один фотон спрашивает у другого:
- Волнуешься?
- Частично.

  • уравнение Шредингера
  • волновая квантовая теория поля
  • скобки Дирака
  • матричная квантовая механика
  • уравнение Гейзенберга
  • уравнение Паули
  • уравнение Дирака
  • уравнение Прока
  • уравнения Янга-Милса
  • фундаментальные частицы
  • симметрия и частицы
  • стандартная модель

  • уравнение Шредингера

    В 1924 г. де Бройль выдвинул чисто умозрительную теорию, согласно которой частице с импульсом p соответствует „волна“ длины h=p. Вскоре эта теория получила экспериментальное подтверждение: ученым удалось наблюдать дифракционную картину от пучка электронов с импульсом p, вполне аналогичную той, которая получается от рентгеновских лучей с длиной волны h=p. квантовая механика дает объяснение этому явлению при предположении, что ℎ = h/2π. вдохновленный работой де Бройля, Шредингер попытался построить „волновую механику“. экспериментируя с возможными волновыми уравнениями и соответствующими им стоячими волнами и применяя свои идеи к электрону в атоме водорода, он пришел к уравнению:

    где E — энергия электрона, m — его масса, e — его заряд, K — некоторая константа. изучая это уравнение, он сделал основополагающее открытие, которое состояло в том, что
    (a) это уравнение имеет решения, удовлетворяющие некоторым естественным требованиям регулярности, тогда и только тогда, когда значение энергии E принадлежит определенному дискретному множеству значений: m*e^4/2K^2, m*e^4/8K^2, m*e^4/32K^2, ...
    (b) эти значения соответствуют уровням энергии Бора для атома водорода, если придать K значение ℎ=h/2π. таким образом, Шредингер нашел способ получать эти дискретные значения, не выдвигая никаких предварительных требований дискретности

    В 1926 и 1927 гг. он опубликовал ряд статей, озаглавленных „Квантование как задача о собственных значениях“, в которых он использовал и обсудил некоторые следствия своего важнейшего открытия

    уравнение для волновой функции электрона дает хорошее описание электронов, которые движутся не слишком быстро. уравнение Шредингера не удовлетворяет буст-симметрии (т.е. не согласуется с СТО)

    с точностью до констант:

                 dψ/dt   =   (∇² - U) * ψ 
    где Ψ - волновая функция, U - потенциал

    постулируется, что реальные физические системы могут находиться только в состояниях, удовлетворяющих уравнению Шрëдингера, поэтому волновые функции ψ должны быть конечными, непрерывными и дифференцируемыми во всей области пространства

    для решения применять будем метод разделения переменных. пусть

                   _            _
                 ψ(r , t)  =  φ(r) * f(t)
    тогда
          φ * df/dt    =     f * ∇² φ    -    U * φ * f 

    разделим на f и на φ (поскольку при f = 0 и при φ = 0 решения тривиальны мы такие случаи не рассматриваем и можем делить не опасаясь нуля):

                 1/f * df/dt    =   1/φ * ∇² φ    -    U
    левая часть зависит только от t и всегда может быть решена в экспонентах. правая часть зависит только от φ

    теперь надо приравнять левую и правую часть к константе, получаемой из граничных условий и решить систему

    нормализация:

                         ∫ |φk|²  dr  =   1 

    в ряде случаев интеграл может расходиться и Ψ не может быть нормирована. тогда отношение квадратов |Ψ| в двух различных точках пространства определяет относительную вероятность соответствующих значений координат

    ортогонализация найденых решений:

                                _
                         ∫ φₙ * φₘ   dr  =  0     m ≠ n
    и тогда
                         | ψₙ |²   =    p(ψₙ)
    получаем вероятность нахождения системы в каком-либо конкретном состоянии

    теперь то же самое, но выраженное через кватернионы. собираем частные производные ψ в кватернион:

                     (∂/∂t  +  ∇² , 0) * ψ   =  U * ψ
    
                     ((∂/∂t , ∇) * (1 , ∇)) * ψ   =  (U , 0) * ψ

    из уравнения Шрëдингера следует важное свойство волновых функций – их непрерывность. еще одна особенность следует из математических свойств дифференциального уравнения, а именно – если у уравнения Шрëдингера есть два решения в виде волновых функций, то сумма этих волновых функций также будет являться решением уравнения Шрëдингера. это свойство лежит в основе квантовой суперпозиции

    непосредственное дифференцирование квантово-механических величин по времени не имеет смысла, поскольку невозможно провести два последовательных измерения квантовой системы, не оказав влияние при этом на ее состояние. однако, если состояния системы Ψ(ξ,t) меняются во времени, то будет меняться и среднее значение измеряемой физической величины

    если F не зависит явно от времени (∂F/∂t = 0) и коммутирует с гамильтонианом системы H, то среднее значение величины F сохраняется во времени в любом состоянии Ψ. такая физическая величина, неизменная во времени в любом состоянии системы Ψ, называется "интегралом движения" для данной системы

    для операторов, не зависящих от времени, в т.ч. таких как x, r, p, L и H, условием сохранения физической величины F является [F,H]=0

    одна и та же величина в одних условиях может быть интегралом движения, а в других – нет. при свободном движении частицы, когда U(r)=const, величины px, py и pz, – интегралы движения, в то время как координата частицы никогда не сохраняется. практический смысл интегралов движения в том, что они позволяют узнать свойства движения без интегрирования уравнений движения

    пример

    является ли оператор импульса интегралом движения в сферически симметричном поле U(|r|)?

    в таком поле гамильтониан H = p²/2m + U (|r|)
    т.к. U (|r|) может быть разложена в ряд Тейлора по степеням r, то достаточно проанализировать коммутатор физической величины с r и p²

           [p² , p]  = (−i)³ [∇² , ∇]
                     = (−i)³ (∇³ − ∇³)
                     = 0
    
           [r, p] = −i [r, ∇]
    
           [r, ∇]Ψ = r ∇Ψ − ∇(rΨ)
                   = r ∇Ψ − Ψ ∇r − r ∇Ψ
                   = −Ψ ∇r
                   = −er Ψ
    
           где ∇ – оператор Гамильтона
    следовательно [r, p] = i * er ≠ 0. поскольку p коммутирует только с одним из слагаемых гамильтониана, то p – не интеграл движения

    стационарные состояния

    полная энергия изолированной системы (а также системы, находящейся в постоянном внешнем поле) не зависит от времени. поэтому если в данном состоянии энергия имеет определенное значение, то это значение остается постоянным во времени. такие состояния, в которых энергия имеет определенные значения и не зависит от времени, называются стационарными. они описываются собственными функциями гамильтониана Ψn, а энергия системы является собственным значением гамильтониана En. для системы, волновая функция которой есть собственная функция гамильтониана, энергия является строго определенной величиной и совпадает с собственным значением, соответствующей этой функции

    плотность потока вероятности

    смешанные состояния волновыми функциями описаны быть не могут, поэтому они описываются статистическими матрицами плотности

    вектор j = i/2 (Ψ ∇Ψ − Ψ ∇Ψ) называется вектором плотности потока вероятности. интеграл от этого вектора по поверхности есть вероятность того, что в течение единицы времени частица пересечет эту поверхность


    волновая квантовая теория поля

    Лагранжиан КТП - функция, описывающая развитие системы в обобщенных координатах (то есть к пространственным координатам и времени добавляются внутренние степени свободы). в КТП Лагранжиан описывается в фазовом пространстве аналогично с введением переменных, описывающих квантомеханические процессы - заряды, спины, плотность вероятности и другие величины

    в QED Лагранжиан определяется как:

    в QCD Лагранжиан определяется как:

    где
    ψ(x,t) - четырехкомпонентная комплексная волновая функция,
    m - масса частицы,
    F - тензор напряженности электромагнитного / глюонного поля соответственно,
    D - калибровочная ковариантная производная

    Лагранжиан QED представляет собой сумму кинетической энергии частиц электронного поля, кинетической энергии фотонного поля и энергии взаимодействия электронного и фотонного полей

    за закон сохранения электрического заряда отвечает калибровочная симметрия

    поле является непрерывной системой с очень большим (можно считать, бесконечным) числом степеней свободы, поэтому функция Лагранжа определяется пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа. при этом поле описывается функцией ψ, которая может быть вещественной или комплексной скалярной, векторной, спинорной или иной величиной, на которую налагаются определенные ограничения. взаимодействие частицы и поля может быть записано в виде перехода из начального состояния |1> в конечное состояние |2>:

        P |1> = |2>  
    где P - оператор, описывающий физический процесс взаимодействия. оператор P может быть представим в виде функции, но гораздо удобнее и почти всегда применяется матричная запись, позволяющая описать взаимодействие через суперпозиции состояний. для решения уравнения Клейна-Гордона были разработаны специальные методы, основанные на использовании законов сохранения. при этом сохранение заряда в силу теоремы Нётер было добавлено в теорию в виде требования калибровочной инвариантности


