есть две школы: школа Шаммая и школа Гиллеля
в рамках школы Шаммая, если какой-то факт имеет ненулевой шанс когда-нибудь кому-нибудь понадобиться, то в студента его надо впихнуть
в рамках школы Гиллеля если есть ненулевой шанс, что какой-то факт никогда никому не понадобится, то студентов ему учить не надоиз диалгогов мэтра хахама
Эмми Нётер в 1926 г. сделала важное наблюдение, что гомологии можно рассматривать как группы
(ко)гомологии можно (и нужно) понимать по-разному
можно геометрически (цепи/границы)
можно аналитически (пучки-шмучки)
можно замести содержательный смысл под ковёр и обсуждать разрешимость специальных систем линейных алгебраических уравнений, в которых переменные занумерованы замысловатыми индексами, а все коэффициенты равны только 0, +1 и -1, и вся структура сидит в комбинаторике коэффициентов
но удивление вызывает то, что такая конструкция вообще возможна и не просто существует, а настойчиво вылезает в самых разных местах - от топологии до теории алгебр Ли
пусть есть точная последовательность
f g
A → B → C если она точная, то Img f = Ker g и g ∘ f = 0. эта вещь функториальна - она сохраняется любым функтором и значит в последовательности
F f F g
F A → F B → F C Img (F f) содержится в Ker (F g), но никто не сказал нам, что они должны быть равны (Img f = Img (F f)). точность фунтора - очень редкое явление
факторгруппа H = Ker (F g) / Img (F f) называется группой гомологий и она является "препятствием" к тому, чтобы приведенная выше функториальная последовательность была точной: последовательность будет точной, если H будет равна нулю
сложение целых чисел с переносом:
0 → 10ℤ/100ℤ → ℤ/100ℤ → ℤ/10ℤ → 0 если бы расширение третьей группы с помощью первой было бы прямым произведением, то мы бы складывали не перенося из единиц в десятки
комплексы - это модули над кольцом двойных чисел и вся гомологическая алгебра - это изучение следствий из этого факта
в самом простом виде комплекс состоит из (абелевых) групп и морфизмов между ними, а поскольку композиция двух смежных морфизмов равна нулю, то ядром второго морфизма является образ первой группы :
∂ ∂ ... → C → C → C → ...если последовательность точная
цепной комплекс (chain complex) - это прямая сумма градуированных модулей M с дифференциалом
∂ : M → M
∂² = 0 понижающим градуировку
т.е. это последовательность (K,∂) модулей и гомоморфизмов
∂ₙ: Kₙ → Kₙ₋₁называемых "граничными операторами" (boundary map)
∂ₙ ∂ₙ₊₁
... ← Kₙ₋₁ ← Kₙ ← Kₙ₊₁ ← ...
zₙ(K,∂) = Ker ∂ₙ ≤ Kₙ цикл размерности n
bₙ(K,∂) = Img ∂ₙ₊₁ ≤ Kₙ границы размерности n
Hₙ(K,∂) = zₙ(K,∂) / bₙ(K,∂) называется n-ой группой гомологий комплекса
∂ - оператор
Img ∂ - "граница"
Ker ∂ - "цикл"
комплекс образует абелеву категорию с обьектами - модулями и морфизмами - дифференциалами и значит можно говорить о точных последовательностях
отображение одного комплекса в другой есть
← Ker fₙ₋₁ ← Ker fₙ ← Ker fₙ₊₁ ←
↓ ↓ ↓
← Aₙ₋₁ ← Aₙ ← Aₙ₊₁ ←
↓ fₙ₋₁ ↓ fₙ ↓ fₙ₊₁ функтор
← Jₙ₋₁ ← Jₙ ← Jₙ₊₁ ←
↓ ↓ ↓
← coKer fₙ₋₁ ← coKer fₙ ← coKer fₙ₊₁ ←
т.ч. все квадраты коммутируют. т.о. комплексы образуют категорию морфизмами которой являются функторы из категории A в категорию B, а нейтральным обьектом - нулевой комплекс
← 0 ← 0 ← 0 ←
если f : Aₙ → Bₙ тогда Hₙ(f) : Hₙ(A) → Hₙ(B), где A и B - цепные комплексы
коцепной комплекс - понятие, двойственное цепному комплексу. определяется как последовательность модулей (Ω,δ) и гомоморфизмов
δⁿ : Ωⁿ → Ωⁿ⁺¹ таких что δⁿ⁺¹ ∘ δⁿ = 0. коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью
δⁿ⁻¹ δⁿ δⁿ⁺¹
... → Ωⁿ⁻¹ → Ωⁿ → Ωⁿ⁺¹ → ...
