черновики


число, отвечающее корню полинома, может быть построено с помощью циркуля и линейки (конструктивно), только если группа Галуа перестановок корней этого полинома имеет размер равный степени двойки

например, для неприводимого полинома c рациональными коэффициентами x³ - 2 = 0 :

        ω₁ = (-1 + i √3) / 2 = ω₂²
        ω₂ = (-1 - i √3) / 2 = ω₁²

пусть ω = ω₁ тогда

    x₁ = ³√2
    x₂ = x₁ . ω
    x₃ = x₁ . ω²

и тогда

                       ℚ (x₁, x₂, x₃)

             |           |          |         |
           A₃|         A₃|        C₂|         |
             |           |          |         |
                                              |
          ℚ (x₃)      ℚ (x₂)     ℚ (x₁)       |S₃
                                              |
             |           |          |         |
           C₂|         C₂|        A₃|         |
             |           |          |         |

                            ℚ

     S₃ = { e ,  (x₁,x₂) , (x₂,x₃) , (x₁,x₃) , (x₁,x₂,x₃) , (x₁,x₃,x₂) }
     A₃ = { e ,  (x₁,x₂,x₃) , (x₁,x₂,x₃) } 
     C₂ = { e ,  (x₁,x₂) } = { e , (x₂,x₃) } = { e , (x₁,x₃) }                 
размер группы перестановки корней S₃ равен 6, не является степенью 2 и значит числа x₁ x₂ и x₃ не могут быть построены с помощью циркуля и линейки