    скобки Дирака <bra|ket> и базис Дирака

    пространство состояний квантовой механики - это двумерное Гильбертово пространство над полем компексных чисел. одним из возможных базисов в таком пространстве является пара векторов:

    |kets>

      |↑> = ( 1 + i * 0
              0 + i * 0 ) ∈ ℂ²
    
      |↓> = ( 0 + i * 0
              1 + i * 0 ) ∈ ℂ² 


    листинг R
     ketup = c(1 + 0i, 0 + 0i)
     ketdn = c(0 + 0i, 1 + 0i)
     ketup * ketdn
    [1] 0+0i 0+0i
     ketdn * ketup
    [1] 0+0i 0+0i
     sqrt (ketup * ketup)
    [1] 1+0i 0+0i
     sqrt (ketdn * ketdn)
    [1] 0+0i 1+0i  

    конец листинга

    <bras|

    транспонированные (сопряженные) векторы суть есть:

    
        <↑|  =  ( 1 - i * 0   0 - i * 0 )  =  |↑>†
    
        <↓|  =  ( 0 - i * 0   1 - i * 0 )  =  |↓>† 


    листинг R
     braup = c(1 - 0i, 0 - 0i)
     bradn = c(0 - 0i, 1 - 0i)
     braup * bradn
    [1] 0+0i 0+0i
     bradn * braup
    [1] 0+0i 0+0i
     sqrt (bradn * bradn)
    [1] 0+0i 1+0i
     sqrt (braup * braup)
    [1] 1+0i 0+0i  

    конец листинга

    бра- и кет- векторы Дирака замечательны тем, что с помощью них можно записать различные типы произведений:

    норма в Гильбертовом пространстве есть по определению скалярное произведение:

    
                <↑|↑>  =  |↑>⁺  *  |↑>  =  1
    
                <↓|↓>  =  |↓>⁺  *  |↓>  =  1
    
                |↑>   *   |↓>  =  0 

    таким образом, этот базис нормирован и ортогонален. такой базис называют базисом Дирака

    в общем случае, квантовая система может находится в состоянии ψ ∈ ℂ² :

                 |ψ>  =  ( α
                           β )             , α , β ∈ ℂ
    
                            _               _         _
                 <ψ|ψ>  =  |ψ>⁺  *  |ψ>  =  α * α  +  β * β  =  α²  +  β²
    

    при решении задач квантовой механики все состояния должны быть нормализованы: <ψ|ψ> = 1

    при нормализации ψ,   α² - вероятность того, что в данном состоянии ордината есть ↑, а β² - вероятность того, что в данном состоянии ордината есть ↓

     

    начнем с одной квантовой частицы, которая имеет минимальную величину спина

    спин может быть направлен по-разному. напишем ↑ для состояния, когда спин определенно направлен вверх, и: ↓ для состояния, когда спин определенно направлен вниз. если вы измеряете спин в вертикальном направлении, вы с равной вероятностью обнаруживаете, что он указывает либо вверх, либо вниз

    кубит также может находиться в состояниях, при которых спин направлен в точно в сторону, и именно здесь начинается все самое интересное. состояния, когда спин направлен в сторону, не являются новыми, независимыми. эти (как и все другие состояния кубита) состояния представляют собой комбинации состояний ↑ и ↓

    состояние, в котором спин указывает точно направо, представляет собой смесь из равных частей направлений вверх и вниз :

           →    =    1/⎷2 * ↑  +  1/⎷2 * ↓

    а как насчет состояния, при котором спин направлен точно влево? в силу симметрии это состояние должно иметь равные вероятности для спина вверх и для спина вниз. однако оно должно отличаться от состояния, при котором спин направлен вправо и единственная возможность обеспечить эти требования есть:

            ←    =    1/⎷2 * ↑  -  1/⎷2 * ↓
    знак "–" не влияет на вероятность, поскольку для вычисления вероятности мы мы возводим в квадрат

    итак, для направлений вправо и влево вероятности одинаковы

    если вы заставите два фермиона взаимодействовать на одном энергетическом уровне, то их спины не могут быть после этого направлены одинаково. если вы попытаетесь теперь (выбрав для обоих одинаковую вертикальную ось) вычислить вероятность того, что по горизонтальной оси один спин смотрит вправо, а другой - влево, то обнаружите, что вероятность такого равна нулю! горизонтально оба спина направлены теперь одинаково - либо оба вправо, либо оба влево (с равными вероятностями)


    матричная квантовая механика

    концепция Шредингера основывалась на двух вещах - состояние системы представлялось волновой функцией, а наблюдаемым величинам соответствовали функции-операторы. более естественным инструментом описания квантовой механики является язык линейной алгебры. при таком подходе состояния системы описываются векторами, а операторам соответствуют линейные преобразования

    первым шагом при таком рассмотрении является отождествление подходящего Гильбертова пространства состояний с системой, описанной в пространстве функций. так, если квантовая система имеет n ортогональных состояний Ψn, то состояние такой системы будет представлено вектором в n-мерном Гильбертовом пространстве. выбранные n состояний формируют ортогональный базис векторного пространства. очевидно, что собственному состоянию Ψn будет соответствовать вектор, у которого от нуля будет отличен только n-й компонент

    любая функция может быть представлена в виде набора ортогональных, поэтому все функции образуют гильбертово пространство. но физический смысл имеют только квадратично-интегрируемые комплексные функции Ψ, квадрат модуля которых в области определения образует сходящийся интеграл

            ∫ |Ψ|² dξ < ∞ 
    такие функции образуют пространство, обозначаемое L₂. обычно, когда в физике упоминается "гильбертово пространство", имеется в виду именно L₂

    "кет-бра" произведение базисного вектора на самого себя |n⟩⟨n| образует квадратную матрицу с единственным равным 1 диагональным элементом, положение которого по строке и столбцу определяется числом n, и остальными нулями. это произведение играет важную роль в конструировании матрицы плотности. соответственно сумма таких произведений по всем состояниям системы даст единичную матрицу c размерностью, равной размерности используемого пространства

    скалярное произведение двух функций Ψ и Φ определяется как

            ∫ ⟨Ψ|Φ⟩ dξ ≡ Ψ~ ⋅ Φ 
    здесь ~ операция сопряжения, ⋅ операция умножения. в частности,
            ⟨Φ|Ψ⟩ = ⟨Ψ|Φ⟩~  
    а скалярное произведение Ψ само на себя
            ⟨Ψ|Ψ⟩ = ∫  |Ψ|²  dξ 
    действительно и неотрицательно, за исключением случая Ψ(ξ) = 0

    использование символов "бра" и "кет" подразумевает нормализацию к 1 в бесконечном пространстве

    ожидаемое значение наблюдаемой Q будет записано как

            ⟨Q⟩ = ∫ Ψ~ Q Ψ dξ = ⟨Ψ|QΨ⟩ или ⟨Ψ|Q|Ψ⟩

    поскольку измерение дает вещественную величину и в силу эрмитовости оператора Q, среднее множества измерений тоже вещественно: ⟨Q⟩ = ⟨Q⟩~ но комплексное сопряжение скалярного произведения записывается в обратном порядке, поэтому ⟨Ψ|QΨ⟩ = ⟨QΨ|Ψ⟩, и это должно быть справедливо для любой волновой функции

    двухуровневая система

    двухуровневая система описывается двумерным гильбертовым пространством. состояниям такой системы Ψ1 и Ψ2, образующим базис пространства {Ψ1,Ψ2}, соответствуют векторы

          |Ψ1⟩ = (1 0)     и      |Ψ2⟩ = (0 1)      

    наиболее распространенным способом геометрического представления состояния двухуровневой системы является сфера Блоха. в соответствии с принципом суперпозиции, если |Ψ1⟩ и |Ψ2⟩ - два возможных состояния данной физической системы, то любая их линейная комбинация

            |Ψ⟩ = c1 * |Ψ1⟩ + c2 * |Ψ2⟩
    
            или
    
            |Ψ⟩ =  c1 * (1 0) + c2 * (0 1)      
    где c1 и c2 комплексные числа, является возможным состоянием системы. учитывая комплексность коэффициентов состояния должны быть отображены в четырехмерном пространстве. поскольку при описании двухуровневой системы реальное физическое значение имеет только относительный фазовый сдвиг между состояниями, то один из коэффициентов делают вещественным. тогда нормированное на единицу представление |Ψ⟩ будет
            |Ψ⟩ = cos θ * |0⟩ + exp (i * φ) * sin θ * |1⟩
                = cos θ * |0⟩ + (cos φ + i * sin φ) * sin θ *|1⟩
    
            где 0 ≤ θ ≤ π   и   0 ≤ φ < 2π

    в декартовых координатах совокупность состояний

        |Ψ⟩ = ( sin θ * cos φ ,
                sin θ * sin φ ,
                cos θ)
    образует сферу единичного радиуса, которую и называют "сферой Блоха". точки, лежащие на поверхности сферы, соответствуют "чистым" состояниям, а внутри сферы - "смешанным"

    на примере двухмерного вектора состояния покажем несколько простейших операций преобразования:

        масштабирование в 3 раза по оси       =  ( 3  0 ;  0  1)
        поворот на π/2                        =  ( 0  1 ; −1  0)
        отражение относительно оси            =  ( 1  0 ;  0 −1)

    унитарные преобразования и преобразование координат

    в пространстве можно выбрать базис. но, независимо от выбора, длина вектора состояния, а также угол между такими векторами, должны оставаться неизменными. преобразования, изменяющие состояние системы, но не меняющие длину вектора, называются "унитарными" и определяются как

        U⁺ = U⁻
    если |φ⟩ и |ψ⟩ - два произвольных вектора гильбертова пространства, то под действием преобразования U они преобразуются к векторам |φ′⟩ и |ψ′⟩ в соответствии с
        |φ′⟩ = U |φ⟩
        |ψ′⟩ = U |ψ⟩ 
    преобразование сохраняет неизменным скалярное произведение
        ⟨ψ′|φ′⟩ = ⟨ψ|φ⟩  
    при |ψ⟩ = |φ⟩ это произведение даст
        ⟨ψ′|ψ′⟩ = ⟨ψ|ψ⟩
      
    такое преобразование сохраняет длину векторов и угол между ними

    теперь рассмотрим действие преобразования на операторы. типичное операторное уравнение записывается как

        F|φ⟩ = |ψ⟩  
    в новом базисе оба вектора состояния буду преообразованы. поделим оба уравнения на U
        |φ⟩ = U⁻ |φ′⟩
        |ψ⟩ = U⁻ |ψ′⟩ 
    и подставим
        F U⁻|φ′⟩ = U⁻ |ψ′⟩ 
    домножив на U получим
        F′ |φ′⟩ = |ψ′⟩ , где F′ = U F U⁻ 

    пример

    дано два ортонормированных базисных вектора |v₁ ⟩ и |v₂⟩. действие оператора T̂ на базисные состояния задается уравнениями

        T̂|v₁⟩ = 2 * |v₁⟩
        T̂|v₂⟩ = 3 * |v₂⟩ − i * |v₂⟩ 

    найдем матричное представление оператора T̂ :

        ( ⟨v₁| T̂ |v₁⟩ ⟨v₁| T̂ |v₂⟩
          ⟨v₂| T̂ |v₁⟩ ⟨v₂| T̂ |v₂⟩ ) =
    
        ( ⟨v₁| 2 |v₁⟩   ⟨v₁| 3 |v₂⟩ − i |v₂⟩
          ⟨v₂| 2 |v₁⟩   ⟨v₂| 3 |v₂⟩ − i |v₂⟩ ) =
    
        (  2   -i
           0  3-i  )  
    поскольку действительные множители нижней строки и правого угла обнулились из-за ортогональности базисных векторв

    пример

    найдем собственные числа и собственные векторы матрицы (1 1 ; 1 1)

        ( 1−λ    1
           1    1−λ ) = 0
    
        (1 − λ)² - 1  = 0
    
         λ² − 2 * λ   = 0  
    собственные числа 0 и 2. теперь нужно решить две системы уравнений

    первая система, для λ = 0

          (1 − 0)*v₁ + 1*v₂       = 0
            1*v₁     + (1 − 0)*v₂ = 0  
    имеет решения при v₁ = −v₂

    вторая система, для λ = 2

          (1 − 2)*v₁ + 1*v₂       = 0
             1*v₁    + (1 − 2)*v₂ = 0  
    имеет решения при v₁ = v₂

    возможные собственные вектора (−1 1), (1 1)

    важный класс квантово-механических матриц образуется, когда в качестве базисных функций берутся собственные функции гамильтониана H. такой базис, или представление, называют энергетическим. это представление удобно потому, что энергетический спектр систем практически всегда дискретный. рассмотрим матрицу Гамильтониана в его собственном, энергетическом представлении

    общее свойство матриц всех операторов в собственном представлении - они диагональны, а на главной диагонали стоят собственные числа операторов. если же базис выбран другой, то сведение матрицы Гамильтониана к диагональному виду (т.е. нахождение ее собственных значений), эквивалентно решению дифференциального уравнения Шрëдингера

    предположим что Гамильтониан системы

        H = ( h  g
              g  h )
    где g и h - вещественные константы. если система в начальном положении (при t = 0) находится в состоянии |1⟩, то каково ее состояние в момент времени t? начнем со стационарного уравнения Шрëдингера. запишем уравнения для определения собственных значений в виде детерминанта
       det ( h−E   g
              g   h−E )
    
       =  (h − E)² − g² = 0 ⇒
    
       E = h ± g 

    очевидно, что допустимы уровни энергии системы (h + g) и (h − g). для нахождения собственных векторов умножим матрицу оператора H на искомый вектор, записанный в общем виде как столбец (α; β):

        ( h g ;
          g h ) * (α ; β)
      =
        ( h * α + g * β ;
          g * α + h * β )
    
        ⇒ β = ±α  

    тогда нормализованные векторы запишутся как

        |Ψ±⟩ = 1/√2 (1 ; ±1)  

    теперь представим начальное состояние в виде линейной комбинации состояний собственных векторов оператора Гамильтона:

        |Ψ(0)⟩ = ( 1 ; 0) = 1/√2 ( |Ψ+⟩ + |Ψ−⟩ )  

    добавим зависящую от времени часть exp (−i*Eₙ*t) :

        |Ψ(0)⟩ = 1/√2 * ( exp (-i*(h+g)*t) * |Ψ+⟩   +  exp (-i*(h-g)*t) * |Ψ−⟩ )
    
     =
    
        1/2 * exp (-i*h*t) * ( exp (-i*g*t) * (1 ; 1)   +   exp (i*g*t) * (1 ; -1) )
    
     =
        exp (-i*h*t) * (      cos (g*t)
                         -i * sin (g*t)   )  

    результат - состояние изолированной системы осциллируют во времени. если в момент времени t=0 система была в состоянии |1⟩, и Гамильтониан имеет ненулевые внедиагональные элементы (в нашем случае это g), то вероятность обнаружения системы в каком-либо из состояний будет носить периодический характер, поскольку с течением времени она окажется в состоянии |2⟩ а затем вернется обратно

    многочастичные системы

    представим две квантовые системы - первая имеет n различающихся состояний (и описывается n-мерным Гильбертовым пространством Ln), вторая - m состояний (и описывается m-мерным Гильбертовым пространством Lm). число состояний системы, образованной двумя такими системами, будет равно n·m, поскольку каждая пара состояний образует новое состояние общей системы. Гильбертово пространство, сопоставленное объединенной системе, будет Lnm. объединение пространств V и W с размерностью n и m соответственно в пространство размерностью nm показывается с помощью тензорного произведения V ⊗ W

    пусть системы A и B обладали базисами

        { |α1⟩, ..., |αn⟩ }
    
        и
    
        { |β1⟩, ..., |βm⟩ }  
    соответственно, тогда возможным базисом пространства объединенной системы будет
        { |α1⟩ ⊗ |β1⟩, |α1⟩ ⊗ |β2⟩, ..., |αn⟩ ⊗ |βm−1⟩, |αn⟩ ⊗ |βm⟩ }  
    где пары образуют все сочетания индексов от 0 до n для |v⟩ и от 0 до m для |w⟩, поэтому размерность пространства будет равна n·m. вектор состояния общей системы может быть записан в базисе тензорного произведения подпространств
        |Ψ⟩ =  ∑  C_ij |α_i ⟩ ⊗ |β_j ⟩  ,  1 < i < n   1 < j < m  

    тогда состояние называется факторизуемым (или "сепарабельным" или "чистым"). в общем случае системы, состоящей из двух частей, произвольное состояние |Ψ⟩ не обязательно факторизуемо и между двумя квантовыми подсистемами может иметься корреляция и такое состояние |Ψ⟩ называется "запутанным"

    предположим, что разрешены три положения, заданных ортонормированными состояниями |0⟩, |1⟩, |2⟩. тогда состояние |ψ⟩ одной частицы описывается линейной комбинацией

        |ψ⟩ = a0 * |0⟩ + a1 * |1⟩ + a2 * |2⟩
    где ai задают амплитуды вероятности. в случае двухчастичного состояния потребуется по амплитуде для каждой пары положений, т.е. 3² = 9. они будут описаны в новых базисных векторах |0⟩|0⟩, |0⟩|1⟩, |1⟩|1⟩ ...|2⟩|2⟩, а общее двухчастичное состояние будет представлено как
        |ψ⟩ = a00 * |0⟩|0⟩ + a01 * |0⟩|1⟩ + a11 * |1⟩|1⟩ + . . . + a22 * |2⟩|2⟩ 

    произведение |α⟩|β⟩ интерпретируется как "первая система находится в состоянии |α⟩, вторая система находится в состоянии |β⟩"

    расмотрим две невзаимодействующие системы A и B, которым соответствуют Гильбертовы пространства HA и HB. тогда Гильбертово пространство объединенной системы будет тензорным произведением HA ⊗ HB. пусть дан двумерный базис

