гуппа Лоренца описывает изменения координат в простанстве-времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе
пусть
γ = 1 / √(1 - v²/c²) структурная константа и при с = 1 , v/c = β имеем:
γ = 1 / √ (1 - β²)
тогда преобразования Лоренца для покоящегося наблюдателя имеют вид:
h' = γ * (h - β * t)
t' = γ * (t - β * h)
где h - ортината пространства, t - ортината времени. и то же самое, но со знаком + в скобках - для движущегося наблюдателя. группа Лоренца действует на координаты пространства-времени так, что подобные преобразования обеспечиваются
группа Лоренца является группой преобразований пространства Минковского, сохраняющих начало координат (т.е. являющихся линейными операторами), что видно из формул преобразования Лоренца
группа Лоренца состоит только из таких однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени, которые оставляют инвариантной квадратичную форму (является выражением четырёхмерного интервала) и не меняют направления времени
группа Лоренца включает: пространственные повороты в трёх плоскостях и бусты - и все их композиции. матрицы вращения - все ортогональны с единичным определителем. в пространстве Минковского размерности 4 они образуют группу SO(4), в то время как матрицы бустов все симметричные и тоже с единичным определителем, но не ортогональные (т.е. они не сохраняют углов, которые в пространстве Минковского характеризуют скорости). применяются все эти матрицы к вектору
[ t x y z ]
группа Лоренца вращений и бустов имеет представление в виде группы матриц вполне определенного типа. есть всего шесть генерирующих матриц, линейная комбинация которых образует любой элемент группы Лоренца. три из них (анти-симметричные, с трейсом нуль, с двумя нулевыми столбцами и строками) отвечают за повороты относительно пространственных орт, а три других генератора (с трейсом нуль, симметричные, с двумя нулевыми строками и столбцами) отвечают за сжатия-растяжения вдоль пространственных орт
группа Лоренца является группой Ли и элементы этой группы образуют алгебру Ли, где в качестве оператора в скобке Ли [_,_] используется "композиция"
сначала рассмотрим матрицы пространственных поворотов вокруг осей невременных координат:
[ 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos (th) sin (th)
0 0 -sin (th) cos (th) ]
[ 1 0 0 0
0 cos (th) 0 -sin (th)
0 0 1 0
0 sin (th) 0 cos (th) ]
[ 1 0 0 0
0 cos (th) sin (th) 0
0 -sin (th) cos (th) 0
0 0 0 1 ]
это сами матрицы вращения на угол th, а теперь преобразуем их, чтобы получить генераторы для группы SO(4)
полагая угол поворота th инфинитезимальным, получаем следующие уравнения:
Rz(dθ) = I + i * Jz dθ
Ry(dθ) = I + i * Jy dθ
Rx(dθ) = I + i * Jx dθ где
Jx = [ 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 −i
0 0 i 0 ]
Jy = [ 0 0 0 0
0 0 0 i
0 0 0 0
0 −i 0 0 ]
Jz = [ 0 0 0 0
0 0 −i 0
0 i 0 0
0 0 0 0 ]
герераторы вращений, такие что [Jx , Jy] = i * Jz [Jy , Jz] = i * Jx [Jz , Jx] = i * Jy
так же как и с поворотами, рассмотрим сначала матрицы бустов:
[ γ β*γ 0 0
β*γ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 ]
[ γ 0 β*γ 0
0 1 0 0
β*γ 0 γ 0
0 0 0 1 ]
[ γ 0 0 β*γ
0 1 0 0
0 0 1 0
β*γ 0 0 γ ] где β=v/c и γ=1/√(1-β²)
детерминант этих матриц γ²-β²γ²=1 указывает на то, что
[ cosh (th) sinh (th) 0 0
sinh (th) cosh (th) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 ]
[ cosh (th) 0 sinh (th) 0
0 1 0 0
sinh (th) 0 cosh (th) 0
0 0 0 1 ]
[ cosh (th) 0 0 sinh (th)
0 1 0 0
0 0 1 0
sinh (th) 0 0 cosh (th) ]
теперь поступим так же, как и с матрицами вращения - полагаем что бусты th инфинитезимальны - и получим уравнения :
Bx(dx) = I + i * Kx dx By(dy) = I + i * Ky dy Bz(dz) = I + i * Kz dzгде
Kx = [ 0 −i 0 0
−i 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 ]
Ky = [ 0 0 −i 0
0 0 0 0
−i 0 0 0
0 0 0 0 ]
Kz = [ 0 0 0 −i
0 0 0 0
0 0 0 0
