искореняем формулу Кардано без всякого самообмана

если б у математиков спросили про то, какие есть доказательства бытия бога, подавляющее большинство, подумавши, ответило бы - существование комплексных чисел. это настолько нетривиальный, богатый и полезный объект, объединяющий такое количество разных важных свойств, что поверить в случайность его существования невозможно. и, насколько мне известно, нет никаких причин, по которым комплексные числа обязаны были бы существовать. это - дар небес в чистом виде, как бесконечность натуральных чисел или прямые линии

однако обнаружили мы этот дар гораздо позже, чем все остальные чудеса света. мало кто знает, как человечество ткнули носом в них

общая философия состоит в том, что "новые" числа появлялись, когда обнаруживали уравнения, не имеющие решения в "старых" числах, а кровь_из_носу хотелось, чтобы эти решения были

отрицательные числа появились как решения уравнений (в современной нотации) x+a=b в случае, когда а>b, и стандартным образом интерпретировались как "долги" или (если х обозначало момент времени в будущем) - "тому назад"

рациональные числа нужны были, чтобы решать задачу дележа имущества, т.е. уравнения а*х=b, стараясь не убивать без надобности, если справа - один кот в сапогах, а слева - три брата, с задачей справлялись

на этом задача построения числовой системы была бы решена, поскольку единственным неразрешимым уравнением оставалось уравнение 0⋅x=b, а оно ну никак не может быть разрешимо по целому ряду причин

но тут пришёл зануда Пифагор со своими штанами и написал уравнение x²=2. и не просто написал, а нарисовал: "Вот квадрат, вот его диагональ, - а уравнение решения не имеет!". непорядок

с этого момента начинается история, закончившаяся только к концу XIX века, но не о ней сейчас речь

после тысячелетия доминирования философов и геометров, в начале Нового времени власть в математике захватили циничные инженеры-практики. с их точки зрения проблемы просто не было: "Корень уравнения равен √2, все знают, что это такое, и нечего размазывать манную кашу по белой скатерти!" и ∛17, и √6.26 - законные числа, подчиняющиеся той же арифметике. если их нужно подставить в окончательный ответ, чтобы узнать, сколько фунтов пороху надо заряжать в пушку, - на то есть таблицы десятичных приближений с большим числом знаков. надо было только договориться, что "Пишем значок кореня - подразумеваем положительный корень"

очень многие считают, что комплексные числа появились (довольно быстро после этого) как решения уравнения x²=-1. но это очевидным образом не так: это уравнение доказуемо не имеет числовых решений, поскольку квадрат любого ненулевого числа положителен! решать такое уравнение так же бессмысленно, как делить на нуль. никаких поводов у инженера терять сон по ночам, - мало ли есть на свете неразрешимых уравнений, которые никому не нужны!

конечно, кроме простейших уравнений, бывают уравнения посложнее. например, квадратное уравнение в общем виде имеет форму

    x² + p * x + q = 0
но любое такое уравнение легко преобразовать к простой форме, сделав замену (подстановку)
    x = y - p/2 
после этой подстановки уравнение на у окажется "простым":
    y² - Δ = 0
где Δ - известный каждому школьнику "дискриминант". никаких новостей: если Δ>0, уравнение имеет два разных корня (не забываем, что у корня квадратного есть два значения разных знаков!), если Δ=0 - один "двукратный" корень, если Δ<0 - корней нет, уравнение неразрешимо

вот если бы так можно было и с уравнениями более высоких степеней! берёшь общее уравнение и преобразуешь его к простейшему yⁿ=Δ, для решения которого у нас уже припасён значок радикала n-й степени…

начнём с третьей степени. первый шаг, очевидно, - избавиться от квадратичного члена, и он точно такой же, как в случае квадратного уравнения, - сдвинуть икс на подходящую величину. останется решить упрощённое уравнение

    x³ + p * x + q = 0
одним коэффициентом меньше. можно ли каким-нибудь трюком избавиться ещё и от первой степени икса?

