пределы


сколько кванторов ∀ или ∃ подряд студенты могут осилить, разбирая определение/утверждение:

один квантор - уровень разумного человека с улицы
два квантора - уровень начинающего матшкольника (для универ.курса "без новаторских затей" )
три квантора - годны для восприятия амбициозного курса в универе
четыре квантора - уровень проф.математиков (далеко не всех)
пять кванторов - или гений, или сумасшедший

конструкции, использующие много кванторов, надо разбивать на "естественные" шаги. в том же примере с пределом мы имеем утверждение

"А является пределом последовательности a_n" (*)

(три квантора, трудно для понимания, народ кряхтит), которое можно свести к двухкванторному утверждению, если сначала определить понятие "хвост последовательности" и чуть-чуть его попрактиковать
(У Гельфанда и Кириллова вводились термины "ловушки" и "кормушки" для интервалов, содержащих почти все или бесконечно много членов последовательности)

в свою очередь, утверждение

"последовательность a_n сходится"

формально требует четырёх кванторов:

"∃ A: (*)"

но поскольку утверждение (*) перед этим проговорено и оттренировано стопиццот раз, никаких дополнительных проблем при этом не возникает, так что эту надстройку никто даже и не замечает, "глотают, не разжёвывая"

попробую-ка я объяснить определение предела так, чтоб до минимума свести необходимость задействовать мозг в качестве парсера

начнём с убийственной конструкции: как в "стандартном матане" записывается фраза

"(числовая) последовательность a[n] сходится"

та-дамм!

∃A ∈ ℝ: ∀ ε>0 ∃N ∈ ℕ: ∀n > N |a[n] - A| < ε

четыре квантора. такую конструкцию способен понять "с налёта" только профессиональный математик. студенты справляются только потому, что внешний квантор сначала обрезают. они изучают конструкцию

"(некое) число А является пределом последовательности a[n]"

до посинения, - а это всего лишь три квантора, теоретически достижимый (для лучших из них) уровень. а уж освоив эту премудрость, однокванторное высказывание

"последовательность сходится, если существует (конечное число) А, являющееся её пределом"

осиливает каждый дурак, даже не замечая, что он проглотил лишний квантор на закуску к основному определению предела

но и три квантора - излишнее насилие над человеческим мозгом. можно ввести промежуточное понятие "хвоста последовательности" и убрать, наоборот, квантор ∀n с другого конца. но это некое трюкачество, в такие игры хорошо играть с семиклассниками. а мы пойдём другим путём. и начнём не с определения предела, а с понятия функции (нескольких переменных), её области определения и непрерывности

итак, у вас есть функция f(x,y,z,…) от нескольких переменных, определённая на каком-то подмножестве. проще всего вообразить себе рациональную функцию (отношение двух многочленов от нескольких переменных): её область определения, как в школе учат, - "чтоб знаменатель не обращался в нуль". функцию 0/0 мы сцаными тряпками гоним, чтоб не путалась под ногами. но и другие ограничения бывают, - например, корень квадратный и логарифмы определёны только для положительных значений аргумента, а арксинусы/арккосинусы вообще хрен знает где (зависит от страны, где вас учили в средней школе)

но предположим, мы договорились о терминах и вопрос об области определения U = dom f решён однозначно

Def: пусть δ>0 - положительное число. δ-окрестностью точки a∈ℝⁿ называется шарик радиуса δ с центром в этой точке. или кубик с ребром 2δ с центром в ней, … - да что угодно, лишь бы точка не оказалась на границе этого множества (или паче того, за его пределами)

ВСЕ такие множества будем скопом называть U[δ]

если n=1, то наша свобода выбора сводится к отрезку (или интервалу?)

    ( f (a) - δ , f (a) + δ )
    или
    [ f (a) - δ , f (a) + δ) ]

маловато у нас шариков/кубиков на одномерной прямой. будем такие окрестности обозначать U[δ](a), заменяя δ и а на другие буквы, если потребуется

Def: функция f называется непрерывной в точке a ∈ dom f, если в любой достаточно маленькой окрестности а значения f мало отличаются от f(a)

в математической нотации,

   ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : f ( U[δ](a) ) ⊆ U[ε] ( f (a) )

