симметрии в физическом мире и теория групп


  • матрицы Паули
  • матрицы Дирака
  • матрицы Гельмана

  • симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. в зависимости от характера симметрии все элементарные частицы делятся на два класса: частицы с полуцелым спином (электроны, нейтроны и протоны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми–Дирака. частицы с нулевым, или целочисленным, спином (фотоны, мезоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна

    так как результат взаимодействия частиц должен быть

    то это приводит к возникновению дополнительных требований к операторам (симметрий). для описания квантово-механических процессов оказалось удобным сопоставить физические поля и соответствующие группы

    относительность имеет математическое представление или как группа Галилея (классическая относительность) или как группа Пуанкаре (относительность СТО). указанные группы являются группами Ли. группой Ли называется группа, которая является дифференцируемым многообразием (то есть имеет гладкую структуру) над полем K, причем "операция" группы и "взятие обратного элемента" оказываются гладкими отображениями. элементы групп Ли всегда можно найти матричным умножением генераторов групп Ли. сами элементы можно рассматривать как операторы, действующие на векторы-состояния

    задать представление группы - значит задать некоторое количество матриц - генераторов группы, удовлетворяющим соотношениям с заданным набором структурных констант. генераторы являются матрицами той же размерности, что элементы группы. скаляры нормировки называются структурными константами группы

    в названии матричных групп отражены свойства их элементов. буква L - линейность, унитарность - U, ортогональность - О. если матрицы имеют единичный положительный определитель (унимодулярны), в названии ставится буква S. после названия указывается ранг матриц (не путать с размерностью физических пространств!)

    группа U₁ - унитарная группа комплексных матриц с рангoм 1. применяется в QED. преобразования с различными параметрами коммутируют между собой. это мультипликативная абелева группа комплексных чисел, равных по модулю единице. группе U₁ соответствуют вращения в плоскости

    группы вращений в трехмерном эвклидовом пространстве - совокупность всех видов вращений твердого тела. элементом группы является поворот на любой угол. единичному элементу соответствует отсутствие поворота, обратному элементу - поворот в противоположном направлении на тот же угол. если мы зафиксируем одну из осей, то сможем перейти к группе U₁. все матрицы вращения, имеющие единичный определитель образуют специальную ортогональную группу SO₃

    инвертирование сразу трёх осей (или одной) в SO₃ переводит правую систему координат в левую и наоборот. после такого инвертирования никаким поворотом нельзя вернуться в исходное состояние: все преобразования группы O₃ можно разбить на два класса - вращения правой и левой системы координат. это записывается в виде прямого произведения групп вращений и инверсий всех осей:

        Inv = {
         I,            -- нет инверсий
        -I,            -- три инверсии
                       -- две инверсии
        (-1  0  0
        ; 0 -1  0
        ; 0  0  0),
                     
        (-1  0  0
        ; 0  0  0
        ; 0  0 -1),
        
        ( 0  0  0
        ; 0 -1  0
        ; 0  0 -1),
                       -- одна инверсия   
        (-1  0  0
        ; 0  0  0
        ; 0  0  0),
    
        ( 0  0  0
        ; 0 -1  0
        ; 0  0  0),
        
        ( 0  0  0
        ; 0  0  0
        ; 0  0 -1)
        }
    
        O₃ = SO₃ ⨯ Inv

    принято различать пассивные и активные повороты. в первом случае сравниваются координаты одной и той же фиксированной точки пространства в двух системах координат, повёрнутых относительно друг друга на угол. при активных вращениях рассматриваются координаты некоторого вектора, после его поворота относительно одной и той же системы координат

    группа SU₂ вращений в пространстве для частиц с изотопическим спином ½. применяется в теории слабого взаимодействия. образована из множества унитарных матриц - специальная унитарная группа, имеет в качестве базиса матрицы Паули

    группа SU₃ - цветовая унимодулярная унитарная группа с рангом 3, образована из множества унитарных матриц. применяется в QCD. у группы SU₃, описывающей вращения в восьми измерениях, базисом являются матрицы Гельмана

    если Лагранжиан симметричен относительно преобразований поворотов нескольких комплексных полей, то возникают неабелевы группы симметрии с несколькими параметрами. например, группа SU₂ для изотопического спина: два преобразования являющиеся ее элементами, не коммутируют друг с другом. вторым примером является группа SU₃ для цветовой симметрии


    матрицы Паули

    матрицы Паули определяют в Гильбертовом двумерном пространстве над полем комплексных чисел серию операций (вращений), позволяющих получить состояние физической системы в пространстве ℝ³. поэтому алгебра, сгенерированная на матрицах Паули, называется "алгеброй физического пространства"

    используются для релятивистской частицы со спином 1/2. обьект, на который действуют матрицы Паули называется спинором Вейля, а сами матрицы Паули - операторы Казимира для такого спинора

