теория относительности


  • ОТО - геометрическая теория тяготения
  • Einstein’s equation
  • уравнение Клейна-Гордона

  • основным отличием СТО от классической механики является зависимость наблюдаемых (пространственных и временных) характеристик от скорости наблюдателя. описываемые СТО отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами

    математический аппарат преобразований координат и времени между различными системами отсчета (для уравнений электромагнитного поля), был сформулирован Пуанкаре, который предложил их назвать "преобразованиями Лоренца". Пуанкаре показал, что эти преобразования можно интерпретировать как повороты в четырёхмерном пространстве-времени и что преобразования Лоренца образуют группу. термин "теория относительности" был предложен Планком

    в СТО предполагается, что пространство и время - однородны, а пространство - изотропно. инерциальные системы отсчета и определяются как такие системы отсчета, в которых пространство и однородно и изотропно, а время однородно. по сути существование таких систем отсчета постулируется. в силу однородности пространства и времени и изотропности пространства и принципа относительности преобразования от одной ИСО к другой должны быть линейными

    интервалом между двумя произвольными событиями называется следующая величина:

        (ds)² = c²*(dt)² - (dx)² - (dy)² - (dz)²
    где дельты являются разностями между временами и координатами двух событий. следуя Минковскому и Пуанкаре, можно постулировать существование единого метрического четырёхмерного пространства-времени с 4-мя координатами. интервал должен сохраняться при переходе между ИСО, следовательно в этом пространстве такими преобразованиями могут быть либо параллельные переносы и инверсии, либо повороты. преобразования Лоренца играют роль поворотов в таком пространстве

    вращения базиса в четырёхмерном пространстве-времени, смешивающие временную и пространственные координаты 4-векторов, выглядят как переход в движущуюся систему отсчёта и похожи на вращения в обычном трёхмерном пространстве. при этом естественно изменяются проекции четырёхмерных интервалов между определёнными событиями на временную и пространственные оси системы отсчёта, что и порождает релятивистские эффекты изменения временных и пространственных интервалов. но инвариантная структура этого пространства, задаваемая постулатами СТО, не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой

    геометрический подход Минковского и Пуанкаре был развит в 1914 году А.Роббом, который положил в основу аксиоматического построения СТО понятие о следовании событий. данный подход был в дальнейшем развит А.Д.Александровым в работах 50-х - 70-х годов

    базовая аксиоматика предполагает, что пространство-время является

    эти предположения являются базовыми. тем не менее, этих предположений оказывается недостаточно для получения преобразований Лоренца. приходится делать дополнительные предположения о существовании группы взаимно-однозначных отображений, обладающих определенными свойствами по отношению к "областям воздействия". а вот уже вместе с этими дополнительными аксиомами указанная группа отображений фактически является группой Лоренца и тем самым могут быть введены декартовы координаты, псевдометрика и собственно явный вид преобразований Лоренца

    геометрическая интерпретация пространства-времени позволяет формулировать СТО в ковариантной форме на основе тензорного анализа. геометрическая интерпретация является основой для обобщения теории относительности. СТО описывает геометрию четырёхмерного пространства-времени и базируется на неискривленном пространстве Минковского. обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности (ОТО). в СТО рассматривается движение тел и связь пространства-времени с таким движением, но не рассматривается, как сами тела влияют на пространство и время. в ОТО уже учитывается, что тела сами по себе, двигаются они или нет, влияют на свойства пространства. это влияние мы воспринимаем как гравитацию


    ОТО - геометрическая теория тяготения

    постулируется, что гравитационные и инерциальные силы имеют одну и ту же природу - гравитационные эффекты обусловлены не взаимодействием тел и полей, а деформацией пространства-времени, которая связана с присутствием массы-энергии. используются уравнения для связи кривизны пространства-времени с присутствующей в нём материей. ОТО стимулировала исследования по обобщению геометрии Римана и возникновение дифференциальной геометрии пространств аффинной связности, а также разработку теории представлений непрерывных групп Ли