        { |0⟩A , |1⟩A } для HA 
    и базис
        {|0⟩B , |1⟩B }  
    для HB. "запутанным" будет следующее состояние:
        1/√2 * ( |0⟩A ⊗ |1⟩B − |1⟩A ⊗ |0⟩B ) 

    составную систему, находящуюся в таком состоянии, невозможно факторизовать на системы A и B, описанные в "чистом" состоянии

    в общем случае мы можем представить смешанное состояние как набор чистых состояний ∑ |Ψn⟩, каждое из которых связано с вероятностью pn. акцент на смешанных состояниях и способ их описания важен по нескольким причинам. во-первых, состояние системы редко бывает "чистым" - часто реальная система является статистическим ансамблем подсистем, и результаты эксперимента определяются определенным усредненным значением. примером смешанного состояния является лазерный пучок, поскольку фотоны в нем имеют разброс параметров (поляризация, частота, направление). во-вторых, вследствие взаимодействия с окружающей средой чистое состояние системы довольно быстро теряет фазовые соотношения между состояниями. при этом чистое состояние разрушается, происходит "декогеренция"

    рассмотрим результат измерения смешанного квантового состояния. предположим, что мы имеем смесь квантовых состояний |Ψₙ⟩ с вероятностями pₙ. каждое состояние |Ψₙ⟩ может быть представлено вектором в Гильбертовом пространстве и ассоциировано с оператором плотности

        ρₙ = |Ψₙ⟩ ⟨Ψₙ|   
    который является матрицей 2n × 2n. мы можем взять среднее этих матриц и получить матрицу плотности смеси {pₙ , |Ψₙ⟩} :
        ρ = ∑ pₙ |Ψₙ ⟩⟨Ψₙ | 

    свойства матрицы плотности: оператор плотности и матрица - эрмитовы, диагональные элементы матрицы (и собственные значения Πₙ оператора плотности) неотрицательны и находятся в диапазоне от 0 до 1, след матрицы всегда равен 1. критерий, отличающий матрицу плотности чистого состояния от матрицы плотности смешанного - след квадрата матрицы чистого состояния равен единице, а след матрицы смешанного состояния всегда меньше единицы. для чистого состояния выполняется равенство ρ² = ρ. физический смысл диагональных элементов - вероятность обнаружения системы с соответствующем состоянии или, например, населенность соответствующих уровней. физический смысл внедиагональных элементов, во-первых - вероятность перехода между состояниями, и во-вторых - учитывая что, что они представляют собой усреднение коэффициентов с фазовыми множителями вида aₙ*e , они говорят о "когерентности" в ансамбле между двумя состояниями, т.е. о наличии одинаковой разности фаз между состояниями для всех систем в ансамбле

    точное решение уравнения Шрëдингера может быть найдено лишь в крайне небольшом числе простейших случаев, и большинство задач квантовой механики приводит к слишком сложным уравнениям. однако, часто в условиях задачи оказываются малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается настолько, что становится возможным еë решение. в таком случае первый шаг в решении поставленной задачи состоит в решении упрощенной задачи, а второй - в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. такой метод вычисления называется "теорией возмущений"


    уравнение Гейзенберга

            [X, P] = i   
    где X - координата, P - импульс. квантовые уровни энергии стали соответствовать собственным значениями эрмитовой матрицы Гамильтониана системы

    согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор A, а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства Ψ. представление Гейзенберга - один из способов описания квантовомеханических явлений, в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причём вектор состояния Ψ от времени не зависит. в представлении Гейзенберга эволюция системы описывается уравнением:

        dA/dt  = i * [H , A] + ∂A/∂t 

    в частности, если Гамильтониан H не зависит от времени, то:

        A(t) = exp (i * H) * A * (-i * H) 


    уравнение Паули

    уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле. уравнение Паули является обобщением уравнения Шрёдингера, учитывающим наличие у частицы спина. частица со спином 1/2 может находиться в двух различных спиновых состояниях с проекциями спина +1/2 и −1/2 на некоторое (произвольно выбранное) направление. в соответствии с этим волновая функция частицы ψ(r,t) где r - координата частицы, t - время, является двухкомпонентной. электрически заряженная система с отличным от нуля спиновым моментом обладает и магнитным моментом. во внешнем магнитном поле магнитный момент обладает потенциальной энергией U, добавление которой в Гамильтониан H электрона во внешнем электронно-магнитном поле приводит к уравнению Паули:

          i * ∂ψ/∂t = H * ψ  

    предложенное на основе эвристических соображений уравнение Паули оказалось естественным следствием релятивистски-инвариантного уравнения Дирака в слаборелятивистском приближении, в котором учитываются лишь первые члены разложения в ряд. на основе уравнения Паули может быть рассчитано расщепление уровней электронов в атоме во внешнем магнитном поле с учётом спина однако более тонкие релятивистские эффекты в атомах, обусловленные спином электрона, могут быть описаны лишь при учёте более высоких членов разложения релятивистского уравнения Дирака


    уравнение Дирака

    предложенное Дираком в 1928 году уравнение является модификацией уравнения Шрёдингера для квантово-механической волновой функции электронов. предназначено для согласования квантовой механики с буст-симметрией СТО. это набор из четырех взаимосвязанных уравнений для четырех волновых функций. уравнение Дирака является ковариантным, и описывает заряженные частицы со спином ½

    уравнение Дирака можно записать в представлении, использующем кватернионы. в терминах представления двух полей над кватернионами для правых (Ϟ) и левых (Φ) электронов:

      ∂t/Ϟi + i * ∂x/Ϟ + j * ∂y/Ϟ + k * ∂z/Ϟ = ϕj
    
      ∂t/ϕi − i * ∂x/ϕ − j * ∂y/ϕ − k * ∂z/ϕ = Ϟj
    
      или
    
      (∂/∂t , ∇) * Ψ = Ψ
    
      где Ψ - волновая функция
    это представление уравнения Дирака используется в компьютерном моделировании


    уравнения Прока

    это обобщение уравнений Максвелла, для массивных заряженных частиц со спином 1 записанное в тензорной форме:

    i Fik (x)   +   Jk (x)  =  0
    
        Fkl = ∂k Jl − ∂l Jk
    
        где Fik - антисимметричный тензор электромагнитного поля:
    
        Fik  =  ( 0   −Ex −Ey −Ez
                  Ex   0  −Bz  By
                  Ey   Bz  0  −Bx
                  Ez  −By  Bx  0 )
    
        Jk - вектор тока 

    уравнения Янга-Миллса

    теория Янга-Миллса - калибровочная теория поля с неабелевой группой калибровочной симметрии

    Лагранжиан свободного поля Янга-Миллса имеет вид

        L   =  -1/4  *  Tr (F²)   =  -1/4  *  Fμνa * μνFa 
    где F - это 2-форма напряжённости поля Янга-Миллса, инвариантная при воздействии на тензор-потенциал μAa калибровочной группы:
        μνFa   =   μνAa − ν μAa + g * fabc * μAb * νAc 
    где под μ∂ понимается ковариантная производная в пространстве-времени Минковского (в Галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной)

    порождающие алгебры Ли калибровочной группы T удовлетворяют соотношению:

        [ Ta , Tb ]   =   i * fabc * Tc 
    где fabc называются "структурными константами группы T"

    ковариантные производные полей, взаимодействующих через поля Янга-Миллса, определены как:

        Dμ = I ∂μ − i g Ta μAa 
    где I - единичный оператор, g - константа взаимодействия. в четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия g это безразмерная величина

    для SUₙ групп: a, b, c =     1 , 2, ... , n²-1

    уравнения Янга-Миллса это "уравнения Максвелла на стероидах"!. они поддерживают множество видов зарядов, а не только один электрический. кроме того, они поддерживают симметрию между этими зарядами.