долгое время не получалось, пока одному заике (Тарталья) не пришло в голову совершенно контр-интуитивное рассуждение. почему контр-интуитивное? понадобится короткое отступление

помимо уравнений с одним неизвестным, совершенно естественно рассматривать и системы из нескольких уравнений с несколькими неизвестными x,y,z,… например, системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. или одно уравнение линейное, а другое квадратное. или оба квадратных. по какой-то загадочной причине в осмысленных задачах число уравнений всегда равно числу неизвестных, но это отдельный предмет для размышления. но всегда способ решения таких систем один и тот же, - "метод исключения"

берём самое простое уравнение и решаем его "относительно одной из переменных", скажем z, считая остальные - параметрами. полученное решение подставляем в оставшиеся уравнения, и получаем тем самым систему из меньшего (на единицу) числа уравнений, в которой уже нет переменной z. продолжаем так исключать переменные одну за другой, пока не доберёмся до одного уравнения (пускай и высокой степени) от одной переменной. а уж его будем решать, не щадя сил и средств. но общий принцип, - "уменьшать число переменных, исключая их из системы" остаётся всегда. мало кто знает, кстати, что при таком исключении можно обойтись безо всяких радикалов , если делать всё грамотно ("теория результантов", - одно из немногих белых пятен на карте университетской математики, которые очень полезно было бы закрасить)

а трюк Тартальи состоял в том, чтобы поступить ровно наоборот, и заменить одно кубическое уравнение системой из двух уравнений с двумя неизвестными

казалось бы, задача от этого только усложнится, - ан нет! полученная система оказалась настолько симметричной, что её можно было решить в явном виде

введём вместо икса новые неизвестные y, z и напишем для них "соотношение",

    x = y + z

но это ведь не уравнение, скажете вы? оно всё ещё содержит икс, а мы хотим систему из двух уравнений только на y , z без всяких иксов. всё правильно, но давайте подставим их в уравнение третьей степени для икса,

    (y + z)³  +  p * (y + z)  +  q = 0

это уже самое настоящее уравнение, в нём можно раскрыть скобки и привести кое-какие подобные члены, получив уравнение с двумя неизвестными:

    y³ + z³ + (y + z) * (3 * y * z + p) + q = 0

вроде бы ничем не проще, чем исходное кубическое? а это только пока мы не воспользовались свободой выбрать второе уравнение. в этом выборе нас ничто не ограничивает: какое бы "соотношение" (имеющее решения, конечно) мы не написали, если выполнено первое уравнение, то сумма y+z даст нам ответ в исходной задаче. поступим же мудро и добавим уравнение

    3 * y * z + p = 0

при таком мудром выборе средний член первого уравнения, произведение (y+z)*(3*y*z+p), попросту исчезнет, и наша система примет гораздо более простую форму

      y³ + z³ = -q
      y * z = -p / 3

она уже очень симметричная, но всё ещё непонятно, как её решать. но решение мгновенно обозначится, если мы возведём второе уравнение в куб и ещё раз введём новые переменные формулами

      u = y³
      v = z³
      u + v = -q
      u * v = -p³ / 27
тут уж надо быть совсем двоечником, чтобы не увидеть в уравнениях новой системы формулы Виета для корней квадратного уравнения: u,v являются решениями системы если и только если они оба - корни вспомогательного квадратного уравнения
      λ² + q * λ - p³ / 27 = 0
решив это уравнение старым солдатским способом, мы найдём u,v. извлекая из них кубические корни, получим y,z. а уж потом, вычислив сумму x=y+z, получим решение исходного кубического уравнения

та-дамм!