    интервал в четырёхмерном пространстве-времени задаётся 10-ю независимыми компонентами метрического тензора. эти 10 чисел образуют метрику пространства. она определяет "расстояние" между двумя близкими точками пространства-времени

    основным отличием пространства-времени ОТО от пространства-времени СТО является его кривизна, которая выражается тензорной величиной - тензором кривизны. в пространстве-времени СТО этот тензор тождественно равен нулю и пространство-время является плоским. принцип наименьшего действия для свободной материальной точки в теории относительности утверждает, что она движется так, что её мировая линия является экстремальной (дающей минимальное действие) между двумя заданными мировыми точками

    с математической точки зрения уравнение Эйнштейна является системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно метрического тензора пространства-времени - поэтому сумма их решений не является новым решением. приближённо линейность можно восстановить лишь при исследовании малых возмущений заданного пространства-времени, например, для слабых гравитационных полей, когда малы отклонения метрических коэффициентов от их значений для плоского пространства-времени и настолько же мала порождаемая ими кривизна

    существует точка зрения, восходящая к Лоренцу и Леви-Чивита, которая определяет тензор энергии-импульса гравитационного поля как тензор Эйнштейна с точностью до постоянного множителя. тогда уравнение Эйнштейна утверждает, что энергия-импульс гравитационного поля в любом объёме точно уравновешивает энергию-импульс материи в этом объёме, так что полная их сумма всегда тождественно равна нулю

    представления о пространстве и времени ОТО являются существенно макроскопическими и не могут быть описаны с точки зрения квантовой механики

    после того как Эйлер, Лагранж, и Мопертуи представили математическую формулировку закона сохранения энергии, импульса и момента, стало ясно, что законы физики не должны зависеть от переноса начала системы координат в другую точку пространства и времени или от поворота осей на некоторый угол. уравнения Максвелла, описывающие распространение электромагнитного поля и взаимодействие с ним частиц, показали, что скорость распространения электромагнитных волн НЕ ЗАВИСИТ ОТ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, что согласовывалось с сформулированного еще Галилеем принципом равноправия всех так называемых инерциальных систем отсчета (ИСО), то есть движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. надо было примирить ньютоновскую механику и максвеловскую электродинамику. в первой скорости всегда складываются как векторы, во второй существует фундаментальная константа скорости света, которая не зависит от системы отсчета

    какая блистательная математика была придумана, для того чтобы запихнуть реальность уравнений Максвелла в Эвклидово пространство и время!

    и тут Эйнштейн, с помощью простых рассуждений и школьной математики, построил СТО, выводящую все результаты Лорентца и Пуанкаре из двух постулатов - обобщенного принципа Галилея и постоянства скорости света в любых ИСО. главными результатами Эйнштейна были утверждения о том, что во-первых пространство и время представляют собой неразделимое единство размерности 4 с метрикой Минковского, а во-вторых, что гравитация - это "геометрия" этого пространства-времени


    ... с созданной Фарадеем и Максвеллом электродинамикой, утверждающей, что электрические частицы воздействуют друг на друга не непосредственно, а через промежуточный носитель, получивший название "электромагнитного поля". уравнения Максвелла, описывающие и распространение этого электромагнитного поля и взаимодействие с ним частиц, показали, что скорость распространения электромагнитных волн НЕ ЗАВИСИТ ОТ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, что согласовывалось с сформулированного еще Галилеем принципом равноправия всех так называемых инерциальных систем отсчета, то есть движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. но ученые разделились на две партии: одни считали, что электромагнитные волны - это есть колебания некоего эфира, заполняющего пространство и способного увлекаться движущейся материей, что противоречило принципу Галилея, так как с этим эфиром можно связать преимущественную систему отсчета. другие утверждали, что никакого эфира нет, а есть электромагнитное поле в пустоте и уравнения Максвелла надо немножечко подправить

    что тут началось!

