дифференциальная топология

дифференциальная топология изучает гладкие многообразия с дополнительными структурами: рассматриваются такие структуры, что у любой пары точек многообразия можно найти одинаковые окрестности

пример: на двумерной сфере S² :

      x2 + y2 + z2 = 1 ⊂ ℝ3

P1 ∈ S² : x > 0 ,    P4 ∈ S² : x < 0 ,     (x, y, z) → (y, z)
P2 ∈ S² : y > 0 ,    P5 ∈ S² : y < 0 ,     (x, y, z) → (x, z)
P3 ∈ S² : z > 0 ,    P6 ∈ S² : z < 0 ,     (x, y, z) → (x, y) 

пример пространств, не удовлетворяющих аксиоме Хаусдорфа или требованию компактности

пример1: множество M состоит из трех экземпляров прямой ℝ¹
будем обозначать его точки {x,α}, где x ∈ ℝ¹, α ∈ {a,b,c}
определим на M следующие карты:

    U1 = {{x, a} : x ≥ 0} ∪ {{x,b} : x < 0} , ϕ1 ({x,α}) = x
    U2 = {{x, c} : x ≥ 0} ∪ {{x,b} : x < 0} , ϕ2 ({x,α}) = x
    U3 = {{x, b} : x ≥ 0} ∪ {{x,a} : x < 0} , ϕ3 ({x,α}) = x
    U4 = {{x, c} : x < 0}                   , ϕ4 ({x,α}) = x 

    {{x,b} | x < 0} 

пример2: рассмотрим множество M = ℝ¹ × ℝ¹ с топологией декартова произведения, когда первый множитель ℝ¹ снабжен стандартной топологией, а второй множитель ℝ¹ снабжен дискретной топологией. рассматривая на данном множестве карты вида

    (U, ϕ), где U = (a, b) × {c}, a, b, c ∈ ℝ¹ 

дифференцируемые многообразия с краем

в силу определения дифференцируемого многообразия M каждая его точка P ∈ M является внутренней, так как ее образ при координатном отображении ϕ в каждой из карт, содержащих эту точку, имеет окрестность, целиком содержащуюся в открытом подмножестве ℝⁿ. отсюда следует, что границы закрытых в топологии ℝⁿ подмножеств не имеют прообразов в M. для их определения требуется расширить понятие дифференцируемого многообразия, введя в M понятие границы

дифференцируемые отображения многообразий

на уровне топологий гомеоморфные пространства неразличимы и могут рассматриваться как различные реализации одной абстрактной структуры. в связи с введением понятия дифференцируемого многообразия возникает вопрос: какие структуры тождественны с точностью до реализации на этом уровне? можно ли использовать здесь топологическую классификацию?

для ответа на эти вопросы требуется введение понятия диффеоморфных структур, которое является отношением эквивалентности: шар, стакан, тарелка, гантель – эквивалентные в этом смысле структуры, тогда как тор, кружка и гиря принадлежат другому классу эквивалентности

функцией на многообразии M называется отображение f : M → R, сопоставляющее каждой точке P ∈ M вещественное число. представителем функции f в произвольной карте (U,ϕ) будет функция

    f = f ◦ ϕ⁻ : ℝⁿ → ℝ 

    f(P) = f (x1P, x2P, ..., xnp) 

Def: кривой или путем на многообразии M называется отображение γ : ℝ → M , ставящее в соответствие каждому значению параметра t ∈ ℝ точку в M. представителем кривой γ в произвольной карте (U,ϕ) является параметрически заданная кривая

    γ = ϕ ◦ γ : ℝ → ℝⁿ 

      γ(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t))

одним из наиболее распространенных способов исследования глобальных топологических и дифференциальных свойств многообразий является описание этих свойств алгебраическими средствами. при этом с заданным многообразием ассоциируется некоторый алгебраический объект: группа, кольцо, алгебра и т.д. каждый такой объект характеризует некоторое свойство многообразия, позволяя рассматривать соответствующую ему топологическую задачу как алгебраическую

само понятие топологии можно до известных пределов алгебраизировать, определяя фундаментальную группу, которая отражает основные аспекты понятия топологии, не сводясь по существу к ней

пусть M и N – Cr-многообразия и C(M,N) - множество всех непрерывных отображений из M в N

Def : отображения σ₀, σ₁ ∈ C(M,N) называются гомотопными, если существует непрерывное отображение

      H : M × [0,1] → N

      H(P,0) = σ0(P),
      H(P,1) = σ1(P)

введение понятия фундаментальной группы – важный шаг на пути алгебраизации топологических задач. описание основных (но не всех) топологических свойств многообразия содержится в структуре его фундаментальной группы

какими свойствами может обладать многообразие, топология которого в основном описывается данной фундаментальной группой? что можно сказать о многообразиях, чья фундаментальная группа, является подгруппой исходной группы? этими вопросами занимается алгебраическая топология, а в ней – теория накрывающих пространств

построение универсального накрытия

рассмотрим атлас A на M, состоящий из односвязных карт K_m, K_l, K_n ,...

