any kind of invariance under a field transformation is considered a symmetry
симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. в зависимости от характера симметрии все элементарные частицы делятся на два класса: частицы с полуцелым спином (электроны, нейтроны и протоны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми–Дирака. частицы с нулевым, или целочисленным, спином (фотоны, мезоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна
так как результат взаимодействия частиц должен быть
для описания квантово-механических процессов оказалось удобным сопоставить физические поля и соответствующие группы
относительность имеет математическое представление или как группа Галилея (классическая относительность) или как группа Пуанкаре (относительность СТО). указанные группы являются группами Ли. группой Ли называется группа, которая является дифференцируемым многообразием (т.е. имеет гладкую структуру) над полем K, причем "операция" группы и "взятие обратного элемента" оказываются гладкими отображениями. элементы групп Ли всегда можно найти матричным умножением генераторов групп Ли. сами элементы можно рассматривать как операторы, действующие на векторы-состояния
задать представление группы - значит задать некоторое количество матриц - генераторов группы, удовлетворяющим соотношениям с заданным набором структурных констант. генераторы являются матрицами той же размерности, что элементы группы. скаляры нормировки называются структурными константами группы
в названии матричных групп отражены свойства их элементов. буква L - линейность, унитарность - U, ортогональность - О. если матрицы имеют единичный положительный определитель (унимодулярны), в названии ставится буква S. после названия указывается ранг матриц (не путать с размерностью физических пространств, для описания которых матрицы используются!)
группа U₁ - унитарная группа комплексных матриц с рангoм 1. применяется в QED. преобразования с различными параметрами коммутируют между собой. это мультипликативная абелева группа комплексных чисел, равных по модулю единице. группе U₁ соответствуют вращения в плоскости
группы вращений в трехмерном эвклидовом пространстве - совокупность всех видов вращений твердого тела. элементом группы является поворот на любой угол. единичному элементу соответствует отсутствие поворота, обратному элементу - поворот в противоположном направлении на тот же угол. если мы зафиксируем одну из осей, то сможем перейти к группе U₁. все матрицы вращения, имеющие единичный определитель образуют специальную ортогональную группу SO₃
инвертирование сразу трёх осей (или одной) в SO₃ переводит правую систему координат в левую и наоборот. после такого инвертирования никаким поворотом нельзя вернуться в исходное состояние: все преобразования группы O₃ можно разбить на два класса - вращения правой и левой системы координат. это записывается в виде прямого произведения групп вращений и инверсий всех осей:
Inv = {
I, -- нет инверсий
-I, -- три инверсии
-- две инверсии
(-1 0 0
; 0 -1 0
; 0 0 0),
(-1 0 0
; 0 0 0
; 0 0 -1),
( 0 0 0
; 0 -1 0
; 0 0 -1),
-- одна инверсия
(-1 0 0
; 0 0 0
; 0 0 0),
( 0 0 0
; 0 -1 0
; 0 0 0),
( 0 0 0
; 0 0 0
; 0 0 -1)
}
O₃ = SO₃ ⨯ Inv
принято различать пассивные и активные повороты. в первом случае сравниваются координаты одной и той же фиксированной точки пространства в двух системах координат, повёрнутых относительно друг друга на угол. при активных вращениях рассматриваются координаты некоторого вектора, после его поворота относительно одной и той же системы координат
группа SU₂ вращений в пространстве для частиц с изотопическим спином ½. применяется в теории слабого взаимодействия. образована из множества унитарных матриц - специальная унитарная группа, имеет в качестве базиса матрицы Паули
группа SU₃ - цветовая унимодулярная унитарная группа с рангом 3, образована из множества унитарных матриц. применяется в QCD. у группы SU₃, описывающей вращения в восьми измерениях, базисом являются матрицы Гельмана
если Лагранжиан симметричен относительно преобразований поворотов нескольких комплексных полей, то возникают неабелевы группы симметрии с несколькими параметрами. например, группа SU₂ для изотопического спина: два преобразования являющиеся ее элементами, не коммутируют друг с другом. вторым примером является группа SU₃ для цветовой симметрии
матрицы Паули определяют в Гильбертовом двумерном пространстве над полем комплексных чисел серию операций (вращений), позволяющих получить состояние физической системы в пространстве ℝ³. поэтому алгебра, сгенерированная на матрицах Паули, называется "алгеброй физического пространства"