zⁿ(Ω,δ) = Ker δⁿ ≤ Ωⁿ коцикл размерности n
bⁿ(Ω,δ) = Img δⁿ ≤ Ωⁿ₋¹ кограницы размерности n
Hⁿ(Ω,δ) = zⁿ(Ω,δ) / bⁿ(Ω,δ) n-ая группа когомологий комплекса
σ - кооператор
Ker σ - коцикл
Img σ - кограница
отображение одного комплекса в другой есть
... → Xⁿ⁻¹ → Xⁿ → Xⁿ⁺¹ → ...
↓ ↓ ↓
... → Yⁿ⁻¹ → Yⁿ → Yⁿ⁺¹ → ... т.ч. все квадраты коммутируют
с каждым топологическим пространством X и абелевой группой A связываются группы гомологий Hₙ(X,A) и двойственные к ним группы когомологий Hⁿ(X,A) пространства X с коэффициентами в группе A. при этом группы гомологий ведут себя ковариантно по отношению к непрерывным отображениям топологических пространств, а группы когомологий - контравариантно. иными словами, любому непрерывному отображению
f : X → Y топологических пространств X и Y сопоставляются гомоморфизмы
Hₙ (f) : Hₙ (X , A) → Hₙ (Y , A)
Hⁿ (f) : Hⁿ (Y , A) → Hⁿ (X , A) абелевых групп
морфизмы такой категории (аддитивной и абелевой) образуют абелеву группу и в любой абелевой категории можно определить элементы ее обьектов категорными средствами
классически рассматривались группы гомологий и когомологий с целыми коэффициентами, которые обозначаются Hₙ(X,ℤ) и Hⁿ(X,ℤ). в самом первом приближении эти группы при n≥1 измеряют наличие n-мерных дырок в пространстве X. гомологии - это "пленки", которые склеивают пространство, заделывая "дыры", а когомологии - это "препятствия" в этом процессе
H₁(G) = Gab = G / [G,G]
пусть G = F/R где F - свободная группа, R - нормальная группа. тогда
H₂(G) = (R ∩ [F,F]) / [F,R]
пусть последовательность комплексов
i p
0 → A → B → C → 0 точна. другими словами:
. . .
. . .
. . .
↓ ↓ ↓
0 → Aₙ₊₁ → Bₙ₊₁ → Cₙ₊₁ → 0
↓ ↓ ↓
0 → Aₙ → Bₙ → Cₙ → 0
↓ ↓ ↓
0 → Aₙ₋₁ → Bₙ₋₁ → Cₙ₋₁ → 0
↓ ↓ ↓
. . .
. . .
