =   0
    
        [J₂, X₁] = - X₃
    
        [J₃, X₁] =   X₂ 
    NB: при поворотах сдвиги X преобразуются как векторы (и выполняется правило Якоби, что и должно быть для группы Ли)

    все это можно посмотреть в СКА Maxima: матрицы генераторов и тесты

    мы провели линеаризацию группы Галилея в окрестности единицы группы, т.е. построили касательное линейное пространство. это касательное линейное пространство является объединением касательных прямых в точке многообразия, которая соответствет единице группы. размерность построенного линейного пространства равна количеству параметров в группе (т.е. - числу генераторов группы)

    линейное пространство с бинарной операцией [X , Y], удовлетворяющей тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. т.о. мы получили алгебру Ли для группы преобразований Галилея

    в случае общей (не линейной) группы Ли преобразований, генераторы группы уже не являются линейными полями, а значит, не могут быть представлены подобным образом