    многочисленные попытки ввести непротиворечивую концепцию гравитационного поля оказались безуспешными, и теория гравитации оказалась единственным прибежищем теории дальнодействия, когда один объект мгновенно действует на другой удаленный объект. причем особенно нетерпимое положение сложилось после создания СТО, когда стало ясно, что теория дальнодействия в сочетании с СТО противоречит принципу причинности. и только сформулированный Эйнштейном в 1915 году принцип эквивалентности сил гравитации и сил инерции, согласно которому принципиально невозможно обнаружить наличие гравитационного поля в свободно падающем лифте достаточно малых размеров, позволил обобщить принцип относительности на неинерциальные системы отсчета и создать теорию гравитации, не нуждающуюся в принципе дальнодействия. при этом появились законы геометрии, способные меняться от точки к точке, а дальнодействие исчезало. в результате появилась ОТО, основанная на принципе ковариантности, согласно которому математическая формулировка законов природы не должна зависеть от инерциальности системы отсчета. больше никаких предположений Эйнштейн при выводе уравнений ОТО не делал - все остальные результаты были получены им в сотрудничестве с Марселем Гроссманом и Давидом Гильбертом с помощью безукоризненной логики и виртуозной математики

    самыми главными теоретическим результатами Эйнштейна были утверждения о том, что во-первых пространство и время представляют собой неразделимое единство, получившее название "пространство-время", а во-вторых, что гравитация - это "геометрия" этого пространства-времени. то есть что любое материальное тело изменяет вокруг себя законы геометрии, в результате чего параллельные прямые начинают пересекаться

    тогда же выяснилось, что космологические уравнения ОТО, сделавшие объектом изучения всю Вселенную, стационарных решений не имеют. Александр Фридман в 1921 году получил первые нестационарные решения космологических уравнений ОТО - и выяснилось, что космологическое решение Фридмана имеет особенность в прошлом, когда размер Вселенной был равен нулю. нулю! то есть ранее этого момента Вселенной не было, и она была создана из ничего! Эйнштейну потребовалось довольно значительное время для того чтобы осознать сделанное Фридманом открытие

    после смерти Эйнштейна подмена ОТО квантовой гравитацией пошла полным ходом. при этом уравнение Эйнштейна бралось как данность, но его начали применять для описания явлений, когда правая часть этого уравнения - тензор энергии импульса - заведомо невозможно корректно представить, а сами понятия измерения длины и продолжительности вступают в противоречие с законами квантовой механики. возникавшие трудности преодолевались радикальным изменением физического смысла этих уравнений - в результате чего геометрия оказывалась полем, а принцип эквивалентности гравитационной и инерционной масс исчезал вместе с принципом общей относительности (ковариантности)

    главный результат Эйнштейна - взаимосвязь гравитации и геометрии оказался заменен на математически идентичное, но противоположенное по физическому смыслу описание гравитации неким полем, связанным с так называемым "полем перенормировок". и вот уже - на ранних моментах развития Вселенной, когда якобы квантовые флуктуации должны были носить поистине вселенский характер - ОТО была объявленна неприменимой - без указания на то, как эти флуктуации должны были влиять на исходную систему аксиом Эйнштейна или как его уравнения должны быть модифицированы. неприменимы и все! но главное - исчез ноль из решений Фридмана и появился в начале расширения некий физический вакуум как параметр, характерный для всех "калибровочных теорий". про этот физический вакуум можно предполагать все что угодно, так как сравнивать подгоночные параметры с экспериментом просто невозможно. однако девизом стало - "все что угодно лишь бы не ноль!"


    мысленный эксперимент со световыми "часами":

    
        v=0          -> v
        так            так
       /////         ///////  
         |             /|\
         |            / | \
       τ |         t /  |τ \
         |          / r |   \
       /////     //////    \\\\\
        тик       тик       тик
    
          (dτ)² = (dt)² - (dr)² = (dt)² - (dx)² - (dy)² - (dz)² 
    

    приведенная выше формула - это метрика пространства Минковского. эта метрика не удовлетворяет правилу Парсеваля - она может равняться нулю для ненулевых векторов!. впрочем скалярное произведение, заданное этой метрикой симметрично, линейно и дистрибутивно. а также, если скалярное произведение какого-то вектора со всеми остальными равно нулю, то этот вектор - нулевой. т.е. скалярное произведение в пространстве Минковского - невырожденное

