ряды и последовательности


  • последовательности
  • ряды
  • ряд Тейлора
  • ряд Тайлора и частные производные
  • бином Ньютона
  • правило Лопиталя
  • теорема Штольца

  • Быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее.

    Задача про Ахилла и черепаху не была вопросом о том, обгонит или не обгонит: очевидно, что обгонит не позже, чем … и не раньше, чем … (подставьте числа). Не была она и вопросом о том, когда точно Ахилл её обгонит: составляем пропорцию между путём, пройденным Ахиллом до встречи, путём черепахи и отношением их скоростей. А уж пропорции - это было греческое всё: они их не только составлять любили, но и решать прекрасно умели. Греческое замешательство вызывал тот факт, что конкретное число (решение пропорции) можно было, руководствуясь описанными Зеноном соображениями, представить в виде бесконечной суммы.

    Древние греки очень боялись бесконечности. Бесконечность всегда появлялась в форме “потенциальной бесконечности”, возможности добавить ещё одно число, большее, чем все перечисленные. В этом смысле “бесконечный ряд с конечной суммой” для них был примерно как зрелище осёдланного дракона, на котором храбрец исполняет фигуры высшего пилотажа. Наверняка кто-то из греков задумался, - а что, собственно, такого примечательного в дроби 1/9, что она так лихо усмиряет бесконечную сумму? Греки понимали, что на самом деле все рациональные числа обладают таким замечательным свойством: каждое из них может быть представлено суммой бесконечной геометрической прогрессии (“разложение в периодическую десятичную дробь). А помимо рациональных чисел, других греки и не знали. Да, Пифагор обнаружил, что корень из двух - не есть рациональное число, т.е. ”не число вовсе" по его понятиям. Казалось бы, нет числа - нет проблемы, но квадрат-то точно был, это каждый сам мог увидеть. И Пифагор (а вслед за ним) пошли по пути экономии мысли и стали латать только ту дырку, которую обнаружили: если чисел нет, тогда есть отрезки, которые можно построить за конечное число шагов при помощи циркуля и линейки (других построений они не знали, а про бесконечное число шагов никто даже и не заикался). Из этого выросла геометрия, включавшая в себя конические сечения с их невероятно красивыми свойствами. Сегодняшнему первокурснику можно было бы сказать, что греки научились строить все квадратичные иррациональности, т.е., все отрезки, длины которых удовлетворяют квадратным уравнениям с целыми коэффициентами (и их итерациями). Пифагор мог бы праздновать триумф - в основе математики всё-таки лежат целые числа! Но греки наткнулись на три знаменитые задачи - о трисекции угла, удвоении куба и квадратуре круга. Первые две сводились к решению кубических уравнений (что невозможно было сделать циркулем и линейкой), а третья вообще принадлежала к совершенно иному миру. И к этому моменту драйв у греков закончился

    Вернёмся после этого лирического отступления про числа к парадоксу про Ахилла. Представление числа бесконечной суммой позволяет “предъявить” гораздо больше чисел, чем рациональные. Если б Ахилл бежал не равномерно, а равноускоренно, момент встречи определялся бы всё ещё квадратичной иррациональностью, хоть сумма и выглядела бы по-другому. А если он бежал бы по ещё более сложному графику? А если вообще без графика, в каждый момент решая, с какой скоростью бежать дальше? Мы получим для момента встречи “число”, представляемое какой-то бесконечной суммой, но представить это число ни в каком конечном виде нам не под силу (мы ведь даже кубичным иррациональностям отказали в полноценном гражданстве). Иными словами, самый страшный враг, какой только бывает, - актуальная бесконечность, “бесконечная десятичная дробь”, - пролезает в математику, а мы не знаем, как с ней оперировать.

