преобразования Лапласа     преобразования Фурье


обобщенные функции


  • дельта-функция (импульс, функция Дирака)
  • единичная функция (ступенька, функция Хевисайда)
  • функция склона
  • перемножение обобщенной функции
  • свертка обобщенной функции
  • скалирование функции Дирака

  • любое наблюдаемое событие, несущее информацию, будем называть "сигналом", который можно представить, в общем случае, функцией вида f(x,y,z,t). эта функция может содержать сведения о пространственной или временной эволюции некоторой физической величины, характеризующей состояние исследуемого объекта

    самое разумное - разложить сигнал на элементарные составляющие - «кирпичики», выбрав наиболее удобный для конструирования произвольной функции f вид «кирпичиков» — элементарные математические функции. а уж выбрав «кирпичики», можно составить модель сигнала как суперпозицию элементарных функций

    процессы, протекающие в физических, биологических и прочих реальных системах, всегда происходят с конечной скоростью, поскольку никакая система не может изменить свое состояние мгновенно. по этой причине сигнал f, отражающий изменение состояния объекта в точке наблюдения имеет непрерывный характер

    наряду с неповторяющимися событиями f в микро- и макро- мирах существуют процессы, повторяющиеся во времени с разной степенью периодичности. такие периодические процессы будем обозначать как F(t). математически переход от периодического F(t) к непериодическому f(t) событию можно осуществить, устремляя период функции F(t) к бесконечности: при T → ∞ будет F(t) → f(t)

    суть временного метода анализа состоит в аппроксимации аналогового сигнала f(t) суперпозицией простейших функций, в качестве которых выступают функции, называемые функциями Хевисайда или функциями единичного скачка. использование подобных элементарных функций позволяет представить сигнал в виде бесконечной суммы ступенек, сдвинутых друг относительно друга во времени на бесконечно малый интервал, высота которых определяется скоростью изменения сигнала f(t)

    в некоторых случаях для упрощения математических выкладок f(t) представляют не суммой единичных ступенек, а последовательностью элементарных воздействий, имеющих вид коротких, со стремящейся к нулю длительностью и амплитуду, соответствующую мгновенному значению f(t) - т.е. используют функцию Дирака

    хочется научиться дифференцировать даже функции, явно не имеющие классической производной. пример, - функция-"ступенька", равная нулю при отрицательных иксах и единице - в нуле и положительных точках. её производная - "единичная точечная масса", сосредоточенная в нуле, и ноль во всех точках. чтобы Формула Ньютона-Лейбница выполнялась, надо, чтобы интеграл от этой производной по любому отрезку равнялся нулю, если отрезок не содержит точку x=0, и единице - если содержит. такой функции быть не может (иначе мы исправили бы её в единственной точке и получили тождественный ноль), с другой стороны, все физики пользуются понятием точеченой массы без малейших комплексов, несмотря на "бесконечную плотность" такой абстракции

    с этой проблемой справились только в XX-м веке. оказалось, что понятие функции можно расширить настолько, что дифференцировать можно будет почти любую. цена вопроса, - что получится: новые, "обобщённые" функции (distributions) лишь очень редко "совпадают" с обычными функциями и вообще сделаны совсем из другого теста.

    например, у обобщённых функций нет однозначно определённого значения ни в какой точке

    хуже того, их можно складывать между собой и умножать на числа, но уже вообще говоря нельзя перемножать между собой. поэтому - никаких "разделённых разностей", никаких привычных пределов - производная считается совсем по другим канонам


    дельта-функция (функция импульса, функция Дирака)

       f₀ = δ₀(t - a)
    
       f₀(t) = ∞     t = 0
       f₀(t) = 0     иначе 
    
       ∞
       ∫ δ₀(t - a) dt = 1
      -∞
    
    
                         ^
                         ‖ 
                         ‖
                         ‖
      -----+-------------+-----------------> t
           0             a
    

    напоминание о дуальности. аргумент функции есть (t - a), но график функции смещается вправо по оси t, в сторону плюса. это потому, что одно (аргумент) контравариантно, а второе (взятие значения) - ковариантно

       ∞
       ∫ δ₀(x) * g(x) dt = g(0)
      -∞
    

    единичная функция (функция ступеньки S, функция Хевисайда)

    итак,

      f₀ = δ₀(t - a)
    
      теперь
    
       f₁ = ∫ f₀ dt = δ₁(t - a)
    
       f₁(t) = 0 , t < a 
       f₁(t) = 1 , t ≥ a 
    
            
            
                         +----------------  = 1
                         |
                         |
      -----+-------------+-----------------> t
           0             a
    
    
    
       f₀ = df₁/dt  = δ₀(t - a)
    

    важно отметить, что dS/dx = δ₀(x)