совершенно излишне, кстати собирать все эти обратные вычисления в одну громоздкую формулу с радикалами, которую невозможно запомнить. гораздо проще запомнить метод, тем более что мы сейчас обнаружим немало мусора, заметённого под ковёр

но сначала про разрешимость. алгоритм есть, но на последнем шаге возникает необходимость решать квадратное уравнение, у которого есть свой дискриминант,

    Δ = q² + 4 * p³ / 27
если он положителен (или равен нулю), то пара u,v вещественных корней единственна с точностью до перестановки местами, из каждого из них единственным образом извлекается вещественный кубический корень (положительный из положительного числа, отрицательный из отрицательного), и получающаяся пара y,z, в сумме даёт нам единственный корень кубического уравнения. все преобразования алгоритма, как можно проверить, тождественны (над вещественными числами - а других мы пока не знаем), и решения не теряются и не приобретаются

да вот беда! иной раз смотришь на ответ - "и не признаёшь знакомое лицо". рассмотрим уравнение

    x³ + 3 * x - 4 = 0
имеющее, как легко видеть (производная функции положительна) ровно один корень. подстановкой нетрудно убедиться, что x=1 - корень уравнения. а вот формула наша даёт выражения для u,v равные 2±√5, и проверить, что сумма кубических корней из этих двух радикалов в самом деле равна единице, - задача не так уж простая (на самом деле, эквивалентная решению исходного кубического уравнения: надо показать, возведя в куб, что сумма удовлетворяет уравнению, и воспользоваться единственностью корня). да, всё непросто, поскольку представление алгебраических чисел радикалами никак не единственно даже тогда, когда оно возможно

но настоящая радость открытия подстерегает нас тогда, когда мы вспомним, что у кубического уравнения может быть два, а то и три различных вещественных корня

наш алгоритм, при всём уважении к Тарталье, не может дать более одного решения, если не выходить за пределы вещественных чисел. но корни-то есть, и должен же наш алгоритм как-то помогать их найти? хоть тушкой, хоть чучелом, хоть в совершенно неузнаваемом виде? что делать, когда дискриминант квадратного уравнения отрицателен? как-то они должны появляться из "несуществующих" корней вспомогательного квадратного уравнения. а "несуществующие" они, напомним, по единственной причине, - мы не пытались до сих пор извлекать квадратный корень из отрицательных чисел, нужды в этом не было

а вот сейчас у нас появилась очень убедительная причина думать, что уравнение x²=a при а<0 всё же должно иметь какое-то решение, которое мы смогли бы подставить в дальнейшие формулы и получить вещественные корни кубического уравнения. раньше мы спокойно ходили мимо забора, на котором было написано а=0 только с той стороны, где а - положительно, и не было никаких причин заглядывать за этот забор. а теперь мы точно уверены, что по ту сторону тоже живут числа, и эта жизнь намного интереснее, чем с нашей стороны. на самом деле нам достаточно только одного такого числа, - корня из минус единицы, если мы настаиваем, чтобы эти "новые корни" подчинялись всем правилам арифметических действий (а иначе как их подставлять в формулы?). единственное, что мы готовы простить, - эти числа не влезают в рамки порядка "меньше-больше": не будучи ни положительными, ни отрицательными, они должны обитать где-то вне числовой прямой

сказано - сделано! обозначим "приёмыша" √-1 каким-нибудь значком, скажем, ⊡ чтоб его отличать от остальных "нормативных" чисел. всё, что мы знаем про него - это что ⊡²=-1 (квадратик должен напоминать про "материнское уравнение" МУ)

начиная с этого момента, мы сразу имеем массу "гибридных" (комплексных) чисел вида a+b⊡ с очевидными правилами арифметики (а,b - обычные числа). перемножать гибридные числа надо, раскрывая скобки и пользуясь МУ. например,

        (a + b⊡)  *  (a - b⊡)  =  a² + b² > 0

всегда "настоящее" ("действительное") число, - ненулевое, если a,b не равны нулю одновременно. значит, чтобы поделить на (a+b⊡), надо умножить на комплексное число (a-b⊡) и поделить результат на ненулевое вещественное число a²+b²

