один фотон спрашивает у другого:
- Волнуешься?
- Частично.

квантовая механика - это линейная алгебра и функциональный анализ (и плюс еще совсем немного - теорвера)

состояния квантовой системы могут быть различными, но не взаимо-исключающими:

если области, определяемые амплитудами вероятности, пересекаются, то возможно такое, что два состояния A и B - различны, но неразличимы (поскольку есть ненулевая вероятность того, что каждое находится в области пересечения

если у нас есть полный набор попарно взаимо-исключающих состояний, то такой набор является базисом в пространстве состояний

уравнение Шредингера

все началось с того, что в 1924 г. де Бройль выдвинул теорию, согласно которой частице с импульсом p соответствует "волна" длины h=p. вскоре эта теория получила экспериментальное подтверждение: удалось пронаблюдать дифракционную картину от пучка электронов с импульсом

p

вдохновленный работой де Бройля, Шредингер попытался построить "волновую механику". рассматривая разные волновые уравнения и применяя это к электрону в атоме водорода, он пришел к стационарному уравнению (в декартовой системе):

это уравнение имеет решения, удовлетворяющие естественным требованиям регулярности, тогда и только тогда, когда значение энергии E принадлежит дискретному множеству значений: me⁴/(2K²), me⁴/(8K²), me⁴/(32K²), ... которые соответствуют уровням энергии Бора для атома водорода, если придать константе K значение h/2π (h - постоянная Планка)

в 1926 и 1927 гг. Шредингер опубликовал ряд статей Квантование как задача о собственных значениях, в которых он обсудил некоторые следствия своего открытия

постулируется, что реальные физические системы могут находиться только в состояниях, удовлетворяющих уравнению Шрëдингера, поэтому волновые функции ψ должны быть ограниченными, непрерывными и дифференцируемыми во всей области пространства

из уравнения Шрëдингера следует важное свойство волновых функций - их непрерывность. еще одна особенность следует из математических свойств дифференциального уравнения, а именно - если у уравнения Шрëдингера есть два решения, то сумма этих волновых функций также будет являться решением уравнения Шрëдингера. это свойство лежит в основе квантовой суперпозиции

уравнение Шредингера - это нелинейное приближение (sic!) в трехмерии какого-то очень-многомерного линейного уравнения

уравнение Шредингера дает хорошее описание электронов, которые движутся не слишком быстро, поскольку оно не удовлетворяет буст-симметрии группы Лорентца (т.е. не согласуется с СТО)

решение уравения

перепишем с точностью до констант :

             dψ/dt   =   (∇² - U) ⋅ ψ 

будем применять метод разделения переменных. пусть

               _            _
             ψ(r , t)  =  φ(r) ⋅ f(t)

      φ ⋅ df/dt    =     f ⋅ ∇² φ    -    U ⋅ φ ⋅ f 

разделим на f и на φ (поскольку при f = 0 и при φ = 0 решения тривиальны мы такие случаи не рассматриваем и можем делить не опасаясь нуля):

             1/f ⋅ df/dt    =   1/φ ⋅ ∇² φ    -    U

теперь надо приравнять левую и правую часть к константе, получаемой из граничных условий и решить систему

нормализация:

                     ∫ |φk|²  dr  =   1 

в ряде случаев интеграл может расходиться и Ψ не может быть нормирована. тогда отношение квадратов |Ψ| в двух различных точках пространства определяет относительную вероятность соответствующих значений координат

ортогонализация найденых решений :

                            _
                     ∫ φₙ ⋅ φₘ   dr  =  0     m ≠ n

                      | ψₙ |²   =    p (ψₙ)

* * *

непосредственное дифференцирование квантово-механических величин по времени не имеет смысла, поскольку невозможно провести два последовательных измерения квантовой системы, не оказав влияние при этом на ее состояние. однако, если состояния системы Ψ(ξ,t) меняются во времени, то будет меняться и среднее значение измеряемой физической величины : если F не зависит явно от времени (∂F/∂t = 0) и коммутирует с гамильтонианом системы H, то среднее значение величины F сохраняется во времени в любом состоянии Ψ. такая физическая величина, неизменная во времени в любом состоянии системы Ψ, называется интегралом движения для данной системы

для операторов, не зависящих от времени, в т.ч. таких как x, r, p, L и H, условием сохранения физической величины F является [F,H]=0, где скобки - это коммутатор

одна и та же величина в одних условиях может быть интегралом движения, а в других - нет. при свободном движении частицы, когда U(r)=const, величины p_x, p_y и p_z, - интегралы движения, в то время как координата частицы никогда не сохраняется

практический смысл интегралов движения в том, что они позволяют узнать свойства движения без интегрирования уравнений движения

пример

является ли оператор импульса интегралом движения в сферически симметричном поле U(|r|)?