    функция склона R

       f₂ = ∫ f₁ dt
    
       f₂(t) = 0, t < a 
       f₂(t) = t, t ≥ a 
    
      
                                  .
                                .˙
                              .˙   Θ = π/4 
                            .˙ 
                          .˙   
      -----+-------------+----------------- t
           0             a
    

    важно отметить, что d²R/dx² = δ₀(x)


    диффуры и обобщенные функции

    fixed-fixed пример

    -d²u/dx² = δ₀ (x - a) ,     u (0) = 0 ,     u (1) = 0

    u (x) = -R (x - a) + C + D*x ,     C = 0 ,     D = 1 - a

        
                   .⋅ =1
     (1-a)*x    .⋅     ⋅.  (1-x)*a
             .⋅            ⋅.
            0-------a---------1
    
                   
               -----+  1-a
                    |
              ------a---------   
                    |
                    +----  -a
    

    u'(x) уменьшается на 1 в точке а

    в матричной форме:

        K * U = ( 0           ( 2  -1                 ( u1       ( 0
                  1            -1   2  -1               u2         1
                  0                -1   2  -1           u3         0
                  0                    -1   2  -1       u4         0
                  0 )                      -1   2 ) *   u5 )  =    0 )
    

    free-fixed пример

    -u" = δ(x - a) ,     u'(0) = 0 ,     u(1) = 0

    u(x) = -R(x-a) + C*x + D ,     C = 0 ,     D = 1 - a

        
        ------  = (1-a)
                ⋅.    (1-x)
                     ⋅.   
        0------a-------1
    
     
        0------a---------   
               |
               +----  -1
    
    

    в матричной форме:

        T * U = ( 0           ( 1  -1                 ( u1       ( 0
                  1            -1   2  -1               u2         1
                  0                -1   2  -1           u3         0
                  0                    -1   2  -1       u4         0
                  0 )                      -1   2 ) *   u5 )  =    0 )
    


    линейный оператор на пространстве функций

    пусть f - множество всех непрерывных функций. это множество является линейным пространством

    линейный оператор, отображающий множество f на множество скаляров называется линейным функционалом

    обобщенные функции как линейный функционал

    обобщенная функция T - это линейный функционал на пространстве бесконечно дифференцируемых, сходящихся на бесконечностях функций

            T f  ∈  ℝ 
    
                    +∞
            T f  =  ∫ T(x) * f(x) dx
                   -∞
    
    пример: функция Дирака

        δ₀ (φ(x))  =  φ(0)
    
        δ₀(a) (φ(x))  =  φ(a)
    
                      +∞
        1  (φ(x))  =  ∫ φ(x) dx
                     -∞
    
                     ∞
            δ₀ φ  =  ∫ δ₀ * φ(x) dx  =  φ(0)
                    -∞
    
                     ∞
            δₐ φ  =  ∫ δ₀(a-x) * φ(x) dx  =  φ(a)
                    -∞
    
                    ∞
            1 φ  =  ∫ φ(x) dx  =  φ(x)  
                   -∞
    

    т.о., любой сигнал есть распределение функции Дирака с заданной плотностью

    перемножение обобщенной функции на обычную функцию

    перемножать обобщенные функции нельзя!, но можно умножать обобщенную функцию на сходящуюся всюду и бесконечно дифференцируемую

                   ∞                            ∞
     (f * T) φ  =  ∫ f(x) * T(x) * φ(x) dx  =   ∫ T(x) * f(x) * φ(x) dx  =  T (f * φ)
                  -∞                           -∞
    

    пример: функция Дирака

      (f * δ) φ  =  δ  (f * φ)  =   f(0) * φ(0)  =   (f(0) * δ)  φ  
         
    
         f * δ   =   f(0) * δ
       
         f * δₐ  =   f(a) * δₐ

    свертка обобщенной функции и обычной

        Ƒ [f ⊙ T]       =   Ƒ [f]  *  Ƒ [T]

    пример: функция Дирака

           f ⊙ δ           =   f 
       
           (f ⊙ δₐ) x      =   f (x - a)    
    
           δₐ ⊙ δₑ         =   δₐ₊ₑ
    
           (f ⊙ δₐ) ⊙ δₑ   =   f (x - a)  ⊙  δₑ   =   f (x - a - e)   =   f (x - (a + e))
    

    скалирование функции Дирака

                          ∞ 
       δ(a * x) φ(x)  =   ∫ δ(a * x) * φ(x) dx 
                         -∞
    
      замена переменных:     u = a * x
    
                      ∞
                  =   ∫ δ(u) * φ(u/a) * 1/a du = 
                     -∞       
    
                           ∞
                  =  1/a * ∫ δ(u) * φ(u/a) du  =  1/a * (δ  φ(u/a))  =  1/a *  φ(0)  
                          -∞
    
                  =  1/a * ( δ φ(x) )
    
    
          δ(a * x)   =   δ / |a|