два квантора. базовый логический минимум. хотите совпадение функции в точке х с f(a) до третьего знака? подойдите к точке а на расстояние миллиметра. надо шесть знаков? не проблема, держитесь на расстоянии нанометра от точки. честная торговля по всем понятиям. но точное равенство вам гарантировано только тогда, когда вы вычислите функцию аккурат в точке а, а ни где нибуть ещё. осознайте эту конструкцию, и будет вам щастье навсегда

конечно, проницательный критик скажет, что я замёл лишний квантор под ковёр: утверждение f(A)⊂B означает после расшифровки утверждение ∀x∈A f(x)∈B. но ведь в этом-то и идея: вводить промежуточные понятия, тренироваться в их использовании и в конце концов пользоваться ими автоматически, как мы пользуемся знаками + или <

"Но это непрерывность", скажете вы, а как же быть с пределом? я сейчас открою страшную тайну. никаких пределов нет, есть "естественное продолжение" функций за пределы их области определения

рассмотрим функцию f:A→B, и точку a∉A. можно ли доопределить функцию в этой точке? построить функцию g:A∪{a}→B, которая совпадала бы с f на А?

тривиальный и немедленный ответ - разумеется да. выберите любое число b и считайте, что g(a)=b. но такое "решение" годится только для поколения, для которого слово "функция" означает что угодно. а старожилы привыкли, что функция задаётся формулой, и продолжение за пределы области определения должно быть "правильным"

возьмём, скажем, функцию

    f (x) = (x² - 1) / (x - 1) 
её область определения - там, где не равен нулю знаменатель, а при х=1 она не определена. как мы её доопределяем? трюком. если x≠1, то наша функция счастливым образом равна функции g(x)=x+1, которая уже определена всюду, и g(1)=2. вот мы и продолжили функцию за пределы области определения. "вычислили предел", выражаясь языком учебников матана

но это - трюкачество, а хорошо бы понять, что же мы в самом деле сделали. а сделали мы вот что

у нас была функция f, изначально непрерывная на множестве A={x|x∈ℝ,x≠1}, и мы доопределили её в точке a∉A так, что она осталась непрерывной. вот это уже задача, достаточно общо поставлена, из неё можно изготовить правильное определение

Def: функция f:A→B имеет предел в точке a∉A, если её можно доопределить равенством f(a)=b так, что она станет непрерывной в a. число b называется пределом

ни одного нового квантора, никаких новых эпсилон и дельт

как это работает? да предельно просто

вот пример, заради которого и нагородили всю теорию пределов

пусть у нас есть функция одного переменного f:(0,1)→ℝ. рассмотрим функцию двух переменных

    F (x , y) = (f (x + y) - f (x)) / y 
её область определения на плоскости (x,y) слегка замысловата, но во всяком случае ясно, что прямая {y=0} в неё не входит

мы назовём функцию F дифференцируемой в точке a∈(0,1), если функция F(x,y) имеет предел (т.е., допускает непрерывное продолжение) в точку (a,0) ∈ ℝ²

всё. все мучение на самом деле можно считать законченным. все пределы функций - если они есть - суть ни что иное, как её продолжимость туда, где она изначально не была определена, с сохранением (или приобретением!) непрерывности. остались специальные случаи

те, у кого сохранилась детская травма, скажут: а как же пределы последовательностей? где же там области определения и продолжение? "Потерпите, дети, дайте только срок"©


на первом курсе много подростков, которые могут отбарабанить определение производной, а понимания того, что это такое и чем она отличается от второй производной - нема

а чем она отличается? что такое вторая производная n-векторной функции от m переменных?

понятно, что для нормальных функций, которые задаются формулами, это хорошо. там, где функция определена, она и так непрерывна, а где неопределена - там работает ваш подход. но ведь есть странные функции, которые определены везде на отрезке, но во многих точках разрывны. и для них нужно иметь стандартное определение непрерывности

чем моё определение непрерывности нестандартно? да, есть функции, которые разрывны, да, есть функции, которые вопреки интуиции разрывны на больших множествах. таких монстров содержат в отдельных клетках в кунсткамере и показывают только отличникам

меня в свое время научили все эти кванторные конструкции воспринимать блоками по две штуки ("для любого эпсилон существует дельта"), пользуясь тем, что обычно они (∃ и ∀) чередуются. дальше получаются конструкции, напоминающие вложенные циклы, коих можно нагородить сколько угодно

кванторы в принципе могут повторяться, а не только чередоваться, но повторяющиеся кванторы можно "объединять", так что в самом деле смысл имеет именно количество чередующихся ∃ и ∀

теоретически любую логическую формулу можно разбить при помощи "подформул" на "легко усваиваемую" последовательность, в каждой из которых будет только один квантор. проблема в том, что некоторые из таких "подформул" будут соответствовать бессмысленным понятиям, польза от которых пропадает сразу после их включения в более сложную конструкцию. практиковаться с ними смысла нет, и даже названия специальные придумывать лень

вопрос про непрерывность и дифференцируемость: разные пределы справа и слева вы отнесли к "специальным случаям"?