    Был один храбрец, который рискнул наплевать на эту опасность и осторожно объехать её на кривой козе. Архимед его звали. Он, конечно, знал определение числа (по Пифагору), но пользовался термином гораздо более свободно. И сразу стал творить чудеса, например, вычислять площади фигур и объёмы тел при помощи трюка, который неблагодарные потомки назвали принципом Кавальери. Сегодня мы его формулируем так: если есть две функции на отрезке, то интеграл их суммы равен сумме интегралов (что может быть очевидней, если знать, что такое интеграл?). Архимед не знал определения интеграла, но понимал, что если одна фигура вписана в другую, то и объём первой не больше, чем объём второй (этого утверждения достаточно, чтобы со всей греческой аккуратностью доказать утверждение об объёмах, эквивалентное утверждению об интегралах). Как это понимание связано с парадоксом Ахилла? А очень просто, через определение объёма (или площади). Мы со школы знаем, что такое площадь: это то, что есть у любой фигуры, неотрицательное, суммируется, если мы составляем из двух фигур третью без перекрытия (или разрезаем большую на две меньших). Ах да, площадь единичного квадрата равна 1. Пользуясь этими “аксиомами” (привет Евклиду), мы легко выводим формулы для площадей прямоугольников, треугольников, многоугольников… и… и? И останавливаемся. Площадь окружности мы никак не можем найти: ну нельзя её разрезать на треугольники, хоть тресни. Остаётся косвенный путь: приближать окружность изнутри и снаружи правильными многоугольниками, вычислять их площади (никаких проблем, кроме вычислительных) и смотреть, как сближаются две последовательности чисел. Но древний грек имел бы, что возразить: окей, мы знаем, что если один выпуклый многоугольник целиком лежит внутри другого, то площадь одного меньше площади другого, это теорема. Но доказать такую теорему для многоугольника, вписанного в окружность, мы не можем по тривиальной причине: мы не знаем, что такое площадь круга. Такого числа нет! Кроме шуток, его нет ни среди рациональных, ни среди алгебраических чисел (между прочим - довольно трудный факт, только в XIX веке доказанный). Так чего же мы собираемся доказывать?

    Короче, мораль всей истории, стóя на одной ноге.

    Парадокс Ахилла и черепахи был толстым намёком грекам на то, что их числовая система (как мы сказали бы сегодня) - сильно неполна, и её может не хватить для логически стройного построения математики (так и оказалось впоследствии). По счастью, последующие Тёмные века ослабили требования к кошерности математических рассуждений: если какая-то формула работает, - хорошо (Тарталья), будем ей пользоваться. Мы не знаем, что такое производная (Лейбниц), но знаем, что производная от икс в седьмой - семь икс в шестой, а коли так, мы знаем производные всех многочленов, а значит - и всех бесконечных степенных рядов (Ньютон). А ну-ка, подавай сюда дифференциальные уравнения, мы их сейчас начнём одно за другим решать (Бернулли, Эйлер…).

    Comments

    То, что прогрессия имеет (может иметь) конечную сумму 0.1111111….=1/9, греки прекрасно знали (эта сумма находится решением линеиного уравнения). “Парадокс” в том, что реальность не полностью укладывается в обыденные наглядные представления. В них импульс или скорость определяются стробоскопически, через измерение координат в разные моменты времени. При таком определении движение кажется последовательностью состояний покоя. Только в таком понимании парадокс Ахиллеса существует. А на самом деле импульс - независимая характеристика состояния, несводимая к координатам, даже в классической механике. В квантовой механике эта несводимость ещё прозрачнее и проще. Греки гениально уловили проблему. Осталось только изложить так, чтобы было понятно школьнику. Но как? То, что уравнения классической механики - именно второго, а не первого (или не третьего) порядка - факт, имеющий божественную природу и, боюсь, не объясним никому. Почему лагранжиан - квадратичен по скоростям? Так угодно было создателю …

    Я вообще парадокса не вижу, за то время, что Ахиллес пробежит один шаг, черепаха и одного не пробежит, как бы за один шаг до того, как он ее обгонит условие заканчивается. То есть парадоксален-то тут только непонятно откуда взявшийся и очевидно неправильный вывод. Мне в свое время очень понравилась реакция десятилетнего мальчика: “Этот грек был идиот”. Выросши в профессора математики, он уточнил: “Время не остановится оттого, что кому-то вздумалось перечислять члены сходящегося ряда”. Если бы передо мной стояла задача объяснить школьнику, я бы выбрал вторую фразу, дипломатично опустив первую.

