большую часть своего времени математики занимаются тем, чтобы вытащив нос, не увязнуть хвостом и построить непротиворечивую систему понятий

в продвинутых областях алгебры понятие ‘равенства’ объектов утрачивает всякое значение, и на первый план выдвигается другое понятие ‘одинаковости’, а именно, изоморфизм

еще на шаг дальше понятие ‘изоморфизма’ становится столь же бессмысленным, как понятие ‘равенства’, и на первый план выдвигается понятие 'эквивалентности' или гомотопии

гомотопия

гомотопия

пусть I = [0, 1] - отрезок, а X - топологическое пространство. непрерывное отображение

        f : I → X

путь, для которого x₀ = f (0) = f (1), называется "замкнутым путем" или "петлей в точке x₀"

рассмотрим два пути f, g : I → X, начала и концы которых совпадают, т.е. f(0)=g(0) и f(1)=g(1)

эти пути называются гомотопными, если существует непрерывное отображение

        h : I × I → X 

готопопические группы

итак, гомотопия - это непрерывная деформация между различными образами Y₀..Y₁ одного и того же обьекта X и при n = 0

    H₀ : X ⨯ [0 , 1] → Y

важно отметить, что изначальное отображение H₀ - вообще не морфизм групп π, а отображение на множествах с выделенной точкой - из множества точек пространства X в множество точек пространства Y, так что выделенная точка x₀ переходит в точку y₀

если Y - связный комплекс, тогда H₀(Y,G) = G

затем появляется группа, которая называется фундаментальной.

гомотопические группы первой размерности

фундаментальная гомотопическая группа пространства - это группа клеточного элемента, которым можно покрыть все это пространство

при n = 1 гомотопические группы - это петли, которые ловят "дыры" (если они есть) в двумерном пространстве

гомотопические группы высших размерностей

при n > 1 гомотопические группы всегда абелевы

фундаментальная гомотопическая группа

M - топологическая поверхность, x₀ - выделенная точка на M
рассмотрим все пути начинающиеся и заканчивающиеся в x₀
всегда есть тривиальный путь, который включает в себя только точку x₀
поскольку все пути начинаются и заканчиваются в одной и той же точке x₀ мы можем композиционировать пути
по любому пути можно пройти в обратном направлении

итак - мы имеем группу
- с операцией - "композиция путей",
- c единицей - "тривиальный путь"
- и любой путь имеет обратный к себе - "пройденный в обратном направлении"

эта группа называется фундаментальной группой поверхности M в точке x₀

еще раз. рассмотрим совокупность всех замкнутых направленных путей начинающихся и заканчивающихся в точке x₀ связного многообразия M. эти пути можно "складывать". суммой путей γ₁ (0 ≤ t ≤ 1) и γ₂ (1 ≤ t ≤ 2) называется путь γ₂ ∘ γ₁. обратным путем называется тот же самый путь, но пройденый в обратную сторону. в этой совокупности имеется нуль - путь котороый на любом отрезке времени t равен x₀

итак, гомотопические классы направленных путей из x₀ образуют группу относительно операции "композиция путей" (под которой подразумевается получение из двух смежных путей одного общего), причем обратным элементом является обратный путь, а единицей - тривиальный путь из x₀ в x₀ равный x₀ при любом значении t∈[0,1]. эта группа обозначается π₁(M,x₀) и называется фундаментальной группой поверхности M в точке x₀. предполагается, что при гомотопии начало и конец пути всегда находятся в точке x₀

группу G можно сделать фундаментальной гомотопической группой некоторого комплекса Y и тогда будет выполняться следующее :

     H₁(Y) = π₁(Y) = G

с помощью накрытий можно вычислить фундаментальную группу любого 1-мерного комплекса

примеры

квалифицирующим пространством для группы ℤ является S¹ или π₁(S¹) = ℤ
PROOF:
рассмотрим накрытие p : ℝ → S¹, переводящее точку t ∈ ℝ в точку exp(i*t) ∈ S¹
накрывающее пространство ℝ стягиваемо, поэтому π₁(ℝ)=0. группа π₁(S¹) изоморфна группе автоморфизмов накрытия p. любой автоморфизм g ∈ Auto(p) однозначно задаётся своим действием на элемент 0∈ℝ

     g(0) =     2πn * g, где n,g ∈ ℤ
     g(t) = t + 2πn * g 

     h ∘ g(t) = t + 2π(n * h  +  n * g)

фундаментальная группа букета n окружностей изоморфна свободной группе с n образующими

фундаментальная группа тора S¹⨯S¹ есть ℤ ⨯ ℤ

фундаментальная группа бутылки Клейна ℤ ⋌ ℤ

фундаментальная группа проективной плоскости π₁(ℙ) = { e , α | α² = e }, т.е. это группа ℤ₂, а это - группа с кручением

подгруппы фундаментальной группы π₁(M,x₀) частично упорядочены: некоторые подгруппы содержатся в других подгруппах. пространства, накрывающие пространство M, тоже частично упорядочены: некоторые из них накрывают другие накрывающие пространства. эти два частичных порядка связаны друг с другом. пусть X - это 1-мерный комплекс, p_i:Ϟ→X (i=1,2) - накрытия, соответствующие подгруппам H_i⊂G. тогда накрытие p:Ϟ₁→Ϟ₂, для которого p(x₁)=x₂ и p₂∘p=p₁, существует тогда и только тогда, когда H₁⊂H₂

пусть M={r1,..,rm} – некоторое множество элементов свободной группы F с образующими a1,..,an; N - наименьшая нормальная подгруппа, содержащая M, т.е. пересечение всех нормальных подгрупп, содержащих M. группу G=F/N называют группой, заданной образующими a1,..,an и соотношениями r1,..,rm. тогда существует регулярное накрытие букета n окружностей с группой автоморфизмов, изоморфной G

фундаментальный группоид

группы высших размерностей

фундаментальный группоид - это категория Π, единственным обьектом которой является точка пространства с множеством обратимых морфизмов, один из которых считается единичным. имеем :

                       точка x₀

                       Π (x₀)

                       множество обратимых путей из x₀ в x₀

                       единичный обратимый путь id

тогда фундаментальная гомотопическая группа π₁(x₀) = Auto(x₀) где x₀ - точка пространства, а 1-морфизмы - пути из x₀ в себя, причем все пути - обратимы, а один путь считается единичным и рассматривается как id

теперь, если 2-морфизмы - это морфизмы между путями, то появляется функтор π₂. 2-морфизм - это гомотопия путей между одним и тем же 1-морфизмом

функтор π₂(π₁, x₀) = Auto (π₁,x₀) где x₀ - точка пространства, 1-морфизмы - пути из x₀ в себя. 2-морфизмы - это все морфизмы из (π₁,x₀) в (π₁,x₀)

3-морфизм - это гомотопия гомотопий путей между одним и тем же 1-морфизмом. функтор функтора π₂

для группы с кручением невозможно получить классифицирующее конечномерное пространство - π₂ не будет равна 0 и когомологическая размерность - бесконечна. представление называется "сферическим" если π₂=0 и асферическим если π₂≠0