математики, когда их никто не видит (на своих семинарах) позволяют себе расслабляться и ходить в исподнем. например:
Определение 1. хорошим множеством называется …. (идёт довольно громоздкое определение)
Определение 2. аттрактивным называется множество, такое, что при любом его разбиении на конечное число подмножеств, не менее половины из них окажутся хорошими
понятно, что Определение 2 получается из Определения 1 навешиванием слева нескольких дополнительных кванторов и значительно менее понятное. с другой стороны, для авторских целей нужны именно "аттрактивные" множества, а "хорошие" множества, отслужив свою роль промежуточной ступеньки, больше никогда не появятся. в письменных текстах такое хождение в исподнем не приветствуется, отчего много излишней головной боли происходит

что-то я очень мало видел способных с листа без предварительной подготовки (в маткружке или где-то еще) понять разницу между непрерывностью функции в каждой точке и равномерной непрерывностью - если обе записаны полностью на языке эпсилон-дельта до упора, без промежуточных понятий. или понять сходу разницу между пределом и супремумом последовательности - по их таким же формальным определениям

от лукавого все, поверьте бывшему бурбакисту. Эйлер и Рамануджан без всяких эпсилонов с дельтами математику продвигали. и очень, надо заметить, неплохо. читайте "Mathemagics" Пьера Картье

оба говорили на языках, в которых есть артикли. это сильно помогает ;-)

у нас в первом семестре было введено понятие "эпислон-допуск функции в точке", как раз для упрощения понимания, но я уже не помню, было ли это число или, что скорее, полный прообраз эпсилон-окрестности. еще мне нравится "простое" определение непрерывной функции на языке общей топологии: "прообраз любого открытого множества - открыт". тут всего один квантор, формально. но по сути, по-моему, вряд ли можно понять, какое это имеет отношение к непрерывности, если не разбираться до этого с эпсилон и дельта

>>> еще мне нравится "простое" определение непрерывной функции на языке общей топологии: "прообраз любого открытого множества - открыт". тут всего один квантор
формально такой способ годится, и особенно хорош для школьного кружка: так, маленькие дети, играя, легко воспринимают не особенно мотивированные определения и правила игры. но со студентами тогда пришлось бы очень долго практиковаться в абстрактных понятиях общей топологии (замкнутость, предельные точки, связность, компактность и т.д.). а понятия функции, значений, неравенств хорошо знакомы им со школы и "классово близки" с самого начала

заставьте студента внятно сформулировать что такое - "приближается сколь угодно близко". не важно что к чему, пусть даже туловище к стене. и автоматически получится определение предела

от Ньютона и Лейбница до Коши, который "внятно сформулировал" то, что вы хотите от студента, прошло сто лет. и эти сто лет далеко не самые глупые люди пытались придать смысл понятию "сколь угодно малый", но всякий раз что-то шло не так, хотя понимали они всё не хуже нас с вами


вернёмся к существованию предела функции как к возможности доопределить её в точке, раньше не входившей в область определения. нынешняя молодёжь, привычная к жизни в мире абстрактных множеств, может пожать плечами: "ну, биг дил, иногда можем, иногда нет, оба варианта рассмотрим по отдельности и дело с концом". но старожилы помнят, что они все эти пределы не от скуки вводили, а по нужде

напомним закорючечную формулу непрерывности функции в точке а:

    ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : f ( U[δ] (a))  ⊆  U[ε] (f (a))

разумеется,

    f (U[δ] (a)) = f (U[δ] (a) ∩ A)
т.е. вычислять значения функции можно только на множестве А, где она определена

а теперь представьте себе, что а - изолированная точка области определения: это значит, что есть такой кубик/шарик U[ρ] (a) размера ρ>0, что

    U[ρ] (a) ∩ A
  
состоит из единственной точки а самой. тогда при всех δ<ρ определение непрерывности выполняется автоматически, каково бы ни было значение f(a)

это значит, что в любой изолированной точке любого множества любая функция автоматически непрерывна

хорошенькое дело! потратить столько сил на то, чтобы обнаружить определение и очистить его от мусора, как выясняется, что оно "всегда выполняется"?