    Этот же парадокс можно и без движущейся черепахи :) Попробуйте поднять вашу руку ко лбу, чтобы изобразить рука-лицо :) Сначала на 1/2 потом на 1/4 и т.д. :) Что, не получается поднести руку к лицу? :) Не беда. Это видимость. Пространство и время не делятся до бесконечности, как в этом парадоксе. Физика это вам не математика. В физике есть расстояние Планка :)

    >>> Физика это вам не математика. В физике есть расстояние Планка :)
    Неожиданно глубокое наблюдение, которое, если вдуматься, обессмысливает всю классическую математику. Однако ж она до этого успела принести кое-какую пользу.

    Ну если ответ рациональный, как всегда будет при условии равномерного движения с рациональными скоростями и начальными координатами, то у греков не должно было быть трудностей - ответ прямо вычисляется. Но вот если Ахилл бежит, скажем, равноускоренно, то для древнего грека возможная алгебраическая иррациональность ответа была бы серьезной проблемой. Потому что с одной стороны Ахиллес явно обгонит черепаху; а с другой стороны теорему о промежуточном значении греки даже и сформулировать не могли, за отсутствием понятия действительного числа.

    Бинго! Основная мысль передана точно.

    Я со своей колокольни буду, конечно же. Для студентов 1 года парадокс на самом деле про то, что можно наговорить редкостной ерунды, чем, собственно, греки и занимались, вместо того, чтобы написать уравнение движения (вы же знаете, что такое уравнение движения? не помните? как не помните? за это 0 баллов на годовом тесте), и по нему посчитать. После того, как это будет сделано и результат будет сравнен с экспериментальным, только после этого можно заниматься философствованием (если вино останется).

    Хорошее приближение к правильному ответу.

    Гм. Для меня тут никогда не было парадокса, а был популярный рассказ про сечения (которые дедекиндовы, а не розгами). Ну или про эквивалентные вещи. Точнее, про то, что греки их не знали, а нужду чувствовали.

    Мне кажется, тут все-же нельзя рассматривать в рамках чисто математических понятий. Комментарий по-делу есть у Гильберта и Бернайса. Греки не разделяли математику и физику. На самом деле, конечно, классическая кинематика в малых масштабах не работает и на точность измерений есть принципиальные ограничения. Тут уже упоминалось о планковской длине. Но на уровне физики это стало понятно только в XX веке.


    … и заставили черепаху убегать от неподвижной стрелы, пущенной Ахиллом

    Для общей пользы хорошо бы, чтобы те, кто действительно хочет узнать ответ, вначале посмотрели бы исходную формулировку (в пересказе Аристотеля и Симпликия). А то ведь приходилось слышать что-то в таком духе: “Прежде, чем пролететь весь путь, стрела должна пролететь половину; прежде, чем пролететь половину - пролететь четверть и так далее. Ей просто не хватит времени пролететь через бесконечно много положений в пространстве”. Для грека слово “бесконечный” было табуировано, поэтому подобное словблудие встречено было бы одним словом σκατό.

    Я уж не стану приставать к читателям, а сразу попытаюсь объяснить воображаемому школьнику, про чтó (с моей оценочной точки зрения) парадокс Зенона про летящую стрелу. Если перевести философскую тягомотную риторику на простой язык, то Зенон недоумевает: как состояние движения может распасться на череду (пускай и бесконечную, - он не уточняет) состояний покоя? Разумеется, подвох здесь в термине “состояние”. Что он означает в применении к объектам? под состоянием резонно понимать не все вообще мыслимые показатели а только то, что существенно для прогноза будущего.