всё это вызывает радость у математиков и недоумение у "технарей". математики радуются, что "обнаружили" новые числа, а технари пока недоумевают, - "Ну, а где с этого практическая польза? Мы векторов на плоскости с координатами (a,b) не видали раньше, штоле?" математики в ответ могли бы ответить, - "Вектора на плоскости видали, а вот возможность их перемножать между собой, а не только на вещественные числа, - не видали!". а вот это уже выглядит гораздо интересней, чем могло бы показаться на первый взгляд

начнём с того, что из формулы для произведения комплексных чисел следует довольно нетривиальное наблюдение

величина |a+b⊡|=√(a²+b²), обобщающая понятие модуля, или абсолютной величины для вещественных чисел (когда b=0), при перемножении комплексных чисел ведёт себя неожиданно прилично: |zw|=|z|⋅|w| (проверяется возведением в квадрат обеих частей). значит, если мы хотим разобраться, как устроено умножение наших комплексных чисел, достаточно ограничиться числами с единичным модулем: z=|z|⋅u, где |u|=1. значит, нас интересует в первую очередь множество U чисел a+b⊡ у которых a²+b²=1

посмотрев на такое дело, любой двоешник сообразит, что U - это попросту окружность на плоскости (a,b), у каждого числа на этой окружности есть полярный угол φ (аргумент), определённый с точностью до прибавления целого кратного 2πn, n∈ℤ, так, что число может быть записано в виде

    cos φ + ⊡ sin φ
перемножение двух чисел, записанных в такой "тригонометрической форме", совершенно неожиданно упрощается при помощи формул для школьной тригонометрии. ответ проще записать словами: "при перемножении комплексных чисел их аргументы складываются"

уже одно это наблюдение можно расценивать, как подарок судьбы: как мучительно долго давалось человечеству понятие логарифма, которое превращает трудоёмкое перемножение чисел в простое сложение! для комплексных чисел нам не нужны никакие таблицы, достаточно транспортира ;-) шутка. если мы "слезем" с единичной окружности, нам всё равно понадобится логарифмировать модуль, чтоб полностью заменить умножение сложением. но в каждой шутке есть доля шутки

однако ж бесплатных ланчей не бывает, и задачу извлечения корня никто не отменял (а в алгоритме Тартальи надо извлекать и квадратные, и кубические корни)

в докомплексной невинности мы считали, что квадратных корней из отрицательных чисел просто нет, а кубические есть из любого числа, и определены единственным образом. в нашем новом комплексном мире надо заново возвращаться к тому, как решаются уравнения z²=w и z³=w при комплексных значениях правой части w. как и сказано было, достаточно ограничиться случаем, когда |w|=1, т.е., когда правая часть однозначно задаётся своим аргументом

сказанное выше про суммы и произведения означает, что решения обоих типов уравнения описываются тривиально: "аргумент z есть половина (соответственно, треть) аргумента w, бери угол ψ, аргумент w, и дели пополам (или на три части), и будет тебе φ, аргумент ответа"

в ответе есть, однако ж, элемент лукавства, и даже два. вот первое:

пока углы были кратны π (соответственные точки лежали на вещественной оси), мы могли объехать на кривой козе вопрос о том, какое из двух (трёх) значений считалось "главным", за счёт жонглирования "знаком" (положительный/отрицательный). как только мы слезаем с вещественной оси и лишаемся этого козыря, приходится признавать все корни равноправными. на самом деле от такой демократии гораздо больше пользы, чем вреда, но об этом в следующий раз

второе лукавство, - как делить угол на равные части. в школе на уроках геометрии учили это делать циркулем и линейкой, а на алгебре это вообще в школе не проходили, но если б проходили (как выразить синус и косинус половинного угла), то написали бы квадратные уравнения. а делить угол на три части нельзя: циркулем и линейкой это невозможно, а если писать тригонометрические уравнения, то они сведутся в конце концов к тому самому уравнению третьей степени, с которого всё начиналось. что делать, бесплатных завтраков не бывает

