основа теории Галуа - это рассмотрение линейной алгебры над разными полями


теория Галуа


корни квадратного уравнения

рассмотрим квадратное уравнение в канонической форме:

    x² + b * x + c = 0  

найдем корни этого уравнения :

               x² + b * x + c   = 0
               x² + b * x       = - c
          4 * (x² + b * x)      = - 4 * c
          4 * (x² + b * x) + b² = b² - 4 * c
      (2 * x)² + 4 * b * x + b² = b² - 4 * c
                  (2 * x + b)²  = b² - 4 * c
                   2 * x + b    = √ (b² - 4 * c)
                           x    = (- b ± √ (b² - 4 * c)) / 2

            x₁ + x₂ = - b        x₁ * x₂ = - c   

заметим теперь, что корни квадратного уравнения в двух последних уравнениях - симметричны т.к. уравнения остаются верными если корни поменять местами. а вот уравнение разности корней уже не симметричное :

    x₁ - x₂ = (+ √ (b² - 4 * c)) 
    x₂ - x₁ = (- √ (b² - 4 * c))  
легко видеть, что при замене корней у него меняется знак. однако легко перейдти к симметричной ситуации, если возвести разность корней в квадрат:
    (x₁ - x₂)² = (x₂ - x₁)² = b² - 4 * c 


резольвенты Лагранжа (Resolvants of Lagrange)

корни кубического уравнения

рассмотрим кубическое уравнение в канонической форме

    x³ + p * x + q = 0 

резольвенты Лагранжа - новая переменная ω³ = 1 : ω ≠ 1

(x₁ + x₂ + x₃) , (x₁ + ω * x₂ + ω² * x₃)³ и перестановки корней

удалось свести к уравнению второй степени

todo

корни уравнения четвертой степени

резольвенты Лагранжа (x₁ * x₂ + x₃ * x₄) . перестановки

удалось свести к уравнению третей степени

TODO

корни уравения пятой степени

резольвенты Лагранжа приводили к повышению степени - получались уравнения степени 6


полиномы

пусть есть полином f ∈ F[x]. обозначим за f' его производную. этот полином f имеет кратные корни тогда и только тогда, когда

        gcd f f'   ≠    1 

поле называется алгебраически замкнутым если любой полином с коэффициентами из поля имеет корни в этом же поле

Основная Th Алгебры: полином с коэффициентами из ℂ имеет корни, лежащие в ℂ

множество 𝔸 корней всех полиномов с целыми коэффициентами называется алгебраическим полем (полем алгебраических чисел)

из основной теоремы алегбры следует, что 𝔸 ⊂ ℂ

алгебраическое поле 𝔸 счетно

числа e и π не являются алгебраическими

число √2 не является рациональным и есть два возможных способа думать об этом числе
аналитический : √2 = 1.41421...
алгебраический : (√2)² = 2

последовательность из квадратных корней от простых чисел

    √2, √3, √5, √7, √11, √13, .... , √p, ... 
бесконечна и линейно-независима

корней n-ой степени из вещественного числа всегда n штук

автоморфизм - это отображение структуры в себя, сохраняющее операции. любой автоморфизм является вложением (иньективен), т.е. не "склеивает" два разных прообраза в один образ. комплесное сопряжение ⁻ является автоморфизмом поля ℂ:

      ⁻(z + w) = ⁻z + ⁻w
      ⁻(z * w) = ⁻z * ⁻w 

у любого полинома пятой степени может быть либо один вещественный и четыре мнимых корня, либо три вещественных и два мнимых корня, т.е. мнимых корней всегда четное число и они всегда сопряжены

если у полинома пятой степени два корня - комплексные, то комплексное сопряжение переводит один компексный корень в другой и наоборот, а вещественные три корня переводит тождественно в них же:

      ⁻ : x₁ → x₁ 
      ⁻ : x₂ → x₂
      ⁻ : x₃ → x₃
      ⁻ : x₄ → x₅
      ⁻ : x₅ → x₄
      x₁ x₂ x₃ ∈ ℝ 
      x₄ x₅ ∈ ℂ 

если у полинома пятой степени четыре корня - комплексные, то комплексное сопряжение переводит один компексный корень в другой и наоборот, третий комплексный корень переводит в четвертый комплексный и наоборот, а вещественный корнень переводит тождественно в себя:

      ⁻ : x₁ → x₁
      ⁻ : x₂ → x₃
      ⁻ : x₃ → x₂
      ⁻ : x₄ → x₅
      ⁻ : x₅ → x₄
      x₁ ∈ ℝ
      x₂ x₃ x₄ x₅ ∈ ℂ  

расширение поля

любое поле, в которое вложено меньшее поле, является линейным пространством над меньшим (модулем над кольцом)

над конечными полями множество точек пространства с конечной размерностью - конечно