    Иной раз трудно предсказать, какие характеристики мы должны включать в понятие “состояния”. Нам кажется, что если мы знаем точку, откуда запущена стрела, и её скорость. то мы узнаем, где она будет в любой последующий момент времени. Но если допустить, что стрела сделана из какого-нибудь радиоактивного изотопа и имеет закритическую массу, то наш прогноз будет нерелевантным, поэтому о “состоянии” очень сложных объектов лучше говорить, прикусив язык. Чтобы покончить с этим словоблудием, давайте рассмотрим простейший вариант стрелы Зенона: “материальная точка в трёхмерном евклидовом пространстве”. Это настолько примитивный объект, что его состояние в принципе не может требовать многих параметров для своего описания. “Положение” (сиречь три декартовы координаты точки) - очевидная составная часть. Масса. Внутри точки ничего спрятано быть не может, поэтому если что и есть, так это параметры, описывающие положение точки в пространстве. (Уж как мы их мерить будем, - дело десятое). Эти параметры всем прекрасно известны и называются “скорость” (первые производные координат), “ускорение” (вторые производные), “рывок” (jerk, третьи) и т.д. Однако! Даже у такого простого объекта - бесконечномерное пространство состояний! Неужели вся эта цифирь действительно нужна, чтобы предсказать поведение стрелы в будущем?

    К счастью, нет. Спасибо Ньютону, - хватает координат и скоростей. Потому, что вторые производные - ускорение - по второму закону Ньютона равны (с точностью до массы) - действующим внешним силам. Внешние силы - это описание окружающего мира как если б нашей частицы-стрелы там не было вообще. А это значит, что все старшие производные однозначно определяются положением и скоростью стрелы, а значит, соответствующих шесть чисел достаточно, чтоб предсказать будущее. Можно вообразить себе силы, зависящие от старших производных, но в такие миры человечество вроде бы пока не заносило. И эти шесть чисел - независимы: в одной и той же точке пространства можно находиться с разными скоростями. Можно “покоиться” (нулевая скорость), можно иметь любой вектор. Зная полный набор - можно предсказать будущее (спасибо Ньютону ещё раз за то, что его уравнения - рациональные, и удовлетворяют теореме единственности). Зная лишь часть - нельзя сказать ничего. Так что в формулировке Зенона порочно описание промежуточных состояний как “состояний покоя”. Положение есть, а скорость - ненулевая. Было бы в самом деле состояние покоя - точка так и оставалась бы там, где была.

    Математики обычно любят рассматривать задачи, в которых под (фазовыми) “координатами” понимаются все компоненты состояния. Скажем, если мы рассматриваем не движение среды, а уравнения химической кинетики, то там достаточно знать только концентрации реагентов, а скорости их изменений несущественны (это выражается в том, что уравнения хемодинамики, по крайней мере, в относительно простых случаях) имеют первый порядок (а так-то можно вообразить себе дифференциальные уравнения с интегральным запаздыванием, если есть скамеечка, где посидеть отдохнуть можно). Вот там никаких тебе стрел Зенона в принципе быть не может: если ты оказался в какой-то момент в состоянии покоя, там тебе и сидеть во веки веков, никуда не деться.

    А вот почему наша (классическая) механика описывается уравнениями второго, а не, скажем, третьего порядка, - вопрос к Всевышнему. Насколько мне моё физическое невежество судить позволяет, нет каких-то метафизических причин, почему законы Ньютона описываются дифурами второго порядка, да ещё (если пренебречь трением) - с очень нетривиальной дополнительной структурой.

    Bottom line. Стрела Зенона - выстрел в довольно случайную цель плюс подмена понятий “состояние” на “геометрическое положение”. Не о чём говорить, если разобраться. Разговоры о дискретной структуре пространства-времени - нерелевантны.