. . . в которой все квадраты коммутируют
Th: тогда такая последовательность гомологий тоже точна
σₙ₊₁ Hₙ(i) Hₙ(p) σₙ
Hₙ₊₁ → Hₙ(A) → Hₙ(B) → Hₙ(C) → Hₙ₋₁(A)
комплексом (X,ε) над R-модулем A называется последовательность
dₙ₊₁ dₙ ... d₂ d₁ ε
... Xₙ₊₁ → Xₙ → ... → X₁ → X₀ → A → 0 такая, что композиция двух последовательных гомоморфизмов равна 0
если все X свободные, комплекс называется свободным, если проективные - проективным
если последовательность точна, т.е. все гомологии
Hₙ (X) = (Ker dₙ) / (Img dₙ₊₁) = 0 при n > 0
и
H₀ (X) = (Ker d₀) / (Img d₁) = X₀ / (Img d₁) = X₀ / (Ker ε) изоморфна A (считая d₀ : X₀ → 0), то данный комплекс называется резольвентой
так как любой модуль является фактормодулем свободного, то любой модуль можно включить в некоторую свободную (и, тем более, проективную) резольвенту
наименьший индекс k, такой что все Xₙ при n > k нулевые, называется длиной резольвенты. проективная размерность модуля - это наименьшая длина его проективной резольвенты. проективный модуль - это в точности модуль проективной размерности 0
комплексом (Y, η) под R-модулем A называется последовательность:
η δ₁ δ₂ δₙ δₙ₊₁
0 → A → Y₀ → Y₁ → ... → Yₙ → Yₙ₊₁ → ... такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. если все Y инъективные, комплекс называется инъективным. если последовательность точна, т.е. все когомологии
Hₙ (Y) = (Ker δₙ₊₁) / (Img δₙ) = 0 при n > 0
и
H₀ (Y) = (Ker δ₁) / (Img δ₀) = Ker δ₁ = Img η изоморфна A (считая δ₀ : 0 → Y₀), то данный комплекс называется корезольвентой
так как любой модуль A является подмодулем инъективного, то любой модуль A можно включить в некоторую инъективную резольвенту
строить корезольвенту труднее, чем строить резольвенту. сизиги - это соотношения между соотношениями. настоящее искусство - каждый раз строить (ко)резольвенту, для которой проще всего считать гомологии
все происходит над некоммутативным кольцом R. левый R-модуль M - фиксирован. рассматриваются правые R-модули A, B, C, A', B', C' и левый функтор Tor
свойства
ₗTor₀ (A , M) ≅ A ⊗ M
ₗTorₙ (P , M) = 0 при n ≥ 1
0 → C → B → A → 0
↓ ↓ ↓
0 → C' → B' → A' → 0
тогда
σ₂ σ₁
... → ₗTor₂ (C ,M) → ₗTor₁ (A ,M) → ₗTor₁ (B ,M) → ₗTor₁ (A ,M) → A ⊗ M → B ⊗ M → C ⊗ M → 0
↓ ↓ ↓ ↓
σ₂ σ₁
... → ₗTor₂ (C',M) → ₗTor₁ (A',M) → ₗTor₁ (B',M) → ₗTor₁ (A',M) → A'⊗ M → B'⊗ M → C'⊗ M → 0
σₙ - связующие функторы
для правых модулей и правого функтора Tor все аналогично и
Torₙ (A , B) ≅ Torₙ (B , A)
если F - плоский модуль то
Torₙ (F , M) = 0 , n >e; 1
Torₙ (M , X) = 0 , n >e; 1
"конечно-порожденные проективные" и "конечно-порожденные плоские" - это одно и то же
рассматриваем ковариантный функтор Ext. A,B,C,D - правые R-модули. он строится в терминах иньективных резольвент
Extⁿ (D , _) = Hⁿ (Hom (D , _))
Ext⁰ (D , _) ≅ Hom (D , _)
если есть точная последовательность 0 → C → B → A → 0 тогда
σ₁ σ₂
0 → Hom (D,C) → Hom (D,B) → Hom(D,A) → Ext¹(D,C) → Ext¹(D,B) → Ext¹(D,A) → Ext²(D,A) → ...
σ должно быть естественным преобразованием
Extⁿ(D , Q) = 0 если Q - иньективен и n >e; 1
контравариантный Ext строится в терминах проективных резольвент
Extⁿ (_ , D) = Hⁿ (Hom (_ , D))
Ext⁰ (_ , D) ≅ Hom (_ , D)
если есть точная последовательность 0 → C → B → A → 0 тогда
σ₁ σ₂
0 → Hom (C,D) → Hom (B,D) → Hom(A,D) → Ext¹(C,D) → Ext¹(B,D) → Ext¹(A,D) → Ext²(C,D) → ...