в таком поле гамильтониан

      H = p²/2m + U (|r|)

т.к. U (|r|) может быть разложена в ряд Тейлора по степеням r, то достаточно проанализировать коммутатор физической величины с r и p²

       [p² , p]  = (-i)³ [∇² , ∇]
                 = (-i)³ (∇³ - ∇³)
                 = 0

       [r, p] = -i [r, ∇]

       [r, ∇]Ψ = r ∇Ψ - ∇(rΨ)
               = r ∇Ψ - Ψ ∇r - r ∇Ψ
               = -Ψ ∇r
               = -er Ψ

       [r , p] = i ⋅ er ≠ 0

стационарные состояния

полная энергия изолированной системы (а также системы, находящейся в постоянном внешнем поле) не зависит от времени. поэтому если в данном состоянии энергия имеет определенное значение, то это значение остается постоянным во времени. такие состояния, в которых энергия имеет определенные значения и не зависит от времени, называются стационарными и они описываются собственными функциями гамильтониана Ψ_n, а энергия системы является собственным значением гамильтониана E_n. для системы, волновая функция которой есть собственная функция гамильтониана, энергия является строго определенной величиной и совпадает с собственным значением, соответствующей этой функции

плотность потока вероятности

смешанные состояния волновыми функциями описаны быть не могут, поэтому они описываются статистическими матрицами плотности

вектор j = i/2 (Ψ ∇Ψ^∗ - Ψ^∗ ∇Ψ) называется вектором плотности потока вероятности. интеграл от этого вектора по поверхности есть вероятность того, что в течение единицы времени частица пересечет эту поверхность

волновая квантовая теория поля (КТП)

Лагранжиан КТП - функция, описывающая развитие системы в обобщенных координатах (то есть к пространственным координатам и времени добавляются внутренние степени свободы). в КТП Лагранжиан описывается в фазовом пространстве аналогично с введением переменных, описывающих квантомеханические процессы - заряды, спины, плотность вероятности и другие величины

в QED Лагранжиан определяется как:

Лагранжиан QED представляет собой сумму кинетической энергии частиц электронного поля, кинетической энергии фотонного поля и энергии взаимодействия электронного и фотонного полей

в QCD Лагранжиан определяется как:

где
ψ(x,t) - четырехкомпонентная комплексная волновая функция,
m - масса частицы,
F - тензор напряженности электромагнитного / глюонного поля соответственно,
D - калибровочная ковариантная производная

за закон сохранения электрического заряда отвечает калибровочная симметрия

поле является непрерывной системой с очень большим числом степеней свободы, поэтому функция Лагранжа определяется пространственным интегралом от ее плотности. при этом поле описывается функцией ψ, которая может быть (вещественной или комплексной) скалярной, векторной или спинорной величиной, на которую налагаются определенные ограничения. взаимодействие частицы и поля может быть записано в виде перехода из начального состояния |1> в конечное состояние |2>:

    P |1> = |2>  

скобки Дирака <bra|ket> и базис Дирака

пространство состояний квантовой механики - это двумерное Гильбертово пространство над полем компексных чисел. одним из возможных базисов в таком пространстве является пара векторов:

|kets>

  |↑> = ( 1 + i * 0
          0 + i * 0 ) ∈ ℂ²

  |↓> = ( 0 + i * 0
          1 + i * 0 ) ∈ ℂ² 

листинг R

 ketup = c(1 + 0i, 0 + 0i)
 ketdn = c(0 + 0i, 1 + 0i)
 ketup * ketdn
[1] 0+0i 0+0i
 ketdn * ketup
[1] 0+0i 0+0i
 sqrt (ketup * ketup)
[1] 1+0i 0+0i
 sqrt (ketdn * ketdn)
[1] 0+0i 1+0i  

<bras|

транспонированные (сопряженные) векторы суть есть:

    <↑|  =  ( 1 - i * 0   0 - i * 0 )  =  |↑>†

    <↓|  =  ( 0 - i * 0   1 - i * 0 )  =  |↓>† 

листинг R

 braup = c(1 - 0i, 0 - 0i)
 bradn = c(0 - 0i, 1 - 0i)
 braup * bradn
[1] 0+0i 0+0i
 bradn * braup
[1] 0+0i 0+0i
 sqrt (bradn * bradn)
[1] 0+0i 1+0i
 sqrt (braup * braup)
 [1] 1+0i 0+0i  

ket-вектор - это столбец, bra-вектор - это строка. соответственно, оператор должен действовать на ket-вектор слева, а на bra-вектор - справа

bra- и ket- векторы Дирака замечательны тем, что с помощью них можно записать различные типы произведений:

произведение bra-вектора на ket-вектор

называется скалярным произведением или внутренним произведением. это стандартное матричное произведение по правилу "строка на столбец". результат есть комплексное число

произведение двух ket-векторов

дает уже не число, а другой ket-вектор. он тоже представляется вектор-столбцом, но с количеством компонент равном произведению размерностей исходных векторов. такое произведение является тензорным произведением и называется произведением Кронекера

для произведения двух bra-векторов

тоже получим большую вектор-строку

перемножение ket-вектора на bra-вектор

необходимо перемножить столбец на строку. такое произведение также является тензорным и называется внешним произведением. в результате получается матрица, т.е. оператор

норма в Гильбертовом пространстве есть по определению скалярное произведение:

            <↑|↑>  =  |↑>⁺  *  |↑>  =  1

            <↓|↓>  =  |↓>⁺  *  |↓>  =  1

            |↑>   *   |↓>  =  0 

таким образом, этот базис нормирован и ортогонален. такой базис называют базисом Дирака

в общем случае, квантовая система может находится в состоянии ψ ∈ ℂ² :

             |ψ>  =  ( α
                       β )             , α , β ∈ ℂ

                        _               _         _
             <ψ|ψ>  =  |ψ>⁺  *  |ψ>  =  α * α  +  β * β  =  α²  +  β²

при решении задач квантовой механики все состояния должны быть нормализованы: <ψ|ψ> = 1

при нормализации ψ,   α² - вероятность того, что в данном состоянии ортината есть ↑, а β² - вероятность того, что в данном состоянии ортината есть ↓

* * *

начнем с одной квантовой частицы, которая имеет минимальную величину спина

спин может быть направлен по-разному. напишем ↑ для состояния, когда спин определенно направлен вверх, и ↓ для состояния, когда спин определенно направлен вниз. если вы измеряете спин в вертикальном направлении, вы с равной вероятностью обнаруживаете, что он указывает либо вверх, либо вниз

кубит также может находиться в состояниях, при которых спин направлен в точно в сторону, и именно здесь начинается все самое интересное. состояния, когда спин направлен в сторону, не являются новыми, независимыми: эти (как и все другие состояния кубита) состояния представляют собой комбинации состояний ↑ и ↓

состояние, в котором спин указывает "точно направо", представляет собой смесь из равных частей направлений вверх и вниз :

       →    =    1/⎷2 * ↑  +  1/⎷2 * ↓

а как насчет состояния, при котором спин направлен "точно влево"? в силу симметрии это состояние должно иметь равные вероятности для спина вверх и для спина вниз. однако оно должно отличаться от состояния, при котором спин направлен вправо и единственная возможность обеспечить эти требования есть:

        ←    =    1/⎷2 * ↑  -  1/⎷2 * ↓

итак, для направлений вправо и влево вероятности одинаковы

если вы заставите два фермиона взаимодействовать на одном энергетическом уровне, то их спины не могут быть после этого направлены одинаково. если вы попытаетесь теперь (выбрав для обоих одинаковую вертикальную ось) вычислить вероятность того, что по горизонтальной оси один спин смотрит вправо, а другой - влево, то обнаружите, что вероятность такого события равна нулю! горизонтально оба спина направлены теперь одинаково - либо оба вправо, либо оба влево (с равными вероятностями)

матричная квантовая механика

концепция Шредингера основывалась на двух вещах - состояние системы представлялось волновой функцией, а наблюдаемым величинам соответствовали функции-операторы. более естественным инструментом описания квантовой механики является язык линейной алгебры. при таком подходе состояния системы описываются векторами, а операторам соответствуют линейные преобразования