        σ1 = ( 0   1
               1   0 )
    
        σ2 = ( 0  -i
               i   0 )
    
        σ3 = ( 1   0
               0  -1 )  

    матрицы Паули помимо того, что они эрмитовы, они также еще и унитарны. не все эрмитовы матрицы унитарны, но матрицы Паули - именно такие. эрмитова матрица - квадратная матрица, которая, будучи транспонирована, равна сопряжённой. унитарные матрицы - это квадратные матрицы, такие что результат умножения на сопряжённую равен единичной матрице

    
        σ1² = σ2² = σ3² = I = ( 1   0
                                0   1)
    
        σ1 * σ2 * σ3 = i * I  

    трейс матриц σ1,σ2,σ3 равен нулю, детерминант их равен -1, значит собственные числа одинаковы по модулю и противоположны по знаку

        σ_n * σ_m    =    δ^nm * I    +    i * ε^123 * σ_k 
    где ε - ассиметричный тензор третьего ранга (тензор Леви-Чивиты)

    матрицы Паули подчиняются тем же коммутационным соотношениям, что и генераторы группы вращений O₃. а для группы SU₂ матрицы Паули вообще сами являются генераторами - матрицы Паули вращают спинор Вейля вокруг соответствущих осей на π радиан

    любая матрица Паули с единичной образует базис для GL(2,ℂ) - группы всех матриц размерностью 2х2 с определителем ±1 над полем комплексных чисел. единичную матрицу 2x2 иногда обозначают как σ0. итак, любая матрица A размерности 2х2 может быть представлена в виде

        A = a_0 * σ0 + a_n * σn ,  n=1,2,3
    
        a_0 = 1/2 * trace (A)
    
        a_n = 1/2 * trace (A * σn) 

    любой вектор V размерности 3х1 из ℝ³ вида (x1 ; x2 ; x3) представим в виде:

        σ1 * x1 +  σ2 * x2 +  σ3 * x3 =
    
        ( x3               x1 - i * x2
          x1 + i * x2    - x3          )

    теперь про спинор Вейля. объект на который действует элемент группы SU₂ не может быть вектором. хотя бы потому, что унитарные матрицы содержат комплексные элементы. умножение таких матриц на вектор-столбец пусть даже с действительными элементами даст в общем случае вектор-столбец с комплексными элементами. но координаты векторов не могут быть комплексными числами. поворот спинора Вейля в спинорном пространстве на угол π соответствует повороту вектора в трехмерном пространстве на угол 2π. данное свойство называется double cover - двойное покрытие. один оборот спинора соответствует двум оборотам вектора. но обычно все же исходят от трехмерного пространства и говорят, что поворот на угол α вектора соответствует повороту на угол α/2 спинора

    что касается собственных векторов и собственных значений матриц Паули:

             σ1 * ( 1 ;  1)  =   1 * (  1 ;  1)
             σ1 * (-1 ; -1)  =   1 * ( -1 ; -1)
             σ1 * ( i ;  i)  =   1 * (  i ;  i)
             σ1 * (-i ; -i)  =   1 * ( -i ; -i)
    
             σ1 * (-1 ;  1)  =  -1 * ( -1 ;  1)
             σ1 * ( 1 ; -1)  =  -1 * (  1 ; -1)
    
    
             σ2 * ( 1 ;  i)  =   1 * (  1 ;  i)
             σ2 * (-i ;  1)  =   1 * ( -i ;  1)
    
             σ2 * ( i ;  1)  =  -1 * (  i ;  1)
             σ2 * ( 1 ; -i)  =  -1 * (  1 ; -1)
    
    
             σ3 * ( 1 ;  0)  =   1 * (  1 ;  0)
             σ3 * ( i ;  0)  =   1 * (  i ;  0)
    
             σ3 * ( 0 ;  i)  =  -1 * (  0 ;  i)
             σ3 * ( 0 ;  1)  =  -1 * (  0 ;  1)

    (σ1 * v1 + σ2 * v2 + σ3 * v3)² = |v|² * I , где v = (v1,v2,v3) - вектор размерности 3х1

    коммутатор : [ σk , σm ] = 2 * i * ε^kmn * σn

    антикоммутатор : { σk , σm } = 2 * δ^km * I

    exp (i * θ * σn / 2) - есть матрица поворота вокруг оси n на угол θ , n=1,2,3

    группа SU₂ изоморфна группе SO₃ локально - обе они описывают поворот, но они отличаются глобальной структурой из-за двойного покрытия группой SU₂ группы SO₃. из этого двойного покрытия следует один интересный факт: если повернуть вектор на угол 360° (2π) то спинор повернется на угол π. и если вектор вернется в исходное состояние, то спинор не обязан этого делать - на самом деле получится спинор с противоположным знаком. вот тут можно пронаблюдать, что система для частицы со спином 1/2 возвращается в исходное не через поворот на 2π, а через поворот на 4π:


    listing octave
    #! /home/user/.nix-profile/bin/octave
    
    sig1 = [0 ,  1 ; 1 ,  0] ;
    sig2 = [0 , -i ; i ,  0] ;
    sig3 = [1 ,  0 ; 0 , -1] ;
    
    function m = vector_to_pauli (x1, x2, x3)
       m = [ x3          , x1 - i * x2
           ; x1 + i * x2 , -x3
           ] ;
    end
    
    function m = rotation (angle, axis, vector)
      matrix1 = vector_to_pauli (vector(1) , vector(2), vector₃) ;
      matrix2 = expm (-i * angle * axis / 2) * matrix1 ;
    end
    
    a = input ("angle   : ") ;
    b = input ("axis    : ") ;
    c = input ("vector  : ") ;
    rotation (a, b, c)
    

    end of listing

    каждому спинору можно поставить в соответствие обычный вектор в ℝ³. как же найти этот вектор зная спинор? декартовы координаты вектора x y z находятся как эрмитово-сопряженный спинор (вектор-строка), умноженный на соответствующую матрицу Паули и умноженный на исходный спинор (вектор-столбец). посмотрим как это работает: зададим спинор в виде вектор-столбца [1 ; 0]. какому трехмерному вектору в ℝ³ он соответствует?

    s = [1 ; 0] ;
    x = s' * sig1 * s
      x = 0
    y = s' * sig2 * s
      y = 0
    z = s' * sig3 * s
      z =  1
    видим, что x- y- координаты равны нулю, а z-координата равна 1. вектор направлен по оси z. теперь матричным экспоненцированием матрицы σ2 повернем спинор вокруг оси y на угол π/4 и посмотрим на координаты вектора в ℝ³:
    s2 = expm (-i * pi * sig2 / 8) * s
    x = s2' * sig1 * s2
      x =  0.70711
    y = s2' * sig2 * s2
      y = 0
    z = s2' * sig3 * s2
      z = 0
    несмотря на то, что мы повернули спинор на угол π/4, соответствующий вектор повернулся на угол π/2 и направлен теперь не по оси z, а по оси x. у спинора есть еще одна дополнительная степень свободы. мы можем, например, поставить знак минус у спинора, но запустив программу видим, что вектор остался тем же
    s3 = -s
    x = s3' * sig1 * s3
      x = 0
    y = s3' * sig2 * s3
      y = 0
    z = s3' * sig3 * s3
      z =  1 
    мы можем домножить спинор на мнимую единицу и вектор тоже не поменяется
    s4 = i * s
    x = s4' * sig1 * s4
      x = 0
    y = s4' * sig2 * s4
      y = 0
    z = s4' * sig3 * s4
    z =  1
    мы можем домножить спинор на произвольный фазовый множитель e^(i*α) и вектор все равно не изменит направления
    s5 = s * exp (i*3)
    x = s5' * sig1 * s5
      x = 0
    y = s5' * sig2 * s5
      y = 0
    z = s5' * sig3 * s5
      z =  1.00000
    

    спинор есть вектор, живущий в комплексном пространстве ℂ² и у него нет прямых аналогий в обычном трехмерном пространстве ℝ³. так например, спиноры [1 0] и [0 1] соответствуют векторам направленным по осям z и –z, но если найти скалярное произведение этих спиноров, то оно окажется равно нулю: спиноры ортогональны, а соответствующие им векторы - параллельны! так получается из-за изоморфизма SU₂/ℤ2 ≅ SO₃

    собственные векторы не уникальны. собственный вектор, умноженный на число также будет собственным вектором и если мы ограничиваемся векторами единичной длины, то это число будет фазовым множителем: e^(α*i) умноженное на собственный вектор также будет собственным вектором

    матрицы Паули являются составными элементами базиса алгебры Клиффорда G³ векторного пространства комплексных 2х2 матриц размерности 3. а именно базисом является

            I,                        нулевая градация , скаляр
            σ₁  σ₂  σ₃                первая градация  , вектор
            σ₁σ₂  σ₂σ₃  σ₃σ₁          вторая градация  , бивектор
            σ₁σ₂σ₃                    третья градация  , псевдоскаляр

    градиент ∇ = σ₁*∂₁ + σ₂*∂₂ + σ₃*∂₃ . тогда

            ∇u = ∇ ⋅ u + ∇ Λ u
    скалярная функция ∇ ⋅ u называется дивиргенцией, а бивектор ∇ Λ u называется ротором. символом Λ обозначается внешнее произведение алгебры Клиффорда, а символом ⋅ ее скалярное произведение


    матрицы Дирака (γ-матрицы)

