гомология и когомология

термин "(ко)гомология" не обозначает предмет или объект - это не матрица, не функция и не интеграл. "(ко)гомология" синтаксически однородна со словами "симметрия", "подобие", "сродство". мы пользуемся термином "(ко)гомологичный", говоря, что "А когомологично В" (вариант: "когомологически эквивалентно" )

классы (ко)гомологичных объектов ("когомологии" в просторечии) обладают разными дополнительными свойствами (скажем, их можно перемножать), тогда мы говорим о "(ко)гомологических группах" или "группах (ко)гомологий"

"(ко)гомология" = "сходство"

гомологии открыл Пуанкаре в конце XIX века, в поисках ответа на вопрос "как описать геометрические формы алгебраическими словами"

мы смотрим на карту архипелага и задаёмся вопросом: "сколько там островов?". на такой дурацкий вопрос и отвечать-то неловко: возьми да посчитай. но при подсчете могут появиться нелепые проблемы: а что такое остров? наивный ответ: остров - это множество всех точек, куда можно добраться пешком из какой-то одной точки, не замочив ног. а если из точки А в точку В нельзя дойти пешком - значит, они на разных островах. в качестве первого приближения - удовлетворительно, но чувство недосказанности остаётся:

• а если в прилив нельзя дойти, а в отлив можно?
• а если по дороге надо перепрыгнуть через канаву, заполненную водой?
• а является ли каждый камень на берегу, торчащий из воды, островом?

* * *

начнём с "простейшего" класса геометрических форм - многогранников. что это такое? ну, грубо говоря, всё, что можно склеить из угольников разных размерностей. угольник размерности 0 - конечно, точка. угольник размерности 1 - (закрытый) отрезок. угольник размерности 2 - обычный треугольник на плоскости с непустой внутренностью. угольник размерности 3 - тетраэдр, но только он не обязан быть "правильным", - разные рёбра могут иметь разную длину (в правильных тетраэдрах продавали молоко в позднем СССР)

характерное свойство n-мерного угольника ("симплекса") - его грани, рёбра и т.д. все являются симплексами меньших размерностей, вплоть до вершин (точек)

склейка двух симплексов - это такое их объединение, при котором общей является целиком одна грань произвольной размерности. два пакета с молоком из позднего СССР можно склеить вдоль общей грани, общего ребра и общей вершины, но никак не иначе. а вот если мы хотим к результату предыдущих склеек приклеить новый симплекс, - то склеивать можно уже вдоль нескольких граней (разной размерности), но каждая грань должна либо целиком мазаться клеем, либо оставаться в стороне. правило не слишком замысловатое, но позволяет всегда получать в качестве результата многогранник (хотя, возможно, уже невыпуклый)

давайте "склеим" квадрат из треугольников

возьмите квадрат и проведите в нём диагональ - она разобъёт квадрат на два треугольника, каждый с гранями, ребрами и вершинами:

К = 2Г + 4Р + 4В

но ведь у двух треугольников шесть ребер:

   2 * 3Р = 6Р

точно такой же результат вы получите, проведя другую диагональ: треугольники будут другие, сократится другая пара рёбер, а результат будет тем же

а теперь представьте, что вам дана сила "гнуть" отрезки. тогда две последовательных стороны квадрата и вершину в углу можно считать одним "изогнутым отрезком" без вершины "в середине". новое тождество:

К = 2Г + 3Р + 3В

ещё раз прогнём под себя изменчивый мир, "согнув" две другие стороны:

К = 2Г + 2Р + 2В

все - дальше "гнуть" уже нечего

* * *

n-мерное пространство допускает ориентацию (формально - линейное преобразование пространства сохраняет ориентацию, если определитель матрицы преобразования положителен, и меняет, если отрицателен). аккуратное определение ориентации - на самом деле не очень сложная, но занудная штука, и тем, кому не терпится схватить гомологию за хвост - практические рекомендации, как определять ориентацию:

• ориентированный 0-симплекс: точка со знаком , + или -
• ориентированный 1-симплекс: отрезок, у которого указано, где начало, а где конец
• ориентированный 2-симплекс: треугольник с указанным направлением обхода вдоль границы (по или против часовой стрелки)
• ориентированный 3-симплекс: пакет молока, грани которого ориентированы согласованным образом (если мы выбрали ориентацию (направление обхода) одной из четырех треугольных граней, то тем самым выбрали ориентацию трех из его шести ребёр, а ориентация остальных трёх ребёр получается тогда уже автоматически - по смежному ребру двух граней мы должны идти навстречу
• и т.д.

* * *

Def: "граница множества в пространстве" : это точки, которые находятся на нулевом расстоянии и от множества, и от его дополнения. в простых ситуациях она совпадает с тем, что вы ожидаете получить, но в экзотических случаях могут проявиться самые разные эффекты. скажем, граница канторова множества на отрезке - оно само. но и с отрезком есть некая проблема: граница отрезка на прямой - две точки, а если отрезок лежит на плоскости, то все его точки - граничные

опять табличка для новисов - граница ориентированных симплексов:

• граница 0-симплекса (точки) - пустое множество ∅
• граница 1-симплекса (отрезка) - пара точек (концов)
• граница 2-симплекса (треугольника) - три отрезка, соединяющих его вершины
• граница 3-симплекса (пакета с молоком) - четыре грани его сторон
• и т.д.

