Матпрограмма

Школьная

• Евклидова геометрия, комплексные числа, скалярное умножение, неравенство Коши-Буняковского
• Начала квантовой механики
• Группы преобразований плоскости и пространства
• Тригонометрические тождества
• Геометрия на верхней полуплоскости (Лобачевского)
• Свойства инверсии
• Действие дробно-линейных преобразований

• Кольца, поля
• Линейная алгебра, конечные группы, теория Галуа
• Теорема Абеля
• Базис, ранг, определители, классические группы Ли
• Сечения Дедекинда
• Поле вещественных чисел
• Тензорное произведение векторных пространств

• Теория множеств
• Лемма Цорна
• Вполне упорядоченные множества
• Базис Коши-Гамеля
• Теорема Кантора-Бернштейна
• Несчетность множества вещественных чисел

• Метрические пространства
• Теоретико-множественная топология (непрерывные отображения, компактность, собственные отображения)
• Счетная база
• Определение компактности в терминах сходящихся последовательностей для пространств со счетной базой
• Гомотопии, фундаментальная группа, гомотопическая эквивалентность

• p-адические числа, теорема Островского, умножение и деление p-адических чисел в столбик

• Дифференцирование, интегрирование, формула Ньютона-Лейбница
• Дельта-эпсилон формализм, лемма о милиционере

Первый курс

• Анализ на ℝⁿ
• Дифференциал отображения
• Лемма о сжимающем отображении
• Теорема о неявной функции
• Интегралы Римана и Лебега

• Гильбертовы пространства, банаховы пространства
• Существование базиса в гильбертовом пространстве
• Непрерывные и разрывные линейные операторы
• Критерии непрерывности
• Примеры компактных операторов

• Гладкие многообразия, субмерсии, иммерсии, теорема Сарда
• Разбиение единицы
• Дифференциальная топология
• Трансверсальность
• Степень отображения как топологический инвариант

• Дифференциальные формы, оператор де Рама, теорема Стокса, уравнение Максвелла эл/магнитного поля
• Теорема Гаусса-Остроградского как частный пример

• Комплексный анализ одного переменного
• Контурные интегралы, формула Коши, теорема Римана об отображениях из любого односвязного подмножества ℂ в круг, теорема о продолжении границ, теорема Пикара о достижении целой функцией всех значений, кроме трех
• Многолистные функции (на примере логарифма)

• Теория категорий, определение, функторы, эквивалентности, сопряженные функторы

• Группы и алгебры Ли
• Группы Ли
• Алгебры Ли как их линеаризации
• Универсальная обертывающая алгебра, теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта
• Свободные алгебры Ли
• Ряд Кэмпбелла-Хаусдорфа и построение группы Ли по ее алгебре

Второй курс

• Алгебраическая топология
• Когомологии (симплициальные, сингулярные, де Рама), их эквивалентность, двойственность Пуанкаре, гомотопические группы
• Размерность
• Расслоения (в смысле Серра), спектральные последовательности
• Вычисление когомологий классических групп Ли и проективного пространства

• Векторные расслоения, связность, формула Гаусса-Бонне, классы Эйлера, Черна, Понтрягина, Штифеля-Уитни
• Мультипликативность характера Черна
• Классифицирующие пространства

• Дифференциальная геометрия
• Связность Леви-Чивита, кривизна, алгебраическое и дифференциальное тождество Бьянки
• Поля Киллинга
• Кривизна Гаусса двумерного риманова многообразия
• Клеточное разбиение пространства петель в терминах геодезических
• Теория Морса на пространстве петель
• Главные расслоения и связности в них

• Коммутативная алгебра
• Нетеровы кольца, размерность Крулля, лемма Накаямы, адическое пополнение, целозамкнутость, кольца дискретного нормирования
• Плоские модули, локальный критерий плоскости

• Начала алгебраической геометрии
• Афинное многообразие, проективное многообразие, проективный морфизм, образ проективного многообразия проективен (через результанты)
• Пучки
• Топология Зариского
• Алгебраическое многообразие как окольцованное пространство
• Теорема Гильберта о нулях
• Спектр кольца