возвращаясь к формуле Тартальи

после того, как мы разобрались, что квадратный корень всегда имеет два значения (вещественных или мнимых), а кубический - целых три, наш алгоритм начинает играть новыми красками. что особенного есть у невещественных корней квадратного уравнения? (ответ: они комплексно сопряжены, вещественные части у них одинаковы, а мнимые противоположны по знаку). как извлекать кубические корни из них? (ответ: не абы как, а чтобы корни из сопряжённых величин оставались сопряжёнными). почему все ответы окажутся вещественными? (ответ: потому, что сумма сопряжённых комплексных чисел вещественна). без экскурса в комплексную область ничего из этого нельзя было бы даже назвать правильными словами

что же должен читатель усвоить из этих баек?

ну, во-первых понять, что когда мы говорим про "явные формулы" для решения уравнений, в них с самого начала заключён самообман. если в ответе фигурирует ∛17, то это всего лишь метка, указатель на то место, где надо требовать дополнительных разъяснений, что конкретно имеется в виду. сами по себе "явные формулы" для корней уравнений - всего лишь способ свести общее уравнение высокой степени к "простейшему" уравнению xⁿ=a, и нет ничего особенно мистического или удивительного, что при больших n (5 и больше) такое сведение невозможно. хотя бы по соображениям "количества": у общего уравнения n-2 коэффициента (после избавления от "первого неглавного" члена), а у "специального" - всего один; "специальных" уравнений просто "на глаз" меньше (это, конечно, не доказательство)

отдельный вопрос, чем "простейшие" уравнения лучше "произвольных" - тоже интересный, ответ на него даёт теория Галуа, хоть и её излагают подчас в форме, недоступной читателю "от сохи" даже там, где к этому нет никаких препятствий


но если всё таки брать формулы Кардано, то мнимые числа "не очень нужны" так же как и в случае с отрицательным дискриминантом квадратного равнения? так кто же первым показал мнимые числа? неужто Тарталья?

мнимые числа нужны, потому что без них не разобрать случай, когда у уравнения есть три вещественных корня

в этом-то и психологическая засада: мы зажмуриваемся и не хотим извлекать корни из отрицательных чисел, а алгоритм над нами смеётся и говорит: пока не научишься, хрен найдёшь все действительные решения

что такое "показал", я не понимаю. Тарталья нашёл формулу, работающую в части случаев (до него вообще ничего не было). а насиловать радикалы из отрицательных чисел все подряд бросились, когда стало понятно, что без них задачу полностью не решить

а что, делить многочлен на (икс минус найденный вещественный корень), а потом решать получившееся квадратное уравнение, чтобы найти оставшиеся два, они не пробовали?

теорема Безу - очевидный факт только при использовании современных обозначений. если уравнения записываются словесно-геометрически, как во времена Тартальи - все становится намного сложнее

кстати, формула Тартальи-Кардано тоже была выведена чисто геометрически, современное изложение этот факт заметает под ковер, чтобы не усложнять и не засорять ненужными техническими деталями

ну и, правильно понятная формула Кардано дает все три корня. надо только уметь ее готовить. и комплексные числа в этой готовке - необходимый компонент. правда основное применение формулы Кардано - смотреть и любоваться. практическая ценность только в том, что это сподвигло к поискам формул для уравнений высших степеней и вылилось в создание теории Галуа

выступлю занудой
>>> мнимые числа нужны, потому что без них не разобрать случай, когда у уравнения есть три вещественных корня
да и одного достаточно. если взять x³=15*x+4, то в формуле Кардано надо извлекать корни из отрицательных чисел, чтобы найти единственный вещественный корень

выступили неудачно - действительных корней в вашем уравнении - три :)

(%i1) s : x^3 - 15*x + 4 ;
                                  3
(%o1)                            x  - 15 x + 4
(%i2) allroots (s) ;
(%o2)     [x = 0.2679491924311227, x = 3.732050807568878, x = - 4.0]


формула Феррари

разобрав метод Тардано-Картальи решения кубических уравнений, трудно остановиться и не объяснить, почему уравнения четвертой степени решаются без привлечения всяких новых идей

симметрией единою!

