цепным комплексом называют семейство абелевых групп Cₖ и гомоморфизмов ∂k : Cₖ → Cₖ₋₁, удовлетворяющих соотношениям
∂ₖ ∘ ∂ₖ₊₁ = 0 если Cₖ = 0 при k < 0, то цепной комплекс называют неотрицательным
если все группы Cₖ свободные, то цепной комплекс называют свободным
для любого цепного комплекса C можно рассмотреть группы гомологий Hₖ(C) = ker ∂ₖ / img ∂ₖ₊₁
строим классифицирующее пространство для группы G
πₙ K(G,1) = G , n = 1 | 0 , n > 1
затем берем гомологии клеточного пространства. они и будут гомологиями группы G :
Hₙ (K, 1) = Hₙ (G)
H₁ (G) = G / [G,G] . это ее абелинизация
пусть группа задана образующими и отношениями G = < X | R >
тогда G = F / R , F - свободная группа
H₂ (G) = (R ⋂ [F,F]) / [F,R]
вторую гомологию группы иногда называют "мультипликатором Шура"
вторые гомологии любой абелевой группы - это внешний квадрат:
H₂(A) = Λ²(A) , a ۸ b , a b ∈ A
гомологии можно определить с коэффициентами в произвольной абелевой группе G. для приложений важен случай, когда группа коэффициентов G является аддитивной группой некоторого кольца с единицей (например ℤ или ℤ/p). некоторые важные свойства групп гомологий (и особенно когомологий) можно доказать именно для таких групп коэффициентов - аддитивная группа некоторого кольца с единицей
отображение каноническое, если оно определено единственным образом - в силу конструкции или по каким-либо другим причинам. например, любой изоморфизм групп ℤ/2 → ℤ/2 канонический. любой изоморфизм колец ℤ → ℤ тоже канонический, но изоморфизм групп ℤ → ℤ будет каноническим лишь в том случае, когда мы знаем, что элемент 1 переходит в 1, а не в -1
в топологии неканонические изоморфизмы часто возникают для расслоений, потому что слои расслоения гомеоморфны, но эти гомеоморфизмы не канонические; каноничность гомеоморфизмов слоёв означает тривиальность расслоения. поэтому гомотопические группы и группы гомологий разных слоёв изоморфны, но эти изоморфизмы не всегда можно выбрать каноническими из-за "скрученности" произведения базы на слой
пусть Y - симплициальный комплекс, G - абелева группа и существует Hₖ(Y,ℤ). гомоморфизм
Hₖ(Y,ℤ) → G называют k-мерной коцепью с коэффициентами (или со значениями) в G
многие гомологические свойства многообразий связаны с тем, что для замкнутого ориентируемого многообразия Mⁿ группа Hₙ(Mⁿ,ℤ) нетривиальна и порождена одним классом гомологий; для произвольного замкнутого многообразия аналогичное утверждение верно для гомологий с коэффициентами в ℤ/2
если X связно, тогда первая группа гомологий X по ℤ есть абелинизация первой гомотопической группы обьекта X:
H₁ (X, ℤ) = π₁(X, x₀) / [ π₁(X, x₀) , π₁(X, x₀) ] факторизация по коммутанту фундаментальной группы X
если первые гомотопические группы обьекта тривиальны (π₁, π₂, .., πₙ = 0), тогда первая нетривиальная группа πₙ₊₁ будет изоморфна первой нетривиальной группе гомологий Hₙ₊₁ этого обьекта
что будет дальше - никто ничего не гарантирует
пусть Y - двумерный клеточный комплекс и он асферичен, т.е. его π₁(Y)=0, т.е. тривиальна и его π₂(Y)=0 т.е. тоже тривиальна. тогда по теореме Гуревича все его πₙ(Y) = 0 т.е. тоже тривиальны
гипотеза состоит в том, что любой его подкомплекс L ⊂ Y тоже асферичен: πₙ(L)=0