а если вы взяли симплекс с противоположной ориентацией, то и ориентацию границы надо поменять на противоположную

что мы можем сказать про понятие границы, введённое таким образом? довольно много:

• граница многогранника может быть определена как "сумма ориентированных границ" (со знаком) симплексов, из которых он склеен
• если мы склеиваем два многогранника, то эта аддитивность сохраняется
• если мы меняем ориентацию, то и граница меняет ориентацию
• граница имеет размерность на единицу меньше размерности грани, которую она ограничивает
• граница границы равна нулю (всё сократится)

последнее утверждение выглядит несколько парадоксально, но неизбежно следует из конвенции. в самом деле, если мы возьмём (выпуклый) многоугольник на плоскости, то его границей будет ориентированная ломаная, состоящая из отдельных рёбер. граница каждого ребра - две соседних вершины, одна с плюсом, другая с минусом. после того, как мы всё просуммируем, все вершины сократятся. всё "спрятано" в определении ориентации: если два угольника склеены по общему ребру, то это ребро в определении границы считается дважды, но с противоположными ориентациями - помните "пропавшую" диагональ квадрата?

итак, мы ввели "категорию" (по-домашнему - "зоопарк") многогранников, которые можно получить из "угольников" разных размерностей при помощи склеивания. зоопарк, конечно, небогатый (там пока нет ни сферы, ни тора, ни даже окружности), но всё же. звери наши имеют чётко фиксированную ориентацию, которая меняется на противоположную при отражении. для описания зверей в этом зоопарке мы пользуемся странными формулами вида

       ∑  nα * Уα
       α

если в такой сумме все угольники У имеют одну и ту же размерность , такие суммы мы назовём "цепями": их отличие от многогранников состоит в том, что мы в этот момент можем расслабиться и забыть про условия склеивания, хотя геометрически осмысленные результаты будут только для цепей, соответствующих "правильно" склеенным многогранникам

смену ориентации цепи мы обозначаем умножением на минус единицу

на множестве цепей есть корректно определённая операция "гранирования" (взятия границы) ∂. она обладает следующими свойствами:

• ∂ линейна, ∂(-C) = -∂c
• ∂ уменьшает размерность цепи на единицу
• ∂∘∂ _ = 0

самое время ввести определения:

• цикл - "замкнутая цепь C", "цепь без границы C" и ∂ C = 0
• граница - "цепь C, которая является границей какой-нибудь цепи B" и C = ∂ B

согласно последнему свойству граничного оператора, всякая граница есть цикл (граница границы нулевая). а наоборот верно? у нас есть цикл, цепь, граница которой равна нулю, ∂C=0. обязан ли он быть границей? запишем условия задачи в виде линейных уравнений, связывающих неизвестные нам пока угольники. запишем ответ в виде разрешимости (другой) системы линейных уравнений, ∂B=C. вопрос : верно ли, что одна система влечёт другую? верно ли, что одно линейное подпространство совпадает с другим, или "сидит" внутри? ответ : если мы рассматриваем только циклы, возникшие из угольников в евклидовом пространстве (и разрешаем "заклеивать" дыры, выходя за пределы изначального многогранника), - то да. но если мы наложим на себя епитимью, чтобы все угольники были непременно частью многогранника - тады ой

ну, и как всё это математиками делается?

а делается это при помощи выписывания систем линейных (алгебраических, в основном - однородных) линейных уравнений. да-да, тех самых, которые на первом курсе учили. каждая такая система задаётся матрицей А своих коэффициентов А и имеет вид:

   a[11] * x[1] + a[12] * x[2] + .. + a[1n] * x[n] = 0
   ... 
   a[m1] * x[1] + a[m2] * x[2] + .. + a[mn] * x[n] = 0 

во-первых, числа n и m очень большие. во вторых, коэффициенты a[ij] почти все равны нулю, кроме буквально считанных из них, которые равны +1 или -1. а главное - вся содержательная часть задачи спрятана в "комбинаторике" этих самых индексов: даже если вы нарисуете такую гигантскую матрицу и отметите там красными и синими точками ненулевые коэффициенты, никаких способов угадать, какой геометрической форме эта матрица соответствует, нет

есть квадрат K с вершинами ABCD

мы режем его диагональю AC на треугольники АВС и CDA

тогда получится цепной комплекс:

    Г(ABC) + Г(CDA) + Р(AB) + Р(BC) + Р(СA) + Р(CD) + Р(DA) + Р(AC) + B(A) + В(B) + В(С) + В(D) =
    
    Г(ABC) + Г(CDA) + Р(AB) + Р(BC) + Р(СA) + Р(CD) + Р(DA) - Р(CA) + B(A) + В(B) + В(С) + В(D) =
    
    Г(ABC) + Г(CDA) + Р(AB) + Р(BC)         + Р(CD) + Р(DA)         + В(A) + В(B) + В(С) + В(D) =
    
    2Г + 4Р + 4В   

применяя к этому оператор границы ∂ получим:

    Р(AB) + Р(BC) + Р(СА) +
    Р(СD) + Р(DA) + Р(AC) + 
    B(A)  - В(В)  +
    В(B)  - В(С)  +
    В(С)  - В(D)  +
    В(D)  - В(А)  =
    
    P(АВ) + Р(BC) + Р(СD) + Р(DA) + Р(АС) - Р(АC) =
    
    Р(АВ) + Р(BC) + Р(СD) + Р(DA) =
    
    4Р   

еще раз применяем оператор границы:

    В(A) - В(B) +
    В(B) - В(C) +
    В(C) - В(D) +
    В(D) - В(A) =
    
    0  

* * *

резать можно не только многоугольники. если у вас есть велокамера (которую математики назовут тором), то если мы разрежем её "поперёк", то получим длинный шланг (который математики назовут боковой поверхностью цилиндра) - явно не самая простая форма - если её теперь разрезать "вдоль", то получится прямоугольник (очень вытянутый). прямоугольник - уже попроще парняга, но если кому хочется ещё большей простоты - можно разрезать его на два треугольника. что мы думаем про то, как резать? ну, для начала мы договариваемся, что разрезаемое множество не слишком поганое. что это значит? ну, например, что у него определена размерность, а разрез - тоже не очень поганое подмножество, имеющее строго меньшую размерность

а теперь представьте себе, что вам задают вопрос, - что будет, если из булочки с изюмом изюм внезапно исчез, оставив после себя дырки в тесте. и хорошо, если каждая дырка получилась на месте шарообразной изюмины, а если вдруг пекарь замесил в тесто кружок апельсиновой кожуры, - дырка, оставшаяся после его исчезновения, совсем не похожа на дырку от изюмины. а мы хотим всё знать! какими словами можно описать, как одна конфигурация дырок отличается от другой? идея Пуанкаре в своём первоначальном замысле:

1. имея множество с хорошей изначальной структурой (в частности, обладающее размерностью), разрежьте его на маленькие простые куски. уже на этом уровне можно заметить определённые закономерности, например, формулу Эйлера: знакопеременная сумма числа кусков разных размерностей не зависит от способа разрезания: В-Р+Г-...=одно_и_то_же_число, зависящее только от исходного множества. формулу можно строго доказать, но "внутренняя причина" остаётся скрытой
2. "натяните" на все куски вашего разрезания алгебру: вместо отдельных кусков, позвольте подать к столу их "линейные комбинации" с целыми коэффициентами. отрицательный коэффициент интерпретируется, как тот же самый (в смысле множества) кусок, но с противоположной ориентацией. такие линейные комбинации ("цепи") можно "складывать между собой" и "умножать на минус единицу" (меняя ориентацию). сумма двух кусков с противоположными ориентациями аннигилирует (равна нулю): проехать по отрезку из начала в конец, а потом вернуться по нему же в обратном направлении из конца в начало = никуда не ездить
3. ключевое понятие - граница. это оператор ("гранильщик"), который получает на входе цепь размерности n, а выдаёт её границу, цепь размерности n-1. этот оператор линеен (сумму - в сумму, минус - в минус). граница границы равна нулю. это теорема, а никакая не аксиома, и её доказательство элементарно, хоть и требует определённой внимательности
   граница n-симплекса состоит из n+1 (n-1)-симплексов (четыре треугольных грани [плоские, n=2] у пакета с молоком в пространстве размерности 3)
   граница каждой из граней состоит из n симплексов размерности n-2
   итого (n+1)*n рёбер у пакета с молоком. это число всегда чётное, и не случайно: когда мы считаем, то каждое ребро считается дважды , как часть границы двух примыкающих граней. при этом правила выбора ориентации специально согласованы так, что знаки будут противоположные, и все пары взаимно сократятся
4. идея Пуанкаре: рассмотрим все цепи всех размерностей Z[n] и линейный оператор границы ∂, действующий из Z[n] в Z[n-1], оттуда в Z[n-2], ... и т.д. вплоть до Z[0] (всевозможные вершины, каждой из которых приписан целый знак). согласимся для приличия, что ∂(Z[0])=0 ("у точки нет границ"). поскольку ∂∂=0, граница любой цепи - цикл ("цепь без границы"). но теоретически может быть, что цикл есть, но ничьей границей он не является: ∂С=0, но нет никакой цепи B такой, что ∂B=C. такие циклы несут очень большую информацию о нашем исходном множестве

остаётся заметить, что (в ситуации, когда мы зафиксировали разрезание множества на маленькие хорошенькие части), все наши свойства ("быть границей", "не иметь границы") выражаются линейными соотношениями между "разрезами" (и их частями разных размерностей). тем самым мы связали с геометрическим объектом ("хорошим" множеством) алгебраический объект (системы линейных уравнений с целочисленными коэффициентами), которые улавливают важные свойства множества

гомологии (n-мерные) нашего множества - в точности "количество независимых n-циклов, не являющихся границами". говоря математически, - линейное фактор-пространство (quotient space)

резюме:

• цепи - вообще все комбинации кусков
• циклы - цепи без границ (замкнутые)
• граница = граница какой-нибудь цепи
• проверить, что какая-то цепь является границей - это решить линейное уравнение ∂W=C. чтобы оно было разрешимо, необходимо (но не достаточно), чтобы ∂C=0

* * *

с самого начала мы ограничиваемся только разрезами "без границы", "по замкнутому контуру". почему - да потому, что иначе слишком много всяких разрезов будет: возьмите любые две точки, соедините их кривой - вот вам и разрез, и что с ним делать?