используются для релятивистской частицы со спином 1/2. обьект, на который действуют матрицы Паули называется спинором Вейля, а сами матрицы Паули - операторы Казимира для такого спинора
σ1 = ( 0 1
1 0 )
σ2 = ( 0 -i
i 0 )
σ3 = ( 1 0
0 -1 )
матрицы Паули помимо того, что они эрмитовы, они также еще и унитарны. не все эрмитовы матрицы унитарны, но матрицы Паули - именно такие. эрмитова матрица - квадратная матрица, которая, будучи транспонирована, равна сопряжённой. унитарные матрицы - это квадратные матрицы, такие что результат умножения на сопряжённую равен единичной матрице
σ1² = σ2² = σ3² = I = ( 1 0
0 1)
σ1 * σ2 * σ3 = i * I
трейс матриц σ1,σ2,σ3 равен нулю, детерминант их равен -1, значит собственные числа одинаковы по модулю и противоположны по знаку
σ_n * σ_m = δ^nm * I + i * ε^123 * σ_k где ε - ассиметричный тензор третьего ранга (тензор Леви-Чивиты)
матрицы Паули подчиняются тем же коммутационным соотношениям, что и генераторы группы вращений O₃. а для группы SU₂ матрицы Паули вообще сами являются генераторами - матрицы Паули вращают спинор Вейля вокруг соответствущих осей на π радиан
любая матрица Паули с единичной образует базис для GL(2,ℂ) - группы всех матриц размерностью 2х2 с определителем ±1 над полем комплексных чисел. единичную матрицу 2x2 иногда обозначают как σ0. итак, любая матрица A размерности 2х2 может быть представлена в виде
A = a_0 * σ0 + a_n * σn , n=1,2,3
a_0 = 1/2 * trace (A)
a_n = 1/2 * trace (A * σn)
любой вектор V размерности 3х1 из ℝ³ вида (x1 ; x2 ; x3) представим в виде:
σ1 * x1 + σ2 * x2 + σ3 * x3 =
( x3 x1 - i * x2
x1 + i * x2 - x3 )
теперь про спинор Вейля. объект на который действует элемент группы SU₂ не может быть вектором. хотя бы потому, что унитарные матрицы содержат комплексные элементы. умножение таких матриц на вектор-столбец пусть даже с действительными элементами даст в общем случае вектор-столбец с комплексными элементами. но координаты векторов не могут быть комплексными числами. поворот спинора Вейля в спинорном пространстве на угол π соответствует повороту вектора в трехмерном пространстве на угол 2π. данное свойство называется double cover - двойное покрытие. один оборот спинора соответствует двум оборотам вектора. но обычно все же исходят от трехмерного пространства и говорят, что поворот на угол α вектора соответствует повороту на угол α/2 спинора
что касается собственных векторов и собственных значений матриц Паули:
σ1 * ( 1 ; 1) = 1 * ( 1 ; 1)
σ1 * (-1 ; -1) = 1 * ( -1 ; -1)
σ1 * ( i ; i) = 1 * ( i ; i)
σ1 * (-i ; -i) = 1 * ( -i ; -i)
σ1 * (-1 ; 1) = -1 * ( -1 ; 1)
σ1 * ( 1 ; -1) = -1 * ( 1 ; -1)
σ2 * ( 1 ; i) = 1 * ( 1 ; i)
σ2 * (-i ; 1) = 1 * ( -i ; 1)
σ2 * ( i ; 1) = -1 * ( i ; 1)
σ2 * ( 1 ; -i) = -1 * ( 1 ; -1)
σ3 * ( 1 ; 0) = 1 * ( 1 ; 0)
σ3 * ( i ; 0) = 1 * ( i ; 0)
σ3 * ( 0 ; i) = -1 * ( 0 ; i)
σ3 * ( 0 ; 1) = -1 * ( 0 ; 1)
(σ1 * v1 + σ2 * v2 + σ3 * v3)² = |v|² * I , где v = (v1,v2,v3) - вектор размерности 3х1
коммутатор : [ σk , σm ] = 2 * i * ε^kmn * σn
антикоммутатор : { σk , σm } = 2 * δ^km * I
exp (i * θ * σn / 2) - есть матрица поворота вокруг оси n на угол θ , n=1,2,3
группа SU₂ изоморфна группе SO₃ локально - обе они описывают поворот, но они отличаются глобальной структурой из-за двойного покрытия группой SU₂ группы SO₃. из этого двойного покрытия следует один интересный факт: если повернуть вектор на угол 360° (2π) то спинор повернется на угол π. и если вектор вернется в исходное состояние, то спинор не обязан этого делать - на самом деле получится спинор с противоположным знаком. вот тут можно пронаблюдать, что система для частицы со спином 1/2 возвращается в исходное не через поворот на 2π, а через поворот на 4π:
#! /home/user/.nix-profile/bin/octave
sig1 = [0 , 1 ; 1 , 0] ;
sig2 = [0 , -i ; i , 0] ;
sig3 = [1 , 0 ; 0 , -1] ;
function m = vector_to_pauli (x1, x2, x3)
m = [ x3 , x1 - i * x2
; x1 + i * x2 , -x3
] ;
end
function m = rotation (angle, axis, vector)
matrix1 = vector_to_pauli (vector(1) , vector(2), vector₃) ;
matrix2 = expm (-i * angle * axis / 2) * matrix1 ;
end
a = input ("angle : ") ;
b = input ("axis : ") ;
c = input ("vector : ") ;
rotation (a, b, c)
каждому спинору можно поставить в соответствие обычный вектор в ℝ³. как же найти этот вектор зная спинор? декартовы координаты вектора x y z находятся как эрмитово-сопряженный спинор (вектор-строка), умноженный на соответствующую матрицу Паули и умноженный на исходный спинор (вектор-столбец). посмотрим как это работает: зададим спинор в виде вектор-столбца [1 ; 0]. какому трехмерному вектору в ℝ³ он соответствует?