σ должно быть естественным преобразованием
Extⁿ(P,D) = 0 если P - проективен и n >e; 1
левый Extⁿ (A , D) = правый Extⁿ (A , D)
левый Extⁿ (D , A) = правый Extⁿ (D , A)
Extⁿ (A , D) ≆ Extⁿ (D , A)
пусть кольцо есть ℤ. A - абелева группа. тогда Tor₁ (ℤ/nℤ , A) = ? Hom₁ (ℤ/nℤ , A) = ?
0 → ℤ → ℤ → ℤ/nℤ → 0
ℤ - свободный проективный плоский модуль
0 = Tor₁ (ℤ , A) → Tor₁ (ℤ/nℤ , A) → ℤ ⊗ A → ℤ ⊗ A → ℤ/nℤ ⊗ A → 0
f:x→n*x
0 → ₙA → A → A → A/nA → 0
{x∈A | x*n=0}
для всех абелевых групп A:
ℤ/nℤ ⊗ A = A/nA
Tor₁ (ℤ/nℤ , A) = ₙA кручение
0 → Hom (ℤ/nℤ , A) → Hom (ℤ , A) → Hom (nℤ , A) → Ext¹ (ℤ/nℤ , A) → Ext¹ (ℤ , A) = 0
0 → ₙA → A → A → A/nA → 0
для конечных абелевых групп A:
Hom (ℤ/nℤ , A) = ₙA
Ext¹ (ℤ/nℤ , A) = A/nA
поправка Ext появляется из-за того, что Hom не является точным функтором, а поправка Tor появляется из-за того, что ⊗ не является точным функтором
пусть есть группа G и A , где A - абелева вместе с левым линейным действием ⟳ G - G-модуль
Def: A называется тривиальным модулем, если для любого g из G и любого a из A верно g a = a
ℤ[G] = { Σ n g | n ∈ ℤ , g ∈ G : почти все n = 0 }
Hₙ (G , A) = Torₙℤ[G] (ℤ , A)
Hⁿ (G , A) = Extⁿℤ[G] (ℤ , A)
здесь ℤ - это модуль с тривиальным действием
G - c коэффициентами в A
аугментация η : ℤ[G] → ℤ такое что g₀ → 1
η
0 → Ig → ℤ[G] → ℤ → 0
Ig = { Σ ag g ∈ ℤ | Σ ag = 0 }
AG = A/IgA
AG = H₀ (G , A) инварианты
AG = { a ∈ A | ∀ g ∈ G : g a = a }
AG = H⁰ (G , A) коинварианты
H₀ (G , _ ) = _G
если 0 → A → B → C → 0 точная тогда
σ σ
... → H₂(G,A) → H₁(G,C) → H₁(G,B) → H₁(G,A) → CG → BG → AG → 0
Hₙ (G , Q) = 0 если Q - иньективный ℤ[G]-модуль и n ≥ 1
Hₙ (F , A) = 0 если F - свободная группа и n ≥ 2
H⁰ (G , _ ) = _G
если 0 → A → B → C → 0 точная тогда
σ σ
0 → AG → BG → CG → H¹(G,A) → H¹(G,B) → H¹(G,C) → H²(G,A) → ...