но и среди "замкнутых" разрезов слишком много неинтересных. например, на любой 2-поверхности можно нарисовать маленькую замкнутую кривую, и она будет разрезом. в 3-пространстве любая замкнутая несамопересекающаяся 2-поверхность - тоже разрез (если и кривая, и поверхность достаточно гладкие). в чём их тривиальность? каждый из них - граница. никаких сюрпризов: разрезал вдоль замкнутой линии - вырезал кусочек

а вот если разрез сам "замкнут" (границы не имеет), но при этом ничего не ограничивает, - вот это уже номер! разрезаешь - а фигура не разваливается на части!

два "разреза" (два цикла, не имеющих границы) γ' и γ˝ размерности n мы называем гомологичными, если их разность - граница цепи W размерности n+1: ∂W=γ'-γ˝. иными словами, граница "плёнки" W состоит из цикла γ' и цикла γ˝, взятого с противоположной ориентацией. в частности, цикл γ гомологичен нулю, если он - граница плёнки W, т.е., разрез вдоль цикла γ можно "заклеить" куском W нашей фигуры

в случае с велокамерой все разрезы вдоль совсем маленьких кривых ("панчеры" - проколы) гомологичны нулю и потому не интересны (проткнуть гвоздём может любой дурак любую поверхность)

все разрезы "поперёк" камеры гомологичны друг другу, если вы их одинаково ориентируете: каждая такая пара разрезов ограничивает цилиндрический кусок камеры (любой из двух, на которые она разваливается). а вот один такой разрез нулю не гомологичен: если вы разрежите только один раз, то камера станет шлангом, но граница этого шланга будет состоять из двух циклов, γ и -γ, а сам по себе цикл γ ничего не ограничивает

и "продольный" (длинный) разрез вдоль камеры - не гомологичен "короткому" разрезу поперёк

объявим два разреза на чём-то "эквивалентными", если сделав их оба, мы разрежем это что-то на части, хотя бы одна из которых имеет краями ОБА РАЗРЕЗА

тор - это поверхность бублика

• если вырезать из него два кружка, получится тор без двух кружков. его края - два разреза, которые мы сделали. поэтому все разрезы, вырезающие кружки, считаем эквивалентыми
• если сделать два поперечных разреза, тор распадается на две части. оба куска будут иметь края, совпадающие с разрезами, поэтому и поперечные разрезы эквивалентны
• и продольные - тоже эквиваленты
• а вот если сделать один поперечный и один продольный разрез, тор ни на что не распадётся - поэтому они не эквивалентны
• если сделать один поперечный разрез и вырезать кружок, шланг будет без кружка, который и станет его краем, но поперечный разрез в его край не входит, а надо чтобы входил! поэтому поперечный разрез с кружком тоже не эквивалентны

такая эквивалентность разрезов называется "гомологичностью"

например, маленькая окружность на любой поверхности (без дырок) всегда ограничивает диск "внутри себя", поэтому гомологична нулю. и именно поэтому (а не потому, что после их вырезания "большая часть" остаётся одним куском) они гомологичны друг другу

труднее объяснить "наивно" почему один поперечный разрез тора не гомологичен нулю. если вы разрежете и посмотрите на получившийся шланг, то границей шланга будут две окружности, появившиеся на месте разреза. их сумма гомологична нулю, но ни одна из них сама по себе нулю не гомологична!

что же такое "гомология"? да теперь всё просто

• два "дозволенных" подмногогранника гомологичны, если их разность - честная граница
• гомологичный нулю = гомологичный точке
• я вам - многогранник, а вы мне - список всех его частей, не гомологичных друг другу, но исчерпывающих все возможные гомологические классы

мы обсуждали, как из "геометрической фигуры" изготовить (при помощи её разбиения на меньшие куски и "натягивания" на них алгебраической структуры - "сложение" и "умножение на плюс-минус единицу") нечто, что позволяет улавливать нетривиальные глобальные свойства этой фигуры. центральную роль в этом построении играло понятие "границы", - оператора ∂, который по n-мерному "куску" фигуры ("цепи") сопоставляет (n-1)-мерную цепь по простым правилам. напомним эти правила:

1. граница точки - пустое множество
2. граница ориентированного отрезка АВ - пара 0-мерных точек В-А=В+(-1)*А (один конец берётся со знаком плюс, другой - со знаком минус)
3. граница ориентированного треугольника АВС (вершины перечислены в циклическом порядке против часовой стрелки) - три ориентированных отрезка, (АВ)+(BC)+(СА)=(АВ)+(ВС)-(АС) (знаки! знаки!)
4. граница пакета с молоком - четыре треугольные грани, ориентированные так, чтобы… чтобы… чтобы если взять в каждой грани "положительные" два вектора (вращение от первого ко второму - против часовой стрелки) и добавить к ним третий вектор, торчащий наружу, то получившиеся три вектора образовали бы "правый штопор" в трёхмерном пространстве
5. ... и т.д. ...
6. граница суммы цепей равна сумме границ