а ответ простой. вся теория пределов имеет смысл только для тех точек, которые не изолированы от изначальной области определения. что это означает? да только то, что в любом шарике/кубарике вокруг а - ОНА ТАМ НЕ ОДНА ТАКАЯ,

        ∀ ρ > 0 ∃ x ∈ A : x ∈ U[ρ] (a) AND x ≠ a
(сама точка а может принадлежать А или нет, нам всё равно)

определение в два квантора, всё всем по зубам, осталось придумать имя. вообще-то чаще всего такие точки называются предельными точками для множества А, но уж больно мы тут часто этими самыми пределами балуемся, давайте что-нибудь более нейтральное использовать: "точка сгущения" или "точка накопления" для А

наши открытия к этому моменту сводятся к следующему:
- теорию пределов можно строить лишь в непосредственной близости от области определения функции;
- существование предела в точке а функции f:A→ℝ <=> а - "точка накопления" для А

это неплохо согласуется с нашими прошлыми (немногочисленными) примерами существования пределов у рациональных функций: если функция задана дробью, в знаменателе которой стоит нетривиальный многочлен от одного или нескольких переменных, то множество его нулей не принадлежит области определения, но каждый такой нуль является "точкой сгущения" для ненулевых значений знаменателя

вернёмся к разным множествам (хотите - на прямой, хотите - на плоскости, чтоб веселее было) и посмотрим, - а как вообще могут выглядеть для них "точки сгущения"?

на первый взгляд, речь идёт о разнице, какой знак мы употребляем для описания этих множеств, </> или ≤/≥: если множество (круг, полуплоскость, интервал, отрезок и т.д.) описывается "строгими" неравенствами, то его точки сгущения получаются, если строгие неравенства заменить на нестрогие

это примерно правильная интуиция, но она начинает сбоить, если мы рассматриваем множества менее "школьной" природы. но всё же давайте попробуем

во-первых, все конечные множества не имеют вообще точек сгущения (подсказка - все попарные расстояния между ними строго положительны, а минимум из конечного числа положительных чисел тоже положительный). но и бесконечные множества могут не иметь вовсе точек сгущения. хотите пример - пожалуйста: целые или натуральные числа на прямой. у них нет точек сгущения вовсе

в этот момент читатель должен поймать товарища лектора на вранье, сиречь, противоречии. с одной стороны, говорить про пределы функций имеет смысл только в точках сгущения их области определения. с другой стороны, любая числовая последовательность {a[n]: n∈ℕ} по определению есть функция a:ℕ→ℝ, a(n)=a[n]. но если у ℕ нет точек сгущения, то и никаких пределов у последовательностей быть не может. а чем же нам полсеместра пудрили мозги? противоречие есть, но оно исключительно техническое

у множества ℕ предельных точек в самом деле нет, зато они есть у множества 1/ℕ={1/x : x∈ℕ}, которое почти ничем не отличается от ℕ, если использовать его в качестве индексов для элементов последовательностей. более того, у множества 1/ℕ есть ровно одна точка сгущения, и вы её непременно угадаете с трёх раз. а это значит, что если мы рассмотрим функцию

    a* : 1/ℕ → ℝ
    a(x) = a[1/x]

то есть ровно одна точка x=0, которая является точкой сгущения для dom a . конечно, 0∉(1/ℕ), поэтому вопрос о том, продолжима ли функция а в ноль по непрерывности, - зависит от последовательности и абсолютно нетривиален. разумеется, он эквивалентен вопросу о существовании "классического предела при n→∞", избавляя от необходимости "придавать смысл" этой лежачей восьмёрке

иными словами, составители учебников, которые начинают разговор о пределах с пределов числовых последовательностей, о нашем же благе радели. они искали простейший контекст, в котором можно было бы говорить о продолжении по непрерывности в точку "n=∞", единственную "несуществующую" (сбежавшую в бесконечность) точку накопления для множества ℕ, не имеющего настоящих точек накопления. а то, что построения в общем случае более естественны, - "так это следующий лектор в следующем семестре пусть будет потеть"