первым шагом при таком рассмотрении является отождествление подходящего Гильбертова пространства состояний с системой, описанной в пространстве функций. так, если квантовая система имеет n ортогональных состояний Ψ_n, то состояние такой системы будет представлено вектором в n-мерном Гильбертовом пространстве. выбранные n состояний формируют ортогональный базис векторного пространства. очевидно, что собственному состоянию Ψ_i будет соответствовать вектор, у которого от нуля будет отличен только i-й компонент

любая функция может быть представлена в виде набора ортогональных, поэтому все функции образуют гильбертово пространство. но физический смысл имеют только квадратично-интегрируемые комплексные функции Ψ, квадрат модуля которых в области определения образует сходящийся интеграл

        ∫ |Ψ|² dξ < ∞ 

ket-bra произведение базисного вектора на самого себя |n⟩⟨n| образует квадратную матрицу с единственным равным 1 диагональным элементом, положение которого по строке и столбцу определяется числом n, и остальными нулями. это произведение играет важную роль в конструировании матрицы плотности. соответственно сумма таких произведений по всем состояниям системы даст единичную матрицу c размерностью, равной размерности используемого пространства

скалярное произведение двух функций Ψ и Φ определяется как

        ∫ ⟨Ψ|Φ⟩ dξ ≡ ~Ψ ⋅ Φ 

        ⟨Φ|Ψ⟩ = ~⟨Ψ|Φ⟩ 

        ⟨Ψ|Ψ⟩ = ∫  |Ψ|²  dξ 

использование символов "бра" и "кет" подразумевает нормализацию к 1 в бесконечном пространстве

ожидаемое значение наблюдаемой Q будет записано как

        ⟨Q⟩ = ∫ ~Ψ Q Ψ dξ = ⟨Ψ|Q|Ψ⟩

поскольку измерение дает вещественную величину и в силу эрмитовости оператора Q, среднее множества измерений тоже вещественно: ⟨Q⟩ = ^~⟨Q⟩, но комплексное сопряжение скалярного произведения записывается в обратном порядке, поэтому ⟨Ψ|QΨ⟩ = ⟨QΨ|Ψ⟩, и это должно быть справедливо для любой волновой функции

двухуровневая система

двухуровневая система описывается двумерным гильбертовым пространством. состояниям такой системы Ψ₁ и Ψ₂, образующим базис пространства {Ψ₁,Ψ₂}, соответствуют векторы

      |Ψ1⟩ = (1 0)     и      |Ψ2⟩ = (0 1)      

наиболее распространенным способом геометрического представления состояния двухуровневой системы является сфера Блоха

в соответствии с принципом суперпозиции, если |Ψ₁⟩ и |Ψ₂⟩ - два возможных состояния данной физической системы, то любая их линейная комбинация

        |Ψ⟩ = c1 * |Ψ1⟩ + c2 * |Ψ2⟩

        или

        |Ψ⟩ =  c1 * (1 0) + c2 * (0 1) 

        |Ψ⟩ = cos θ * |0⟩ + exp (i * φ) * sin θ * |1⟩
            = cos θ * |0⟩ + (cos φ + i * sin φ) * sin θ *|1⟩

        где 0 ≤ θ ≤ π   и   0 ≤ φ < 2π

в декартовых координатах совокупность состояний

    |Ψ⟩ = ( sin θ * cos φ ,
            sin θ * sin φ ,
            cos θ)

точки, лежащие на поверхности сферы, соответствуют "чистым" состояниям, а внутри сферы - "смешанным"

примеры

на примере двухмерного вектора состояния покажем несколько простейших операций преобразования:

    масштабирование в 3 раза по оси       =  ( 3  0 ;  0  1)
    поворот на π/2                        =  ( 0  1 ; -1  0)
    отражение относительно оси            =  ( 1  0 ;  0 -1)

унитарные преобразования и преобразование координат

в пространстве можно выбрать базис. но, независимо от выбора, длина вектора состояния, а также угол между такими векторами, должны оставаться неизменными. преобразования, изменяющие состояние системы, но не меняющие длину вектора, называются "унитарными" и определяются как

    U⁺ = U⁻

    |φ′⟩ = U |φ⟩
    |ψ′⟩ = U |ψ⟩ 

    ⟨ψ′|φ′⟩ = ⟨ψ|φ⟩  

    ⟨ψ′|ψ′⟩ = ⟨ψ|ψ⟩

теперь рассмотрим действие преобразования на операторы. типичное операторное уравнение записывается как