s = [1 ; 0] ; x = s' * sig1 * s x = 0 y = s' * sig2 * s y = 0 z = s' * sig3 * s z = 1видим, что x- y- координаты равны нулю, а z-координата равна 1. вектор направлен по оси z. теперь матричным экспоненцированием матрицы σ2 повернем спинор вокруг оси y на угол π/4 и посмотрим на координаты вектора в ℝ³:
s2 = expm (-i * pi * sig2 / 8) * s x = s2' * sig1 * s2 x = 0.70711 y = s2' * sig2 * s2 y = 0 z = s2' * sig3 * s2 z = 0несмотря на то, что мы повернули спинор на угол π/4, соответствующий вектор повернулся на угол π/2 и направлен теперь не по оси z, а по оси x. у спинора есть еще одна дополнительная степень свободы. мы можем, например, поставить знак минус у спинора, но запустив программу видим, что вектор остался тем же
s3 = -s x = s3' * sig1 * s3 x = 0 y = s3' * sig2 * s3 y = 0 z = s3' * sig3 * s3 z = 1мы можем домножить спинор на мнимую единицу и вектор тоже не поменяется
s4 = i * s x = s4' * sig1 * s4 x = 0 y = s4' * sig2 * s4 y = 0 z = s4' * sig3 * s4 z = 1мы можем домножить спинор на произвольный фазовый множитель e^(i*α) и вектор все равно не изменит направления
s5 = s * exp (i*3) x = s5' * sig1 * s5 x = 0 y = s5' * sig2 * s5 y = 0 z = s5' * sig3 * s5 z = 1.00000
спинор есть вектор, живущий в комплексном пространстве ℂ² и у него нет прямых аналогий в обычном трехмерном пространстве ℝ³. так например, спиноры [1 0] и [0 1] соответствуют векторам направленным по осям z и –z, но если найти скалярное произведение этих спиноров, то оно окажется равно нулю: спиноры ортогональны, а соответствующие им векторы - параллельны! так получается из-за изоморфизма SU₂/ℤ2 ≅ SO₃
собственные векторы не уникальны. собственный вектор, умноженный на число также будет собственным вектором и если мы ограничиваемся векторами единичной длины, то это число будет фазовым множителем: e^(α*i) умноженное на собственный вектор также будет собственным вектором
матрицы Паули являются составными элементами базиса алгебры Клиффорта G³ векторного пространства комплексных 2х2 матриц размерности 3. а именно базисом является
I, нулевая градация , скаляр
σ₁ σ₂ σ₃ первая градация , вектор
σ₁σ₂ σ₂σ₃ σ₃σ₁ вторая градация , бивектор
σ₁σ₂σ₃ третья градация , псевдоскаляр
градиент ∇ = σ₁*∂₁ + σ₂*∂₂ + σ₃*∂₃ . тогда
∇u = ∇ ⋅ u + ∇ Λ u
скалярная функция ∇ ⋅ u называется дивиргенцией, а бивектор ∇ Λ u называется ротором. символом Λ обозначается внешнее произведение алгебры Клиффорта, а символом ⋅ ее скалярное произведение
используются при решении квантового волнового уравния релятивистской частицы со спином 1/2, а также для Гамильтонианов взаимодействия полей, в случае если во взаимодействии участвуют частицы со спином 1/2
матрицы Дирака можно рассматривать как подстановки над четырьмя функциями. по историческим причинам наиболее часто в исследованиях используются дираковские 4-спиноры, которые применяют для записи уравнений Дирака, описывающих фермионы со спином 1/2. дираковские 4-спиноры суть неприводимые спиноры для случая n=4 и s=±2, где n - размерность векторного пространства, s=n−2*u - его сигнатура, u - число отрицательных значений диагонального метрического тензора g_µν
рассмотрим конкретное представление матриц Дирака - представление Вейля. при таком представлении матрицы Дирака могут быть записаны с использованием матриц Паули σ1, σ2, σ3:
γ⁰ = ( I 0
0 I )
γⁱ = ( 0 σ1
-σ1 0 )
γ² = ( 0 σ2
-σ2 0 )
γ³ = ( 0 σ3
-σ3 0 )
еще одна матрица получается произведением четырех γ-матриц и домножением на i:
γ⁵ = i * γ⁰ * γⁱ * γ² * γ³ = ( -I 0
0 I ) эта матрица представляет собой оператор Казимира, поскольку коммутирует со всеми остальными матрицами. определитель всех матриц равен 1
octave :
#! /home/user/.nix-profile/bin/octave sig1 = [0 , 1 ; 1 , 0] ; sig2 = [0 , -i ; i , 0] ; sig3 = [1 , 0 ; 0 , -1] ; gam0 = [eye(2,2) , zeros(2,2) ; zeros(2,2) , eye(2,2) ] gam1 = [zeros(2,2) , sig1 ; -sig1 , zeros(2,2) ] gam2 = [zeros(2,2) , sig2 ; -sig2 , zeros(2,2) ] gam3 = [zeros(2,2) , sig3 ; -sig3 , zeros(2,2) ] gam5 = i * gam0 * gam1 * gam2 * gam3 range (gam0) ans = 1 1 1 1 range (gam1) ans = 1 1 1 1 range (gam2) ans = -0 - 1i 0 + 1i 0 + 1i -0 - 1i range (gam3) ans = 1 1 1 1 null (gam0) ans = [](4x0) null (gam1) ans = [](4x0) null (gam2) ans = [](4x0) null (gam3) ans = [](4x0)
это матрицы генераторов группы SU₃. всего их восемь:
λ1 = ( 0 1 0
1 0 0