этот поучительный пример подсказывает, какие ещё могут быть пределы "в специальных случаях":

• предел функции "на бесконечности":
вместо функции f(x) надо рассмотреть функцию f*(x)=f(1/x)

• бесконечные пределы:
говорим, что f имеет предел "бесконечность", если 1/f(x) имеет предел, равный нулю
(при сохранении всех остальных параметров)

• "односторонние пределы": специфически одномерный специальный случай,
бывает так, что точка a∉A является точкой накопления для каждого из двух множеств
A ∩ {±(x - a) > 0}, и пределы "слева" и "справа" оба существуют, но не равны друг другу

• для функций нескольких переменных есть гораздо больше возможностей иметь "частичные пределы", подъезжая к точке а вдоль разных путей


из общих соображений думаю, что студенты бывают двух сортов: одним математика интересна сама по себе (так у них мозги устроены), а другим - лишь в той мере, в которой она помогает отвечать на жизненные вопросы. чтобы сделать матанализ доступнее для студентов второго типа, я бы предложил перед тем, как определять пределы и прочие эпсилон-дельта строгости, сначала объяснить за полчаса, какие трудности возникают при попытке вычислить наклон касательной к графику функции или определить понятие мгновенной скорости

разумеется. всю бодягу с пределами придумал Коши, чтоб объяснить, как за сто лет до него Ньютон и Лейбниц "на глазок" считали производные. но целью данного опуса было не объяснение того, зачем нужны пределы, а как их объяснять максимально доходчиво, с минимумом эпсилонов и дельт

определение производной функции одного переменного через непрерывность связанной с ней функции двух переменных - очень развлекательно! в смысле что для определения нового свойства (производная) одного объекта (функции одного переменного) используется известное (ранее определенное) свойство более "сложного" объекта (функции двух переменных). то есть определение для более простого объекта через более сложный. определение непрерывности функции через вложение образа окрестности точки в окрестность образа самой точки выглядит как неизменность (ну или вложимость) результата от изменения порядка применения f and U как операторов, действующих на точку. такое определение кажется апеллирует (или пытается инициировать) к интуиции отображения (преобразования/деформации) "куска" из области определения функции в "кусок" области значения, может одной размерности а может и разных. т.е. в конце концов, как первый шаг, к интуиции растягивания/сжатия резины (как минимум 2х мерной) без разрывов и тд: по образу куска из области значений надо подобрать кусок из области определения, который же внутрь куска из области значений и отобразится. значит наверное, лектор - тополог и готовит студента к топологическим задачам

стандартное определение предела предела последовательности избегает прямого апеллирования к символу бесконечности, но плата за это - много кванторов (сразивших меня наповал в школьном учебнике). вы уменьшаете количество кванторов но приходится дополнительно аккуратно разбираться с бесконечностью спрятанной в определении точки накопления. что кажется более полезным в стандартном определении, что кванторы приходят вместе с неравенствами для епсилон/делта. а вот неравенства очень полезный инструмент в анализе, рядах и уравнениях. ну то есть , вместо топологии, здесь путь к численному анализу. если помучиться с этим определением и применении неравенств в разных задачках, то потом равномерная сходимость рядов определяется аналогично и в тех же терминах и быстро. а такие ряды уже можно почленно дифференцировать и Фурье ряды и численные расчёты уравнений следуют. может быть поэтому епсилон/делта были и выбраны для прикладных математиков/физиков/инженеров. то есть ваш пример - хорошая иллюстрация где нематематики и математики начинают расходиться. и так им обоим (обеим) и надо ! по видимому.. ну а кто из них отвечает на жизненные вопросы… ну оба… только вопросы у них разные :) вопрос как вводить производную в школе и как далеко идти в формализации остаётся открытым но это конечно за рамками этой вашей записи да видимо и не стоит дискуссии, уж очень тема неопределённая

>>> вопрос как вводить производную в школе и как далеко идти в формализации
я только что отписался "Объясниловкой", в которой даётся один из вариантов, как вводить производную в школе. для полиномов она вводится абсолютно строго, а других функций, по большому счёту, в школе и не проходят строго. тригонометрические, экспоненциальные и логарифмические функции определяются при помощи дифференциальных уравнений, и именно так их надо вводить, не стесняться

а можно пример изолированной точки области определения? че-то не могу себе представить простую функцию с такой областью определения

например, функция, определенная только при целых х. скажем, n!

