сигналы     преобразование Лапласа


преобразование Фурье

  • базис Фурье
  • преобразование Фурье
  • дуальности
  • свертка
  • образ производной и производная образа
  • прямоугольная функция
  • треугольная функция
  • функция Хэвисайда
  • дельта-функция
  • гауссиана

  • ныне и пристно и во веки веков - рассматриваем только бесконечно дифференцируемые функции одной вещественной переменной, сходящиеся на бесконечностях. называем такие функции сигналами

    базис Фурье

    базис в пространстве функций вещественной переменной t c образующими

    
             { sin (2π * k * t) , cos (2π * k * t) } ,  k ∈ ℕ
    
    

    и любой сигнал представим в виде:

    
                   ∞ 
                   ∑   [ Aₖ cos (2π * k)  +  Bₖ sin (2π * k) ]
                  k=0
    
    или, комплексифицируя:
    
                   +∞ 
                   ∑  Cₖ * exp (i2π * k)      
                 k=-∞
    
                   Cₖ ∈ ℂ
    
                   C₋ₖ = C*ₖ
    
                   k  ∈ ℤ
                   C₀ ∈ ℝ 
    

    коэффициенты Фурье

    пусть

                            ∞
                    f (t) = ∑ Cₙ * exp(i2πnt) 
                           -∞
    
    тогда
    
          Cₙ * exp(i2πnt) = f(t) - ∑ Cₖ * exp(i2πkt)
                                  k≠n
    
    
          Cₙ  = f(t) * exp(-i2πnt) - ∑ Cₖ * exp(i2πkt) * exp(-i2πnt)
                                    k≠n
    
    
          Cₙ  = f(t) * exp(-i2πnt) - ∑ Cₖ * exp[i2π(k-n)t]
                                    k≠n
    
    
          1         1                                  1
          ∫ Cₙ dt = ∫ f(t) * exp(-i2πnt) dt  -  ∑ Cₖ * ∫ exp[i2π(k-n)t] dt
          0         0                          k≠n     0
    
    
               1
          Cₙ = ∫ f(t) * exp(-i2πnt) dt   -   ∑ Cₖ  *  0
               0                            k≠n
    
    
               1
          Cₙ = ∫ f(t) * exp(-i2πnt) dt
               0
    
    
    Cₙ - это коэффициенты Фурье. итак

    
                                 n
                    f(t)    ≈    ∑  Cₖ * exp(i2πkt) 
                                -n
    
    
                    где     f(t)  ∈  L₂ ([0, 1])
    
                                   1
                    и       Cₖ  =  ∫ f(t) * exp(-i2πkt) dt
                                   0
    
    

    базис Фурье - ортонормированный

    докажем:

          1
          ∫ exp(i2πkt) * exp(-i2πnt) dt 
          0
    
          1
        = ∫ exp(i2π[k-n]t) dt 
          0
     
        = 1 , k = n
        = 0 , k ≠ n
     
        | exp(i2πkt) |₂ = 1
    

    комплексные экспоненты - ортонормальный базис в L₂([0, 1])

    координаты в базисе Фурье

    Cₖ - проекция f(t) на k-ый вектор этого базиса (k-ая координата функции в базисе Фурье)

    преобразование Фурье

    назовем "сигналом" вещественную функцию одной переменной во временной области определения. любой сигнал имеет "спектр", который однозначно его характеризует

    f(t) - сигнал


    Ƒ[s] - спектр

    преобразование Фурье - это линейный оператор на пространстве функций вещественной переменной, отображающий в пространство функций комплексной переменной. иными словами - преобразование Фурье преобразует сигнал в его спектр

    обратное преобразование Фурье - это линейный оператор на пространстве функций комплексной переменной отображающий на пространство функций вещественной переменной. иными словами - обратное преобразование Фурье преобразует спектр в сигнал

                            ∞
                     Ƒ[s] = ∫ exp(-i2πst) * f(t) dt
                           -∞
    
                            ∞
                     f(t) = ∫ exp(i2πst) * Ƒ[s] ds
                           -∞
    

    дуальности

       Ƒ[f⁻]         =        Ƒ⁻[f]
    
       (Ƒ[f])⁻       =        Ƒ⁻[f]        =        Ƒ[f⁻]
    