• Начала гомологической алгебры
• Группы Ext, Tor для модулей над кольцом, резольвенты, проективные и инъективные модули
• Построение инъективных модулей
• Двойственность Гротендика

• Теория чисел; локальные и глобальные поля, дискриминант, норма, группа классов идеалов

• Редуктивные группы, системы корней, представления полупростых групп, веса, форма Киллинга
• Группы, порожденные отражениями, их классификация
• Когомологии алгебр Ли
• Вычисление когомологий в терминах инвариантных форм
• Сингулярные когомологии компактной группы Ли и когомологии ее алгебры
• Инварианты классических групп Ли
• Конструкции специальных групп Ли
• Алгебры Хопфа
• Квантовые группы (определение)

Третий курс

• К-теория как когомологический функтор, периодичность Ботта, алгебры Клиффорда. Спиноры
• Спектры
• Пространства Эйленберга-Маклейна
• Бесконечнократные пространства петель

• Дифференциальные операторы, псевдодифференциальные операторы, символ, эллиптические операторы
• Свойства оператора Лапласа
• Самосопряженные операторы с дискретным спектром
• Оператор Грина и приложения к теории Ходжа на римановых многообразиях
• Квантовая механика

• Формула индекса, формула Римана-Роха
• Дзета-функция оператора с дискретным спектром и ее асимптотики

• Гомологическая алгебра
• Когомологии пучков, производные категории, триангулированные категории, производный функтор, спектральная последовательность бикомплекса
• Композиция триангулированных функторов и соответствующая спектральная последовательность
• Двойственность Вердье
• Формализм шести функторов и превратные пучки

• Схемная алгебраическая геометрия, схемы над кольцом, проективные спектры, производные функции, двойственность Серра, когерентные пучки, замена базы
• Собственные и отделимые схемы, валюативный критерий собственности и отделимости
• Функторы, представимость, пространства модулей
• Прямые и обратные образы пучков, высшие прямые образы
• При собственном отображении высшие прямые образы когерентны

• Когомологические методы в алгебраической геометрии, полунепрерывность когомологий, теорема Зариского о связности, теорема Штейна о разложении

• Кэлеровы многообразия, теорема Лефшеца, теория Ходжа, соотношения Кодаиры, свойства оператора Лапласа
• Эрмитовы расслоения
• Линейные расслоения и их кривизна
• Линейные расслоения с положительной кривизной
• Теорема Кодаиры-Накано о занулении когомологий

• Голономии, теорема Амброза-Зингера, специальные голономии, классификация голономий, многообразия Калаби-Яу, гиперкэлеровы, теорема Калаби-Яу

• Спиноры на многообразии, оператор Дирака, кривизна Риччи, формула Вейценбека-Лихнеровича, теорема Бохнера
• Теорема Богомолова о разложении многообразий с нулевым каноническим классом

• Когомологии Тэйта и теория полей классов
• Вычисление фактора группы Галуа числового поля по коммутанту
• Группа Брауэра и ее приложения

• Эргодическая теория
• Эргодичность бильярдов

• Комплексные кривые, псевдоконформные отображения, пространства Тейхмюллера, теория Альфорса-Берса

Четвертый курс

• Рациональный и проконечный гомотопический тип
• Нерв этального покрытия клеточного пространства гомотопически эквивалентен его проконечному типу
• Топологическое определение этальных когомологий
• Действие группы Галуа на проконечном гомотопическом типе

• Этальные когомологии в алгебраической геометрии, функтор сравнения, гензелевы кольца, геометрические точки
• Замена базы
• Любое гладкое многообразие над полем локально в этальной топологии и изоморфно Aⁿ
• Этальная фундаментальная группа

• Эллиптические кривые, j-инвариант, автоморфные формы, гипотеза Таниямы-Вейля и ее приложения к теории чисел (теорема Ферма)

• Рациональные гомотопии
• Операции Масси и рациональный гомотопический тип
• Зануление операций Масси на кэлеровом многообразии