    F|φ⟩ = |ψ⟩  

    |φ⟩ = U⁻ |φ′⟩
    |ψ⟩ = U⁻ |ψ′⟩ 

    F U⁻|φ′⟩ = U⁻ |ψ′⟩ 

    F′ |φ′⟩ = |ψ′⟩ , где F′ = U F U⁻ 

пример

дано два ортонормированных базисных вектора |v₁ ⟩ и |v₂⟩. действие оператора T̂ на базисные состояния задается уравнениями

    T̂|v₁⟩ = 2 * |v₁⟩
    T̂|v₂⟩ = 3 * |v₂⟩ - i * |v₂⟩ 

найдем матричное представление оператора T̂ :

    ( ⟨v₁| T̂ |v₁⟩ ⟨v₁| T̂ |v₂⟩
      ⟨v₂| T̂ |v₁⟩ ⟨v₂| T̂ |v₂⟩ ) =

    ( ⟨v₁| 2 |v₁⟩   ⟨v₁| 3 |v₂⟩ - i |v₂⟩
      ⟨v₂| 2 |v₁⟩   ⟨v₂| 3 |v₂⟩ - i |v₂⟩ ) =

    (  2   -i
       0  3-i  )  

пример

найдем собственные числа и собственные векторы матрицы (1 1 ; 1 1)

    ( 1-λ    1
       1    1-λ ) = 0

    (1 - λ)² - 1  = 0

     λ² - 2 * λ   = 0  

первая система, для λ = 0

      (1 - 0)*v₁ + 1*v₂       = 0
        1*v₁     + (1 - 0)*v₂ = 0  

вторая система, для λ = 2

      (1 - 2)*v₁ + 1*v₂       = 0
         1*v₁    + (1 - 2)*v₂ = 0  

возможные собственные вектора (-1 1), (1 1)

важный класс квантово-механических матриц образуется, когда в качестве базисных функций берутся собственные функции гамильтониана H. такой базис, или представление, называют энергетическим. это представление удобно потому, что энергетический спектр систем практически всегда дискретный. рассмотрим матрицу Гамильтониана в его собственном, энергетическом представлении

общее свойство матриц всех операторов в собственном представлении - они диагональны, а на главной диагонали стоят собственные числа операторов. если же базис выбран другой, то сведение матрицы Гамильтониана к диагональному виду (т.е. нахождение ее собственных значений), эквивалентно решению дифференциального уравнения Шрëдингера

предположим что Гамильтониан системы

    H = ( h  g
          g  h )

   det ( h-E   g
          g   h-E )

   =  (h - E)² - g² = 0 ⇒

   E = h ± g 

очевидно, что допустимы уровни энергии системы h+g и h-g. для нахождения собственных векторов умножим матрицу оператора H на искомый вектор, записанный в общем виде как столбец (α;β) :

    ( h g ;
      g h ) * (α ; β)
  =
    ( h * α + g * β ;
      g * α + h * β )

    ⇒ β = ±α  

тогда нормализованные векторы запишутся как

    |Ψ±⟩ = 1/√2 (1 ; ±1)  

теперь представим начальное состояние в виде линейной комбинации состояний собственных векторов оператора Гамильтона:

    |Ψ(0)⟩ = ( 1 ; 0) = 1/√2 ( |Ψ+⟩ + |Ψ-⟩ )  

добавим зависящую от времени часть exp (-i*Eₙ*t) :

    |Ψ(0)⟩ = 1/√2 * ( exp (-i*(h+g)*t) * |Ψ+⟩   +  exp (-i*(h-g)*t) * |Ψ-⟩ )
 =
    1/2 * exp (-i*h*t) * ( exp (-i*g*t) * (1 ; 1)   +   exp (i*g*t) * (1 ; -1) )
 =
    exp (-i*h*t) * (      cos (g*t)
                     -i * sin (g*t)   )  

результат - состояние изолированной системы осциллируют во времени. если в момент времени t=0 система была в состоянии |1⟩, и Гамильтониан имеет ненулевые внедиагональные элементы (в нашем случае это g), то вероятность обнаружения системы в каком-либо из состояний будет носить периодический характер, поскольку с течением времени она окажется в состоянии |2⟩ а затем вернется обратно