сообразить уже п.4 без картинки невозможно. смысл в том, что если перенумеровать вершины пакета с молоком буквами АВСD, то у него будут четыре грани-треугольника, три вершины которых получены вычёркиванием одной из четырёх возможных точек. при этом, скажем, если вычеркнуть последнюю вершину D, то остаются два варианта для ориентации грани - (АВС)=(ВСА)=(САВ) и противоположная (АСВ)=(СВА)=(ВАС). правило в каждом из четырёх случаев позволяет выбрать один из этих двух вариантов, а уж как его запомнить, - геометрически или комбинаторно - дело хозяйское

введённое таким образом понятие границы обладает неочевидным, хотя и несложным свойством: граница границы равна нулю. чтобы не быть голословным, проверим, что это так в случае отрезка:

     ∂(АВС) = (АВ) + (ВС) + (СА)
    ∂∂(АВС) = В-А + С-В + А-С = 0 

рассмотрим тетраэдр-пакет (АВСD). из сказанного выше следует, что ∂(АВСD) есть сумма четырёх треугольников ±(АВС),±(АВD),±(АСD) и ± (ВСD) с правильно расставленными плюсами или минусами. расставьте их так, чтобы граница границы тетраэдра, сумма шести отрезков, оказалась равной нулю. может, угадаете общее правило, как писать формулу для границы n-мерного симплекса (A[1]A[2]…A[n]) в общем случае ;-)

чем крыть

до сих пор нам было довольно существенно, что "геометрическая фигура", которую мы режем-клеим - не самая скверная, в частности, её куски имеют определённую размерность. сейчас мы заговорим гораздо свободнее, поскольку сказанное будет (до поры до времени) иметь смысл для любого топологического пространства

напомню, что топологическое пространство - это абстрактное множество, в котором мы можем говорить об открытости и замкнутости подмножеств (удовлетворяющих определённым свойствам - "аксиомам")

простейшим примером топологического пространства является наше обычное евклидово пространство (в частности, прямая, плоскость, трёхмерное пространство), если мы введём открытые и закрытые подмножества следующим образом:

1. множество U открыто, если вместе с каждой своей точкой оно содержит достаточно маленький "шарик" (кружок, интервал) с центром в данной точке
2. множество С замкнуто, если предел каждой сходящейся последовательности точек из С, снова принадлежит С

иными словами, если множество U открыто, то от любой его точки всегда можно сдвинуться хоть немного, оставшись в U. множество замкнуто, если оно содержит все свои "предельные точки". вот ультракороткий перечень свойств окрытых и закрытых множеств:

1. пустое множество и всё пространство - одновременно открыты и закрыты. других таких бисексуалов нет
2. дополнение до открытого множества замкнуто и наоборот
3. конечные объединения и пересечения закрытых множеств - закрыты, открытых - открыты
4. а вот с бесконечными объединениями и пересечениями - всё сложнее
   объединение любого, сколь угодно большого бесконечного набора открытых множеств - открыто,
   а вот пересечение - не обязано быть открытым
   с закрытыми множествами всё наоборот:
   бесконечные пересечения закрытых множеств - закрыты,
   а бесконечные объединения - не обязательно

одна точка - замкнутое множество на плоскости. открытый круг (положительного) радиуса - открытое множество (удивительно, да?). конечное множество точек (объединение) - замкнуто, а вот бесконечное (объединение всех точек внутри круга) - разумеется, сам круг, и он не замкнут (почему?)

возможно, многие уже сталкивались с этими понятиями, "не подозревая, что они говорят прозой". кое-в каких кругах принято говорить, что-де множество замкнуто, если оно целиком содержит свою границу, и открыто, если наоборот, вся граница целиком не принадлежит множеству (а если часть принадлежит, а часть нет, то множество и не открыто, и не замкнуто). это было бы вполне правильным объяснением, но граница в теории гомологий - совсем не то, что вы думали. поэтому слова "граница" в топологическом смысле лучше не употреблять

топологические пространства могут жить абстрактно, сами по себе, но кому от этого неуютно, всегда можно думать, что мы имеем дело с подмножествами евклидова пространства, Х⊆ℝⁿ. подмножество A⊆X считается открытым в Х (или относительно открытым), если A есть пересечение Х с множеством U⊆ℝⁿ открытым в смысле ℝⁿ (и аналогично для закрытых подмножеств B⊆X)

так вот. в ближайшем будущем мы будем иметь дело с топологическим пространством Х и его открытыми покрытиями, семействами открытых множеств U[i] таких, что Х лежит в объединении всех U[i]. пугливые и опасливые могут считать, что покрытия состоят из конечного множества открытых множеств, хотя в этом-то месте математики порезвились и бесстрашно работают с бесконечными и даже несчётными объединениями

задача : покройте кольцо К на плоскости (ограниченное окружностями радиусов 1 и 2) конечным числом "открытых кругов"

решение : можно взять один здоровенный круг и накрыть всё кольцо сразу. с другой стороны, даже если я буду настаивать на том, что все круги должны быть радиуса меньше 1 мм, это всё равно можно сделать. в последнем случае мы имеем дополнительное преимущество, которого нет в первом: все пересечения U[i] с К - "простенькие" (без дырок)