       Ƒ(Ƒ[f])       =        f⁻

    свертка ⊙

      Ƒ (f)  +  Ƒ (g)   =   Ƒ (f + g)
    
      Ƒ (f)  *  Ƒ (g)   =   Ƒ (f ⊙ g)
    
    
                     ∞                             ∞
      Ƒ(f) * Ƒ(g)  = ∫ exp(-i2πsx) * g(x) dt   *   ∫ exp(-i2πsy) * f(y) dy =
                    -∞                            -∞
    
                     ∞   ∞
                   = ∫ [ ∫ exp(-i2πs[x+y]) * g(x) dx ] * f(y) dy
                    -∞  -∞
    
      замена переменных: u = x + y , du = dx ,  x = u - y 
    
                    ∞   ∞ 
                  = ∫ [ ∫ exp(-i2πsu) * g(u-y) du ] * f(y) dy 
                   -∞  -∞ 
    
                    ∞   ∞
                  = ∫ [ ∫ g(u-y) * f(y) dy ] * exp(-i2πsu) du
                   -∞  -∞
    
             ∞
      h(u) = ∫ g(u-y) * f(y) dy   
            -∞
    
                    ∞
                  = ∫ h(u) * exp(-i2πsu) du 
                   -∞
    
    
                  = Ƒ (h)  
    
    
    ∞ f (x) ⊙ g (x) = ∫ g(x-y) * f(y) dy = h (x) свертка -∞ Ƒ (f) * Ƒ (g) = Ƒ [ f (x) ⊙ g (x) ] Ƒ[f⁽ⁿ⁾] = (i2πs)ⁿ * Ƒ [f]
    ∞ exp(i2πkx) φ = ∫ exp(i2πkx) * φ(x) dx = Cₖ -∞ это есть k-ая координата φ в базисе Фурье Ƒ̅T φ = T Ƒ̅φ

    образ производной и производная образа

                           Ƒ[T']     =    i2πs * Ƒ[T]
    
                           (Ƒ[T])'   =    Ƒ [-i2πs * T]
    

    прямоугольная функция

    Π (t)  = 1   -1/2 ≤ t ≤ 1/2
           = 0       иначе 
                               
    
                ∞                        1/2
      Ƒ[Π(s)] = ∫ exp(-i2πst) * Π(t) dt = ∫ exp(-i2πst) dt 
               -∞                       -1/2
    
              = -1/i2πs  *  [exp(-iπs) - exp(iπs)]  =  sin(πs) / πs
              
              =  sinc(s)
    
    
       Ƒ(Π)      =  sinc
    
       Ƒ(sinc)   =   Ƒ(Ƒ[Π])  =   Π⁻   =  Π  
    

    треугольная функция

    Λ (t) =  1 - |t|   |t| ≤ 1
          =  0           иначе 
    
    
              ∞                         0                          1
    Ƒ[Λ(s)] = ∫ exp(-i2πst) * Λ(t) dt = ∫ exp(-i2πst) * (1+t) dt + ∫ exp(-i2πst) * (1-t) dt
             -∞                        -1                          0
    
    
                                            0                     0
        =    (1 + t) * exp(-i2πst) / (-i2πs)|     -   1/(-i2πs) * ∫ exp(-i2πst) * 1 dt   
                                           -1                    -1 
             +
                                            1                     1
             (1 - t) * exp(-i2πst) / (-i2πs)|     -   1/(-i2πs) * ∫ exp(-i2πst) * (-1) dt     
                                            0                     0 
    
    
        =       1/(-i2πs)                        -    1/(-i2πs)²  *  (1 - exp(+i2πs))
    
             +
        
               -1/(-i2πs)                        +    1/(-i2πs)²  *  (exp(-i2πs) - 1)
    
    
        =   [ exp(-i2πs) - 2 - exp(+i2πs) ]  /  (i2πs)²  
    
        =   [ exp(+iπs) * exp(+iπs)  -  2 - exp(-i2πs) * exp(-i2πs) ] / (i2πs)²
    
        =   [ exp(+iπs)  -  exp(-iπs) ]²  /  [ (i2)² * (πs)² ]
    
        =    sin²(πs)  /  (πs)² 
        
        =    sinc²(πs)
    

    дельта-функция

    δ - это максимально сжатая функция во временной области и максимально размазанная - в частотной

