геометрией по Клейну называется множество, на котором биекциями действует некоторая группа. другими словами, геометрия по Клейну - это пара (X,G), где X - множество произвольной природы (его элементы называются точками), а G - группа, действующая на множестве X; это значит, что любой элемент g∈G представляет собой биекцию множества X на себя, нейтральный элемент e∈G - тождественное отображение X на себя, обратный элемент g⁻∈G - обратная биекция к g, произведение двух элементов группы G - просто композиция биекций

геометрий много. что есть общего между двумерными геометриями Евклида, Лобачевского, Римана, Кокстера, проективной геометрией, сферической геометрией?

геометрическая теория групп

Феликс Хаусдорф, “Grundzüge der Mengenlehre”, 1914

сферы:

S⁰ - это две точки
S¹ - это окружность
S² - это сфера

диски :

D⁰ - это точка
D¹ - это отрезок
D² - это круг
D³ - это шар

сфера S^n-1 - это граница для диска Dⁿ

проективные пространства :

P⁰ - это S¹ (окружность) с выколотой точкой
P¹ - это S² (сфера) с выколотой точкой

прямая ℝ¹

преобразования, сохраняющие прямую и расстояния на ней:

отражение S относительно выбранной точки
параллельный перенос T на выбранный вектор - сдвиг (перенос на нулевой вектор есть Id)

никаких других преобразований сохраняющих расстояния больше нет

таблица композиций движений прямой

      |  T   S
    --+--------
    T |  T   S
    S |  S   T

аффинные преобразования на прямой можно записать в виде

         x' = k * x + d

т.е. они являются композицией сдвигов и гомотетий. они не могут быть названы линейными, потому что в общем случае они не сохраняют начало координат

гомотетия (ὁμός «одинаковый» + θετος «расположенный») - преобразование, заданное своими центром O (не обязательно нулем) и коэффициентом k≠0 переводящее каждый элемент x в элемент x' такой, что

           |Ox'| = k * |Ox|

существует только две гомотетии, которые сохраняют расстояния - H₁ = T₀ и H_-1 = S₀

в группе гомотетий (кроме тех, которые схопывают все точки в ноль, т.е. гомотетии с k=0 и с разными точками О - т.е. их очень много - столько же, сколько и действительных чисел) есть подгруппа гомотетий с положительным коэффициентом k, по которой группу гомотетий можно факторизовать на два класса: при композиции гомотетий из одного класса положение точки относительно точки О меняется, а при композиции гомотетий из другого класса - нет ("масштабирование с переворачиванием и масшатбирование без переворачивания")

всомним, что гомоморфизмом групп называется отображение, сохраняющее групповую операцию

рассмотрим отображение группы гомотетий (невырожденных) на группу вещественных чисел по умножению ℝ*. оно устроено просто: каждому преобразованию ставится в соответствие коэффициент его масштабирования - вещественное число k. это отображение является гомоморфизмом групп, где операции композиции гомотетий соответствует операция умножения чисел. каково ядро этого гомоморфизма? какие преобразования отображаются в 1 (нейтральный элемент образа)? такими преобразованиями являются сдвиги!

вспомним Th: для любого гомоморфизма групп φ: G1 → G2 факторгруппа группы G1 по ядру ker φ изоморфна G2

                                                   гомоморфный образ группы
                                                   до победы коммунизма
                                                   изоморфен факторгруппе
                                                   по ядру гомоморфизма

сдвиги являются нормальной подгруппой в группе аффинных преобразований на прямой, поскольку они являются ядром гомоморфизма из группы подобий в группу по умножению вещественных чисел ℝ

полигон

фундаментальная группа полигона состоит из одного элемента

если полигон правильный, то группа движений полигона - циклична

окружность S¹

аналогом сдвигов прямой здесь являются повороты окружности на угол, а аналогом отражений прямой относительно различных ее точек - отражения окружности относительно различных ее диаметров

Th: если движение окружности не имеет неподвижных точек, то оно является поворотом. если движение имеет непротивоположные неподвижные точки, то оно является Id. если неподвижных точек у движения две (всегда противоположные), то оно является отражением

таблица композиций движений окружности

      |  R   S
    --+--------
    R |  R   S
    S |  S   R

повороты окружности образуют группу Ли

фундаментальная группа окружности - это группа ℤ по сложению (с нейтральным элементом 0)