многочастичные системы

представим две квантовые системы - первая имеет n различающихся состояний (и описывается n-мерным Гильбертовым пространством L_n), вторая - m состояний (и описывается m-мерным Гильбертовым пространством L_m). число состояний системы, образованной двумя такими системами, будет равно n·m, поскольку каждая пара состояний образует новое состояние общей системы. Гильбертово пространство, сопоставленное объединенной системе, будет L_nm. объединение пространств V и W с размерностью n и m соответственно в пространство размерностью n·m показывается с помощью тензорного произведения V⊗W

пусть системы A и B обладали базисами

    { |α1⟩, ..., |αn⟩ }
    и
    { |β1⟩, ..., |βm⟩ }  

    { |α1⟩ ⊗ |β1⟩, |α1⟩ ⊗ |β2⟩, ..., |αn⟩ ⊗ |βm-1⟩, |αn⟩ ⊗ |βm⟩ }  

    |Ψ⟩ =  ∑  C_ij |α_i ⟩ ⊗ |β_j ⟩  ,  1 < i < n   1 < j < m  

тогда состояние называется факторизуемым ("чистым"). в общем случае системы, состоящей из двух частей, произвольное состояние |Ψ⟩ не обязательно факторизуемо и между двумя квантовыми подсистемами может иметься корреляция и такое состояние |Ψ⟩ называется "запутанным"

предположим, что разрешены три положения, заданных ортонормированными состояниями |0⟩, |1⟩, |2⟩. тогда состояние |ψ⟩ одной частицы описывается линейной комбинацией

    |ψ⟩ = a0 * |0⟩ + a1 * |1⟩ + a2 * |2⟩

    |ψ⟩ = a00 * |0⟩|0⟩ + a01 * |0⟩|1⟩ + a10 * |1⟩|0⟩ + ... + a22 * |2⟩|2⟩ 

произведение |α⟩|β⟩ интерпретируется как "первая система находится в состоянии |α⟩, вторая система находится в состоянии |β⟩"

расмотрим две невзаимодействующие системы A и B, которым соответствуют Гильбертовы пространства H_A и H_B. тогда Гильбертово пространство объединенной системы будет тензорным произведением H_A⊗H_B. пусть дан двумерный базис

    { |0⟩A , |1⟩A } для HA 

    {|0⟩B , |1⟩B }  

    1/√2 * ( |0⟩A ⊗ |1⟩B - |1⟩A ⊗ |0⟩B ) 

составную систему, находящуюся в таком состоянии, невозможно факторизовать на системы A и B, описанные в "чистом" состоянии

в общем случае мы можем представить смешанное состояние как набор чистых состояний ∑ |Ψ_n⟩, каждое из которых связано с вероятностью p_n. акцент на смешанных состояниях и способ их описания важен по нескольким причинам. во-первых, состояние системы редко бывает "чистым" - часто реальная система является статистическим ансамблем подсистем, и результаты эксперимента определяются определенным усредненным значением. во-вторых, вследствие взаимодействия с окружающей средой чистое состояние системы довольно быстро теряет фазовые соотношения между состояниями. при этом чистое состояние разрушается, происходит "декогеренция"

рассмотрим результат измерения смешанного квантового состояния. предположим, что мы имеем смесь квантовых состояний |Ψₙ⟩ с вероятностями pₙ. каждое состояние |Ψₙ⟩ может быть представлено вектором в Гильбертовом пространстве и ассоциировано с оператором плотности

    ρₙ = |Ψₙ⟩ ⟨Ψₙ|   

    ρ = ∑ pₙ |Ψₙ ⟩⟨Ψₙ | 

свойства матрицы плотности: оператор плотности и матрица - эрмитовы, диагональные элементы матрицы (и собственные значения Πₙ оператора плотности) неотрицательны и находятся в диапазоне от 0 до 1, след матрицы всегда равен 1. критерий, отличающий матрицу плотности чистого состояния от матрицы плотности смешанного - след квадрата матрицы чистого состояния равен единице, а след матрицы смешанного состояния всегда меньше единицы. для чистого состояния выполняется равенство ρ² = ρ. физический смысл диагональных элементов - вероятность обнаружения системы с соответствующем состоянии или, например, населенность соответствующих уровней. физический смысл внедиагональных элементов, во-первых - вероятность перехода между состояниями, и во-вторых - учитывая что, что они представляют собой усреднение коэффициентов с фазовыми множителями вида aₙ*e^iφ , они говорят о "когерентности" в ансамбле между двумя состояниями, т.е. о наличии одинаковой разности фаз между состояниями для всех систем в ансамбле