как собрать из карт атлас

открытые множества U[i] иногда называются "картами". причина - конечно - географическая: на одном листе бумаги невозможно нарисовать карту всей поверхности Земли, но отдельные куски можно картографировать вполне прилично. конечно, мы хотели бы, чтобы наши карты были напечатаны на прямоугольных листах бумаги

если вы принадлежите к поколению до-GPS-навигаторов, то должны помнить тот неприятный момент, когда вы переползаете с одной карты на другую. вы подползли к краю карты, и хотите знать, что дальше? откройте другую страницу атласа, и там будет другая карта. на ней вы тоже окажетесь на краю, но преимущество новой карты - то, куда вы едете, именно на этой карте нарисовано, а на старой - та местность, что вы уже оставили за спиной. но это обстоятельство - случайно, а вот чтобы не оказаться вообще между стульев, - карты всегда имеют непустые пересечения,

     U[ij] = U[i] ∩ U[j] ≠ ∅ 

но трудно, единожды начавши, остановиться: если вы попробуете покрыть маленькими открытыми кружочками большое множество на плоскости, вам не избежать тройных пересечений. в трёхмерном пространстве никуда не деться от четверных пересечений… так не будем же налагать на себя заранее ограничения в числе пересечений

коцепи

когда мы навязывали читателям "суммирование" отрезков, треугольников и прочих кусков, это выглядело как некое насилие. в конце концов, что такое "удвоенный отрезок, который сократился"? это напоминает анекдот про чёрного кота, который дважды пересёк вам дорогу. он удвоил ваше будущее несчастье, или сократил его до нуля? кажется, что имел место произвол, подгонка под ответ (и таки да, подгонкой под ответ это отчасти и было, но уж больно ответ оказался красивым!)

а вот понятие "коцепи", наоборот, выглядит совершенно естественным. начнём с одномерного случая

одномерная коцепь (скажем, с вещественными коэффициентами, хотя можно рассматривать и целые, и комплексные, и остатки по модулю 2) - это "всего лишь" число, приписанное каждой карте покрытия множества Х. очень полезно с самого начала представлять себе не "число на карте", а постоянную функцию-константу

      f[i] : U[i] → ℝ
      f[i](x) ≡ c[i]

двумерная коцепь - тоже набор чисел (постоянных функций), только определены они не на отдельных картах, а на их попарных пересечениях. а больше они нигде не определены:

       f[ij] : U[ij] → ℝ
       f[ij](x) ≡ c[ij]

откуда коцепи берутся? это как раз легко поймёт любой. вы - геодезист, нашли ровную горизонтальную площадку, определили по звёздам её высоту над уровнем моря. перебрались в следующую точку, там сделали то же самое. если вы чувствуете, что вы на склоне - ваша площадка будет маленькой, тем не менее вы её занесёте в атлас и напишете там "высота - 123 метра". если вы добросовестный геодезист, - ваши площадки покроют всю территорию, которую вас подрядили картографировать. то, что вы сдаёте в качестве отчёта о работе - это как раз одномерная коцепь

что же за этим последует - будет проверка. приедет команда ревизоров, и они не собираются таскаться по всей местности с теодолитами. их интересуют ошибки. встанет такой ревизор на пересечении карт с номерами i и j, померит высоту, и скажет: а я вот ничего не знаю, у меня столько-то получилось. и отправит по начальству критический обзор: на попарных пересечениях карт у меня такие-то измерения, а за остальное я не отвечаю. попарные пересечения - они ж маленькие, их проще проверять

и так далее™

вопрос вопросов: можно ли, опираясь на показания геодезистов, ревизоров и контролёров всех более высоких уровней, решить: живём ли мы на сфере, или на поверхности бублика? ответ - да, можно

число компонент связности

рассмотрим задачу "восстановления постоянной функции"

у вас есть покрытие U[i] множества Х и 1-коцепь f[i]:U[i]→ ℝ , f[i](x)≡c[i] на нём. для того, чтобы эта коцепь представляла одну общую постоянную функцию f:X→ ℝ , очевидно, надо, чтобы f[i]=f[j]. где такая разность определена? там и только там, где определены обе части, т.е., на попарном пересечении U[ij]. что-то знакомое, нет? ба, да это же 2-коцепь f[ij]=f[j]-f[i], только тождественно нулевая, f[ij]=0 для всех i,j таких, что пересечение непусто!