ℂ/ℝ - факторизация разбивающая все комплексные числа на два класса эквивалентности. один класс совпадает с ℝ и в него входят все комплексные числа с нулевой мнимой частью, т.е. это вся вещественная ось комплексной плоскости. во второй класс эквивалентности входят все комплексные числа с ненулевой мнимой частью, т.е. вся комплексная плоскость с выкинутой вещественной прямой. если применить любые полевые операции к элементам класса вещественных чисел, то останемся в том же классе, а вот при применении операции умножения к комплексным числам с нулевой вещественной частью и ненулевой мнимой частью результат попадает всегда в класс вещественных чисел: ia*ib=-1*a*b, со сложением же результат попадет в другой (вещественный) класс только если слагаемые будут компексно-сопряженные

всего один (примитивный) элемент из поля комплексных чисел i=√-1 может сделать из поля вещественных чисел поле комплексных чисел. причем это общее положение: если есть два поля, F и K и F ⊆ K, α ∈ K ∧ α ∉ F тогда F{a} = K. фигурные скобки здесь подразумевают, что при выполнении полевых бинарных операций для любого элемента из F и элемента α из K результат будет принадлежать множеству, обозначаемому как F{a} и это множество будет совпадать с К, если полевые операции многократно применять к промежуточным результатам

система ℚ[√2] является полем, а размерность пространства ℚ[√2] над полем ℚ равна 2 и базис такого пространства есть {1,√2}. и вообще, если к полю ℚ добавить любой корень НЕПРИВОДИМОГО многочлена, то размерность получившегося пространства будет равна степени этого многочлена
например если присоединить к ℚ все корни неприводимого полинома x⁵-6*x+3, то получим пространство с размерностью 120 поскольку три вещественных корня последовательно дадут размерность 1*2*3*4, а два комплексных корня дадут размерность 5 (оба лежат в одном и том же расширенном поле) и т.о. размерность пространства расширенного поля над ℚ будет 120
а если присоединим к ℚ все корни приводимого многочлена x⁵-1=0, то получим пространство размерности 4 (потому что четыре мнимых корня будут лежать в одном и том же пространстве размерности 4 (поскольку многочлен x⁴ + x³ + x² + x + 1 уже неприводим), а пятый корень, равный 1, будет лежать в самом пространстве ℚ

поле ℚ[√x] иногда называется "минимальным", если x - корень неприводимого многочлена с коэффициентами из ℚ

Теорема о Башне Расширений : пусть F ⊂ M ⊂ K, где F, M, K - поля конечных размерностей. тогда dim K = dim F * dim M


группы

симметрическая группа Sₙ порождается множеством фундаментальных транспозиций

          si = (i , i+1), i = 1, .., n−1

знакопеременная группа Aₙ порождается множеством 3-циклов (ijh), i<j< h

при n≥5, знакопеременная группа Aₙ порождается множеством попарных произведений независимых транспозиций

        (ij)(hk), |{i,j,h,k}| = 4

подгруппы S₄

всего в группе S₄ имеется 24 подгруппы, с точностью до сопряженности i, j, h, k здесь обозначают попарно различные индексы:

смежные классы

Def: левым смежным классом G по H называется любое множество вида

    Hx = {hx | h ∈ H}, где x ∈ G 
при этом x называется представителем класса Hx. аналогично, множество
    xH = {xh | h ∈ H} 
называется правым смежным классом G по H с представителем x

нормальные подгруппы

Def: подгруппа H группы G называется нормальной, если для любого x ∈ G левый смежный класс элемента x по H совпадает с правым:

    Hx = xH 
чтобы обозначить, что H нормальна в G, пишут H ◀ G или G ▶ H

Th Галуа : при n ≥ 5 если H ◀ Sₙ то H = e | H = Sₙ | H = Aₙ

группа A₄ нециклическая, так как она нормальна, а нормальная циклическая группа имеет размерностью простое число. |A₄|=12 и это число не является простым

группа A₅ нециклическая, так как она нормальна, а нормальная циклическая группа имеет размерностью простое число. |A₅|=60 и это число не является простым

классы сопряженности

условие H ◀ G можно переформулировать следующим образом: для любого x ∈ G имеет место равенство xHx⁻ = H

так как отображение g → xgx⁻ является автоморфизмом G, то подмножество, сопряженное к подгруппе, само является подгруппой

Def: подгруппа H группы G называется нормальной, если она совпадает со всеми своими сопряженными, т.е. если для любого x ∈ G имеет место равенство xHx⁻=H. это значит, что нормальная подгруппа — это такая подгруппа, которая вместе с каждым элементом g целиком содержит его класс сопряженных элементов gG. это можно выразив чуть короче, написав HG=H