    решение уравнений Янга-Миллса в общем случае является одной из семи математических "проблем тысячелетия" института Клэя


    фундаментальные частицы

    в 30-е годы XX века возникла гипотеза о том, что в мире элементарных частиц взаимодействия осуществляются посредством обмена квантами какого-либо поля. так, например, электромагнитное взаимодействие между заряженными частицами, возникает вследствие обмена фотонами - квантами электромагнитного поля. теория обменного взаимодействия получила признание после того, как в 1935г. Юкава теоретически показал, что сильное взаимодействие между нуклонами в ядрах атомов может быть объяснено, если предположить, что нуклоны обмениваются гипотетическими частицами, получившими название мезонов. Юкава вычислил массу этих частиц (приблизительно равной 300 электронным массам) и частицы с такой массой были впоследствии действительно обнаружены

    элементарных частиц обнаружено двенадцать: три электрически отрицательно заряженных лептона (электрон e-, мюон μ-, тау-лептон τ-), и соответственно, три нейтрино с нулевым зарядом (νe, νμ, ντ), а также шесть их античастиц - три с положительным электрическим зарядом (позитрон e+, мюон μ+, тау-лептон τ+), и соответственно, три антинейтрино с нулевым электрическим зарядом (_νe, _νμ, _ντ)

    в 1932 г. в журнале “Science” появилась заметка Карла Андерсона, в которой он сообщал об открытии в составе космических лучей новой частицы. эта частица имела такую же массу, как и электрон, но имела в отличие от электрона не отрицательный, а положительный электрический заряд. это открытие было сделано Андерсоном понаблюдением за траекториям частиц в камере Вильсона в сильном магнитном поле. за открытие позитрона в 1963 г. Андерсону была присуждена Нобелевская премия по физике. позитрон является стабильной частицей. при столкновении электрона и позитрона происходит их аннигиляция - электрон и позитрон исчезают, и вместо них рождаются два γ-кванта (фотона):

        е- + е+ → 2γ 
    происходит превращение частиц с массой отличной от нуля в частицы с нулевой массой (фотоны)

    наряду с процессом аннигиляции был обнаружен и процесс рождения пары частиц - электрона и позитрона. электрон-позитронные пары рождались γ-квантами с энергией несколько МэВ в кулоновском поле атомного ядра. позитроны образуются при β+-распаде атомных ядер - нейтрон n внутри ядра распадается, превращаясь в протон p, электрон e- и электронное антинейтрино:

        n → p + e- + νe   
    распады протонов и нейтронов в атомном ядре привели к появлению чрезвычайно глубокой концепции физики частиц - в результате распада появляются новые частицы, которых не было в начальном состоянии. протон, электрон и электронное антинейтрино не существуют внутри нейтрона, они образуются при β-распаде нейтрона

    мюоны были обнаружены Карлом Андерсоном в 1936 году. он обнаружил частицы, которые при прохождении магнитного поля отклонялись в меньшей степени, чем электроны, но в большей, чем протоны. было сделано предположение, что их электрический заряд равен заряду электрона, и для объяснения различия в отклонении предположили что эти частицы имели промежуточную массу где-то между массой электрона и массой протона. масса мюона в 207 раз больше массы электрона. время жизни мюонов 2.2*10^-6 cек (дольше её не распадается только свободный нейтрон). мюон распадается на электрон и два нейтрино. на долю мюонов приходится значительная часть космического излучения, регистрируемого у поверхности Земли. мюон имеет тот же заряд и спин, что и электрон и участвует в тех те взаимодействиях

    в конце 70-х годов XX века на электрон-позитронном коллайдере SPEAR в Национальной ускорительной лаборатории SLAC (Стэнфорд, США) был обнаружен третий заряженный лептон, получивший название "тау-лептон". за открытие этой частицы Мартин Перл получил Нобелевскую премию по физике за 1995 год. тау - очень тяжелая частица: ее масса около 3500 масс электрона, время жизни 2.9*10^−13 сек, но во всем остальном она ведет себя подобно электрону и мюону. тау нестабилен гораздо сильнее, чем мюон и разлагается на мюон и два нейтрино (17%) или на электрон и два нейтрино (17%) или на андроны (>50%). тау был обнаружен при столкновении пучков электронов и позитронов:

        e- + e+ → τ- + τ+   
    сталкивается электрон и позитрон, происходит процесс аннигиляции, в результате аннигиляции электрона с позитроном рождаются два фотона. и на этом, вообщем-то, процесс аннигиляции заканчивается. но не в этом случае. в этом случае при столкновении электрона и позитрона рождается фотон, который распадается на тау–лептон и антитау–лептон. и это все "вылетает" из частицы, не имеющей массы покоя и не имеющей заряда! как такие заряды и массы родились? закон сохранения работает? очень интересно! и при этом еще потом тау–лептон распадается на адроны + тау-нейтрино, и антитау-лептон распадается на адроны + антитау-нейтрино. просто какая-то фабрика материи!

    основное различение элементарных частиц проходит по характеру их распада и взаимодействия между собой и с другими частицами

    лептоны участвуют только в слабых и электромагнитных взаимодействиях посредством обмена слабыми промежуточными бозонами W±,Z и фотоном, соответственно. все лептоны имеют полуцелый спин 1/2. число лептонов в начальном и конечном состоянии во всех известных реакциях одинаково. это позволило ввести сохраняющуюся величину - лептонный заряд

    стабильными частицами (время жизни → ∞) являются только фотон, электрон, протон и нейтрино. лептоны μ и τ называют "старшими поколениями", потому что тау нестабильно и может распадаться на электрон и пару нейтрино (τe), на мюон и пару нейтрино (τμ), а может и на адроны (τh). мю тоже нестабильно и разлагается на электрон и два нейтрино. cуществуют также более редкие типы распада мюона, когда возникает дополнительный фотон или электрон-позитронная пара. считается, что электрон и нейтрино не содержатся в мю и тау а появляются в момент разложения последних

    если исходить из современной модели Вселенной, то нейтрино являются наиболее распространенными частицами: Вселенную можно представить безбрежным нейтринным морем, в котором изредка встречаются острова атомов. предсказываемое теорией время жизни нейтрино (10^29 лет) на 19 порядков превышает возраст Вселенной. не имея электрического заряда, массы покоя, магнитного момента, нейтрино крайне слабо взаимодействуют с другими частицами и являются весьма проникающими. нейтрино отличается от антинейтрино направлением спина по отношению к направлению движения

    для слабого взаимодействия характерно явление нарушения закона сохранения пространственной четности, из-за чего левоспиральные (спин частицы ориентирован против ее импульса) и правоспиральные (спин частицы ориентирован по ее импульсу) лептоны по разному ведут себя в слабых взаимодействиях. лептоны группируются по левоспиральным слабым изодублетам (заряженная частица и соответствующее нейтрино) поскольку именно в таких комбинациях они участвуют в слабых взаимодействиях, нарушающих четность, сохраняя лептонный заряд:

        (νe ; e-)L
    
        (νμ ; μ-)L
    
        (ντ ; τ-)L
    правоспиральные лептоны e-R, μ-R, τ-R в слабых распадах не участвуют и считаются синглетами по слабому изоспину. правоспиральные нейтрино не обнаружены

    по видам взаимодействий частицы делятся на следующие группы:

    важная характеристика частицы - спин. он всегда кратен некоторой фундаментальной единице, которая выбрана равной 1/2. протон, нейтрон и электрон имеют спин 1/2, а спин фотона равен 1. известны частицы со спином 0, 3/2, 2. в зависимости от спина, все частицы делятся на две группы:

    протон, нейтрон и электрон имеют спин 1/2, а спин фотона равен 1. спин рассматривается как проявление внутренней степени свободы элементарной частицы

    среди адронов наиболее распространены нейтрон и протон. остальные адроны - короткоживущие и быстро распадаются. протон - ядро водорода, масса в 1836 раз больше массы электрона. он является составной частью ядер всех элементов. нейтрон - частица, лишенная электрического заряда с массой в 1838 электронных масс. нейтроны входят в состав атомных ядер

    адроны, состоящие из кварков, участвуют в сильных, электромагнитных и слабых взаимодействиях посредством обмена глюонами, фотоном и бозонами W±,Z, соответственно. число адронов больше 100 - барионы с полуцелым спином, подчиняющиеся статистике Ферми, и мезоны с целым спином, подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна. число барионов в начальном и конечном состоянии во всех известных реакциях одинаково и это позволило ввести сохраняющуюся величину - барионный заряд (барионное число). нарушений барионного числа не обнаружено

    адроны состоят из кварков различных ароматов и цветов. всего задекларировано (эксперементально кварки не наблюдались ) шесть ароматов кварков - up, down, strange, charm, bottom, top причем u,c,t - с электрическим зарядом 2/3 и d,s,b - с электрическим зарядом –1/3. кварки группируют по дублетам:

        (u ; d)
    
        (c ; s)
    
        (t ; b) 

    кроме электрического заряда, кварки несут "цветовой" заряд. цветной кварк, испуская или поглощая глюон, переходит в кварк другого цвета, но того же аромата. переносчиками взаимодействия являются глюоны и их должно быть 3²-1=8

    переносчик электромагнитного излучения - фотон. фотон всегда движется с постоянной скоростью 3*10^8м/с (в вакууме). он не имеет массы покоя, а его остановка есть не что иное, как поглощение, т. е. конец его существования

    слабое взаимодействие является короткодействующим - оно проявляется на расстояниях, значительно меньших размера атомного ядра. переносчиками слабого взаимодействия являются бозоны W+,W− и Z. при этом различают взаимодействие так называемых заряженных слабых токов и нейтральных слабых токов :

    бозоны были открыты в 1983г. радиус слабого взаимодействия чрезвычайно мал, поэтому его переносчиками должны быть частицы с большими массами покоя. в соответствии с принципом неопределенности время жизни частиц с такой большой массой покоя должно быть чрезвычайно коротким - всего лишь около 10^-26 с. радиус переносимого этими частицами взаимодействия очень мал потому, что столь короткоживущие частицы не успевают отойти особенно далеко. в слабом взаимодействии принимают участие все фундаментальные фермионы (лептоны и кварки). это единственное взаимодействие, в котором участвуют нейтрино