                                    ∞
         Ƒδ φ  =  δ Ƒφ  = (Ƒφ)(0) = ∫ exp(-i2π0) * φ(x) dx =  1 φ   ⇨  Ƒ δ = 1
                                   -∞
    
                             ∞
        Ƒδₐ φ  =  δₐ, Ƒφ  =  ∫ exp(-i2πax) * φ(x) dx  = 
                            -∞
    
                =  exp(-i2πax)  φ       ⇨        Ƒ δₐ = exp(-i2πax)
                                  
    C-a это есть -a-ая координата φ в базисе Фурье 
    
                                                ∞
         Ƒ exp(i2πax) φ  =  exp(i2πax), Ƒ φ  =  ∫ exp(i2πax) * Ƒ φ(x) dx
                                               -∞
            ∞
         =  ∫ Ƒ̅ Ƒ φ(a) dx  =  φ(a)  =  δₐ φ      ⇨      Ƒ exp(i2πax) = δₐ 
          -∞
    
    
        cos(2πax) = [exp(i2πax) + exp(-i2πax)] / 2    ⇨   Ƒ cos(2πax) = (δₐ  +  δ₋ₐ) / 2 
    
    
        sin(2πax) = [exp(i2πax) - exp(-i2πax)] / 2i   ⇨   Ƒ sin(2πax) = (δₐ  -  δ₋ₐ) / 2i
    
    
               ∞                              ∞       ∞
        T' φ = ∫ T'(x) * φ(x) dx = T(x) * φ(x)|   -   ∫ T(x) * φ'(x) dx  =  - T φ'X
              -∞                             -∞      -∞
    

    функция Хевисайда

    u (x)  =  1 , x > 0
           =  0 , x ≤ 0
    
    
                 ∞                      ∞
         u φ  =  ∫ u(x) * φ(x) dx   =   ∫ φ(x) dx   <   ∞ 
                -∞                      0
    
                                ∞                         ∞
         u' φ  =  - u φ'  =   - ∫ u(x) * φ'(x) dx   =   - ∫ φ'(x) dx   = 
                               -∞                         0
                   ∞
          =   -φ(x)|  =  φ(0)   =   δ φ  
                   0
    
         u' = δ
    

    гауссиана

       f(t) = exp(-πt²)
    
       Ƒ[s] = exp(-πs²) 


    тригонометрическое интерполирование

    потребность в подобной интерполяции возникает в случае, когда приближаемая функция по своей природе предполагается периодической с известным периодом, например 2π

    тригонометрическое интерполирование - приближённое представление 2π-периодической функции f(ϕ) в виде тригонометрического полинома, значения которого в заданных точках совпадают с соответствующими значениями функции f(ϕ)

    тригонометрический полином fn(ϕ) называют интерполяционным тригонометрическим полиномом функции y=f(ϕ) по системе 2n+1 узловых точек (узлов) - различных точек интервала [0,2π)

    функции cos^n(x) и sin^n(x) являются тригонометрическими полиномами n-го порядка

    при этом тригонометрический полином fn(ϕ) определяется единственным образом. действительно, предположим, что кроме соотношений для тригонометрического полинома fn(ϕ) степени n выполняются такие же соотношения и для тригонометрического полинома gn(ϕ) степени n. тогда тригонометрический полином hn(ϕ)=fn(ϕ)−gn(ϕ) обращается в ноль в 2n+1 различных точках интервала [0,2π) и, следовательно, hn(ϕ)=0, так что fn(ϕ)=gn(ϕ)

    стандартный способ поиска коэффициентов тригонометрического полинома — метод неопределенных коэффициентов — приводит к системе из (2n+1)-го линейного уравнения:

    ( 1   cos x1     sin x1   cos 2*x1     sin 2*x1    ... cos n*x1    sin n*x1      ( a0   ( y0
      1   cos x2     sin x2   cos 2*x2     sin 2*x2    ... cos n*x2    sin n*x2        a1     y1
                                                         ...
      1   cos x2n+1  sin x2n+1  cos 2*x2n+1  sin 2*x2n+1 ... cos n*x2n+1   sin n*x2n+1 )   bn )   y2n+1 ) 

    oпределитель матрицы системы равен

          2^([2*n]^2)   *    ∏  sin [(xi - xj) / 2 ]
                         0≤i<j≤2n

    определитель отличен от нуля и значит система имеет решение