0 0 0 )
λ2 = ( 0 -i 0
i 0 0
0 0 0 )
λ3 = ( 1 0 0
0 -1 0
0 0 0 )
λ4 = ( 0 0 1
0 0 0
1 0 0 )
λ5 = ( 0 0 -i
0 0 0
i 0 0 )
λ6 = ( 0 0 0
0 0 1
0 1 0 )
λ7 = ( 0 0 0
0 0 -i
0 i 0 )
λ8 = ( 1 0 0
0 1 0
0 0 -2 ) * ⎷3
ващета сами генераторы для SU₃ определяются как T = λ/2 . они подчиняются следующим соотношениям:
8
[Ta , Tb] = i * Σ fabc * Tc
с=1
f123 = 1
f147 = f165 = f246 = f257 = f345 = f376 = 1/2
f458 = f678 = ⎷3 / 2
trace (λ) = 0
семь матриц суть миноры матриц Паули σ₁ σ₂, σ₃ а восьмая матрица - диагональна, с нулевым трейсом, с вещественными числами
матрицы используются в QCD: каждому из восьми глюонов сопоставляется матрица Гельмана. октетная схема Гельмана является удачной - в ее основе лежит принцип SU₃ симметрии. восемь известных барионов рассматриваются как супермультиплет, соответствующий высшей симметрии; эта симметрия нарушается, и супермультиплет расщепляется в изотопические спиновые мультиплеты. сильно взаимодействующие частицы описываются в пространстве "унитарного спина", который имеет восемь компонент:
имеет место следующее: при нарушении высшей симметрии ("унитарной") сохраняются изоспин и гиперзаряд, а компоненты унитарного спина, соответствующие определенной странности, изменяются; в результате происходит расщепление супермультиплета в изотопические спиновые мультиплеты
теория Гельмана в какой-то степени учитывает единство симметрии и асимметрии в мире элементарных частиц
под симметрией понимаются такие преобразования системы, которые не меняют энергии системы. Эмми Неттер доказала теорему о том, что каждой симметрии соответствует закон сохранения. так, из симметрии относительно сдвигов и поворотов в четырехмерном пространстве-времени Минковского следуют законы сохранения энергии, импульса и момента. справедливо и обратное: каждой сохраняющейся величине соответствует своя симметрия
пусть имеются два волновых поля φ1 и φ2, описываемых действительными функциями. пусть энергия системы определяется симметричным образом полями φ1(х) и φ2(х), где под х подразумеваются три пространственные координаты и время. тогда энергия системы не изменится, если φ1(х) и φ2(х) заменить их комбинацией:
ξ1 = φ1 (х) * cos α + φ2 (х) * sin α ξ2 = - φ1 (х) * sin α + φ2 (х) * cos αпреобразование это аналогично повороту системы на угол α вокруг оси. при этом
{ξ1(х)}² + {ξ2(х)}² = const инвариантна. величина α подразумевается постоянной - такая симметрия называется глобальной
но согласование значения α = const во всем пространстве требовало бы сигналов с бесконечной скоростью распостранения. поэтому более естественной является локальная симметрия, при которой α выбирается в каждой пространственно-временной точке, т.е. α является функцией координат-времени:
α = f(х)
однако для существования локальной симметрии требуется дополнительное условие. дело в том, что импульс частицы в квантовой механике определяется путем дифференцирования волновой функции или, как говорят, применением оператора
P x = -i * (∂/∂x) а при преобразовании в импульсе частицы возникает неопределенная функция ∂α/∂x^i что недопустимо для физической величины. возникшую неопределенность можно устранить, предположив, что сохраняющиеся величины являются источником некоторого векторного поля, характеризуемого четырьмя компонентами в пространстве-времени Минковского, которое (поле) также изменяется при преобразовании и компенсирует при этом произвольную функцию, появляющуюся в импульсе
итак
1. сохраняющимся величинам отвечает определенная симметрия
2. чтобы эта симметрия была локальной, сохраняющиеся величины должны быть источником векторных калибровочных полей
3. константы, характеризующие взаимодействие сохраняющихся величин с калибровочными полями, называются зарядами
4. калибровочные поля осуществляют взаимодействие между заряженными частицами
5. соответствующие калибровочным полям безмассовые частицы являются переносчиками такого взаимодействия