    "событие - это точка в пространстве Минковского
    "мировая линия" - это траектория движения частицы в пространстве Минковского
    "событие" - это мировая точка

    (dτ)² - интервал. если интервал меряется вдоль мировой линии частицы, то это "время по часам этой частицы"

    метрика Минковского (dτ)² - квадратичная форма:

      (dt, dx, dy, dz) * (1, 0, 0, 0;
                          0,-1, 0, 0;
                          0, 0,-1, 0;
                          0, 0, 0,-1) * (dt; dx; dy; dz)
    
    если частица движется по кривой, то разбиваем эту кривую на маленькие кусочки и берем интеграл интервала по прямолинейным кусочкам

    квадраты интервалов могут быть положительными, нулевыми и отрицательными

    математический аппарат преобразований координат и времени между различными системами отсчета был сформулирован Пуанкаре, который показал, что эти преобразования можно интерпретировать как повороты (интервал должен сохраняться при переходе между ИСО, следовательно это могут быть либо параллельные переносы и инверсии, либо повороты) и что преобразования Лорентца образуют группу преобразований (с операцией композиции), не меняющие формулу метрики Минковского. тождественное преобразование является в этой группе нейтральным элементом

    если по осям координат откладывать как единичный отрезок "световую секунду", а по оси времени - секунду, то "псевдо-угол наклона" светового конуса к любому двумерному подпростраству координат (плоскостям xy,xz,zy) будет равен "псевдо-углу наклона" к одномерному подпространству времени. в двумерном случае tx,ty,tz "псевдо-угол" будет равен π/4. ибо только в этом случае будет равен нулю интервал по световой тракетории

    в Эвклидовом пространстве скалярному произведению радиус-вектора R (R,R)=1 удовлетворяют точки сферы соответствующей размерности. чтобы касательная была нормирована, нужно взять длину дуги φ:

    для Эвклидова пространства (двумерный случай):

        cos² φ + sin² φ = 1
    
             R    = ( cos φ, sin φ)
        V = dR/dφ = (-sin φ, cos φ)
    и матрица преобразования координат (1,0)→(R,V) будет иметь вид (столбец R, столбец V)

    в пространстве Минковского скалярному произведению радиус-вектора C (С,С)=1 удовлетворяют точки гиперболы (нормировка для пространственных координат: x² = -1 откуда x = i). гипербола имеет две ветви и если мы хотим рассматривать тождественное преобразование Лорентца, то естественнее выбрать ту ветвь гиперболы, которая проходит через точку с неотрицательными координатами. все точки гиперболы являются концами радиус-векторов С, касательная к гиперболе в каждой ее точке ортогональна соответствующему радиус-вектору и определяет "быстроту". чтобы касательная оказалась нормированной, надо взять параметр θ (дуга гиперболы до радиус-вектора С) и вот почему:

    для пространства Минковского (двумерный случай):
    
         ch² θ - sh² θ = 1    ch θ = (exp θ + exp (-θ)) / 2     sh θ = (exp θ - exp (-θ)) / 2
    
            C    = (sh θ, ch θ)    первая координата - временная, вторая - пространственная
         U = dC/dθ = (ch θ, sh θ)
    матрица преобразования Лорентца (0,1)→(C,U) будет иметь вид (столбец U, столбец С)
    в Эвклидовом пространстве при движении по окружности:
    
      R' = V, V' = A, A = -R т.е. R" = -R
    
    что при единичном радиус-векторе есть уравнение гармонического осциллятора
    
    в пространстве Минковского:
    
       C'= U, U' = C, A = C
    что при единичном интервале есть уравнение гармонического осциллятора с отрицательной жесткостью

    в пространстве Минковского можно ввести полярные координаты. одной ордой будут гиперболы, а второй - лучи из начала координат. каждый луч соответствует движению с постоянной "быстротой", а каждая гипербола - движению с постоянным интервалом. "световой луч" ("быстрота" равна 1) является асимптотой для всех гипербол, луч совпадающий с пространственной ортой ("быстрота" равна 0) соответствует положению точки в начальный момент времени t=0