выберем в M произвольную точку B и для любой карты K обозначим через α, β, δ, ... гомотопические классы путей из B в K, концом которых может быть любая точка из K, поскольку K односвязна

обозначим через K_α, K_β, K_δ, ... дубликаты карты K для каждого гомотопического класса

затем для получения атласа Ã, задающего структуру на M̃, соединим все карты _αK_m, βKm, ... , Klα, Klβ, ... , уточнив способы их перекрытия. положим, что карты K_mα и K_lβ перекрываются тогда и только тогда, когда перекрываются карты K_m и K_l и пути из α гомотопны путям из β (в случае, когда они заканчиваются в одной точке на перекрытии K_m и K_l)

далее, если точка P ∈ M имеет в карте K_m координаты ϕm(P), то те же самые координаты будут иметь ее прообразы Q_α, Q_β , ... во всех картах _αK_m, _βK_m , ..., и если в области перекрытия карт K_m и K_l имеет место преобразование координат

      ψ = ϕl ◦ ϕ⁻m

очевидно, что построенный таким образом атлас Ã определяет дифференциальную структуру на M̃ той же гладкости, что и атлас A на M

градиентные системы и симплектические многообразия

в любой области пространства ℝⁿ с координатами (у₁,..,у_n) важные геометрические структуры можно задать с помощью скалярного произведения векторов или ковекторов g_ij или g^ij не предполагая никакой симметрии. в невырожденном случае

    g_jk * g^ki = g^ik * g_ki = i_δ^i

говорят, что на многообразии задана симплектическая структура, если на нем задана такая невырожденная 2-форма (невырожденное кососимметрическое скалярное произведение g_ij касательных векторов в каждой точке х), что для любой точки х существует ее окрестность U с локальными координатами

    (у1,...,уⁿ,yⁿ⁺¹,...,y²ⁿ) 

    g_ij = ( 0 -1       g^ij = (  0  1
             1  0 )              -1  0 )

пара (N,g^ij), состоящая из многообразия N и кососимметрического тензорного поля g^ij = - g^ji, называется пуассоновым многообразием или пуассоновой структурой на многообразии М, если для любой пары вещественных гладких функций f hна N задана их скобка Пуассона (g-скалярное произведение их градиентов)

    {f, g} = g^ij(x) df/dy^i dh/dy^j

      0 = { { f , g } , h } + { { g , h } , f } + { h , f } , g }

скобки Пуассона обладают двумя важными свойствами:

   { f , g }  = - { g , f }                  кососимметричность
   { fg , h } = f { g , h } + g { f , h }    тождество Лейбница

линейное пространство С над произвольным полем называется алгеброй Пуассона , если в нем заданы две операции:
а) операция умножения элементов a * b, превращающая С в коммутативную ассоциативную алгебру над этим полем с единицей 1 из С
б) билинейная операция скобок Пуассона { а , Ь } которая

              кососимметрична:
                 { а , b } = - { b , a }
              связана с предыдущей операцией умножения тождеством Лейбница
                 { a * b , с } = а * { b , с } + b * { а , с }
              и удовлетворяет тождеству Якоби для любой тройки элементов

центром алгебры Пуассона С называется сосовокупность таких элементов z из С, что {z,C}=0. центр называется аннигилятором алгебры Пуассона, а его элементы называются функциями Казимира (или просто казимирами)

касательное расслоение - совокупность всех касательных пространств ко всем точкам многообразия

пространство поливекторов дуально к пространству дифференциальных форм - и в данной конкретной точке они есть линейные функционалы на дифференциальных формах

Def: a map f : X → Y is called a diffeomorphism if f carries X homeomorphically onto Y and if both f and f⁻ are smooth

diferential topology studies those properties of a set X ⊂ ℝⁿ which are invariant under diffeomorphism

typical problems falling under this heading are the following:
1) given two differentiable manifolds, under what conditions are they diffeomorphic?
2) given a differentiable manifold, is it the boundary of some differentiable manifold-with- boundary?
3) given a differentiable manifold, is it parallelisable?

these problems concern more than the topology of the manifold, yet they do not belong to differential geometry, which usually assumes additional structure (e.g., a connection or a metric). the most powerful tools in this subject have been derived from the methods of algebraic topology. in particular, the theory of characteristic classes is crucial, where-by one passes from the manifold M to its tangent bundle, and thence to a cohomology class in M which depends on this bundle