неформально говоря, аффинные алгебраические многообразия - это множества решений систем алгебраических уравнений. несмотря на кажущуюся простоту определения, объект это весьма сложный. для его изучения за последние два века в математике сформировалась специальная дисциплина - алгебраическая геометрия
manifolds - non-singular varieties. varieties may have singularities
непустое подмножество I кольца R называется идеалом в R (записывается I ⊲ R), если
1) для любых элементов a, b ∈ I элемент a − b ∈ I
2) для любых a ∈ I, c ∈ R элемент a*c ∈ I
в кольце целых чисел ℤ множество nℤ целых чисел, которые делятся на фиксированное целое число n, составляет идеал. при n=2 имеем идеал четных чисел, при n=1 - все кольцо ℤ, а при n=0 - один элемент 0
в кольце ℤ всякий идеал имеет вид nℤ, n = 0,1,2,...
идеал I кольца R называется главным, если существует такой элемент a ∈ I, что I = (a). элемент a называется порождающим (или образующим) для идеала I. Например, идеал nℤ ⊲ ℤ - главный и nℤ = (n) = (−n)
в кольце многочленов от двух неизвестных K[x,y] множество многочленов, свободный член которых равен нулю, образует идеал I₀ , и этот идеал не является главным
кольцо R называется кольцом главных идеалов, если каждый идеал в R является главным. кольцо ℤ является кольцом главных идеалов, а кольцо K[x,y] - нет
элементы a1,...,ak составляют базис идеала I = (a1,a2,...,ak). говорят, что идеал I ⊲ R допускает конечный базис, если в нем найдутся такие элементы a1,a2,...,ak, что I = (a1,a2,...,ak)
NB: в определении базиса идеала (в отличие от определения базиса векторного пространства) нет требования минимальности на число элементов базиса. например, добавляя к базису произвольный элемент идеала, мы вновь получаем базис того же идеала
кольцо полиномов K[x] есть кольцо главных идеалов для любого поля K. кольцо ℤ[x] не является кольцом главных идеалов. кольца многочленов от многих переменных не являются кольцами главных идеалов
Th: каждый идеал I ⊲ K[x1,...,xn] допускает конечный базис, т.е. найдутся такие
f1 (x1,...,xn), ..., fk(x1,...,xn) ∈ I, что
I = { f1 * r1 + ... + fk * rk ; r1, ..., rk ∈ K[x1, ..., xn] }
вернемся к идеалам в кольцах многочленов. как выяснить, принадлежит ли многочлен h(x) главному идеалу (f(x))? да очень просто, нужно делить многочлен h(x) на f(x) «в столбик», и если разделится без остатка, то h(x) ∈ (f(x)), иначе h(x) ∉ (f(x)). аналогичная задача часто возникает и для многочленов от нескольких переменных, но здесь ее решение существенно сложнее
Def: аффинное алгебраическое многообразие - это пространство нулей многочленов алгебраически замкнутого поля с топологией Зариского
рассмотрим примеры для двумерного случая - для аффинной плоскости 𝔸²
F (x , y) = 0
например:
x² + y² - 1 = 0 , x, y ∈ ℝ :
все окрестности ведут себя как отрезок прямой
например:
x² - y² = 0 , x, y ∈ ℝ :
есть особая точка (0,0) которую нельзя аппроксимировать прямой
например для кривой заданной:
x² - y³ = 0 , x, y ∈ ℝ :
локально все участки ведут себя как прямые, но не окрестности точки (0,0). существует отображение
φ : t → (t² , t³) ,
0 → (0 , 0 )
и обратное отображение
φ⁻: (x , y) → y/x
из 𝔸¹ в 𝔸² и обратно из 𝔸² в 𝔸¹, которое демонстрируют изоморфность указанной функции и обычной прямой в топологическом смысле, но не в алгебраическом
например для двух функции из ℝ², которые явно не изоморфны в поле вещественных чисел
x² + y² - 1 = 0 ,
x² + y² + 1 = 0
x, y ∈ ℝ
существует преобразование в ℂ¹:
φ: (x, y) → (i * x, i * y) = z ∈ ℂ
которое демонстрирует изоморфизм этих двух функций в ℂ
например для функции из ℂ²,
x² + y² - 1 = 0
существуют прямое и обратное преобразования в/из ℂ¹:
φ: (x, y) → (x + i * y) = z ∈ ℂ
φ⁻: (z + 1 / z) / 2 → x
φ⁻: - i * (z - 1 / z) / 2 → y
(обратная функция называется функцией Жуковского). при этом преобразовании функция x² + y² - 1 = 0отождествится с аффиной прямой в ℂ¹ с выколотым нулем. точно таким же преобразованием можно отождествить с аффиной комплексной прямой с выколотым нулем и функцию
x² + y² + 1 = 0
и функцию
x * y - 1 = 0