    итак, для описания мира мы имеем:
    шесть лептонов (которые могут иметь положительный, отрицательный или нулевой электрический заряды), которые обмениваются фотоном γ и/или слабыми промежуточными бозонами W±,Z
    шесть кварков (которые могут иметь один из трех цветовых заряда), которые обмениваются фотоном, слабыми промежуточными бозонами и глюонами Gk, k=1,..,8

    процессы электромагнитного и сильного взаимодействия инвариантны относительно пространственной инверсии - в таких процессах сохраняется пространственная четность. однако экспериментально установлено, что слабые процессы могут протекать с несохранением пространственной четности и, следовательно, как бы чувствуют разницу между "левым" и "правым". имеются твердые экспериментальные доказательства, что несохранение четности в слабых взаимодействиях носит универсальный характер: законы, которым подчиняются слабые процессы, меняются при зеркальном отражении системы. нарушение закона сохранения чётности приводит к тому, что слабому взаимодействию подвержены только частицы, спин которых противоположен импульсу, но не те, чей спин - сонаправлен с импульсом. векторный и аксиальный токи слабого взаимодействия ведут себя совершенно одинаково при преобразованиях Лоренца. однако при пространственной инверсии их поведение различно: векторный ток при таком преобразовании остаётся неизменным, а аксиальный ток меняет знак, что и приводит к нарушению чётности. все слагаемые в заряженном токе представляют собой сумму векторного и аксиального операторов с множителями, равными единице. в отличие от заряженных токов, оператор нейтрального тока - диагонален, то есть переводит частицы в сами себя, а не в другие лептоны или кварки. в отличие от других видов фундаментальных взаимодействий, слабое взаимодействие позволяет заряженным лептонам превращаться в нейтрино, а кваркам одного аромата - в кварки другого аромата!

    для описания слабого взаимодействия группа U₁ комбинируется с группой SU₂

    результирующее взаимодействие между нейтронами и протонами в ядре представляет собой остаточный эффект более мощного взаимодействия между самими кварками: когда протон "прилипает" к нейтрону или другому протону, во взаимодействии участвуют шесть кварков, каждый из которых взаимодействует со всеми остальными и значительная часть сил тратится на прочное склеивание трио кварков, и лишь небольшая - на скрепление двух трио кварков друг с другом. сильное взаимодействие испытывают не все частицы: его испытывают протоны и нейтроны, но электроны, нейтрино и фотоны не подвластны ему

    кварки могут соединяться друг с другом одним из двух возможных способов: либо тройками, либо парами кварк - антикварк. из трех кварков состоят барионы. наиболее известны из барионов нейтрон и протон. протон состоит из двух u- и одного d-кварков (uud), а нейтрон - из двух d-кварков и одного u-кварка (udd). пары кварк - антикварк образуют мезоны

    требование локальной калибровочной симметрии (т.е. инвариантности относительно изменений цвета в каждой точке пространства) приводит к необходимости введения компенсирующих полей. всего требуется восемь компенсирующих полей. частицами - переносчиками этих полей являются глюоны, и из теории следует, что должно быть восемь различных типов глюонов. глюоны имеют нулевую массу покоя и спин 1. глюоны также имеют различные цвета, но не чистые, а смешанные (например, сине-антизеленый) и поэтому, испускание или поглощение глюона сопровождается изменением цвета кварка. глюоны не участвуют в электромагнитных и слабых взаимодействиях. с точки зрения QCD сильное взаимодействие есть не что иное, как стремление поддерживать симметрию: сохранение общего "белого" цвета всех адронов при изменении цвета их составных частей

    взаимодействие кварков всегда ведет к образованию "белых" связанных состояний, которые являются адронами. отличительная черта кварк-кваркового взаимодействия через глюоны состоит в том, что с уменьшением расстояния между кварками их взаимодействие ослабляется. это явление получило название асимптотической свободы - внутри адронов кварки можно рассматривать как свободные частицы. асимптотическая свобода естественным образом вытекает из QCD. с ростом расстояния взаимодействие между кварками возрастает, в силу чего кваркам энергетически выгодно находиться внутри адрона. это означает, что мы можем наблюдать только "белые" объекты - адроны, а одиночные кварки и глюоны, обладающие цветом, не могут существовать в свободном состоянии. явление удержания элементарных частиц, обладающих цветом, внутри адронов получило название "конфайнмента"

    кварки могут иметь три типа цвета; антикварки имеют три типа антицвета. глюоны имеют и цвет и антицвет, что дает девять возможных цветных заряда:

        красный-антикрасный     красный-антизеленый     красный-антисиний
    
        зеленый-антикрасный     зеленый-антизеленый     зеленый-антисиний
    
        синий-антикрасный       синий-антизеленый       синий-антисиний 

    барионы (к примеру протон и нейтрон) считаются "бесцветными", но точнее - находятся в состоянии "singlet". такие состояния позволяют взаимодействие с другими синглетами, но не с цветными состояниями. из элементов, не расположенных на диагонали можно составить 6 различных цветных комбинаций. из 3 элементов, расположенных на диагонали можно построить 3 независимые комбинации (к+с+з), (к-з), (к+з-2с). первая из этих комбинаций (к+с+з) является полностью симметричной по цвету и представляет из себя "белый" синглет. следовательно частица, имеющая такую цветовую комбинацию не может быть переносчиком цвета между кварками. комбинации (к-з) и (к+з-2с) не являются симметричными по цвету и вместе с шестью не диагонально расположенными комбинациями представляют восемь типов глюонов - переносчиков сильного цветного взаимодействия. так как глюоны обладают цветом то, в отличие от фотонов, для них возможны процессы испускания глюоном глюона. в терминах теории групп утверждение, что синглетные по цвету глюоны отсутствуют, является просто заявлением, что QCD имеет симметрию SU₃, а не U₃. при построении QCD априорных причин для предпочтения той или другой группы нет, но эксперимент согласуется с SU₃. очень важно, что восемь состояний линейно независимы и также не зависимы с синглетными состояниями - нет способа сложить состояния так, чтобы получить девятое

    кварки представимы как спиноры - в фундаментальном представлении (triplet) группы SU₃. глюоны - это векторы в adjoint представлении (octets) группы SU₃. количество носителей калиборочного поля всегда равно размерности adjoint представления и для групп SUₙ равно n²−1


    симметрия и частицы

    под симметрией понимаются такие преобразования системы, которые не меняют энергии системы. Эмми Неттер доказала теорему о том, что каждой симметрии соответствует закон сохранения. так, из симметрии относительно сдвигов и поворотов в четырехмерном пространстве-времени Минковского следуют законы сохранения энергии, импульса и момента. справедливо и обратное: каждой сохраняющейся величине соответствует своя симметрия

    пусть имеются два волновых поля φ1 и φ2, описываемых действительными функциями. пусть энергия системы определяется симметричным образом полями φ1(х) и φ2(х), где под х подразумеваются три пространственные координаты и время. тогда энергия системы не изменится, если φ1(х) и φ2(х) заменить их комбинацией:

       ξ1 =   φ1 (х) * cos α + φ2 (х) * sin α
       ξ2 = - φ1 (х) * sin α + φ2 (х) * cos α
    преобразование это аналогично повороту системы на угол α вокруг оси. при этом
      {ξ1(х)}² + {ξ2(х)}² = const
    инвариантна. величина α подразумевается постоянной - такая симметрия называется глобальной

    но согласование значения α = const во всем пространстве требовало бы сигналов с бесконечной скоростью распостранения. поэтому более естественной является локальная симметрия, при которой α выбирается в каждой пространственно-временной точке, т.е. α является функцией координат-времени:

        α = f(х) 

    однако для существования локальной симметрии требуется дополнительное условие. дело в том, что импульс частицы в квантовой механике определяется путем дифференцирования волновой функции или, как говорят, применением оператора

                            P x = -i * (∂/∂x)
    а при преобразовании в импульсе частицы возникает неопределенная функция ∂α/∂x^i что недопустимо для физической величины. возникшую неопределенность можно устранить, предположив, что сохраняющиеся величины являются источником некоторого векторного поля, характеризуемого четырьмя компонентами в пространстве-времени Минковского, которое (поле) также изменяется при преобразовании и компенсирует при этом произвольную функцию, появляющуюся в импульсе

    итак
    1. сохраняющимся величинам отвечает определенная симметрия
    2. чтобы эта симметрия была локальной, сохраняющиеся величины должны быть источником векторных калибровочных полей
    3. константы, характеризующие взаимодействие сохраняющихся величин с калибровочными полями, называются зарядами
    4. калибровочные поля осуществляют взаимодействие между заряженными частицами
    5. соответствующие калибровочным полям безмассовые частицы являются переносчиками такого взаимодействия