точное решение уравнения Шрëдингера может быть найдено лишь в крайне небольшом числе простейших случаев, и большинство задач квантовой механики приводит к слишком сложным уравнениям. однако, часто в условиях задачи оказываются малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается настолько, что становится возможным еë решение. в таком случае первый шаг в решении поставленной задачи состоит в решении упрощенной задачи, а второй - в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. такой метод вычисления называется "теорией возмущений"

уравнение Гейзенберга

        [X, P] = i   

согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор A, а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства Ψ. представление Гейзенберга - один из способов описания квантовомеханических явлений, в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причём вектор состояния Ψ от времени не зависит. в представлении Гейзенберга эволюция системы описывается уравнением:

    dA/dt  = i * [H , A] + ∂A/∂t 

в частности, если Гамильтониан H не зависит от времени, то:

    A(t) = exp (i * H) * A * (-i * H) 

уравнение Паули

уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле. уравнение Паули является обобщением уравнения Шрёдингера, учитывающим наличие у частицы спина. частица со спином 1/2 может находиться в двух различных спиновых состояниях с проекциями спина +1/2 и -1/2 на некоторое (произвольно выбранное) направление. в соответствии с этим волновая функция частицы ψ(r,t) где r - координата частицы, t - время, является двухкомпонентной. электрически заряженная система с отличным от нуля спиновым моментом обладает и магнитным моментом. во внешнем магнитном поле магнитный момент обладает потенциальной энергией U, добавление которой в Гамильтониан H электрона во внешнем электронно-магнитном поле приводит к уравнению Паули:

предложенное на основе эвристических соображений уравнение Паули оказалось естественным следствием релятивистски-инвариантного уравнения Дирака в слаборелятивистском приближении, в котором учитываются лишь первые члены разложения в ряд. на основе уравнения Паули может быть рассчитано расщепление уровней электронов в атоме во внешнем магнитном поле с учётом спина однако более тонкие релятивистские эффекты в атомах, обусловленные спином электрона, могут быть описаны лишь при учёте более высоких членов разложения релятивистского уравнения Дирака

уравнение Дирака

предложенное Дираком в 1928 году уравнение является модификацией уравнения Шрёдингера для квантово-механической волновой функции электронов. предназначено для согласования квантовой механики с буст-симметрией СТО. это набор из четырех взаимосвязанных уравнений для четырех волновых функций. уравнение Дирака является ковариантным, и описывает заряженные частицы со спином ½

уравнение Дирака можно записать в представлении, использующем кватернионы. в терминах представления двух полей над кватернионами для правых (Ϟ) и левых (Φ) электронов:

       ∂t/Ϟi + i . ∂x/Ϟ + j . ∂y/Ϟ + k . ∂z/Ϟ = ϕj

       ∂t/ϕi - i . ∂x/ϕ - j . ∂y/ϕ - k . ∂z/ϕ = Ϟj

  или

                       (∂/∂t , ∇) . Ψ = Ψ

    ∂i Fik (x)   +   Jk (x)  =  0

    Fkl = ∂k Jl - ∂l Jk

    где Fik - антисимметричный тензор электромагнитного поля:

    Fik  =  ( 0   -Ex -Ey -Ez
              Ex   0  -Bz  By
              Ey   Bz  0  -Bx
              Ez  -By  Bx  0 )

    Jk - вектор тока 

уравнения Янга-Миллса

теория Янга-Миллса - калибровочная теория поля с неабелевой группой калибровочной симметрии

Лагранжиан свободного поля Янга-Миллса имеет вид

    L   =  -1/4  *  Tr (F²)   =  -1/4  *  Fμνa * μνFa 

μνFa   =   μ∂ νAa - ν∂ μAa + g * fabc * μAb * νAc 

порождающие алгебры Ли калибровочной группы T удовлетворяют соотношению:

    [ Ta , Tb ]   =   i * fabc * Tc 

ковариантные производные полей, взаимодействующих через поля Янга-Миллса, определены как:

    Dμ = I ∂μ - i g Ta μAa 

для SUₙ групп: a, b, c =     1 , 2, ... , n²-1

уравнения Янга-Миллса это "уравнения Максвелла на стероидах" ! они поддерживают множество видов зарядов, а не только один электрический. кроме того, они поддерживают симметрию между этими зарядами.

решение уравнений Янга-Миллса в общем случае является одной из семи математических "проблем тысячелетия" института Клэя