можно и "формулой": скажем для примера, корень квадратный из (x² + y²) на плоскости

о, богатая идея! открывается большой простор для незатейлевых выдумок, вроде корня из (sin{f(x)}-1)

идея богаче, чем кажется. класс множеств, которые можно описать при помощи знаков <, > =, +, -, *, /, их сложений-пересечений-дополнений и проекций, (т.н. "полуалгебраические" множества), содержит в себе самых разных зверей - точки, линии, фигуры, …, замкнутые и нет, ограниченные и нет (например, полупрямая). но вот чего там нет, - это бесконечных множеств, состоящих ТОЛЬКО из изолированных точек. например, сколько не вертись, а множество целых точек на прямой никак не получить, даже если по дороге выходить в 10-мерное пространство, а потом проектировать. так что хочешь "алгебраической формулой" записать множество ℤ, - изволь к синусам на поклон, без них - никак

что бы осознать важность такого представления, надо быть глубоко в теме! для простого человека это, на мой взгляд, лишь забавная конструкция

да, эта деятельность относительно свежая (меньше 50 лет) в математике. но всё ещё не сказавшая своего веского слова. это к вопросу о том, как далеко современная математика от того, что "проходят" (в университетах, школах, …). у "технарей" - лет двести, у студентов мехматов - лет сто. у обычного "человека с улицы" - пара тысяч лет :-(

спасибо, принимается. но это уже сложно; т.е. функции такие я себе представить могу в том смысле, что можно какие-нибудь свойства ансамбля n фермионов в потенциальной яме ими описывать, но вот причем тут пределы (при n стремящемся к чему-либо кроме бесконечности), уже сложно. видимо, проблема (в понимании) глубже, потому что для человека, последний раз пределы видевшего на младших курсах универа, предел функции привычно считать где-то, где эта функция не определена или хотя бы не непрерывна; если она там непрерывна (а значит - и определена), чего предел-то считать. хотя допускаю, что могут быть забавные конструкции, где это не так

в тексте именно так и сказано!
>>> а ответ простой. вся теория пределов имеет смысл только для тех точек, которые не изолированы от изначальной области определения

да, это верно, но тогда я запутался. вся конструкция выглядит искусственно. если мы с самого начала говорим о пределе как о возможности доопределить её в точке, раньше не входившей в область определения, то зачем потом делать оговорку о точках, которые (пусть и изолированно) входят в область определения?

исключительно в угоду молодому поколению, для которого с областью определения можно делать что угодно, - расширять, сужать и т.д., поскольку это первичное понятие (наряду с функцией). старожилы под функциями очень долго понимали только "явно написанные формулы", и игры с расширением/сужением области определения были им недоступны

производные от степеней тем и примечательно просты, что там расширение области определения можно получить при помощи тождественных преобразований. предел (sin x)/x уже хрен так получишь. но там зато работает трюк Ньютона: sin x описывает колебания маятника, т.е., решение уравнения y˝=-y. поищем решение этого уравнения в виде степенного ряда, как в случае с экспонентой - и, о чудо! мы его найдём,

    y = x - x³/6 + ... 
а вот его уже легко можно поделить на x и вычислить значение частного при x=0, - ответ будет единицей

конечно, сегодняшним студентам так не расскажешь, придётся по спирали курс матана пересказывать несколько раз, перемежая его байками про комплексные переменные, сходимость степенных рядов и пр. в результате умение "анализировать функции", которое требовало от умов уровня Ньютона, Эйлера, Бернулли и т.д., многих лет размышлений и практики, сегодня укладывается в один семестр. беда в том, что реально понимают эти вещи очень немногие студенты, а остальные мучительно запоминают, в каком порядке идут эпсилоны и дельты

я попытался проиллюстрировать эту нехитрую идею на примере понятия предела, о которое спотыкаются поколение за поколением студентов. разумеется, не я первый делаю такую попытку: когда я ещё ходил пешком под стол, А.А.Кириллов (с благословения И.М.Гельфанда) написал брошюру "Пределы", где понятие предела числовой последовательности вводилось в терминах "ловушек" и "кормушек". "кормушкой" назывался интервал, в который попадает бесконечное число членов последовательности, а "ловушка" - интервал, вне которого вылезает лишь конечное число её членов. очевидно, что для бесконечной последовательности всякая ловушка является кормушкой, но не наоборот. поиграв с поведением ловушек и кормушек при увеличении/уменьшении их размеров, читатель оказывается готов к восприятию сразу нескольких понятий (предел, точка сгущения, верхняя/нижняя грань и т.д.), которые при другом способе знакомства могут вызвать затруднения. "мой" подход был более "генетический"/исторический, в котором промежуточное понятие (продолжение функций по непрерывности) возникало естественно и, более того, продолжает жить даже после того, как оно сыграло предназначенную ему роль