    существование фотона может быть истолковано как проявление локальной калибровочной инвариантности Лагранжиана, описывающего свободное поле заряженного фермиона спина 1/2 (например электрона). в некотором смысле природа может быть устроена так, что первичными оказываются свободные заряженные частицы полуцелого спина, а условие локальной калибровочной инвариантности, которое накладывается на уравнения, описывающие их свободное движение, вызывает к жизни векторное безмассовое поле, которое отождествляется с электромагнитным полем. фотон появляется не как самостоятельное фундаментальное поле, а как некоторое компенсирующее поле, введенное чтобы получить теорию свободного электрона, инвариантную относительно локальных калибровочных преобразований абелевой группы U₁. это группа, элементами которой как раз и являются вращения на произвольные углы вокруг одной оси

    поскольку протон и нейтрон обладают близкими массами и близкими свойствами относительно сильных взаимодействий, Гейзенберг предложил рассматривать их как одно состояние - нуклон, в некотором гипотетическом изопространстве. определим нуклон как состояние с двумя проекциями - протоном и нейтроном, проводя полную аналогию с введением спина 1/2 в обычном пространстве

            ( p             ( 1             ( 0
      N =            p =              n =
              n )             0 )             1 )

    нуклон в пространстве преобразуется с помощью 2-мерных эрмитовых матриц Паули или их линейных комбинаций

    τ1 = ( 0  1
           1  0 )
    
    τ2 = ( 0 -i
           i  0 )
    
    τ3 = ( 1  0
           0 –1 )

    можно перевести :
    протон в нейтрон - матрицей 1/2 * (τ1 + i * τ2)
    нейтрон в протон - матрицей 1/2 * (τ1 - i * τ2)

    подразумевается, что как только сделан выбор, что называть протоном, а что нейтроном в одной точке пространства-времени, свобода выбора в других точках пространства-времени пропадает. в то же время в отсутствие электромагнитного взаимодействия разделение нуклонов на протоны и нейтроны совершенно произвольно

    применим теперь представления о локальной симметрии к кваркам

    каждый тип кварков (аромат) должен обладать внутренней характеристикой, которая может принимать ТРИ ЗНАЧЕНИЯ (цвет). сильное взаимодействие должно быть одинаково для всех цветных состояний. это означает, что должна существовать симметрия между цветами

    одна из простейших симметрий заключается в том, что каждый цветной кварк заменяется суперпозицией всех остальных цветных кварков того же типа. предположение, что указанная симметрия имеет локальный характер требует, чтобы цветовые состояния были источниками векторных калибровочных полей. величина, характеризующая силу взаимодействия цветных кварков с этими калибровочными полями, называется цветовым зарядом кварков. ее численное значение должно определяться из опыта. кварки различного типа (аромата) имеют одинаковый цветовой заряд, антикварки - противоположный

    математически преобразование цветовой симметрии можно рассматривать как некоторый поворот в особом цветовом пространстве. однако преобразование цвета включает в себя повороты вокруг разных осей. такие повороты некоммутативны. соответствующая им симметрия называется неабелевой. при преобразованиях неабелевой симметрии одновременно с цветовыми зарядами кварков должны поворачиваться и соответствующие им калибровочные поля. это означает, что глюоны также должны иметь цветовой заряд. чтобы во всех взаимодействиях глюонов и кварков цвет сохранялся, глюоны ДОЛЖНЫ БЫТЬ ДВУХЦВЕТНЫМИ, содержа в себе какой-либо цвет и какой-либо антицвет

    очевидно, что может быть всего шесть глюонов, содержащих разные цвет/антицвет и три комбинации из одинакового цвета/антицвета

         +r/-r   +r/-g   +r/-b
         +g/-r   +g/-g   +g/-b
         +b/-r   +b/-g   +b/-b
    по строчкам у нас один цвет, а по столбцам - один антицвет. но эта матрица ни что иное, как тензорное умножение двух векторов :
                          ( -r
                            -g
        ( +r  +g  +b ) ⊗    -b ) 

    симметричная суперпозиция цветовых состояний не будет поворачиваться при цветовых преобразованиях, т.е. будет бесцветной. две же другие суперпозиции будут при поворотах в цветовом пространстве поворачиваться вместе с остальными шестью глюонами и взаимодействовать с цветными кварками с тем же самым цветовым зарядом. т.о., три цветовых состояния кварков могут испускать восемь типов цветных глюонов

    выводы квантовой хромодинамики о свойствах цветовых зарядов позволяют строить различные модели их пленения. одной из моделей является модель струн. согласно этой модели, кварк и антикварк в мезонах или три кварка в барионах связаны струнами, в которых заключено глюонное поле. если какому-либо кварку в адроне сообщается в результате взаимодействия (например, с рассеивающимся на нем нейтрино) импульс и он отлетает от своих партнеров, то глюонная струна натягивается и может разорваться в одном или нескольких местах. в результате возникающие на концах разрыва цветные кварки и антикварки вновь объединяются в белые адроны, многие из которых полетят в направлении улетевшего кварка, образовав целую струю адронов. по направлению струи и суммарной энергии в ней можно сделать заключение об импульсе, сообщенном кварку

    в цветном пространстве разделение кварков по цветам условно. с одной стороны, всегда можно условиться, какой именно кварк несет определенный цвет во всем пространстве-времени. этого можно добиться посредством глобального калибровочного преобразования в пространстве цвета. с другой стороны, концепция локализованного поля, лежащая в основе обычных физических теорий, естественно ведет к требованию инвариантности теории относительно локальных калибровочных преобразований в цветном пространстве. подобно случаям с электроном и нуклоном, напишем Лагранжиан для свободных полей трехцветных кварков. кварк определенного аромата q есть 3-спинор группы SU₃ в цветном пространстве, аналогично тому, как нуклон является 2-спинором группы SU₂ в изопространстве. и подобно тому, как протон переводился в нейтрон с помощью 2-мерной матрицы, кварк цвета 1 переводится в кварк цвета 2 или 3, но уже с помощью 3-мерной матрицы

    матрицы k=1,..,8 известны в теории унитарной симметрии SU₃ как матрицы Гельмана, они действуют в цветном пространстве, переводя кварки одного цвета в кварки другого цвета. они удовлетворяют перестановочным соотношениям, по виду напоминающие перестановочные соотношения для матриц Паули. потребуем теперь инвариантности Лагранжиана относительно локального калибровочного преобразования: для того, чтобы убрать члены, нарушающие калибровочную инвариантность, необходимо ввести уже 8 безмассовых векторных полей. 8-вектор Gk может быть записан в виде матрицы с нулевым трейсом. каждый глюон несет цвет и антицвет, причем диагональные комбинации ни в коем случае не бесцветны! кварк цвета A излучает глюон цвета A и антицвета B, переходя в кварк цвета B. скалярная по цвету (бесцветная) комбинация в обмене между кварками не участвует

    для слабых взаимодействий тоже можно ввести калибровочные поля, что обеспечивает перенормируемость теории электрослабых взаимодействий

    мы уже познакомились с методом построения Лагранжианов, инвариантных относительно локальных калибровочных преобразований, на примере электромагнитного поля, изопрострнаства нуклонов и октета глюонов: в теории фотона, как калибровочного поля, мы имели дело с преобразованием по группе U₁, в теории ρ-мезонов как калибровочных полей у нас были преобразования по группе изоспина SU₂. мы теперь потребуем локальной калибровочной инвариантности Лагранжиана левоспиральных лептонных (и кварковых) полей относительно преобразований в слабом изотопическом пространстве по группе SU₂L, а также Лагранжиана левоспиральных и правоспиральных полей по группе U₁. в целом мы строим Лагранжиан, инвариантный относительно локальных калибровочных преобразований по группе SU₂L×U₁. при этом мы, рассматривая отдельно лево- и право-спиральные компоненты лептонов, вынуждены положить их массы равными нулю. но, как и в предыдущих случаях, первоначальный Лагранжиан неинвариантен относительно подобных локальных калибровочных преобразований

    для того, чтобы убрать члены, нарушающие калибровочную инвариантность, введем слабый изотриплет векторных полей и еще один слабый изосинглет с калибровочными преобразованиями. требование инвариантности Лагранжиана свободных лептонных полей относительно локальных калибровочных преобразований по группе SU₂L×SU₁ приводит к появлению четырех безмассовых векторных полей, взаимодействующих с этими лептонными полями

    остается разрешить еще одну проблему, что, однако, оказывается невозможным без выхода за рамки калибровочной модели. это проблема масс квантов слабого поля, которые в полученных формулах равны нулю. а экспериментально : MW = 80ГэВ, а MZ = 90ГэВ. для решения проблемы ненулевых масс слабых векторных бозонов Хиггсом был предложен механизм так называемого спонтанного нарушения симметрии, который устроен таким образом, что в результате поля W±,Z оказываются массивными, а электромагнитное поле остается безмассовым. кроме того, в Лагранжиане остаются члены, описывающие взаимодействие квантов слабого поля с хиггсовскими бозонами. на сегодня это находится вне досягаемости эксперимента

    таким же образом можно сделать массивными остальные лептоны и кварки. при этом возникают многочисленные вершины, соответствующие взаимодействию фермионов с хиггсовскими полями. пока эти вершины, если они даже реальны, тоже остаются вне досягаемости эксперимента