    постоянное электромагнитное поле воздействует на движущуюся в нем заряженную частицу генерируя непрерывное бесконечномалое преобразование Лорентца так, чтобы в новой системе координат частицы ее интервал оставался неизменным

    есть всего шесть генерирующих матриц, линейная комбинация которых образует элемент группы Лорентца. три из них отвечают за повороты относительно пространственных орд (анти-симметричные, с трейсом нуль, с двумя нулевыми столбцами и строками), а три других - за сжатия-растяжения вдоль пространственных орд (с трейсом нуль, симметричные, с положительным единичным элементом в непустых строках и столбцах, с двумя нулевыми строками и столбцами). вся группа Лорентца является группой Ли и элементы этой группы образуют алгебру Ли, где в качестве оператора используемого в скобке Ли используется композиция

    любая матрица из группы Лоренца может быть представлена в виде Λ * η * Λ⁺, где η имеет диагональ (1,-1,-1,-1) и все остальные элементы нули, а det(Λ) = 1

    т.о. матрица Λ - с нулевой или единичной диагональю, (анти-)симметричная. такие Λ можно задать с помощью шести параметров (элементов одного из треугольников над-/под- диагональю)

    электрическая составляющая ЭМП воздействует на генераторы сжатия-растяжения, а магнитная составляющая - на генераторы поворотов. это и есть те шесть параметров, которые предоставят матрицу Λ для генерации элемента группы Лорентца - таким образом, что все получающиеся преобразования Лорентца принадлежат группе SO₊(1,3) - ортогональных матриц с определителем +1 и верхним левым элементом больше 0 (не переворачивающих орду времени)


    если пространство однородное и изотропное, то оно может быть либо Эвклидовым, либо Риманновым, либо пространством Лобачевского. гиперболоиды в пространстве Минковского точно не Эвклидовы (не выполняется Парсеваль) и точно не Риманновы (поскольку не являются компактом), однако они однородны и изотропны - значит они суть есть пространства Лобачевского

    на Риманновой сфере, если мы тащим касательный вектор по замкнутой траектории, определяющей ненулевую площадь, то в конце вектор довернется на угол. на сфере Лобачевского при таких условиях вектор довернется в противоположном направлении (положительное направление задается направлением изменения точки траектории)


    если калибровочный гиперболоид в пространстве Минковского проецируется на плоскость пространственных орд, пересекающих орду времени в точке калибровки (в t=1), то получается модель Клейна - на ней линии есть хорды границы, геодезические линии - диаметры. эта модель не конформна (не сохраняет углы)

    если проецировать калибровочный гиперболоид на пространственную плоскость, пересекающую орду времени в t=0, то получается модель Пуанкаре. на ней геодезические линии - диаметры, линии - внутренние дуги перпендикулярные границе, но эта модель сохраняет углы (конформна)


    Einstein’s equation

    it is hard to imagine the curvature of 4-dimensional spacetime, but it is easy to see it in a 2-dimensional surface, like a sphere. the sphere fits nicely in 3-dimensional flat Euclidean space, so we can visualize vectors on the sphere as tangent vectors. if we parallel transport a tangent vector from the north pole to the equator by going straight down a meridian, we get a different result than if we go down another meridian and then along the equator:

    a person walking on a sphere ‘following their nose’ will trace out a geodesic - that is, a "great circle". suppose two people stand in different points of the equator and start walking north, both following geodesics. though they start out walking parallel to each other, the distance between them will gradually start to shrink, until finally they bump into each other at the North Pole

    in general relativity gravity is not really a ‘force’, but just a manifestation of the curvature of spacetime