существование фотона может быть истолковано как проявление локальной калибровочной инвариантности Лагранжиана, описывающего свободное поле заряженного фермиона спина 1/2 (например электрона). в некотором смысле природа может быть устроена так, что первичными оказываются свободные заряженные частицы полуцелого спина, а условие локальной калибровочной инвариантности, которое накладывается на уравнения, описывающие их свободное движение, вызывает к жизни векторное безмассовое поле, которое отождествляется с электромагнитным полем. фотон появляется не как самостоятельное фундаментальное поле, а как некоторое компенсирующее поле, введенное чтобы получить теорию свободного электрона, инвариантную относительно локальных калибровочных преобразований абелевой группы U₁. это группа, элементами которой как раз и являются вращения на произвольные углы вокруг одной оси
поскольку протон и нейтрон обладают близкими массами и близкими свойствами относительно сильных взаимодействий, Гейзенберг предложил рассматривать их как одно состояние - нуклон, в некотором гипотетическом изопространстве. определим нуклон как состояние с двумя проекциями - протоном и нейтроном, проводя полную аналогию с введением спина 1/2 в обычном пространстве
( p ( 1 ( 0
N = p = n =
n ) 0 ) 1 )
нуклон в пространстве преобразуется с помощью 2-мерных эрмитовых матриц Паули или их линейных комбинаций
τ1 = ( 0 1
1 0 )
τ2 = ( 0 -i
i 0 )
τ3 = ( 1 0
0 –1 )
можно перевести : протон в нейтрон - матрицей
1/2 * (τ1 + i * τ2)нейтрон в протон - матрицей
1/2 * (τ1 - i * τ2)
подразумевается, что как только сделан выбор, что называть протоном, а что нейтроном в одной точке пространства-времени, свобода выбора в других точках пространства-времени пропадает. в то же время в отсутствие электромагнитного взаимодействия разделение нуклонов на протоны и нейтроны совершенно произвольно
применим теперь представления о локальной симметрии к кваркам
каждый тип кварков (аромат) должен обладать внутренней характеристикой, которая может принимать ТРИ ЗНАЧЕНИЯ (цвет). сильное взаимодействие должно быть одинаково для всех цветных состояний. это означает, что должна существовать симметрия между цветами
одна из простейших симметрий заключается в том, что каждый цветной кварк заменяется суперпозицией всех остальных цветных кварков того же типа. предположение, что указанная симметрия имеет локальный характер требует, чтобы цветовые состояния были источниками векторных калибровочных полей. величина, характеризующая силу взаимодействия цветных кварков с этими калибровочными полями, называется цветовым зарядом кварков. ее численное значение должно определяться из опыта. кварки различного типа (аромата) имеют одинаковый цветовой заряд, антикварки - противоположный
математически преобразование цветовой симметрии можно рассматривать как некоторый поворот в особом цветовом пространстве. однако преобразование цвета включает в себя повороты вокруг разных осей. такие повороты некоммутативны. соответствующая им симметрия называется неабелевой. при преобразованиях неабелевой симметрии одновременно с цветовыми зарядами кварков должны поворачиваться и соответствующие им калибровочные поля. это означает, что глюоны также должны иметь цветовой заряд. чтобы во всех взаимодействиях глюонов и кварков цвет сохранялся, глюоны ДОЛЖНЫ БЫТЬ ДВУХЦВЕТНЫМИ, содержа в себе какой-либо цвет и какой-либо антицвет
очевидно, что может быть всего шесть глюонов, содержащих разные цвет/антицвет и три комбинации из одинакового цвета/антицвета
+r-r +r-g +r-b
+g-r +g-g +g-b
+b-r +b-g +b-b по строчкам - один цвет, а по столбцам - один антицвет
но эта матрица есть ни что иное, как тензорное умножение двух векторов :
( -r
-g
( +r +g +b ) ⊗ -b )
симметричная суперпозиция цветовых состояний не будет поворачиваться при цветовых преобразованиях, т.е. будет бесцветной. две же другие суперпозиции будут при поворотах в цветовом пространстве поворачиваться вместе с остальными шестью глюонами и взаимодействовать с цветными кварками с тем же самым цветовым зарядом. именно таким образом и постулируется, что три цветовых состояния кварков могут испускать только восемь типов цветных глюонов
выводы квантовой хромодинамики о свойствах цветовых зарядов позволяют строить различные модели их пленения. одной из моделей является модель струн. согласно этой модели, кварк и антикварк в мезонах или три кварка в барионах связаны струнами, в которых заключено глюонное поле. если какому-либо кварку в адроне сообщается в результате взаимодействия (например, с рассеивающимся на нем нейтрино) импульс и он отлетает от своих партнеров, то глюонная струна натягивается и может разорваться в одном или нескольких местах. в результате возникающие на концах разрыва цветные кварки и антикварки вновь объединяются в белые адроны, многие из которых полетят в направлении улетевшего кварка, образовав целую струю адронов. по направлению струи и суммарной энергии в ней можно сделать заключение об импульсе, сообщенном кварку