    Стандартная Модель

    Мы живем в (4,4)-мерном супермногообразии, подстилающим многообразием которого является обычное 4-мерное пространство-время. Группой преобразования этого супермногообразия является супергруппа Ли, точки которой составляет группа Пуанкаре

    Лейтес

    стандартная модель была создана в рамках объединения теории Янга-Миллса (калибровочной теории с неабелевой калибровочной группой), позволившей разработать теорию электрослабых взаимодействий на основе группы SU₂×U₁ и квантовую хромодинамику (теорию сильных взаимодействий) на основе группы SU₃. теория Янга-Миллса - обобщение уравнений Максвелла, специальный пример калибровочной теории поля с неабелевой группой калибровочной симметрии. нелинейность уравнений Янга-Миллса приводит к тому, что их составление и решение - непростая задача. решения найдены для очень небольшого числа частных случаев, а в общем виде метод решения неизвестен. также неизвестно, как нелинейность уравнений приводит к наблюдаемому в экспериментах конфайнменту в сильных взаимодействиях. решение уравнений Янга-Миллса в общем случае является одной из семи математических "проблем тысячелетия" института Клэя

    частицами-переносчиками взаимодействий (калибровочными частицами) являются бозоны:

    QCD - теория сильного взаимодействия цветных кварков и цветных глюонов. сильное взаимодействие осуществляется путем обмена глюонов между кварками. теория построена на основе принципа локальной калибровочной инвариантности относительно преобразований в трехцветном комплексном пространстве внутренних симметрий SU₃

    глюон - квант векторного поля сильного взаимодействия. глюон является электрически нейтральной частицей со спином 1 и нулевой массой. глюоны характеризуются спином и дву-цветом, и не имеют других квантовых чисел. глюоны являются бозонам. двух-цветные глюоны являются переносчиками сильного взаимодействия между кварками и склеивают их в адроны. в QCD установлено существование восьми глюонных полей, отличающихся цветовыми индексами

    при поглощении и испускании глюона у кварка меняется только его цвет, но сохраняются другие квантовые числа и аромат кварка не меняется. наличие у глюона цветового заряда приводит к самодействию глюонов: т.е. глюоны могут поглощать или излучать другие глюоны

    QCD удается описать асимптотическую свободу - невзаимодействие кварков при малых расстояниях. это обусловлено убыванием эффективной хромодинамической константы с ростом энергии. использование асимптотической свободы и гипотезы о конфайнменте позволяет описывать процессы с большими поперечными импульсами, рождение лептонных пар, струйные процессы в электрон-позитронной аннигиляции, т.е. такие реакции, в которых детали образования конечных состояний из кварков и глюонов не существенны

    слабое взаимодействие - одно из четырех взаимодействий между элементарными частицами. оно превращает заряженные лептоны в нейтрино, а кварки одного сорта в кварки другого сорта. в процессах с участием слабого взаимодействия отсутствует зарядовая и зеркальная симметрия, т.е. нарушается пространственная и зарядовая четности, а также изменяются на единицу квантовые числа адронов странность и очарование

    создать отдельную теорию слабого взаимодействия не удалось , слабое и электромагнитное взаимодействие были объединены при помощи калибровочной группы SU₂×U₁. калибровочные бозоны слабого взаимодействия получают массу из-за спонтанного нарушения электрослабой симметрии от SU₂×U₁, вызванного механизмом Хиггса. теория предсказывала существование только безмассовых бозонов, что противоречило экспериментальным данным . поэтому в Стандартную модель потребовалось добавить дополнительное поле Хиггса, переносчик которого, бозон Хиггса, вызывает появление инертной массы для бозонов. бозон Хиггса пока не обнаружен

    ток в квантовой теории поля

    оператор плотности четырехмерного тока описывает превращение одной частицы в другую или рождение пары частица-античастица. согласно универсальной теории слабого взаимодействия Гамильтониан четырех-фермионного слабого взаимодействия представляет собой произведение двух токов j, каждый из которых является комбинацией векторного V и аксиального A токов (V-A-взаимодействие)

    векторно-аксиальная структура V-A токов приводит к характерной зависимости реакций слабого взаимодействия от спинов участвующих частиц. это связано с тем, что матрица, действуя на волновую функцию фермиона, выделяет из неё состояния с левой спиральностью. в этом случае спин частицы направлен против импульса частицы, т.е. против направления движения частицы. заряженный слабый ток - оператор теории слабого взаимодействия - отвечает за переходы, при которых электрический заряд начальных и конечных частиц меняется на единицу элементарного электрического заряда. заряженный слабый ток описывает взаимодействие лептонов и кварков с полем заряженных промежуточных векторных бозонов. он превращает нейтрон в протон, электрон в нейтрино. заряженный ток равен сумме лептонного тока и кваркового тока, каждый из которых является суммой векторного и аксиального токов. нейтральный ток - оператор, описывающий взаимодействие кварков и лептонов с полем нейтрального бозона Z. в этих переходах не меняется электрический заряд конечных и начальных кварков и лептонов. нейтральный ток состоит из суммы лептонного и адронного (кваркового) тока, каждый из которых является суммой векторного и аксиального токов. важным свойством нейтральных токов является их дагональность: они переводят каждый лептон или кварк сам в себя. нейтральный ток каждого лептона и кварка определяется электромагнитным током и током третьей компоненты слабого изоспина

    заряженные бозоны W осуществляют взаимодействие заряженных токов. нейтральный бозон Z осуществляет взаимодействие нейтральных токов. заряженный W-бозон в 70% случаев распадается в адронные состояния и в 30% случаев в лептонные состояния типа (лептон, нейтрино). нейтральный бозон распадается в 71% в адронные состояния типа (лептон, антилептон) и (нейтрино, антинейтрино)

    "от гравитации к квантам"

    объединение пространственно-временной симметрии гравитационного взаимодействия с внутренними и калибровочными симметриями сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий достигается путем введения искривленного пространства-времени размерности (4+d), где d - число. предполагается, что дополнительные d-измерения каким-либо образом компактифицируются в замкнутое d-мерное пространство с характерными планковскими размерами. симметрия этого d-пространства определяет симметрию сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий

    "от квантов к гравитации"

    введение суперкалибровочных моделей обладающих суперсиммметрией и содержащих в качестве составляющих неабелевые калибровочные векторные поля. суперсимметрия - это симметрия относительно преобразований, преобразующих бозонные поля целого спина в фермионные поля полуцелого спина. эти преобразования образуют группу, являющуюся расширением группы Пуанкаре. представления группы суперсимметрии - суперполя заданы на суперпространствах, включающих кроме обычных координат, алгебраические объекты, являющиеся спинорами относительно группы Пуанкаре (спинорные координаты). в механизме нарушения суперсимметрии существенную роль должна играть супергравитация - суперсимметризованная теория тяготения Эйнштейна содержащая гравитационные супермультиплеты (гравитон со спином 2 и гравитино со спином 3/2, которые не наблюдались экспериментально )

    * * *

    существует теорема Райферти: нет физически удовлетворительного способа нетривиально объединить группы Ли конечного ранга, относящиеся к внутренней симметрии и группу Пуанкаре пространственно-временной симметрии: единственный способ объединения указанных групп - прямое произведение, когда преобразования соответствующих симметрий действуют независимо. в теории великого объединения гравитация не вписывается естественным образом, так как переносчиками взаимодействия в этих теориях являются калибровочные векторные поля спина 1, а кванты гравитационного поля (гравитоны) имеют спин 2. для создания единой теории поля необходимо найти симметрию которая объединяет бозоны и фермионы, и организовать суперпространство, которое содержит пространственные и спинорные координаты и поместить туда поля материи

    супералгеброй, лежащей в основе физически симметричных теорий является алгебра супертрансляций. она порождается конечным числом четных и нечетных генераторов. операторы рождения бозонов и фермионов можно рассматривать как систему образующих бесконечномерной градуированной алгебры. операторы рождения бозонов считаются четными элементами алгебры, фермионные операторы считаются нечетными элементами алгебры. нечетные генераторы переводят бозоны в фермионы. учитывая связь спина со статистикой нечетные генераторы преобразуются по представлениям с полуцелым спином. четные генераторы преобразуются по представлениям с целым спином. простейшее допущение состоит в том, что нечетные генераторы являются спинорами (спиноры - это величины, преобразующиеся по фундаментальным представлениям группы комплексных матриц второго порядка с детерминантом равным единице. эта специальная линейная группа комплексных регулярных матриц)

    суперпространство - расширенное пространство в теории суперсимметрии, которое кроме обычных пространственно-временных координат включает также спинорные координаты. спинорные переменные антикоммутируют друг с другом и коммутируют с координатами пространства-времени. спинорные переменные могут рассматриваться как нечетные образующие грассмановой алгебры. координаты служат четными образующими грассмановой алгебры. антикоммутативность необходима для обеспечения правильной связи спина со статистиками. важное следствие антикоммутативности грассмановых переменных - их нильпотентность