сфера S²

любая окружность на сфере имеет два центра, расположенных напротив друг друга (полюса). две точки на сфере являются полюсами тогда и только тогда, когда они обе лежат на одной прямой проходящей через центр сферы. через полюса проходит бесконечно много прямых. через не-полюса проходит единственная прямая и часть этой прямой между точками называется "Дуга Большого Круга". поворот - это композиция двух отражений и он сохраняет две точки, а любое движение сферы не сохраняющее точек - композиция трех поворотов. на сфере нет движений, сохраняющих лишь одну точку. для любых двух точек сферы их серединный перпендикуляр будет "Большим Кругом"

плоскость ℝ²

любая гомотетия задается на плоскости с помощью матрицы 2х2

отображения плоскости

всякое собственное движение плоскости есть или сдвиг или поворот. при сдвиге каждый вектор инвариантен. при повороте инвариантен только нулевой вектор

всякое несобственное движение плоскости есть отражение относительно прямой, соединенное со сдвигом (может быть нулевым)

определения

изометрия - это отображение, сохраняющее расстояния

квазиизометрия - это отображение, при котором расстояние d' между образами двух точек хотя и меняется по сравнению с расстоянием d между самими точками, но лишь в пределах, заданных парой констант (K,C) :

        d / K - С   ≤   d'   ≤   K * d + C

циклическая группа - это группа, порожденная одим элементом

если группа задана алфавитом, то подразумевается, что образующими также являются и обратные к уже указанным в алфавите элементы, хотя в записи обратные элементы не присутствуют. например запись

        < a , b , c | a . b = 1 >

подразумевает, что в алфавит входят также элементы группы a⁻ , b⁻ и c⁻

порядок образующего циклическую подгруппу группы G элемента g обозначается o(g) или ord(g). o(g) - это либо наименьшее натуральное число n такое, что g^n = 1, либо ∞. группа G называется "периодической", или "группой кручения", если все ее элементы имеют конечный порядок

множество элементов, коммутирующих со всеми элементами группы G, называется центром группы G. абелева группа - она сама себе центр

пусть группа G действует на множестве M. подмножество { g ∘ m | g ∈ G } ⊂ M называется орбитой элемента m ∈ M

действие группы G на множестве M определяет на нём отношение эквивалентности:

    ∀  n , m   ∈   M         n ∼ m    <=>   ∃  g ∈ G  :  g ∘ n = m

при этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. также при этом либо

    G ⟳ x = G ⟳ y    x , y ∈ M

либо

    G ⟳ x ∩ G ⟳ y = ∅      x , y ∈ M

и т.о. M является дизьюнктным обьединением различных орбит, а элементы множества m₁,m₂,..,mₙ - это представители различных орбит

M называется однородным G-множеством ("действие G на M транзитивно") если

    ∀  x , y  ∈  M      ∃  g  ∈  G    :   y = g ∙ x

подгруппа { g ∈ G | g ∘ m = m } ▷ G называется стабилизатором или "стационарной подгруппой элемента m ∈ M". стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены. еще стабилизатор называют подгруппой изотропии

орбита элемента множества ≅ стабилизатор этого элемента. это изоморфизм G-пространств

нормализатором множества М называется подгруппа { g ∈ G | g⁻ ∘ M ∘ g ⊆ M }

метрика графа Кэли группы

в 1950-е А.Д.Александрову удалось выразить важное геометрическое свойства риманова многообразия - знак его кривизны - в виде неравенств для метрики на многообразии, которые имеют смысл в любом метрическом пространстве. эти неравенства были названы CAT-неравенствами, в честь Картана, Александрова и его ученика Топоногова

граф Кэли группы с заданным набором образующих, есть граф, вершины которого соответствуют элементам группы, а ребра - элементам, которые отличаются на домножение на образующую. Громов предложил изучать дискретные группы, исходя из геометрических свойств их графа. оказалось, что "отрицательной кривизне" (в смысле CAT-теории) графа Кэли отвечает весьма широкий класс групп; ныне эти группы называются "гиперболическими по Громову"

граф Кэли свободной группы F2 с образующими a, b, a⁻, b⁻

граф Кэли для Z/2Z ∗ Z/3Z

сама группа не является метрическим пространством ; чтобы появилась метрика нужно выбрать в группе систему образующих. после этого можно построить граф Кэли и завести на нем метрику