в цветном пространстве разделение кварков по цветам условно. с одной стороны, всегда можно условиться, какой именно кварк несет определенный цвет во всем пространстве-времени. этого можно добиться посредством глобального калибровочного преобразования в пространстве цвета. с другой стороны, концепция локализованного поля, лежащая в основе обычных физических теорий, естественно ведет к требованию инвариантности теории относительно локальных калибровочных преобразований в цветном пространстве
подобно случаям с электроном и нуклоном, напишем Лагранжиан для свободных полей трехцветных кварков. кварк определенного аромата q есть 3-спинор группы SU₃ в цветном пространстве, аналогично тому, как нуклон является 2-спинором группы SU₂ в изопространстве. и подобно тому, как протон переводился в нейтрон с помощью 2-мерной матрицы, кварк цвета 1 переводится в кварк цвета 2 или 3, но уже с помощью 3-мерной матрицы
матрицы k=1,..,8 известны в теории унитарной симметрии SU₃ как матрицы Гельмана, они действуют в цветном пространстве, переводя кварки одного цвета в кварки другого цвета. они удовлетворяют перестановочным соотношениям, по виду напоминающие перестановочные соотношения для матриц Паули
потребуем теперь инвариантности Лагранжиана относительно локального калибровочного преобразования: для того, чтобы убрать члены, нарушающие калибровочную инвариантность, необходимо ввести уже 8 безмассовых векторных полей. 8-вектор Gk может быть записан в виде матрицы с нулевым трейсом. каждый глюон несет цвет и антицвет, причем диагональные комбинации ни в коем случае не бесцветны! кварк цвета A излучает глюон цвета A и антицвета B, переходя в кварк цвета B. скалярная по цвету (бесцветная) комбинация в обмене между кварками не участвует
для слабых взаимодействий тоже можно ввести калибровочные поля, что обеспечивает перенормируемость теории электрослабых взаимодействий
мы уже познакомились с методом построения Лагранжианов, инвариантных относительно локальных калибровочных преобразований, на примере электромагнитного поля, изопрострнаства нуклонов и октета глюонов:
для того, чтобы убрать члены, нарушающие калибровочную инвариантность, введем слабый изотриплет векторных полей и еще один слабый изосинглет с калибровочными преобразованиями
требование инвариантности Лагранжиана свободных лептонных полей относительно локальных калибровочных преобразований по группе SU₂L×SU₁ приводит к появлению четырех безмассовых векторных полей, взаимодействующих с этими лептонными полями
остается разрешить еще одну проблему, что, однако, оказывается невозможным без выхода за рамки калибровочной модели. это проблема масс квантов слабого поля, которые в полученных формулах равны нулю. а экспериментально : MW = 80ГэВ, а MZ = 90ГэВ
для решения проблемы ненулевых масс слабых векторных бозонов Хиггсом был предложен механизм так называемого спонтанного нарушения симметрии, который устроен таким образом, что в результате поля W±,Z оказываются массивными, а электромагнитное поле остается безмассовым. кроме того, в Лагранжиане остаются члены, описывающие взаимодействие квантов слабого поля с хиггсовскими бозонами. на сегодня это находится вне досягаемости эксперимента
таким же образом можно сделать массивными остальные лептоны и кварки. при этом возникают многочисленные вершины, соответствующие взаимодействию фермионов с хиггсовскими полями. пока эти вершины, если они даже реальны, тоже остаются вне досягаемости эксперимента
Мы живем в (4,4)-мерном супермногообразии, подстилающим многообразием которого является обычное 4-мерное пространство-время. Группой преобразования этого супермногообразия является супергруппа Ли, точки которой составляет группа ПуанкареЛейтес
Стандартная модель была создана в рамках объединения теории Янга-Миллса (калибровочной теории с неабелевой калибровочной группой), позволившей разработать теорию электрослабых взаимодействий на основе группы SU₂×U₁ и квантовую хромодинамику (теорию сильных взаимодействий) на основе группы SU₃.