рассмотрим уравнение

      x⁴ + a * x² + b * x + c = 0
(как водится, без кубического члена). обозначим его корни x₁, x₂, x₃, x₄ и напишем для них формулы Виета:
       0 = x₁ + x₂ + x₃ + x₄
       a = x₁ * x₂ + ... + x₃ * x₄ (все 6 попарных произведений)
      -b = x₁ * x₂ * x₃ + ... + x₂ * x₃ * x₄ (все 4 тройных произведения)
       c = x₁ * x₂ * x₃ * x₄
это система 4-х уравнений от 4-х переменных x₁,x₂,x₃,x₄ эквивалентна исходному уравнению 4 степени. разумеется, она симметрична: любая перестановка переменных сохраняет систему

теперь напишем ещё три комбинации, образованные этими переменными:

      y₁ = (x₁ + x₂) * (x₃ + x₄)
      y₂ = (x₁ + x₃) * (x₂ + x₄)
      y₃ = (x₁ + x₄) * (x₂ + x₃) 

каждое из этих выражений частично симметрично, но не полностью: менять местами можно только слагаемые внутри скобок и скобки между собой. нетрудно видеть, что больше таких комбинаций нет (число способов разложить четыре разных носка по два в два одинаковых ящика равно трём)

однако множество всех переменных-игреков в совокупности остаётся инвариантным, если мы иксы переставляем собой как угодно: худшее, что может произойти после такой перестановки - игреки тоже поменяются местами

пусть u₁, u₂, u₃ - три произвольных числа. кубическое уравнение с такими корнями можно выписать, прочитав справа налево формулы Виета: оно будет иметь вид

    u³ + A * u² + B * u + C = 0
где
    -А = u₁ + u₂ + u₃
     B = u₁ * u₂ + u₁ * u₃ + u₂ * u₃
    -C = u₁ * u₂ * u₃

если мы подставим вместо переменных u_i комбинации y_i, зависящие от иксов, то окажется, что (сложные выражения, получающиеся после раскрытия скобок и приведения подобных членов) A (x), B (x) и C (x) станут функциями иксов, полностью симметричными: любая перестановка иксов в худшем случае переставляет игреки, и тем самым не меняет выражение для A,B,C

но тут вступает в действие Фундаментальная Теорема про Симметрические Функции (ФТСФ): их мало!

точнее, каждый симметрический полином от n переменных является явно выписываемым (полиномиальным) выражением от элементарных симметрических полиномов, которые суть правые части формул Виета для корней уравнения любой степени (сумма переменных, сумма попарных произведений, сумма тройных произведений, …, произведение всех переменных). это - очень простой, но исключительно полезный способ явно использовать симметрию систем уравнений от нескольких переменных

элементарные симметрические функции, кстати, - вовсе не единственный "базис" для симметрических многочленов. Ньютоновы полиномы

       σ_k (x) = x₁ ^ k + ... + x_n ^ k для k=1,2,..,n
тоже отлично порождают всё множество симметрических полиномов. только формулы Виета придётся заменить на более сложные выражения, построенные из σ₁,..,σ_n

что это нам даёт в данном конкретном случае?

