группа Пуанкаре

группа Пуанкаре является группой глобальной симметрии СТО. форма

законов релятивистской кинематики
уравнений Максвелла
уравнения Дирака

остаётся инвариантной по отношению к преобразованиям группы Пуанкаре

аксиоматика СТО предполагает, что пространство-время является

во-первых, четырёхмерным односвязным локально-компактным хаусдорфовым топологическим пространством с определенной на нём транзитивной коммутативной группой автогомеоморфизмов - т.е. оно является аффинным пространством с группой переносов
а во-вторых, каждой точке пространства-времени сопоставлены подмножества (содержащие кроме этой точки, также и другие) - так называемые области воздействия точки - такие, что для любой другой точки области воздействия её область воздействия входит в область воздействия данной точки

второе предположение вводит отношение частичного порядка в пространстве-времени - отношение "следования" или "причинности", а такое отношение уже позволяет ввести понятие "ограниченного множества". формально аналогом второго постулата СТО (ограниченности скорости передачи воздействия) будет предположение об ограниченности пересечения "последующего" множества данной точки и "предшествующего" множества любой "последующей" точки

эти предположения являются базовыми. тем не менее, этих предположений оказывается недостаточно для получения преобразований Лоренца. приходится делать дополнительные предположения о существовании группы взаимно-однозначных отображений, обладающих определенными свойствами по отношению к "областям воздействия". вот уже вместе с этими дополнительными аксиомами указанная группа отображений фактически является группой Лоренца, но формализм группы Лоренца оставляет неподвижным начало координат, что в корне отличает ее от группы Галлилея. и вот тут на сцену выходит группа Пуанкаре

группа Пуанкаре (неоднородная группа Лоренца) - группа движений пространства Минковского, совпадающая с группой преобразований вещественных 4-векторов

    a = [ t 
        , x 
        , y 
        , z ]

вида

    a'   =    Ł * a   +   b

где Ł - преобразование из группы Лоренца, b - 4-вектор смещения (трансляции). т.о. группа Пуанкаре объединяет группу Лоренца (вращения и бусты) и группу трансляций (сдвиги начала системы координат)

группа Лоренца имеет шесть параметров. группа трансляций - это ещё четыре параметра. итого группа Пуанкаре - это 10-параметрическая группа с инвариантом - интервалом Минковского (в 4-мерном пространстве) между двумя событиями

множество всех трансляций (без преобразований Лоренца) являются нормальной подгруппой группы Пуанкаре

NB: некоммутативность операторов трансляций и 4-поворотов