группа Лоренца


пусть

    γ  = 1 / √(1 - v²/c²) 
структурная константа и при с = 1 , v/c = β имеем:
    γ = 1 / √ (1 - v²) 
тогда преобразования Лоренца имеют вид:
    h' = γ * (h - β * t)

    t' = γ * (t - β * h)

    h - ордината пространства
    t - ордината времени 
для покоящегося наблюдателя и то же самое, но со знаком + в скобках - для движущегося. группа Лоренца действует на координаты пространства-времени так, что подобные преобразования обеспечиваются. гуппа Лоренца описывает изменения координат в простанстве-времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе. группа Лоренца является группой преобразований пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами), что видно из формул преобразования Лоренца. но группа Лоренца состоит только из таких однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени, которые оставляют инвариантной квадратичную форму (является выражением четырёхмерного интервала) и не меняют направления времени. группа Лоренца включает: пространственные повороты в трёх плоскостях и бусты - и все их композиции. матрицы вращения - все ортогональны с единичным определителем. в пространстве Минковского размерности 4 они образуют группу SO(4), в то время как матрицы бустов все симметричные и тоже с единичным определителем, но не ортогональные (т.е. они не сохраняют углов, которые в пространстве Минковского характеризуют скорости). применяются все эти матрицы к вектору
[ t
  x
  y
  z ]

теперь, группа Лоренца вращений и бустов имеет представление в виде группы матриц вполне определенного типа. есть всего шесть генерирующих матриц, линейная комбинация которых образует любой элемент группы Лоренца. три из них отвечают за повороты относительно пространственных орт (вот такие матрицы: анти-симметричные, с трейсом нуль, с двумя нулевыми столбцами и строками), а три других генератора отвечают за сжатия-растяжения вдоль пространственных орт (такие вот матрицы: с трейсом нуль, симметричные, с двумя нулевыми строками и столбцами)

группа Лоренца является группой Ли и элементы этой группы образуют алгебру Ли, где в качестве оператора в скобке Ли используется композиция

генераторы вращения

сначала рассмотрим матрицы пространственных поворотов вокруг осей невременных координат:

Rx = [ 1 0    0        0
       0 1    0        0
       0 0  cos θ  sin θ
       0 0 −sin θ  cos θ  ]

Ry = [ 1     0  0       0
       0 cos θ  0  −sin θ
       0     0  1       0
       0 sin θ  0   cos θ  ]

Rz = [ 1      0      0  0
       0  cos θ  sin θ  0
       0 −sin θ  cos θ  0 
       0      0      0  1  ]
  

это сами матрицы вращения, а теперь преобразуем их, чтобы получить генераторы для группы SO(4)

полагая угол поворота инфинитезимальным, получаем следующие уравнения:

    Rz(dθ) = I + i * Jz dθ
    
    Ry(dθ) = I + i * Jy dθ
    
    Rx(dθ) = I + i * Jx dθ 
где
Jx =  [  0 0 0  0
         0 0 0  0
         0 0 0 −i
         0 0 i  0  ]

Jy =  [  0  0 0 0
         0  0 0 i
         0  0 0 0
         0 −i 0 0  ]

Jz =  [  0 0  0 0
         0 0 −i 0
         0 i  0 0
         0 0  0 0  ]
так что
    [Jx , Jy] = i * Jz

    [Jy , Jz] = i * Jx

    [Jz , Jx] = i * Jy   

генераторы бустов

так же как и с поворотами, рассмотрим сначала матрицы бустов:

  [  t'       [  γ   β*γ   0    0     [ t 
     x'   =     β*γ   γ    0    0       x
     y           0    0    1    0       y
     z  ]        0    0    0    1 ]     z  ]

  [  t'       [  γ    0   β*γ   0   [ t 
     x    =      0    1    0    0     x
     y'         β*γ   0    γ    0     y
     z  ]        0    0    0    1 ]   z  ]

  [  t'       [  γ    0    0   β*γ    [ t 
     x    =      0    1    0    0       x
     y           0    0    1    0       y
     z' ]       β*γ   0    0    γ ]     z  ]

  где
    β = v / c
    γ = 1 / √ (1 − β²)