    нужны для квантового волнового уравния релятивистской частицы со спином 1/2, а также для Гамильтонианов взаимодействия полей, в случае если во взаимодействии участвуют частицы со спином 1/2. матрицы Дирака можно рассматривать как подстановки над четырьмя функциями. по историческим причинам наиболее часто в исследованиях используются дираковские 4-спиноры, которые применяют для записи уравнений Дирака, описывающих фермионы со спином 1/2. дираковские 4-спиноры суть неприводимые спиноры для случая n=4 и s=±2, где n - размерность векторного пространства, s=n−2*u - его сигнатура, u - число отрицательных значений диагонального метрического тензора g_µν

    рассмотрим конкретное представление матриц Дирака - представление Вейля. при этом матрицы Дирака могут быть записаны с использованием матриц Паули σ1, σ2, σ3:

        γ⁰ = (   I    0
                 0    I  )
    
        γⁱ = (   0   σ1
               -σ1    0  )
    
        γ² = (   0   σ2
               -σ2    0  )
    
        γ³ = (   0   σ3
               -σ3    0  )  

    еще одна матрица получается произведением четырех γ-матриц и домножением на i:

        γ⁵ = i * γ⁰ * γⁱ * γ² * γ³ = ( -I   0
                                        0   I  ) 
    эта матрица представляет собой оператор Казимира, поскольку коммутирует со всеми остальными матрицами . определитель всех матриц равен 1


    listing octave
    #! /home/user/.nix-profile/bin/octave
    
    sig1 = [0 ,  1 ; 1 ,  0] ;
    sig2 = [0 , -i ; i ,  0] ;
    sig3 = [1 ,  0 ; 0 , -1] ;
    
    gam0 = [eye(2,2) , zeros(2,2) ; zeros(2,2) , eye(2,2) ]
    gam1 = [zeros(2,2) , sig1 ; -sig1 , zeros(2,2) ]
    gam2 = [zeros(2,2) , sig2 ; -sig2 , zeros(2,2) ]
    gam3 = [zeros(2,2) , sig3 ; -sig3 , zeros(2,2) ]
    gam5 = i * gam0 * gam1 * gam2 * gam3
    
    range (gam0)
    ans =
    
       1   1   1   1
    
    range (gam1)
    ans =
    
       1   1   1   1
    
    range (gam2)
    ans =
    
      -0 - 1i   0 + 1i   0 + 1i  -0 - 1i
    
    range (gam3)
    ans =
    
       1   1   1   1
    
    null (gam0)
    ans = [](4x0)
    
    null (gam1)
    ans = [](4x0)
    
    null (gam2)
    ans = [](4x0)
    
    null (gam3)
    ans = [](4x0)
    


    матрицы Гельмана

    это матрицы, используемые для генераторов группы SU₃. всего их восемь:

        λ1 = ( 0  1  0
               1  0  0
               0  0  0 )
    
        λ2 = ( 0 -i  0
               i  0  0
               0  0  0 )
    
        λ3 = ( 1  0  0
               0 -1  0
               0  0  0 )
    
        λ4 = ( 0  0  1
               0  0  0
               1  0  0 )
    
        λ5 = ( 0  0 -i
               0  0  0
               i  0  0 )
    
        λ6 = ( 0  0  0
               0  0  1
               0  1  0 )
    
        λ7 = ( 0  0  0
               0  0 -i
               0  i  0 )
    
        λ8 = ( 1  0  0
               0  1  0
               0  0 -2 ) * ⎷3
    

    ващета сами генераторы для SU₃ определяются как T = λ/2 . они подчиняются следующим соотношениям:

                      8
      [Ta , Tb] = i * Σ fabc * Tc
                     с=1
    
                      f123 = 1
    
                      f147 = f165 = f246 = f257 = f345 = f376 = 1/2
    
                      f458 = f678 = ⎷3 / 2

    trace (λ) = 0

    первые шесть матриц суть миноры матриц Паули σ₁ σ₂, седьмая - минор матрицы Паули σ₃. а вот восьмая матрица - диагональна, с нулевым трейсом, с вещественными числами

    матрицы используются в QCD: каждому из восьми глюонов сопоставляется матрица Гельмана. октетная схема Гельмана является удачной. в ее основе лежит принцип SU₃ симметрии. восемь известных барионов рассматриваются как супермультиплет, соответствующий высшей симметрии; эта симметрия нарушается, и супермультиплет расщепляется в изотопические спиновые мультиплеты. сильно взаимодействующие частицы описываются в пространстве "унитарного спина", который имеет восемь компонент:

    имеет место следующее: при нарушении высшей симметрии ("унитарной") сохраняются изоспин и гиперзаряд, а компоненты унитарного спина, соответствующие определенной странности, изменяются; в результате происходит расщепление супермультиплета в изотопические спиновые мультиплеты. теория Гельмана в какой-то степени учитывает единство симметрии и асимметрии в мире элементарных частиц