    Comments

    Думаю, что сегодня любой математик, обнаруживший функционал, для которого известное уравнение матфизики будет описывать экстремум, окажется прославлен и вознесён. попробую пояснить на пальцах. Вы решаете некоторую задачу, и в конце приходите к уравнению (обыкновенному, дифференциальному, частному, …), которому должно удовлетворять решение задачи. и вдруг оказывается, что это - то же самое уравнение, которое возникло бы, если бы вы хотели макси/мини/мизировать некоторый функционал. тут вам надо сесть и поковырять пуп. Возможно, вы с самого начала, не отдавая себе в том отчёта, хотели найти решение, максимизирующее ваш гешефт. Вы утираете пот со лба и вместо численных методов нахождения решения уравнения идёте искать экстремум (стопудов и легче и быстрее, как вам объяснит любой рыночный меняла). а вот если вы не понимали, что вам в самом деле хочется, - повод поковырять пуп второй раз. Потому что не факт, что вам хочется именно того, что “зашито” в уравнении.

    не слежу специально, но вроде бы обнаруженые в 70-х иерархии интегрируемых KdV уравнений произвели фурор, даже не упоминая всуе Его имя.

    >>> А вот почему наша (классическая) механика описывается уравнениями второго, а не, скажем, третьего порядка, - вопрос к Всевышнему.
    Можно, конечно, вспомнить формулу Лоренца для силы радиационного трения… Сила торможения излучением (она же реакция излучения, она же лучистое трение) как раз пропорциональна третьей производной от координаты - единственный известный мне пример (хотя в гидродинамике вполне возможно есть еще что-нибудь - уж очень она сложна!).

    во, я как раз пытался вспомнить, где я видел третью производную!

    это против четвёртой производной в сопромате - как овцу быком

    “ускорение темпов роста производительности труда” - советская экономическая наука работала с четвертой производной!

    !!!

    Мне кажется что до второго закона Ньютона и соответственно второй производной здесь можно не доходить. Зенон просто предполагал что мгновенной скорости быть не может, ну в смысле - что понятия первой производной прилагать к движению нельзя.


    последовательности

    Def: последовательностью называется функция, область определения которой — множество натуральных чисел N, а область значений — множество действительных чисел ℝ

    другими словами, последовательность — это бесконечный список действительных чисел, записанных в определенном порядке: a1,a2,a3,a4,..,an

    a1 называется 1-м членом последовательности, a2 ее 2-м членом, и т. д., an называется n-м членом последовательности или ее общим членом

    последовательность называется "фундаментальной", если для любого положительного числа r найдется метрический диск радиуса r, вне которого остается конечное число ее членов. в полном пространстве всякая фундаментальная последовательность - сходится, а всякая сходящаяся - фундаментальна

    Def: предел последовательности {an} равен числу L

        lim an = L
       n→∞   
    или an → L при n → ∞ если для любого ε > 0 существует номер n такой, что
         |an - L| < ε  
    при всех n > N

    другими словами, предел последовательности {an} равен L, если члены последовательности становятся как угодно близкими к L при достаточно больших номерах n

    если предел существует (и конечен), то говорят, что последовательность {an} сходится (к числу L). в противном случае говорят, что она расходится

    Def: последовательность {an} называется возрастающей, если an+1 > an, и убывающей, если an+1 < an при всех n > N. последовательность называется монотонной, если она возрастающая или убывающая

    Def: если действительное число M таково, что s < M для всех элементов s ∈ S, то M называется верхней гранью множества S. если B — верхняя грань множества S такая, что B ≤ M для любой другой верхней грани M множества S, то B называется точной верхней гранью множества S или супремумом множества S, и обозначается B = sup S. точная нижняя грань, называемая также инфимумом, множества S определяется аналогично и обозначается inf S. sup S и inf S не обязаны принадлежать множеству S

    Th: каждая монотонная ограниченная последовательность {an} сходится

    прогрессивная последовательность не расходится - ее предел не принадлежит исходному пространству. держите в уме любую последовательность РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел которая сходится к корню из 2. то есть сходится то она сходится, но если других чисел, кроме рациональных мы не знаем, то получается у нее нет предела. он есть, но его нет потому что изначальное пространство было недостаточно богато. но если мы пополним его этими самыми пределами, которые как бы "есть", то тогда мы получим так называемое пополнение, в котором уже все сходится