явные формулы, которые позволяют выразить функции A (x) , B (x), C (x) через a,b,c в ситуации, когда иксы - корни исходного уравнения. мне лень (да и не нужно никому) писать явную зависимость A,B,C от a,b,c. какие-то соотношения второй степени с маленькими целыми коэффициентами 0,1,2,4

а на практике мы имеем алгоритм решения исходного уравнения четвёртой степени. пользуясь (невыписанными) соотношениями, мы по исходному уравнению выписываем вспомогательное кубическое уравнение

    u³ + A * u² + B * u + C = 0   
спасибо Тардано и Кардалье, мы можем его решить и найти значения "игреков". осталось сообразить, как вычислить игреки через иксы, пользуясь соотношениями. поскольку
    0 = x₁ + x₂ + x₃ + x₄
мы можем разными способами разбивать этот нуль на пары противоположных парных сумм: это даст нам много представлений каждого из игреков несколькими способами в виде квадрата суммы двух иксов со знаком минус. это позволяет выразить парные суммы иксов через корни из игреков со знаками ± (в разных комбинациях), а это уже линейная система относительно иксов, мгновенно решающаяся

надо взять восемь комбинаций вида

      ½ * [ ±√(-y₁) ± √(-y₂) ± √(-y₃) ]
и отобрать из них те, которые удовлетворяют уравнению. посильная работа после всего проделанного

приведённый "общий" способ - не самый короткий, да и ФТСФ мы не доказали. изначально метод Феррари предполагал гораздо более экономное сведение уравнения к системе, которое привело бы одно из уравнений к "полному квадрату". в большинстве изложений это выглядит трюком, ближе к трюку Тартальи, хоть и более сложным. преимуществом общего подхода, рассказанного выше является его "естественность". до него можно было бы додуматься, и не обладая талантом Феррари, и быстрее, чем за 10 лет, которые ему потребовались

но гораздо важнее потенциал, заложенный в идее рассматривать симметрии корней уравнения. именно эта идея потом реализовалась в виде теории Галуа, описывающей, какие уравнения можно решить в радикалах, а какие - нельзя

сегодня самый короткий (и самый прямолинейно-тупой) аналог трюка Феррари можно объяснить первокурснику, сдавшему экзамен по аналитической геометрии

в уравнении

    x⁴ + a * x² + b * x + c = 0 
введём новую переменную y=x². получим систему двух квадратных уравнений от двух переменных x,y:
    y² + a * y + b * x + c = 0
    x² -     y             = 0 
первое из них задаёт "лежачую параболу" рогами вбок, второе - обычную рогами вверх. из каждого уравнения легко выразить одну переменную и подставить в другое, но это нам ничего не даёт: получится либо исходное уравнение четвёртой степени, либо другое, но такое же

вместо этого мы возьмём "линейную комбинацию" этих двух уравнений, скажем, прибавим к первому второе, умноженное на какое-нибудь число λ:

     y² + λ * x² + (a - λ) * y + b * x + c = 0 
при любом λ≠0; можно этой комбинацией заменить любое из двух уравнений, оставив второе как есть: система останется равносильной. так подберём же λ мудро!

при любом выборе мы будем иметь квадратное уравнение от двух переменных, т.е., квадратичную кривую на плоскости, зависящую от λ. какие бывают квадратичные кривые, мы все проходили: эллипсы, параболы и гиперболы. или? или

квадратичные кривые могут вырождаться: две пересекающиеся прямые (вещественные или мнимые), две параллельные прямые, две совпадающие прямые, ... пустое множество (кривая, заданная уравнением 1=0). нас только что научили, как определять, где какой случай. весь этот анализ совершенно элементарен и не требует ничего более сложного, чем решения квадратных уравнений

ответ выглядит так. возьмём общее уравнение квадратичной кривой на плоскости. оно содержит шесть членов: три члена степени 2, два члена степени 1 и один свободный член. соответственно имеем шесть коэффициентов, которые надо правильно запихнуть в симметрическую матрицу 3x3 (лень выписывать, для наших целей явная формула совершенно не важна). обозначим Δ (завидное постоянство, да?) определитель этой матрицы

Теорема: если Δ=0, то кривая вырождена (приводима), т.е., соответствующее уравнение раскладывается на произведение двух линейных множителей, действительных или комплексных