теория Янга-Миллса - обобщение уравнений Максвелла, специальный пример калибровочной теории поля с неабелевой группой калибровочной симметрии. нелинейность уравнений Янга-Миллса приводит к тому, что их составление и решение - непростая задача. решения найдены для очень небольшого числа частных случаев, а в общем виде метод решения неизвестен. также неизвестно, как нелинейность уравнений приводит к наблюдаемому в экспериментах конфайнменту в сильных взаимодействиях. решение уравнений Янга-Миллса в общем случае является одной из семи математических "проблем тысячелетия" института Клэя
частицами-переносчиками взаимодействий (калибровочными частицами) являются бозоны:
QCD - теория сильного взаимодействия цветных кварков и цветных глюонов. сильное взаимодействие осуществляется путем обмена глюонов между кварками. теория построена на основе принципа локальной калибровочной инвариантности относительно преобразований в трехцветном комплексном пространстве внутренних симметрий SU₃
глюон - квант векторного поля сильного взаимодействия. глюон является электрически нейтральной частицей со спином 1 и нулевой массой. глюоны характеризуются не только спином но и дву-цветом, и не имеют других квантовых чисел. глюоны являются бозонами. двух-цветные глюоны являются переносчиками сильного взаимодействия между кварками и склеивают их в адроны
в QCD установлено существование восьми глюонных полей, отличающихся цветовыми индексами
при поглощении и испускании глюона у кварка меняется только его цвет, но сохраняются другие квантовые числа и аромат кварка не меняется. наличие у глюона цветового заряда приводит к самодействию глюонов: т.е. глюоны могут поглощать или излучать другие глюоны
QCD удается описать асимптотическую свободу - невзаимодействие кварков при малых расстояниях. это обусловлено убыванием эффективной хромодинамической константы с ростом энергии. использование асимптотической свободы и гипотезы о конфайнменте позволяет описывать процессы с большими поперечными импульсами, рождение лептонных пар, струйные процессы в электрон-позитронной аннигиляции, т.е. такие реакции, в которых детали образования конечных состояний из кварков и глюонов не существенны
слабое взаимодействие - одно из четырех взаимодействий между элементарными частицами. оно превращает заряженные лептоны в нейтрино, а кварки одного сорта в кварки другого сорта. в процессах с участием слабого взаимодействия отсутствует зарядовая и зеркальная симметрия, т.е. нарушается пространственная и зарядовая четности, а также изменяются на единицу квантовые числа адронов странность и очарование
создать отдельную теорию слабого взаимодействия не удалось, слабое и электромагнитное взаимодействие были объединены при помощи калибровочной группы SU₂×U₁. калибровочные бозоны слабого взаимодействия получают массу из-за спонтанного нарушения электрослабой симметрии от SU₂×U₁, вызванного механизмом Хиггса. теория предсказывала существование только безмассовых бозонов, что противоречило экспериментальным данным. поэтому в Стандартную модель потребовалось добавить дополнительное поле Хиггса, переносчик которого, бозон Хиггса, вызывает появление инертной массы для бозонов. экспериментально бозон Хиггса пока не обнаружен
оператор плотности четырехмерного тока описывает превращение одной частицы в другую или рождение пары частица-античастица. согласно универсальной теории слабого взаимодействия Гамильтониан четырех-фермионного слабого взаимодействия представляет собой произведение двух токов j, каждый из которых является комбинацией векторного V и аксиального A токов (V-A-взаимодействие)
векторно-аксиальная структура V-A токов приводит к характерной зависимости реакций слабого взаимодействия от спинов участвующих частиц. это связано с тем, что матрица, действуя на волновую функцию фермиона, выделяет из неё состояния с левой спиральностью. в этом случае спин частицы направлен против импульса частицы, т.е. против направления движения частицы. заряженный слабый ток - оператор теории слабого взаимодействия - отвечает за переходы, при которых электрический заряд начальных и конечных частиц меняется на единицу элементарного электрического заряда. заряженный слабый ток описывает взаимодействие лептонов и кварков с полем заряженных промежуточных векторных бозонов. он превращает нейтрон в протон, электрон в нейтрино. заряженный ток равен сумме лептонного тока и кваркового тока, каждый из которых является суммой векторного и аксиального токов. нейтральный ток - оператор, описывающий взаимодействие кварков и лептонов с полем нейтрального бозона Z. в этих переходах не меняется электрический заряд конечных и начальных кварков и лептонов. нейтральный ток состоит из суммы лептонного и адронного (кваркового) тока, каждый из которых является суммой векторного и аксиального токов. важным свойством нейтральных токов является их дагональность: они переводят каждый лептон или кварк сам в себя. нейтральный ток каждого лептона и кварка определяется электромагнитным током и током третьей компоненты слабого изоспина