    NB: not the curvature of space, but of spacetime. the distinction is crucial. if you toss a ball, it follows a parabolic path. this is far from being a geodesic in space: space is curved by the Earth’s gravitational field, but it is certainly not so curved as all that! the point is that while the ball moves a short distance in space, it moves an enormous distance in time, since 1 sec = about 300,000 km in units where c=1. this allows a slight amount of spacetime curvature to have a noticeable effect

    the mathematics of tensor calculus is designed to let us working solely within the 4-dimensional spacetime. this is one reason tensor calculus is so important in General Relativity. the serious student of General Relativity will experience a constant need to learn more tensor calculus - or in modern terminology, differential geometry. General Relativity explains gravity as the curvature of spacetime. it’s all about geometry

    the basic equation of general relativity is called Einstein’s equation. in units where

          c = 8πG = 1
    it says
    ( 1)

    we need to consider a round ball of test particles that are all initially at rest relative to each other. this is a sensible notion only in the limit where the ball is very small. if we start with such a ball of particles, it will, to second order in time, become an ellipsoid as time passes because any linear transformation applied to a ball gives an ellipsoid, and as the saying goes, “everything is linear to first order”. here we get a bit more: the relative velocity of the particles starts out being zero, so to first order in time the ball does not change shape at all: the change is a second-order effect

    let V (t) be the volume of the ball after a proper time t has elapsed, as measured by the particle at the center of the ball. then Einstein’s equation says:

    where these flows are measured at the center of the ball at time zero, using local inertial coordinates

    these flows are the diagonal components of a 4 × 4 matrix T called the stress-energy tensor. the components Tαβ of this matrix say how much momentum in the α direction is flowing in the β direction through a given point of spacetime, where

          α , β = t, x, y, z

    the flow of t-momentum in the t-direction is just the energy density, often denoted ρ

    the flow of x-momentum in the x-direction is the pressure in the x direction denoted Px , and similarly for y and z

    it takes a while to figure out why pressure is really the flow of momentum, but it is eminently worth doing. most texts explain this fact by considering the example of an ideal gas. in any event, we may summarize Einstein’s equation as follows:

    ( 2)

    given a small ball of freely falling test particles initially at rest with respect to each other, the rate at which it begins to shrink is proportional to its volume times: the energy density at the center of the ball, plus the pressure in the x direction at that point, plus the pressure in the y direction, plus the pressure in the z direction

    this equation says that positive energy density and positive pressure curve spacetime in a way that makes a freely falling ball of point particles tend to shrink. since E=m*c² and we are working in units where c=1, ordinary mass density counts as a form of energy density. thus a massive object will make a swarm of freely falling particles at rest around it start to shrink. in short: gravity attracts

    Einstein’s equation in its usual tensorial form is really a bunch of equations: the left and right sides of equation (1) are 4 × 4 matrices. it is hard to believe that the single equation (2) captures all that information. it does, though, as long as we include one bit of fine print: in order to get the full content of the Einstein equation from equation (2), we must consider small balls with all possible initial velocities — i.e., balls that begin at rest in all possible local inertial reference frames

    given a small ball of freely falling test particles initially at rest with respect to each other, the rate at which it begins to shrink is proportional to its volume times: the energy density at the center of the ball plus three times the pressure at that point

    in the vacuum there is no energy density or pressure, so V̈|t=0 = 0, but the curvature of spacetime can still distort the ball. suppose you drop a small ball of instant coffee when making coffee in the morning. the grains of coffee closer to the earth accelerate towards it a bit more, causing the ball to start stretching in the vertical direction. however, as the grains all accelerate towards the center of the earth, the ball also starts being squashed in the two horizontal directions. Einstein’s equation says that if we treat the coffee grains as test particles, these two effects cancel each other when we calculate the second derivative of the ball’s volume, leaving us with V̈|t=0 = 0. this stretching/squashing of a ball of falling coffee grains is an example of what people call ‘tidal forces’. another example is the tendency for the ocean to be stretched in one direction and squashed in the other two by the gravitational pull of the moon

    consider a small ball of test particles, initially at rest relative to each other, that is moving with respect to the matter in the universe. in the local rest frame of such a ball, the right-hand side of equation (2) is nonzero. for one thing, the pressure due to the matter no longer vanishes. remember that pressure is the flux of momentum. in the frame of our moving sphere, matter is flowing by. also, the energy density goes up, both because the matter has kinetic energy in this frame and because of Lorentz contraction. the end result, as the reader can verify, is that the right-hand side of equation (2) is negative for such a moving sphere. in short, although a stationary ball of test particles remains unchanged in the Einstein static universe, our moving ball shrinks! this has a nice geometric interpretation: the geometry in this model has spatial curvature. on a positively curved surface such as a sphere, initially parallel lines converge towards one another. the same thing happens in the three-dimensional space of the Einstein static universe. in fact, the geometry of space in this model is that of a 3-sphere. this picture illustrates what happens:

    one dimension is suppressed in this picture, so the two-dimensional spherical surface shown represents the three-dimensional universe. the small shaded circle on the surface represents our tiny sphere of test particles, which starts at the equator and moves north. the sides of the sphere approach each other along the dashed geodesics, so the sphere shrinks in the transverse direction, although its diameter in the direction of motion does not change

    to see why equation (2) is equivalent to the usual formulation of Einstein’s equation, we need a bit of tensor calculus. in particular, we need to understand the Riemann curvature tensor and the geodesic deviation equation

    when spacetime is curved, the result of parallel transport depends on the path taken. to quantify this notion, pick two vectors u and v at a point p in spacetime. in the limit where ε→0, we can approximately speak of a "parallelogram" with sides ε*u and ε*v. take another vector w at p and parallel transport it first along ε*v and then along ε*u to the opposite corner of this parallelogram. the result is some vector w1. alternatively, parallel transport w first along ε*u and then along ε*v. the result is a slightly different vector, w2:

    the limit
    is well-defined, and it measures the curvature of spacetime at the point p. In local coordinates we can write it as
    where as usual we sum over repeated indices. the quantity Rαβγδ is called the Riemann curvature tensor. we can use this tensor to compute the relative acceleration of nearby particles in free fall if they are initially at rest relative to one another

    consider two freely falling particles at nearby points p and q. let v be the velocity of the particle at p, and let ε*u be the vector from p to q. since the two particles start out at rest relative to one other, the velocity of the particle at q is obtained by parallel transporting v along ε*u. now let us wait a short while. both particles trace out geodesics as time passes, and at time ε they will be at new points, say p' and q'. the point p' is displaced from p by an amount ε*v, so we get a little parallelogram, exactly as in the definition of the Riemann curvature:

    next let us compute the new relative velocity of the two particles

    to compare vectors we must carry one to another using parallel transport
    let v1 be the vector we get by taking the velocity vector of the particle at p' and parallel transporting it to q' along the top edge of our parallelogram
    let v2 be the velocity of the particle at q'
    the difference v2−v1 is the new relative velocity. here is a picture of the whole situation:


    уравнение Клейна-Гордона

    уравнение Клейна-Гордона является ковариантным относительно преобразования Лоренца, и описывает частицы с нулевым спином. это релятивистская версия уравнения Шрёдингера:

        (∂²/∂t²  -   ∇²   +   1)  *  Ψ    =    0 
    где Ψ - волновая функция частицы


    основы основ - корпускулярно-волновой дуализм и принцип неопределенности Гейзенберга - приводят к тому, что местоположение частицы удобнее всего описывать комплексной функцией, дающей плотность вероятности нахождения частицы в заданном объеме. если в уравнении Шрёдингера учесть релятивистские эффекты и пренебречь гравитационным взаимодействием, то можно сразу перейти к рассмотрению уравнения Клейна-Гордона:

    где ψ - комплексная волновая функция, а квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности нахождения частицы в заданном объеме. при этом действие будет представимо в виде:

    выражение в скобках - это Лагранжиан

    замечание:

    занятно, как они от уравнения Шрёдингера прыгнули к уравнению Клейна-Гордона, хотя логически КГ идет из теории относительности - оно получается, если в РЕЛЯТИВИСТСКОЕ соотношение энергии и импульса засунуть операторы оных из квантовой механики. но при этом получается вторая производная по времени, а хочется иметь первую, как у Шрёдингера, и тут еще пришлось голову поломать, пока Дирак не придумал как "извлечь корень", там-то повылезали матрицы 4х4 и четырехкомпонентные волновые функции - материя и антиматерия, помноженные на два спина