разрешимость группы

группа G называется разрешимой, если существует конечный вложенный ряд подгрупп

        1 ⊂ G₁ ⊂ ... ⊂ Gₙ ⊂ G 
со свойствами
  1. каждая левая подгруппа нормальна по отношению к правому соседу
                1 ◀ G₁ ◀ ... ◀ Gₙ ◀ G 
  2. любая факторгруппа Gi+1/Gi - абелева

если группа разрешима, то любая ее подгруппа тоже разрешима

любая факторгруппа разрешимой группы тоже разрешима

пусть H ◀ G тогда H - разрешима и G/H разрешима тогда и только тогда когда G - разрешима

разрешимые группы – это группы, которые можно собрать последовательными расширениями или, что то же самое, расщепляющимися расширениями из конечного числа абелевых кусков

примеры:

группа S₅ - неразрешима, поскольку ее подгруппа A₅ - простая (не содержит нетривиальных нормальных подгрупп)
группа S₄ - разрешима
факторгруппа S₄/V = S₃ - разрешима
группа S₂ состоит из двух тривиальных нормальных групп и поэтому очевидным образом - разрешима


конструктивизм

циркулем и линейкой можно построить все рациональные числа

имея все рациональные числа можно построить все рациональные квадратные корни

имея два рациональных числа можно построить их произведение

разумеется, что можно построить √2 - как диагональ квадрата с единичной стороной. добавив к диагонали квадрата с единичной стороной перпендикулярный отрезок длинны 1 получим прямоугольник, диагональ которого равна √3, etc ... т.о. имея лишь √2 можно построить все квадратные корни рациональных чисел

теперь - о размерностях. размерность пространства ℚ[√2] равна 2. если мы расширим поле еще на один корень (скажем, √3), то размерность пространства ℚ[√2,√3] будет (по теореме о башнях) равна 4. и т.д. а поскольку алегбраически построение с помощью циркуля и линейки - это просто решение конечного числа квадратных уравнений, то построить мы можем только точки пространства, размерность которого над полем ℚ есть степень двойки

число α может быть построено с помощью линейки и циркуля (оно конструктивно) тогда и только тогда, когда

        α ∈ K

        K ⊃ ℚ

        K = En ⊇ En-1 ⊇ ... ⊇ E1 ⊇ E0 = ℚ  : [ Ei : Ei-1 ] = 2 
например если
              √ (2 + √3)
        α =   ----------
                  5 
тогда имеет место следующая цепь:
        ℚ  ⊂ ℚ[√3] ⊂ ℚ[√(2+√3)] ⊆ ℚ[α] 

все что может быть построено циркулем и линейкой может быть выражено формулой в радикалах

Утверждение : ³√2 не может быть построен с помощью полей ℚ,P₁,...,Pₙ вида

        ℚ = P₀ ⊂ P₁ ⊂ ... ⊂ Pₙ : [Pi+1 : Pi] = 2
другими словами, его нельзя построить с помощью циркуля и линейки
доказательство заключается в том, чтобы показать, что размерность пространства ℚ[³√2] равна 3 (не является степенью 2)

Proof: для полинома c рациональными коэффициентами x³ - 2 = 0, который неприводим, имеем:

        ω₁ = (-1 + i √3) / 2 = ω₂²
        ω₂ = (-1 - i √3) / 2 = ω₁²
пусть теперь ω = ω₁ тогда
        x₁ = ³√2
        x₂ = x₁ . ω
        x₃ = x₁ . ω²
и группа перестановок корней есть группа S₃, |S₃|=6 и не является степенью 2
QED


теория Галуа - это
замена анализа уравнения, где левая часть - полином, а правая - ноль,
анализом группы автоморфизмов некоторого специального обьекта,
который строится в соответствии с исходным полиномом


подход Галуа на примере уравнения четвертой степени

рассмотрим уравнение x⁴ + p * x² + q = 0 с вещественными коэффициентами и пусть поле F₁ коэффициентов уравнения есть расширение поля ℚ : F₁=ℚ(p,q)

пусть ω = √ (p² - 4 * q) и положим теперь что поле F₂ есть расширение поля F₁ : F₂=F₁(ω)

корни x⁴ + p * x² + q = 0 находятся по формулам

  x₁, x₂ = ± √ ((- p + ω) / 2)
  x₃, x₄ = ± √ ((- p - ω) / 2)

рассмотрим следующие два уравнения :

    x₁ + x₂ = 0
    x₃ + x₄ = 0 
которые инвариантны для следующих перестановок корней :
    { e , (12) , (34) , (12).(34) , (13).(24) , (14).(23) , (1324) , (1423) } = D₄ ⊂ S₄ 

легко заметить, что квадраты корней исходного уравнения попарно равны и значит уравнение

    x₁² - x₃² = ω 
инвариантно относительно перестановок :
    { e , (12) , (34) , (12).(34) } = K 