    м.б., имеет смысл переводить рассуждения на субъективно-алгоритмический уровень? например, "для любого эпсилон больше нуля существует N - натуральное такое, что для всех n,m больше N расстояние от x_n до x_m меньше эпсилон" переводится так:
    1. для эпсилон можем взять любое положительное значение. положительное - значит больше нуля. любое - значит, если понадобится больше - берём больше, надо меньше - берём меньше, но обязательно больше нуля
    2. существует N - есть способ точно определить N в зависимости от эпсилон. мы этот способ можем не знать, но он есть. "чёрный ящик" - на входе задаётся эпсилон, на выходе гарантировано получаем N - натуральное
    3. т.к. N - натуральное, есть сколько угодно натуральных n,m больше N. вот для любых таких n,m , какие бы конкретные n,m ни были выбраны, расстояние от x_n до x_m меньше эпсилон. если "для любых", то это значит "для всех"

    ряды

    пусть задана числовая последовательность {an}. бесконечным рядом (или просто рядом) называется выражение вида бесконечной суммы:

         a1 + a2 + a3 + .. + an + ..  

    Th: если ряд сходится, то его n-ый член стремится к нулю. обратное - неверно!

    арифметическим рядом называется ряд вида:

        a  + (a + q)  + (a + 2*q)  + ...  +  (a + n * q)  +  ...  

    сумма первых n членов арифметического ряда равна

        n * a  +  q * n * (n - 1) / 2   

    геометрическим рядом называется ряд вида:

        a  +  a * q^1  +  a * q^2  +  ...  +  a * q^n  +  ...   

    Th: при |q| < 1 геометрический ряд сходится и его сумма равна a / (1 - q)

    Th (признак Даламбера): пусть для данного ряда {an} предел модуля отношения следующего члена ряда к предыдущему равен L

     
        | an+1 / an | → L (при n → ∞ )  
    тогда при L < 1 ряд сходится абсолютно, а при L > 1 ряд расходится

    Th (признак Коши): пусть для данного ряда an предел корня n-й степени из модуля общего члена равен L:

        n√ | an | → L (при n → ∞ ) 
    тогда при L < 1 ряд сходится абсолютно, а при L > 1 ряд расходится


    ряд Тейлора

    функции, отличные от многочлена, представляются бесконечными рядами, т.к. только у многочленов ряд Тейлора обрывается

      exp x = 1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + ...
        
      sin x = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + ...
    
      cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + ...  

    формулы позволяют с большой точностью высчитывать как значения функций так и их интегралы - достаточно получить четыре-пять члена ряда, чтобы точность стала приемлимой

    например

        ∞
        ∫ exp (-t^2) dt
        0
      
    нельзя выразить аналитически, но можно высчитать представив подинтегральное выражение в виде ряда:
        exp (-t^2) = 1 - t^2 + t^4/2 + t^/6 + ... 
    и тогда
        x
        ∫ exp (-t^2) dt = x - x^3/3 + x^5/10 - x^7/42 + ...
        0  

    наличие разрыва в функции достаточно для того, чтобы ряд перестал сходиться. не разлагаются в ряд функции, имеющие дробную степень x или дробную степень аргумента (например ⎷x)

    ряд Тайлора и частные производные

       f (x, y)
    
       Dif f =    ∂f/∂x ⋅ dx +  ∂f/∂y ⋅ dy
               +  1/2 ⋅ ∂²f/∂²x ⋅ (dx)²
               +  1/2 ⋅ ∂f²/∂²y ⋅ (dy)²
               +  ∂²f/∂x∂y ⋅ dx ⋅ dy
    
          det ( ∂²f/∂x∂x    ∂²f/∂x∂y
                ∂²f/∂y∂x    ∂²f/∂y∂y  )
    
          det = 0      неопределено
          det < 0      точка перегиба
          det > 0      ∂²/∂²x > 0  и  ∂²/∂²y > 0    максимум
                       ∂²/∂²x < 0  и  ∂²/∂²y < 0    минимум
                                               

    функция может иметь все частные производные в точке и тем не менее иметь в этой точке разрыв. например такая функция

          f (0 , 0) = 0
        | f (x , y) = x ⋅ y / (x² + y²) 
    имеет частные производные в точке (0, 0) но не является в этой точке непрерывной