−i 0 0 0 ] генераторы бустов. нетрудно заметить, что [Kx , Ky] = -i * Jz [Ky , Kz] = -i * Jx [Kz , Kx] = -i * Jy
все можно проверить в СКА Maxima :
lie_bracket (a , b) := a . b - b . a ;
Jx : matrix ( [0, 0, 0, 0]
, [0, 0, 0, 0]
, [0, 0, 0, -%i]
, [0, 0, %i, 0] ) $
Jy : matrix ( [0, 0, 0, 0]
, [0, 0, 0, %i]
, [0, 0, 0, 0]
, [0, -%i, 0, 0] ) $
Jz : matrix ( [0, 0, 0, 0]
, [0, 0, -%i, 0]
, [0, %i, 0, 0]
, [0, 0, 0, 0] ) $
/* [Jx , Jy] = i * Jz , [Jy , Jz] = i * Jx , [Jz , Jx] = i * Jy */
is (lie_bracket (Jx, Jy) = %i * Jz ) ;
is (lie_bracket (Jy, Jz) = %i * Jx ) ;
is (lie_bracket (Jz, Jx) = %i * Jy ) ;
Kx : matrix ( [ 0, -%i, 0, 0]
, [-%i, 0, 0, 0]
, [ 0, 0, 0, 0]
, [ 0, 0, 0, 0] ) $
Ky : matrix ( [ 0, 0, -%i, 0]
, [ 0, 0, 0, 0]
, [-%i, 0, 0, 0]
, [ 0, 0, 0, 0] ) $
Kz : matrix ( [ 0, 0, 0, -%i]
, [ 0, 0, 0, 0]
, [ 0, 0, 0, 0]
, [-%i, 0, 0, 0] ) $
/* [Kx , Ky] = -i * Jz , [Ky , Kz] = i * Jx , [Kz , Kx] = -i * Jy */
is (lie_bracket (%i * Kx , %i * Ky) = %i * Jz ) ;
is (lie_bracket (%i * Ky , %i * Kz) = %i * Jx ) ;
is (lie_bracket (%i * Kz , %i * Kx) = %i * Jy ) ; если по осям координат откладывать как единичный отрезок "световую секунду", а по оси времени - секунду, то "псевдо-угол наклона" светового конуса к любому двумерному подпростраству координат (плоскостям xy, xz, zy) будет равен "псевдо-углу наклона" к одномерному подпространству времени. в двумерном случае подпространств tx, ty или tz "псевдо-угол" будет равен π/4 - ибо только в этом случае будет равен нулю интервал по световой тракетории
все получающиеся преобразования Лоренца принадлежат группе SO₊(1,3) - ортогональных матриц с определителем +1 и верхним левым элементом больше 0 (не переворачивающих орту времени)
скалярное произведение векторов в пространстве Минковского равно нулю, только если эти вектора - коллинераные светоподобные - и никак иначе
группа Лоренца не содержит отражений ("несобственных вращений"), которые бы меняли местами "прошлое" и "будущее" , а также "правое" и "левое". математики называют группу Лоренца без отражений сокращенной группой Лоренца (в отличие от просто группы Лоренца, в которой такие отражения присутствуют). для сокращенной группы "правое" и "левое", также как "прошлое" и "будущее" - принципиально различны
любая матрица из группы Лоренца может быть представлена в виде
Λ * η * Λ⁺ где матрица η имеет диагональ (1,-1,-1,-1) и все остальные ее элементы - нули, det(Λ)=1, матрица Λ - с нулевой или единичной диагональю, (анти-)симметричная. такие матрицы Λ можно задать с помощью шести параметров (элементов одного из треугольников над диагональю)
тензор электро-магнитного поля равен:
0 Ex Ey Ez
-Ex 0 -Hz Hy
-Ey Hz 0 -Hx
-Ez -Hy Hx 0
нам нужна базисная дифформа второй градации в пространстве с четырьмя измерениямии. поэтому число компонент дифформы равно
dt Λ dx = 0 1 0 0 dt Λ dy = 0 0 1 0 dt Λ dz = 0 0 0 1
-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
dz Λ dy = 0 0 0 0 dx Λ dz = 0 0 0 0 dy Λ dx = 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
тогда дифференциальная форма F тензора электро-магнитного поля имеет вид:
F = Ex Λ dt Λ dx + Ey Λ dt Λ dy + Ez Λ dt Λ dz
+ Hx Λ dz Λ dy + Hy Λ dx Λ dz + Hz Λ dy Λ dx
три векторных поля на ℝ⁴ генерируют три вращения i * J :
- z∂y + y∂z ≡ i * Jx
- x∂z + z∂x ≡ i * Jy
- y∂x + x∂y ≡ i * Jz
три векторных поля на ℝ⁴ генерируют три буста i * K :
x∂t + t∂x ≡ i * Kx
y∂t + t∂y ≡ i * Ky
z∂t + t∂z ≡ i * Kz
множитель i нужен для того, чтобы генераторы были представлены эрмитовыми матрицами
сопостовляя, мы видим, что электрическая составляющая ЭМП задействует генераторы бустов, а магнитная составляющая - генераторы поворотов. тогда компонеты ЭМП это и есть те шесть параметров, которые предоставят матрицу для генерации элемента группы Лоренца:
G = Ex * i * Kx + Ey * i * Ky + Ez * i * Kz
+ Hx * i * Jx + Hy * i * Jy + Hz * i * Jz