Hⁿ (G , P) = 0 если P - проективный ℤ[G]-модуль и n ≥ 1
Hⁿ (F , A) = 0 если F - свободная группа и n ≥ 2
если G - циклическая, то все четные (ко)гомологии (кроме нулевой) равны второй (ко)гомологии, а все нечетные - равны первой (ко)гомологии
H₂ₙ₋₁ (G , A) = H²ⁿ (G , A)
H₂ₙ (G , A) = H²ⁿ⁻¹ (G , A) при n ≥ 1
цепь - это петля, может быть - незамкнутая
цикл - это цепь, которая не имеет границы
два цикла называются гомологичными если их разность является границей
операция ∂ есть операция определения границы цепи
Ker ∂ₙ есть пространство n-циклов
Img ∂ₙ₋₁ есть пространство n-границ
Hₙ (X , ℤ/2ℤ) = (Ker ∂ₙ) / (Img ∂ₙ₋₁) есть n-ая группа симплексиальных гомологий X с коэффициентами из ℤ/2ℤ
группа, которая определяет коэффициенты, показывает, какое количество раз ребро или вершина могут входить в граф пространства
например так считается первый закон Киргоффа для электрических цепей: сумма токов в узлах равна нулю. при этом : напряжение - это 1-цикл, а ток - это 1-граница
пример вычисления граничных операторов:
∂₃ ∂₂ ∂₁ ∂₀
... → F₂ → F₁ → ℤ[G] → ℤ → 0
∂₀([]) = 1
∂₁([a]) = a [] - [] = a - 1
∂₂([b|a]) = b [a] - [ba] + [b] =
∂₃([c|b|a]) = c [b|a] - [cb|a] + [c|ba] - [c|b] =
вычисляются функции на вершинах, потом - на ребрах, потом - на гранях симплексов пространства, имеющих значение в соответствующей группе, например ℤ:
Δ⁰ = Homo (V, ℤ)
Δ¹ = Homo (E, ℤ)
Δ² = Homo (F, ℤ)
σ⁰ σ¹ σ² σ³
0 → Δ⁰(X) → Δ¹(X) → Δ²(x) → ...
σ⁰ = φ(a,b) = φ(b) - φ(a)
σ¹ = φ(a,b,c) = φ(a,b) - φ(b,c) + φ(c,a)
σ² = φ(a,b,c,d) = φ(a,b,c) - φ(b,c,d) + φ(c,d,a) - φ(d,a,b)
σ³ = ...
σⁿ ⋅ σⁿ⁻¹ = 0
Img (σⁿ) < Ker (σⁿ⁺¹)
Img σⁿ это кограницы
Ker σⁿ это коциклы
Hⁿ (X, ℤ) = (Ker σⁿ) / (Img σⁿ⁺)
например так считается второй закон Киргоффа для электрических цепей: сумма напряжений на контуре равна нулю. при этом : напряжение - это 1-кограница, а ток - это 1-коцикл
гомология даёт возможность строить группу или кольцо, которые являются топологическим инвариантом пространства
n-мерные симплексы отображаются в X и для каждого отображения считается δₙ, просто граница теперь будет не ребром, а путем (возможно - самопересекающимся или пересекающимся с другим путем другого отображения другого n-мерного симлекса). после этого считаются границы цепей и в результате получают значение гомологии X
пусть X - любое топологическое пространство. сингулярный симплекс размерности k - это пара (Δk , f) где Δk - это стандартный симплекс
< a₀, a₁, ... ak >
а f - его непрерывное отображение в X (f: Δk → X)
группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:
ck = σ zi (Δk,fi)
с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами zi
при этом для линейного отображения sπ: Δk → Δk определяемого перестановкой
π точек < a₀, a₁ , ... , ak > полагают
граничный оператор ∂ определяется на сингулярном симплексе (Δk,f) так:
∂(Δk, f) = σ (-1)i (Δk-1, fi)
где Δk-1 стандартный (k-1)-мерный симплекс, а fi = f ϵi
аналогично симплициальным гомологиям доказывается что ∂∘∂ = 0
как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов - таких цепей ck, что ∂ck = 0,
и границ - цепей ck = ∂c(k+1) для некоторого c(k+1)
факторгруппа группы циклов по группе границ Hk = Zk/Bk называется группой сингулярных гомологий
понятие когомологии двойственно понятию гомологии. если G - кольцо, то в группе когомологий H(X,G) определено естественное умножение (произведение Колмогорова-Александера или ∪-npоизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцом когомологий
в случае, когда X - дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий H(X,R) может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на X (это Тh де-Рама)