детерминант этих матриц γ² − β²γ² = 1 просто указывает на то, что γ = cosh φ , β*γ = sinh φ, где φ есть "гиперугол" соответствующий бусту. теперь поступим так же, как и с матрицами вращения - полагаем что бусты инфинитезимальны - и получим матрицы генераторв бустов:

    Bz(dz) = I + i * Kz dz
    
    By(dy) = I + i * Ky dy
    
    Bx(dx) = I + i * Kx dx
где
Kx = [ 0 −i 0 0
      −i  0 0 0
       0  0 0 0
       0  0 0 0 ]

Ky = [ 0 0 −i 0
       0 0  0 0
      −i 0  0 0
       0 0  0 0 ]

Kz = [ 0 0 0 −i
       0 0 0  0
       0 0 0  0
      −i 0 0  0 ]
  
где
    [Kx , Ky] = -i * Jz

    [Ky , Kz] = -i * Jx

    [Kz , Kx] = -i * Jy  

все можно посмотреть в СКА Maxima :


listing maxima
lie_bracket (a , b) := a . b - b . a ;


Jx : matrix ( [0,0,0,0], [0,0,   0,  0], [0,  0, 0, -%i], [0,  0, %i, 0] ) $
Jy : matrix ( [0,0,0,0], [0,0,   0, %i], [0,  0, 0,   0], [0, -%i, 0, 0] ) $
Jz : matrix ( [0,0,0,0], [0,0, -%i,  0], [0, %i, 0,   0], [0,   0, 0, 0] ) $


/*  [Jx , Jy] = i * Jz ,  [Jy , Jz] = i * Jx , [Jz , Jx] = i * Jy   */ 

is (lie_bracket (Jx,Jy) = %i * Jz ) ;
is (lie_bracket (Jy,Jz) = %i * Jx ) ;
is (lie_bracket (Jz,Jx) = %i * Jy ) ;


Kx : matrix ( [0, -%i,   0,   0], [-%i, 0,0,0], [  0,0,0,0], [  0,0,0,0] ) $
Ky : matrix ( [0,   0, -%i,   0], [  0, 0,0,0], [-%i,0,0,0], [  0,0,0,0] ) $
Kz : matrix ( [0,   0,   0, -%i], [  0, 0,0,0], [  0,0,0,0], [-%i,0,0,0] ) $


/*  [Kx , Ky] = -i * Jz , [Ky , Kz] = i * Jx , [Kz , Kx] = -i * Jy  */

is (lie_bracket (%i * Kx , %i * Ky) = %i * Jz ) ;
is (lie_bracket (%i * Ky , %i * Kz) = %i * Jx ) ;
is (lie_bracket (%i * Kz , %i * Kx) = %i * Jy ) ;
  

end of listing

если по осям координат откладывать как единичный отрезок "световую секунду", а по оси времени - секунду, то "псевдо-угол наклона" светового конуса к любому двумерному подпростраству координат (плоскостям xy, xz, zy) будет равен "псевдо-углу наклона" к одномерному подпространству времени. в двумерном случае подпространств tx, ty или tz "псевдо-угол" будет равен π/4 - ибо только в этом случае будет равен нулю интервал по световой тракетории

группа Лоренца не содержит отражений ("несобственных" вращений), которые бы меняли местами "прошлое" и "будущее". математики называют группу Лоренца без отражений "сокращенной группой Лоренца" (в отличие от "просто группы Лоренца", в которой такие отражения присутствуют). для сокращенной группы "правое" и "левое", также как "прошлое" и "будущее" - принципиально различны

любая матрица из группы Лоренца может быть представлена в виде Λ * η * Λ⁺, где η имеет диагональ (1,-1,-1,-1) и все остальные элементы нули, а det(Λ) = 1, Λ - с нулевой или единичной диагональю, (анти-)симметричные. такие Λ можно задать с помощью шести параметров (элементов одного из треугольников над-/под- диагональю). электрическая составляющая ЭМП задействует генераторы сжатия-растяжения, а магнитная составляющая - генераторы поворотов. это и есть те шесть параметров, которые предоставят матрицу Λ для генерации элемента группы Лоренца - таким образом, что все получающиеся преобразования Лоренца принадлежат группе SO₊(1,3) - ортогональных матриц с определителем +1 и верхним левым элементом больше 0 (не переворачивающих орту времени)

скалярное произведение векторов в пространстве Минковского равно нулю, только если эти вектора - коллинераные светоподобные - и никак иначе