необходимость в понятии "предела" возникла не тогда, когда первый в истории препод матана попросил первого же в истории студента матана вычислить предел последовательности n⁴*2⁻ⁿ, а гораздо раньше

Ньютон, который едва ли не впервые в истории заговоривший о функциях (он их называл "флюентами") и их производных ("флюксиях"), должен был объяснить, как одни связаны с другими. поскольку независимая переменная для него почти всегда была "временем", речь шла о понятии (мгновенной) "скорости". понятие средней скорости Ньютону было прекрасно известно, вопрос был именно о том, как надо понимать мгновенную скорость, т.е., придать смысл отношению (f(t+h)-f(t))/h, когда h=0. проблема была в том, что Ньютон был не только физиком, но и математиком ("геометром" в тогдашней терминологии), и не мог позволить себе халтуры. если h=0, то написанное отношение не имеет смысла: 0/0 не определено никак и никогда. если же h не равно нулю, то отношение зависит от h. какое конкретно значение взять? но в любом случае ясно, что отношение будет не мгновенной, а средней скоростью на (маленьком) интервале, а мгновенная скорость прекрасно может меняться на нём

коллега и соперник Ньютона Лейбниц, столкнувшись с той же проблемой, пошёл по пути чистой фантазии. он предположил, что наряду с "обычными" числами (напомню, - кроме рациональных чисел и корней, никаких других чисел ни тот, ни другой не знали), есть ещё невидимые глазу "бесконечно малые", или по-другому - "дифференциалы", которые исчисляются по специальным арифметическим правилам, нарушающим все правила арифметики (Лейбниц был философом, ему было проще плевать на противоречия)

Ньютон, который всё же был физиком, пошёл по пути trial and error. посмотрев на то, как ведут себя простейшие функции, он обобщил примеры. например,

    если f (t) = t³,
    то (t+h)³ = t³ + 3 * t² * h + 3 * t * h² + h³
(узнаёте бином Ньютона?). вычитая t³ и поделив на h, получаем для нашего "мистического" отношения формулу
     3 * t² + 3 * t * h + h²

а это уже совсем другое дело: никаких неприятностей эта "упрощённая" формула при h=0 нам не обещает, а при подстановке даёт чудесный ответ 3*t². проблемы исчезли, даже непонятно, что же нам мешало-то. наоборот, понятно, что этот же "трюк" даёт ответ для любой степени tⁿ, равный n*tⁿ⁻¹. заметим, что "флюксия" суммы флюент равна сумме отдельных флюксий, и умножение функции на константу тоже легко учесть, - и вот вам в одной строчке готовый к употреблению матан для всех полиномов

но полиномами мир не ограничивается: скажем, уже даже деление не сводится к сложению, вычитанию и умножению, т.е., формулу для флюксии частного надо было бы отдельно открывать

то, что после этого сделал Ньютон, - сродни авантюре Колумба. Ньютон стал рассматривать функции, представленные степенными рядами, которые суть не что иное, как полиномы бесконечной степени. оказалось, - он был прав на 99.99%! до открытия функций, которые не представляются такими рядами, пройдёт ещё лет 150

хотите знать, как он лихо расправился с делением? да при помощи геометрической прогрессии! скажем, как вычислить флюксию от

    f (x) = 1 / x
для начала заметим, что вычислять её в нуле никакого смысла нет, там и флюенты-то самой нет. так что пусть a≠0 - какая-нибудь другая точка. сдвинем в неё начало координат, сделав замену x=a+s. отношение
  1 / (a + s) = а⁻¹ * 1 / (1 + s/a) = 
  а⁻¹ * (1 + (s/a) + (s/a)² + (s/a)³ + (s/a)⁴ + …)
есть степенной ряд по s, и флюксию от него надо считать почленно. желающие потом могут проявить своё искусство суммировать ряды и убедиться, что при s=0 ответ будет 1/a²

в общем, за пару лет сэр Исаак разработал практически новое исчисление, открыл систему мира, в которой основные законы выражаются дифференциальными уравнениями (соотношениями между функциями и их производными) и способ решения этих уравнений

например, уравнение "производная неизвестной функции равна ей самой" может быть записана в виде тождества между двумя неизвестными степенными рядами,

      a₀ + a₁ * x + a₂ * x² + a₃ * x³ + …
и его почленной производной
      a₁ + 2 * a₂ * x + 3 * a₃ * x² + …
приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях и положив, скажем, a₀=1, мы получаем удивительную функцию, известную задолго до Ньютона. узнаёте её?