пусть μ = √ ((- p - ω) / 2) и положим теперь что поле F₃ есть расширение поля F₂ : F₃=F₂(μ)

рассмотрим уравениние

    x₃ - x₄ = 2 * μ 
которое инвариантно относительно перестановок :
    { e , (12) } = 2ℤ  

пусть η = √ (( - p + ω) / 2) и положим теперь что поле F₄ есть расширение поля F₃ : F₄=F₃(η)

рассмотрим уравнение

    x₁ - x₂ = 2 * η 
которое инвариантно только в группе перестановок { e } = E

получилось два ряда: ряд подгрупп S₄ и ряд расширений полей над ℚ. так вот, Галуа заметил, что существует четкое соответствие между типом группы перестановок и типом расширенного поля

    E   ⊂   2ℤ   ⊂   K   ⊂   D₄  ⊂   S₄
    
    ⦚        ⦚       ⦚       ⦚
    
    F₄  ⊂   F₃   ⊂   F₂  ⊂   F₁  ⊂   ℚ 
когда корни уравнения лежат в расширении поля, а перестановка этих корней - в группе. при этом группа становится все меньше, а поле все более расширяется (или наоборот)

вот код для проверки, а здесь - матрицы для элементов подгрупп

результат

полином f ∈ F[x] может быть решен в радикалах если ∃ последовательность полей F₀,F₁,F₂,..,Fₙ такая что

    F₀   =   F
    F₁   =   F₀  [w₁] : w₁^r₁ ∈ F₀
    F₂   =   F₁  [w₂] : w₂^r₂ ∈ F₁
    ...         ...
    Fₙ   =   Fₙ₋₁[wₙ] : wₙ^rₙ ∈ Fₙ₋₁
где w - корень полинома f, r ∈ ℕ и при этом полином f разложим в Fₙ


нормальное расширение полей и группы автоморфизмов полей

Def: расширение поля с конечной размерностью [K:F] < ∞ называется нормальным если выполнено одно из трех условий

  1. K = F[x₁,x₂,..,xₙ] , где x₁,x₂,..,xₙ - все различные корни одного полинома (не обязательно неприводимого) с коэффициентами из поля F
  2. если один из корней неприводимого полинома лежит в K, то и все корни лежат в K
  3. ∀ изоморфное вложение ψ:K→𝔸 является автоморфизмом поля F : ψ(F)=F
эти три условия эквивалентны

если расширение поля F[x₁,..,xₙ] - нормальное , то количество автоморфизмов поля F равно n - количеству корней полинома, для которого данное расширение строилось

промежуточное поле M (при условии что F ⊂ M ⊂ K) является нормальным тогда и только тогда когда

        σ M   =   M    для ∀ σ  ∈  G (K, F) 
где G(K,F) - группа перестановок расширенных элементов поля K, полученного из поля F путем его расширения

пусть g ∈ G (K, M) и h ∈ G (K, F) тогда сопряжение h⁻∘ g ∘ h является элементом группы G (K, M)

группа G (K,M) является нормальной подгруппой группы G (K,F) и можно профакторизовать

        G (K, F) / G (K, M)    ≅    G (M, F)

        при условии что F ⊂ M ⊂ K и все расширения полей - нормальны и тогда
        G (K, M)  ◀  G (K, F) и действительно можно факторизовать
      
это важный результат теории Галуа

итак, уравнение с натуральными степенями может быть решено в радикалах, если
1) все группы цепочки являются нормальными подгруппами своей соседней группы и
2) факторгруппа двух соседних групп является циклической группой

для уравнений n<5 это выполняется всегда, а для n≥5 - не всегда

для n=5 например существует единственная цепочка нормальных подгрупп: e ⊂ A₅ ⊂ S₅ и, соответственно, решение в радикалах будет только если все корни лежат в первом же расширении поля ℚ, а на остальные расширения уже нормальных подгрупп банально "не хватит"


группа Галуа

пусть L/K — расширение полей (эта традиционная запись не имеет ничего общего с факторизацией, а просто указывает, что K рассматривается как подполе в L). подгруппа AutoK(L) в группе Auto(L), состоящая из всех автоморфизмов, ограничение которых на K тождественно, называется группой Галуа расширения L/K и обозначается Gal(L/K). при этом действие элементов группы Галуа обычно записывается экспоненциально, т.е. вместо g(x) пишут xg. т.о.,

        Gal(L/K) = {g ∈ Auto(L) | ∀ x ∈ K, xg = x} 

термин группа Галуа обычно используется, когда расширение L/K алгебраическое или даже только когда L/K является расширением Галуа, иными словами, когда K совпадает с полем инвариантов группы Gal(L/K):

    K = {x ∈ L | ∀ g ∈ G, xg = x}