заряженные бозоны W осуществляют взаимодействие заряженных токов. нейтральный бозон Z осуществляет взаимодействие нейтральных токов. заряженный W-бозон в 70% случаев распадается в адронные состояния и в 30% случаев в лептонные состояния типа (лептон, нейтрино). нейтральный бозон распадается в 71% в адронные состояния типа (лептон, антилептон) и (нейтрино, антинейтрино)
объединение пространственно-временной симметрии гравитационного взаимодействия с внутренними и калибровочными симметриями сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий достигается путем введения искривленного пространства-времени размерности (4+d), где d - число. предполагается, что дополнительные d-измерения каким-либо образом компактифицируются в замкнутое d-мерное пространство с характерными планковскими размерами. симметрия этого d-пространства определяет симметрию сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий
введение суперкалибровочных моделей обладающих суперсиммметрией и содержащих в качестве составляющих неабелевые калибровочные векторные поля. суперсимметрия - это симметрия относительно преобразований, преобразующих бозонные поля целого спина в фермионные поля полуцелого спина. эти преобразования образуют группу, являющуюся расширением группы Пуанкаре. представления группы суперсимметрии - суперполя заданы на суперпространствах, включающих кроме обычных координат, алгебраические объекты, являющиеся спинорами относительно группы Пуанкаре (спинорные координаты). в механизме нарушения суперсимметрии существенную роль должна играть супергравитация - суперсимметризованная теория тяготения Эйнштейна содержащая гравитационные супермультиплеты (гравитон со спином 2 и гравитино со спином 3/2, которые не наблюдались экспериментально )
* * *
существует теорема Райферти: нет физически удовлетворительного способа нетривиально объединить группы Ли конечного ранга, относящиеся к внутренней симметрии и группу Пуанкаре пространственно-временной симметрии: единственный способ объединения указанных групп - прямое произведение, когда преобразования соответствующих симметрий действуют независимо. в теории великого объединения гравитация не вписывается естественным образом, так как переносчиками взаимодействия в этих теориях являются калибровочные векторные поля спина 1, а кванты гравитационного поля (гравитоны) имеют спин 2. для создания единой теории поля необходимо найти симметрию которая объединяет бозоны и фермионы, и организовать суперпространство, которое содержит пространственные и спинорные координаты и поместить туда поля материи
супералгеброй, лежащей в основе физически симметричных теорий является алгебра супертрансляций. она порождается конечным числом четных и нечетных генераторов. операторы рождения бозонов и фермионов можно рассматривать как систему образующих бесконечномерной градуированной алгебры: операторы рождения бозонов считаются четными элементами алгебры, фермионные операторы считаются нечетными элементами алгебры. нечетные генераторы переводят бозоны в фермионы. учитывая связь спина со статистикой нечетные генераторы преобразуются по представлениям с полуцелым спином. четные генераторы преобразуются по представлениям с целым спином. простейшее допущение состоит в том, что нечетные генераторы являются спинорами (спиноры - это величины, преобразующиеся по фундаментальным представлениям группы комплексных матриц второго порядка с детерминантом равным единице. эта специальная линейная группа комплексных регулярных матриц SL(2,C))
суперпространство - расширенное пространство в теории суперсимметрии, которое кроме обычных пространственно-временных координат включает также спинорные координаты. спинорные переменные антикоммутируют друг с другом и коммутируют с координатами пространства-времени. спинорные переменные могут рассматриваться как нечетные образующие грассмановой алгебры. координаты служат четными образующими грассмановой алгебры. антикоммутативность необходима для обеспечения правильной связи спина со статистиками. важное следствие антикоммутативности грассмановых переменных - их нильпотентность