а достаточно ли это условие? легко видеть, что нет. предположим, что Х состоит из двух разных кусков, расположенных далеко друг от друга ("компонент связности"), а покрытие состоит из достаточно мелких множеств, таких, что каждое покрывает часть только одного из этих двух кусков. тогда на каждом куске мы вроде как восстанавливаем постоянную функцию f, но она будет "своя" для каждого куска. и никакого согласования между этими кусками не обязано быть. эге, скажем мы тут, - а ведь это мысль! мы же не давали определения тому, что такое "кусок" и "число кусков", а тут это определение нам само в руки даётся

рассмотрим всевозможные 1-коцепи f[i] : U[i] → ℝ на Х, такие, что изготовленная из них 2-коцепь

    f[ij] = f[j] - f[i] 

в этом "определении" есть небольшой нюанс: и число переменных, и соотношения зависят от выбора карт атласа. например, если с дури выбрать одну-единственную громадную карту, покрывающую всё Х целиком, то неизвестная будет всего одна, уравнений не останется вовсе, и мы получим явно неверный ответ, что "Х состоит из одного куска". разумеется, причина - недостаточное "разрешение" такого атласа: чтобы увидеть внутреннюю структуру Х, надо выбирать карты более крупного масштаба, т.е., измельчать U[i] пока не увидим нетривиальные эффекты

такой "рецепт" выглядит не очень-то: откуда нам знать, можно уже остановиться, или надо ещё дальше измельчать карты? отвёт даёт теорема Лерэ: можно спокойно остановиться и выдохнуть в тот момент, когда пересечения U[i]∩X, U[ij]∩X, U[ijk]∩X, … все станут "топологически тривиальными" (стягиваемыми). на практике you know it when you see it. после этого дальнейшее измельчение ответа уже не изменит

число дырок плоской фигуры

предположим, что Х - плоская фигура (например, замкнутая), поучительные частные случаи

• квадрат (заполненный)
• прямоугольная рамка для картины
• квадрат, из которого вырезали две маленькие непересекающиеся квадратные дырки со сторонами, параллельными квадрату (все эти детали, конечно, совершенно несущественны, - только для того, чтобы упростить рассуждения)

рассмотрим покрытия Х открытыми множествами, имеющими форму прямоугольников на плоскости (в пересечении с Х могут получиться более замысловатые фигуры, если прямоугольники большие)

будем говорить, что 2-коцепь g[ij]: U[ij]→ ℝ на Х является кограницей 1-коцепи f[i]:U [i]→ ℝ , если g[ij]=f[j]-f[i] (ну да, ну да, такие разности как раз определены на попарных пересечениях!). нас интересует вопрос - как алгебраически определить, есть ли такая 1-коцепь f, т.е., разрешима ли система линейных уравнений относительно f[i] при заданных g[ij]. очевидное условие - антисимметричность: если система разрешима, то g[ij]=-g[ji], или в чуть иной форме, g[ij]+g[ji]=0 всегда, когда попарное пересечение непусто

довольно легко сообразить, что есть ещё одно простое НЕОБХОДИМОЕ условие для такой разрешимости. рассмотрим циклическую сумму g[ij]+g[jk]+g[ki] (порядок индексов важен, см. выше). в результате подстановки получаем для этой суммы выражение

    f[j] - f[i] + f[k] - f[j] + f[i] - f[k] = 0 
  

Def : кограницей антисимметричной 2-коцепи g[ij] является 3-коцепь, определённая на тройных пересечениях U[ijk] как сумма g[ij]+g[jk]+g[ki] (это самая настоящая сумма постоянных функций, без всяких натяжек). замечание: условие антисимметричности 2-коцепи можно выкинуть, но тогда придётся упорядочить индексы i,j,k по возрастанию в сумме и сменить знак на минус у последнего слагаемого. дело вкуса

и снова мы оказываемся в знакомой ситуации: (антисимметричные) 2-коцепи, вписанные в данный атлас, образуют линейное пространство подходящей размерности. условие g[ij]+g[jk]+g[ki]=0 - необходимое условие, чтобы быть кограницей 1-цепи, но не достаточное. сколько есть линейно независимых коциклов (решений этой системы), которые не являются кограницами?

давайте разберём одновременно два примера: квадрат К (заполненный) и тонкую квадратную рамку Р, полученную выбрасыванием из квадрата его "середины"

в обоих случаях воспользуемся покрытием, состоящим из четырёх квадратных карт: каждая карта центрирована в одной из вершин квадрата К и имеет сторону чуть больше единицы, так что карты пересекаются попарно по узким полоскам (и кускам рамки Р, которые туда попадают), а тройные пересечения - маленький квадратик в самом центре. заметьте, что тройные пересечения лежат в К, но не в Р. в этом-то всё и дело. напишите честно уравнения!

скажем то же самое на формальном языке. на множестве 2-коцепей определим оператор кограницы δ формулой h=δg, h[ijк]=g[ij]+g[jk]+g[ki] (для 1-коцепей кограница была уже раньше определена). коцепь g называется коциклом, если δg=0. два коцикла g,g’ называются когомологичными, если g-g’=δf. мы хотим посчитать число когомологически независимых коциклов, т.е., фактически, размерность соответствующего линейного подпространства

в разобранном примере окажется, что в случае квадрата К всякий 2-коцикл (коцепь с нулевой кограницей) когомологичен нулю, а вот в случае рамки есть только один коцикл, не когомологичный нулю. его очень просто описать. попарные пересечения карт с рамкой состоят из маленьких квадратиков, по одному на каждой стороне рамки. в каждом таком квадратике живёт вещественное число (обозначим их c[1],c[2],c[3],c[4]): они сидят на сторонах (12), (23), (34) и (41) рамки, вершины которой мы обозначим 1,2,3,4 соответственно. условие, что у коцикла нет кограницы, - тривиально выполнено, поскольку тройных пересечений карт нет вообще! когда коцикл будет кограницей? тогда и только тогда, когда найдутся четыре числа f[1],f[2],f[3],f[4] такие, что

    f[2]-f[1] = c[1]
    f[3]-f[2] = c[2]
    f[4]-f[3] = c[3]
    f[1]-f[4] = c[4]