словарная метрика на группе - это кратчайшее расстояние между двумя элементами в графе Кэли

в группе, построенной из любой системы образующих, возникает целочисленная метрика, но если мы берем разные системы образующих, то мы превращаем одну и ту же группу в разные метрические пространства

нормой элемента группы становится при этом минимальная длинна слова, выражающего этот элемент через образующие

геодезические

если на структуре задана метрика, то между двумя ее различными точками найдется кратчайшее расстояние. путь из точки в точку по кратчайшему расстоянию называется геодезической линией

геодезическая - это проекция какого-то связного куска вещественной оси ℝ¹ на данное метрическое пространство

в метрической геометрии геодезическая является только ЛОКАЛЬНО-кратчайшей (например, на сфере участок дуги большого круга - кратчайшая, только пока мы не достигнем антипода, а после этого этот участок дуги большого круга уже перестает быть кратчайшей)

пространство Лобачевского

диск Пуанкаре и полуплоскость Лобачевского - две модели пространства Лобачевского размерности 2. на диске точки бесконечности = это граница диска, а на полуплоскости точки бесконечности = точки прямой разделяющей плоскость пополам и еще одна бесконечно-удаленная точка, в которую ведут все прямые, перпендикулярные разделяющией прямой

изометрии плоскости Лобачевского, сохраняющие ориентацию

изометрии, сохраняющие ориентацию плоскости Лобачевского бывают:

эллиптические - одна неподвижная точка (внутри диска) плоскости Лобачевского и движение есть поворот вокруг этой точки
параболические - одна неподвижная точка на абсолюте (граница диска) плоскости Лобачевского и движение есть поворот вокруг этой точки)
гиперболические - две неподвижные точки на абсолюте и движение есть перенос по геодезическим

группа изометрий плоскости Лобачевского Iso(H²) является группой Ли, а группа изометрий плоскости Лобачевского, сохранающая ориентацию Iso₊(H²) чаще всего называется PSL₂(ℝ) (для которой группа SL₂(ℝ) является просто двулистным накрытием) - и это открытый полноторий D²❌S¹

дискретные подгруппы в группе изометрий плоскости Лобачевского, сохранющей ориентацию, называются Фуксовыми группами

произведение Громова

в метрическом пространстве выбирается базовая точка x₀. тогда для двух любых других точек y,z простраства произведение Громова (|) есть

    (y|z) = ( d(x₀,y) + d(x₀,z) - d(y,z) ) / 2

гиперболические пространства

гиперболическое пространство - это метрическое пространство, для любых трех точек которого выполняется условие на произведение Громова: два минимальных произведения (из всех трех произведений) находятся "не слишком далеко" друг от друга

гиперболические группы

группа называется гиперболической, если для любой тройки ее попарно различных элементов x,y,z и при любой ее метрике геодезическая xy лежит в δ-окресности обьединения геодезических xz и yz

первоначально гиперболические группы появились как желание обобщить фундаментальные группы гиперболических многообразий. исходили при этом из двух фактов

факт 1: поскольку универсальное накрывающее пространство всегда симметрическое, то всегда можно взять "хорошее" простанство (например - связное компактное многообразие или конечный полиэдр), и тогда фундаментальная группа этой штуки будет квазиизометрична универсальному накрывающему
например для окружности фундаментальной группой π₁(S¹) является группа ℤ, а универсальным накрывающим пространством является эвклидова прямая
например для тора фундаментальной группой π₁(S¹❌S¹) является группа ℤ❌ℤ, а универсальным накрывающим пространством является эвклидова плоскость

факт 2: понимая, что любая конечно-порожденная дискретная группа может быть фундаментальной для какого-либо квалифицирующего пространства, причем "хорошего" пространства - компактного многообразия размерности 4, а также понимая, что пространств, у которых универсальное накрывающее - гиперболическое, очень много - тем самым мы можем иметь очень много "гиперболических" групп
например для двумерной сферы универсальным накрывающим является двумерная сфера, а для тора - плоскость Эвклида
например для любого связного многообразия размерности 2 и числом g > 1 мы всегда можем использовать как универсальное накрывающее двумерное пространство Лобачевского (его модель - диск Пуанкаре)

примеры гиперболических групп:

конечные группы (например группы дедраэдра)
бесконечные циклические (например ℤ)
содержащие циклическую в качестве подгруппы
свободные группы
и вообще - группы у которых граф Кэли является деревом
а также группы, у которых подгруппа конечного индекса имеет граф Кэли в виде дерева
свободное произведение конечного числа гиперболических групп
фундаментальные группы гиперболических многообразий
группы малых сокращений

гомотопия vs изотопия

если в процессе преобразования от момента 0 до момента 1 мы позволяем промежуточному образу не быть в том же классе, которому принадлежат исходные образ и прообраз, то это гомотопия

если же в процессе преобразования от момента 0 до момента 1 всегда промежуточный образ принадлежит тому же классу, которому принадлежат исходные образ и прообраз, то это изотопия

изотопия всегда гомотопична. обратное - неверно

группа классов отображений поверхностей

пусть T - топологическое пространство. рассмотрим Homo(T), все автогомеоморфизмы f:T→T

пусть теперь Homo₀(T) - те автогомеоморфизмы из Homo(T), которые изотопны тождественному морфизму - это называется гомеотопией

если мы теперь профакторизуем Homo(T)/Homo₀(T), то получим счетную группу классов отображений. например, если T - это сфера S² (или даже S¹), то мы получим группу классов отображений состоящую всего из двух элементов - один меняет ориентацию при автоморфизме, а второй - не меняет

пусть (M1,d1) и (M2,d2) - метрические пространства, а C>0 - вещественное число. отображение f:M1→M2 называется C-липшицевым, если для любых x,y∈M1

    d2 (f(x), f(y)) ≤ C * d1 (x, y)

функция M→R на метрическом пространстве называется C-липшицевой, если соответствующее отображение C-липшицево относительно естественной метрики на M и R. липшицевы функции - непрерывны

топологическое пространство M называется локально связным (локально линейно связным), если каждая окрестность точки x∈M содержит связную (линейно связную) окрестность x

отображение f:X→Y называется билипшицевым с константой C, или просто билипшицевым, если это биекция, причем f и f⁻ C-липшицевы (то есть удовлетворяют d(f(x),f(y))≤Cd(x,y))

пространства X и Y квазиизометричны, если в X и в Y существуют ε-сети Xε и Yε, между которыми есть билипшицево отображение. отображение f:X→Y метрических пространств называется квазиметрическим, если для каких-то констант C,ε>0, имеем d(f(x),f(y))≤Cd(x,y)+δ. квазиметрическое отображение не обязательно непрерывно

все графы Кэли любой конечно-порожденной группы - квазиизометричны

окрестностью подмножества Z⊂M называется любое открытое множество, содержащее Z

замыканием подмножества Z⊂M называется пересечение всех замкнутых подмножеств, содержащих Z

отображение ϕ:M→N называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества - открыт

пределом последовательности {xi} в M называется такая точка x∈M, что в любой окрестности x содержатся почти все элементы последовательности {xi}

пусть M, M' - метрические пространства с внутренней метрикой, а f:M→M' - непрерывная биекция, такая, что у каждой точки x∈M есть окрестность Ux, причем ограничение f|_Ux Ux→f(Ux) - изометрия. тогда f - изометрия

пусть M - топологическое пространство, а ∼ - отношение эквивалентности. подмножество U⊂M/∼ множества классов M/∼ называется открытым, если его прообраз в M открыт. это определяет топологию фактора на M/ ∼, которое называется факторпостранством по соотношению эквивалентности ∼. факторпространство может быть нехаусдорфово, даже если M хаусдорфово

пусть G - группа, действующая на топологическом пространстве M. факторпространством по действию группы называется пространство классов эквивалентности M/∼, где x∼y, если x и y лежат в одной орбите G. также факторпространством называют пространство орбит действия G. пусть G - группа, действующая на топологическом пространстве M гомеоморфизмами. тогда естественная проекция π:M→M/G является открытым отображением

пусть Γ - граф, а S - множество его ребер. рассмотрим S как пространство с дискретной топологией, и пусть X=S×[0,1] - несвязное объединение S копий отрезка. в этом случае x=s×{1} или x=s×{0} - точки X, соответствующая началу или концу отрезка. если у ребра s1 и у ребра s2 имеется общий конец, напишем x1∼x2, где xi=si×{1} или xi=si×{1} есть соответствующие точки X. топологическим пространством графа называется факторпространство X/∼ по такому отношению эквивалентности. топологическое пространство любого графа - хаусдорфово