группа Гейзенберга/Вейля


самая простая некоммутативная группа - это группа Гейзенберга/Вейля :

        < n , a , b , a⁻ , b⁻ |  [a , b] = n > , где [] это скобки Ли
здесь для ясности обратные элементы и единичный элемент включены в список образующих явно, хотя обычно это подразумевается по умолчанию

математики называют эту группу группой Гейзенберга (который был физиком), а физики - группой Вейля (который был математиком)

имеют место тождества :

      c = a . b . a⁻ . b⁻
        
      n = a . c . a⁻ . c⁻
      n = b . c . b⁻ . c⁻ 

любые три элемента этой группы удовлетворяют тождеству Якоби

элементы берутся из любого коммутативного кольца с единицей

коммутаторами этой группы являются - единичный элемент и элемент с, а также всевозможные степени элемента с

если элементы взяты из кольца ℤ, то существует представление этой группы в виде верхнетреугольных матриц с единичным определителем с групповой операцией "умножение матриц" :

            (1 x 0        ( 1 0 0        ( 1 0 z         ( 1 0 0
             0 1 0          0 1 y          0 1 0           0 1 0
             0 0 1 )        0 0 1 )        0 0 1 )         0 0 1 )

               x , y , z  ∈  ℤ

обратные элементы к образующим и к комутатору имеют обратные знаки недиагональных элементов

проверим в SCA maxima : listing

обратная матрица :

рассматривая тройку верхнего треугольника можно понять, что любой ее элемент всегда будет суммой степеней (одного, двух или всех трех) элементов

подгруппа {n, c} является нормальной

группа Гейзенберга антиизоморфна группе движений плоскости Галилея. геометрия группы Гейзенберга галилеева, некоммутативная и, следовательно, гиперболическая

группа матриц Гейзенберга является основой для матричной квантовой механики

the discrete Heisenberg group is the discrete sub-group of H formed by the elements of H with integer coordinates

the Heisenberg group H is a Lie group. its Lie algebra is the sub-algebra of M(3,ℝ) given by the 3 × 3 real matrices of the form:

the exponential map

    exp : A ∈ L → exp A ∈ H 
is a diffeomorphism. this allows to identify the group H with the algebra. let us define:

we have then

    [X,Y] - X*Y - Y*X = Z
    [X,Z] = [Y,Z] = 0 

this Lie algebra is nilpotent of order 2 :

    span (X,Y) ⊕ span (Z)
and this makes the Baker-Campbell-Hausdorff formula particularly simple:
    exp A * exp B = exp (A + B + [A,B]/2)  

in quantum physics, the algebra generated by the position operator and the momentum operator is exactly H. the identification of H with algebra:

allows to identify H with ℝ³ equipped with the group structure
    (x,y,z) * (x',y',z') = (x + x', y + y', z + z' + (x * y' - y * x')/2)
    (x,y,z)⁻ = (-x, -y, -z)
this is the exponential coordinates of H. geometrically, the quantity (x*y′−y*x′) is the algebraic area in ℝ² between the piecewise linear path
    [ (0,0), (x,y) ]  ⋃  [ (x,y), (x+x', y+y') ] 
and its chord
     [ (0,0), (x+x', y+y') ] 
this area is zero if (x,y) and (x′,y′) are colinear. the group product encodes the sum of increments in ℝ² and computes automatically the generated area

the Heisenberg group H is topologically homeomorphic to ℝ³ and the Lebesgue measure on ℝ³ is a Haar measure on H. however, as a manifold, its geometry is sub-Riemannian: the tangent space (at the origin and thus everywhere) is of dimension 2 instead of 3, putting a constraint on the geodesics (due to the lack of vertical speed vector, some of them are helices instead of straight lines)

the Heisenberg group H is also a metric space for the so called Carnot-Caratheodory sub-Riemannian distance. the Heisenberg group is a Carnot group. its Hausdorff dimension with respect to the Carnot-Caratheodory metric is 4 , in contrast with its dimension as a topological manifold which is 3

Гейзенберг наметил подход к естественному объяснению энергетических уровней в атоме, который был позднее развит им, Борном и Иорданом. Гейзенберг хотел создать новую механику, в которой не фигурировали бы такие не наблюдаемые непосредственно физические понятия, как положение и скорость электрона. руководствуясь эвристическими соображениями, Гейзенберг пришел к рассмотрению аналогов дифференциальных уравнений классической механики, в которых переменными служили бесконечные матрицы. элемент, стоящий в n-й строке и в m-м столбце такой матрицы, в некотором смысле соответствовал переходу с m-го на n-й уровень энергии системы. в развитой им теории каждой координате классической системы приписывается некоторая матрица Qi, а каждому импульсу классической системы — некоторая матрица Pi причем требуется, чтобы матрицы удовлетворяли следующим условиям:

у матрицы H, получающейся подстановкой Pj и Qk в классическое выражение для энергии, все не диагональные элементы равны нулю; диагональные элементы H принимаются за уровни энергии системы

оказалось, что эту задачу можно решить для различных интересных классических систем и в результате получаются те же уровни энергии, что и в волновой механике Шредингера. ясно почему это должно было получиться: операторы, которые мы подставляем в классическое выражение энергии, чтобы получить оператор Шредингера удовлетворяют условиям (a) и (b). поэтому, если ввести базис, в котором оператор Шредингера записывается диагональной матрицей, то матрицы наших операторов будут удовлетворять условиям и диагональные элементы матрицы оператора Шредингера будут его собственными значениями. далее, уравнения (a) и (b) имеют по существу единственное решение