и т.д. описанную схему легко продолжить по аналогии. n-коцепью являются всевозможные наборы вещественных чисел, индексированные наборами из n индексов, если соответствующие n-кратные пересечения карт непусты, и меняющие знак при любой перестановке индексов (антисимметричность; заметим, что пересечения карт "симметричны" по отношениям к таким перестановкам индексов). на множествах таких коцепей действует оператор кограницы δ, ставящий каждой n-коцепи g в соответствие её (n+1)-кограницу h=δg по правилу

    h[ij…km] = g[ij…k] - g[j…km]
    … 
    (все члены, полученные циклической перестановкой индексов)

все n-коцепи (связанные с одним и тем же атласом) образуют линейное пространство, и оператор кограницы в нём линеен и удовлетворяет тождеству δδ=0. это означает, что все кограницы обязаны быть коциклами, но иногда этого бывает недостаточно, и тогда фактор-пространство коцепей по модулю кограниц - инвариант, "ухватывающий" дырки пространства Х в разных размерностях. вычислять его можно "на автопилоте", если явно выписать покрытие Х картами "с простыми пересечениями" и посмотреть, какие из k-кратных пересечений будут пустыми, а какие - нет ("комбинаторика покрытия")

возникающие линейные системы все обладают теми свойствами, что:

1. в них участвуют "однородные" переменные, обозначаемые одной и той же буквой, но с разными индексами;
2. вся топология Х спрятана в комбинаторике этих индексов, проявляющейся в том, какие двойные, тройные и т.д. пересечения карт пусты, а какие - нет;
3. коэффициенты, с которыми входят переменные в системы - исключительно плюс-минус единицы

последнее обстоятельство позволяет "рассматривать" одну и ту же систему над разными соусами: скажем, иногда, когда мы имеем дело с неориентируемыми многообразиями, интересные ответы получаются, если решать системы в классе остатков по модулю "два" (чёт/нечет). с другой стороны, можно в качестве коцепей рассматривать не постоянные, а "настоящие" функции g[ij…k]:U[ij…k] → ℝ , определённые в пересечениях карт, и обладающие разными свойствами (от непрерывности и до аналитичности, если карты позволяют)

так определённые, когомологии называются когомологиями Чеха (это фамилия, а не национальность)

что дальше?

1. между гомологиями и когомологиями есть не только филологическая связь при помощи частицы ко-. это ко- не случайно
2. (ко)гомологии - не просто "числа" (векторы, элементы фактор-пространств). на них естественным образом определы операции умножения
3. помимо двух описанных (симплициальные/сингулярные гомологии Пуанкаре и когомологии Чеха), есть ещё как минимум полдюжины теорий, связывающих с разного рода геометрическими объектами алгебраические объекты, описывающие "дыры" разных размерностей. разумеется, между ними есть связи: в "хороших", ручных случаях, они все приводят к одинаковым ответам, а вот в "диких" и бесконечномерных - бывает заметная разница
4. в какой-то момент математики не выдержали и выдали на-гора аксиоматические теории гомологий. видимо, чтобы раз навсегда доказать теоремы, которые справедливы в любом "наряде"
5. наоборот, алгебраисты занялись тем, что они умеют делать лучше всего: взять упаковку и вытряхнуть из неё содержание, изучая исключительно то, как упаковки разной формы можно складировать в сарае. в данном случае они придумали понятие комплексов (цепного и коцепного), цепочек алгебраических объектов с линейными операторами, действующими между ними, вида

       Z[0] → Z[1] → Z[2] → Z[3] → Z[4] → …
       W[0] ← W[1] ← W[2] ← W[3] ← W[4] ← …

   где →=δ и ←=∂ - операторы, квадраты которых нулевые δδ=0 и ∂∂=0. такие комплексы можно изучать сами по себе, "почленно" применяя к ним алгебраические операции. однако бывают не только "почленные" операции: например, в "цепном" (нижнем) случае между двумя комплексами может существовать "гомотопия", цепочка отображений, "меняющих размерность", H[k]:W[k]→W[k+1], согласованная с оператором границы. эта дорога заведёт читателя в гомологическую алгебру, из которой без посторонней помощи не выбраться
6. справедливости ради, надо заметить, что "гомотопическая эквивалентность" всё же выросла не из абстрактной алгебры, а из топологии, через понятие стягивания. скажем, кольцо на плоскости - двумерное множество, а его срединная окружность - одномерна, поэтому окружность не может быть превращена в кольцо обратимым непрерывным преобразованием. а вот стянуть кольцо на окружность - легко можно. и любой шар любой размерности стягивается в точку, а сфера - нет. совершенно неочевидным образом гомологии пространств, стягиваемых одно на другое, одинаковы, даже если их размерности разные (при том, что размерности в явном виде фигурировали в построениях)
7. а тут ещё и пресловутая теория категорий в засаде притаилась