    пусть на пространстве ℝⁿ задана функция. рассмотрим пространство значений функции и выберем в нем точку Y=f(X). все те векторы начинающиеся в точке Y для которых частная производная по направлению равна нулю - составляют пространство касательное к пространству значений функции - в данной точке. именно в этом пространстве живет дифференциал

    бином Ньютона

        y = (a + x)^m
    
        y' = m * (a + x)^(m-1)
        y˝ = m * (m - 1) * (a + x)^(m-2)
        ...
        y(m) = m * (m - 1) * ... * (m - m) * (a - x)^0 = 0
    
        y = a^m + a^(m-1) * x * m! / (1! * (m-1)!) + ... + a * x^(m-1) * m! / ((m-1)! * 1!) + x^m 
    причем показатель степени m не обязан быть целым
        y =   a^m
            + a^(m-1) * x^1 * m                  / 1
            + a^(m-2) * x^2 * m*(m-1)            / (1*2)
            +    ..
            + a^(m-n) * x^n * m*(m-1)*..*(m-n+1) / (1*2*..*n)
            +    ..  

    правило Лопиталя

    если имеешь дело с пределами дроби двух функций, то будь готов: обязательно встретишься с неопределенностью вида 0/0 или ∞/∞. как это понимать? в числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно

    Тh Лопиталя (правило Бернулли — Лопиталя) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞. обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных

    при исследовании функций может появиться необходимость нахождения предела дроби, числитель и знаменатель которой при х→а стремятся к нулю или бесконечности. нахождение таких пределов называют раскрытием неопределенностей соответствующего вида. основой его является правило Лопиталя-Бернулли

    Th Лопиталя: если: f(x) , g(x) — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности U точки a, где a — действительное число или один из символов +∞ −∞ ∞ , причём

            1. lim f(x) = lim g(x) = 0 или ∞ 
               x→a        x→a  
    
            2. g′(x) ≠ 0 в U 
    
            3. существует lim f′(x)/g′(x)
                          x→a 
    тогда существует
            lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x)
            x→a             x→a 

    пределы также могут быть односторонними

    способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли

    итак, если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a и обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных

    с 1688 года Лопиталь начал изучать работы Лейбница. в конце 1691 года произошла встреча Лопиталя с 24-летним Иоганном Бернулли, прибывшем в Париж. Бернулли был знаком с новыми методами дифференциального исчисления Лейбница и поведал о них в нескольких лекциях французским слушателям, среди которых был и Лопиталь. после шести месяцев пребывания в Париже и чтения лекций Бернулли поселился в фамильном поместье Лопиталя близ Вандома и частным порядком занимался уже только с ним одним. в ноябре 1692 Бернулли вернулся в Базель, но между ним и Лопиталем поддерживалась переписка. также в это время Лопиталь переписывается и с Лейбницем. заслуга Лопиталя заключается в первом систематическом изложении матанализа, данное им в сочинении «Анализ бесконечно малых» (1696). в этой книге собраны и приведены в более-менее стройное целое отдельные вопросы, разбросанные до того в разных изданиях, а также приводится "Правило Лопиталя". в предисловии Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и "не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно". последняя работа, которую Лопиталь почти закончил перед смертью, была посвящена коническим сечениям. рукопись книги была опубликована под названием «Аналитический трактат о конических сечениях и об их применении для решения уравнений, как в определенных, так и в неопределенных задачах» в 1707 году

    теорема Штольца

    аналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является Теорема Штольца, Теорема Штольца — утверждение, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел

    Th: пусть a[n] и b[n] — две последовательности вещественных чисел, причём b[n] положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). тогда, если существует предел

            lim  ( a[n] − a[n−1] ) / ( b[n] − b[n−1] )
            n→∞
    то существует и предел
            lim a[n] / b[n] 
            n→∞
    причём эти пределы равны

    теорема названа в честь опубликовавшего в 1885 году её доказательство австрийского математика Отто Штольца