вообще, завершая эту объясниловку, я хотел бы подчеркнуть: задачи на поиск предела числовых последовательностей, заданных явными формулами, - почти все придуманы специально для экзаменов по матану . они крайне редко возникают именно в таком виде. почти всегда приходится суммировать ряды, т.е., находить пределы частичных (конечных) сумм, для которых явные формулы невозможны. но исторически надо понимать, что всё же задачи поиска предела возникли при попытке объяснить, что такое производные (а также интегралы и пр.)


>>> мы получаем удивительную функцию, известную задолго до Ньютона
а откуда она взялась задолго до Ньютона? мне казалось, что она как раз из дифференциальных уравнений вылезает

логарифм и экспоненту придумали как таблицы, сопрягающие "дешёвое" (быстрое, лёгкое) сложение многозначных чисел с "дорогим" (медленным, трудным) умножением. первая в истории функция, значения которой были в самом деле заданы таблицей "икс - эф от икс"

как это ни удивительно, но это не совсем так. Непер определял логарифмы кинематически. Непер рассматривает две точки М и N, движущиеся одновременно по двум прямым, причём движение М равномерно, а движение N таково, что скорость N пропорциональна её абциссе, абцисса М тогда по определению логарифм абциссы N (© Bourbaki)

не могло быть никаких аккуратных дифуров без понятия производной, а она была крайне интуитивна. Непер не лез в идеологические тонкости, а просто взял арифметическую и геометрическую прогрессии с очень малым шагом и составил соответствие. выбранный шаг позволял ему гарантировать превращение сложение в умножение и обратно с точностью до последней цифры (ЕМНИП, Непер оперировал не с десятичными дробями, а с целыми числами, перенеся запятую разрядов на 7-8 направо и обрезая хвосты)

смотри: https://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala/page/22 стр. 23-26.

стою на своём. Непер выписал друг под другом две прогрессии, арифметическую и геометрическую, с очень маленькой разностью ε / очень близким к единице знаменателем 1+ε. автор лекций замечает, что это фактически соответствует численному интегрированию интуитивно понимаемого дифференциального уравнения. интуитивно интегрировать умел Архимед, а касательные строить - Аполлоний. но понятие дифференциального уравнения как закона, управляющего движением тел, ввёл именно Ньютон, не подозревая, что он тем самым ставит задачу Коши

динамическая аналогия. скорость, равная расстоянию. как это мог использовать для практических вычислений человек, имевший исключительно интуитивное понятие о скорости? который только-только освоил десятичные дроби?

дифур там появляется на 26 стр., а на 23 автор пишет, что Непер думал про точку движущуюся по прямой с соответствующей скоростью и т.п. фактически он конечно выписывает две последовательности, как ты и написал. но и твой собеседник прав (если верить ссылке) написав, что рассуждение было кинематическим с двумя точками движущимися с соответствующими скоростями

я извиняюсь, а как этот Изя до своего бинома дотюкал?

а дело в том, что это известный misnomer, неправильно названный объект
под биномиальным разложением обычно имеют в виду коэффициенты степени (1+x)ⁿ при натуральных n , которые получаются после раскрытия скобок и приведения подобных членов. для них есть простая комбинаторная формула через факториалы, и если их выписать в виде треугольника для n=0,1,2,3,4,… то этот треугольник будет обладать массой замечательных свойств. вот только называется он "треугольником Паскаля" по имени математика на 20 лет старше Ньютона (и очень молодым умершего)
а собственно "бином Ньютона" - это формула для разложения выражения (1+x)ⁿ в бесконечный степенной ряд, которое имеет смысл при всех вещественных (т.е. в том числе и нецелых и отрицательных) значениях n. как Ньютон его "вывел" - я не помню, не исключено, что при помощи рядов для логарифма и экспоненты, но может, и напрямую