• Группы Шевалле, их образующие и соотношения
• Вычисление группы K_2 от поля

• Алгебраическая К-теория Квиллена, BGL^+ и Q-конструкция

• Комплексные аналитические многообразия, когерентные пучки, теорема Фока о когерентности, теорема Гильберта о нулях для идеалов в пучке голоморфных функций
• Нетеровость кольца ростков голоморфных функций, теорема Вейерштрасса о делении, подготовительная теорема Вейерштрасса
• Теорема о разветвленном накрытии
• Теорема Грауэрта-Реммерта (образ компактного аналитического пространства при голоморфном морфизме аналитичен)
• Теорема Хартогса о продолжении аналитической функции
• Многомерная формула Коши и ее приложения (равномерный предел голоморфных функций голоморфен)

Пятый курс

• Теория Кодаиры-Спенсера
• Деформации многообразия и решения уравнения Маурера-Картана
• Разрешимость Маурера-Картана и операции Масси на DG-алгебре Ли когомологий векторных полей
• Пространства модулей и их конечномерность
• Теорема Богомолова-Тиана-Тодорова о деформациях Калаби-Яу

• Симплектическая редукция
• Отображение моментов
• Теорема Кемпфа-Несс

• Деформации когерентных пучков и расслоений в алгебраической геометрии
• Геометрическая теория инвариантов
• Пространство модулей расслоений на кривой
• Стабильность
• Компактификации Уленбек, Гизекера и Маруямы
• Геометрическая теория инвариантов это симплектическая редукция

• Инстантоны в четырехмерной геометрии
• Теория Дональдсона
• Инварианты Дональдсона
• Инстантоны на кэлеровых поверхностях

• Геометрия комплексных поверхностей
• Классификация Кодаиры, кэлеровы и некэлеровы поверхности, схема Гильбертя точек на поверхности
• Критерий Кастельнуово-Энриквеса, формула Римана-Роха, неравенство Богомолова-Мияока-Яу
• Соотношения между численными инвариантами поверхности
• Эллиптические поверхности, поверхность Куммера, поверхности типа K3 и Энриквеса

• Элементы программы Мори: теорема Каваматы-Фивега об обращении в ноль, теоремы о свободе от базисных точек, теорема Мори о конусе

• Стабильные расслоения как инстантоны
• Уравнение Янг-Миллса на кэлеровом многообразии
• Теорема Дональдсона-Уленбек-Яу о метриках Янг-Миллса на стабильном расслоении
• Ее интерпретация в терминах симплектической редукции
• Стабильные расслоения и инстантоны на гиперкэлеровых многообразиях; явное решение уравнения Маурера-Картана в терминах оператора Грина

• Псевдоголоморфные кривые на симплектическом многообразии
• Инварианты Громова-Уиттена
• Квантовые когомологии
• Зеркальная гипотеза и ее интерпретации
• Структура группы симплектоморфизмов

• Комплексные спиноры, уравнение Зайберга-Уиттена, инварианты Зайберга-Уиттена
• Почему инварианты Зайберга-Уиттена равны инвариантам Громова-Уиттена

• Гиперкэлерова редукция
• Плоские расслоения и уравнение Янг-Миллса
• Гиперкэлерова структура на пространстве модулей плоских расслоений

• Смешанные структуры Ходжа
• Смешанные структуры Ходжа на когомологиях алгебраического многообразия
• Смешанные структуры Ходжа на мальцевском пополнении фундаментальной группы
• Вариации смешанных структур Ходжа
• Теорема о нильпотентной орбите
• Теорема об SL(2)-орбите
• Близкие и исчезающие циклы
• Точная последовательность Клеменса-Шмида

• Неабелева теория Ходжа
• Вариации структур Ходжа как неподвижные точки C*-действия на пространстве модулей расслоений Хиггса

• Гипотезы Вейля и их доказательство
• L-адические пучки, превратные пучки, автоморфизм Фробениуса, его веса, теорема о чистоте

• Количественная алгебраическая топология Громова
• Метрика Громова-Хаусдорфа, прекомпактность множества метрических пространств, гиперболические многообразия и гиперболические группы, гармонические отображения в гиперболические пространства, доказательство теоремы Мостова о жесткости (два компактные кэлеровы многообразия, накрываемые одним и тем же симметрическим пространством X отрицательной кривизны, изометричны, если их фундаментальные группы изоморфны, а dim X > 1)

• Многообразия общего типа, метрики Кобаяши и Бергмана, аналитическая жесткость (Сиу)