а значит, система распадается на две "подсистемы" (подслучая), в каждой из которых одно уравнение квадратичное, а другое линейное. линейное уравнение позволяет выразить x через y или наоборот, а после подстановки во второе уравнение имеем квадратичное уравнение относительно того, что осталось. всё решается старым дедовским способом

значит, если мы подберём λ так, что Δ обратится в нуль, то решим уравнение наше 4-й степени. но коэффициенты линейной комбинации - многочлены первой степени от λ. если мы их засунем в матрицу, то определитель Δ станет полиномом третьей степени от λ. призвав Кардалью и Тартано на помощь, мы его решим, разложим соответствующую комбинацию

              y² + λ * x² + (a - λ) * y + b * x + c
на два линейных множителя, и дело в шляпе


а почему для более высоких степеней этот подход не работает? там число уравнений больше/меньше числа новых неизвестных?

этого итальянцам постичь было не дано. потребовался острый галльский смысл и сумрачный норвежский гений. грубо говоря, да! все таки надо про группу симметрий говорить. дело в том, что когда решают общее(!) уравнение пятой степени

       х⁵ + а₄ * х⁴ + а₃ * х³ + а₂ * х² + а₁ * х + а₀ = 0 
(можно формализовать это, сказав, что коэффициенты алгебраически независимы, но не суть важно), то все пять корней х₁,х₂…х₅ симметричны. т.е. мы ищем формулу, которая берет коэф. а₀..а₄ и выдает х₁..х₅, и она должна быть совершенно симметрична относительно иксов. группа симметрий пяти элементов большая - общее количество ее элементов есть 5!=120 перестановок. вопрос: можно ли получить эту формулу используя радикалы ^{1/n} (не путать корни уравнения и корни n-ой степени!)?

оказывается, что у операции ^{1/n} - меньше симметрий - только перестановки по кругу, а не все перестановки n корней. причина этого в том, что есть равные отношения между разными корнями ^{1/n} - корни n-ой степени из единицы. и общая теория Галуа говорит, что уравнение можно решить используя радикалы ^{1/n} только если группу симметрий его корней можно разбить на более простые группы циклических перестановок

у общего уравнения максимальная группа симметрий Sₙ – все n! перестановок. оказывается (несложное утверждение в теории групп), такая группа Sₙ разбивается на циклические группы только для n<5

больше того, в случаях n=3,4 решение может быть выведено из знания того, как S₃,S₄ может быть разбита на циклические группы. это дает более концептуальное и менее трюкаческое решение. например, в Кардано извлекается корень квадратный из

       d = (х₁ - х₂) * (x₁ - x₃) * (х₂ - x₃) 
отметим, что d не меняется при любой перестановке х₁, х₂, х₃, а корень из него не меняется только при трех циклических перестановках, и меняет знак при трех других. то есть, извлекая корень из d мы понижаем симметрию задачи до циклической симметрии из трех перестановок, и отсюда уже можно описать решения используя кубические корни (операцию имеющую ту же симметрию между результатами)

это скрытый механизм того, что метод Кардано делает и объяснение того, почему без корня квадратного в общем случае ничего не получится

ух ты, спасибо! я много раз слышал про группы симметрий в деле невозможности решения уравнений степени 5 и выше, но никогда не мог собраться с силами и прочитать. а тут такое объяснение. спасибо еще раз!

рад что понятно получилось. я эту тему преподаю иногда. с одной стороны теория строится, все формально доказывается. даже слабые студенты могут заучить и отбарабанить. и я даже (что нетипично) начинаю с решения уравнений степени 3,4. но вот такое объяснение в классе уже не факт, что можно дать - оно нестрогое, а только - про главные идеи. большая часть школяров не поймет зачем, почему, а слабые вообще решат, что это строгое доказательство и будут на экзамене вместо честных доказательств именно его и пихать