которые над полем вещественных чисел явно не тождественны друг другу (первая вообще не имеет корней, а вторая имеет выколотую точку (0,0) в вещественной плоскости)
если алгебраические кривые двух многочленов f и g совпадают, то эти многочлены разложимы и имеют все общие множители (с точностью до степеней и коэффициентов)
n
f = Π αi * hit
i
n
g = Π βi * his
i
например, такие два многочлена будут иметь идентичные алгебраические кривые на 𝔸¹
f = 2 * (x - a) * (x - b)³
g = 3 * (x - a)² * (x - b)
состоящие всего из двух точек : а и b
в топологии Зариского
в топологии Зариского окресностью любой точки (которая всегда является закрытым множеством), является все аффинное пространство с выколотыми другими точками (которые входят в другие замкнутые множества). т.о. два открытых множества разных закрытых - всегда пересекаются. в частности пересечением двух закрытых множеств, каждое из которых состоит из одной точки, является все аффиное пространство без этих двух точек
два примера колец - кольца функций (одной или нескольких переменных) и кольца линейных преобразований пространств в себя (эндоморфизмов). первое из них - коммутативное, а второе - нет
еще двумя примерами колец являются кольца многочленов (одной или нескольких переменных) над каким-либо числовым кольцом и кольца рядов (одной переменной) над числовым кольцом. кольцо многочленов от одной переменной является подкольцом кольца рядов от этой переменной
кольцо многочленов от одной переменной x над полем K обозначается как K[x]. кольцо многочленов является алгеброй над полем K
многочлены от одной переменной не являются полем, поскольку элемент x - необратим
ряды от одной переменной тоже не являются полем
еще одним примером кольца является кольцо вычетов по модулю n
ℤ/nℤ = { 0, 1, 2, ..., n-1 }
еще одним примером кольца является кольцо рациональных функций от одной переменной x
Def: рациональная функция есть отношение двух многочленов от x, причем многочлен в знаменателе не обращается в 0. кольцо рациональных функций над полем K от переменной x обозначается K(x). такое кольцо является полем с характеристикой равной характеристике поля K
гомоморфизм φ кольца R в кольцо S это
φ : (a +R b) → φ a +S φ b
φ : (a * b) → φ a *S φ b
φ 0R → 0S
φ 1R → 1S
ψ ⊙ φ = Id R
φ ⊙ ψ = Id S
гомоморфизма ℝ → ℝ (кроме тождественного) - нет
гомоморфизм колец R → S (каждое из которых - над полем K) является алгеброй тогда и только тогда когда
R → S
↑ ⭧
K
ядро какого-либо гомоморфизма колец - всегда будет идеалом. обратное тоже верно - любой идеал кольца будет ядром какого-либо гомоморфизма
категория аффиных многообразий эквивалента противоположной категрии соответствующих им конечных алгебр
Morph (X, Y) ≍ Homo (Ỏ(Y), Ỏ(X))
проективное пространство - это самое главное многообразие в проективной геометрии. к аффиному пространству можно добавить точку на бесконечности (причем - разными способами), а к проективному пространству уже ничего нельзя добавить - оно уже полное
однородный многочлен - это такой многочлен, который если равен нулю в какой-то точке прямой, проходящей через начало координат, то он равен нулю на всех точках этой прямой
𝔸³ \ 0 = { (a1 , a2 , a3) }
где a1,a2,a3 не равны нулю одновременно
можно ввести на 𝔸³ отношение эквивалентности:
{ (a1 , a2 , a3) } ~ { (λ * a1 , λ * a2 , λ * a3) }
тогда
𝔸³ \ 0 / ~ = ℙ²
и, аналогичным образом, :
ℙ² = 𝔸² U ℙ¹
ℙ¹ = 𝔸¹ U ∞
1) через любые две точки проходит ровно одна прямая
2) любые две прямые пересекаются ровно в одной точке (иногда - на бесконечности)
f(x,y) = 0 Cf ⊂ 𝔸² g(x,y,z) = 0 Cg ⊂ ℙ² Cg ∩ 𝔸² = Cf
уравение эллиптической кривой в форме Вейерштрассе:
y² * z = a * x³ + b * x * z² + c * z³
и в этом случае эллиптическая кривая неособа тогда и только тогда когда
4 * a³ + 27 * b² ≠ 0
каждая прямая в пространстве определяется всего лишь одним своим любым ненулевым вектором
однородный многочлен - в каждом слагаемом сумма степеней переменных одинакова
идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно операции умножения
если p - простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал будет простым
поле - кольцо только с тривиальными идеалами (единичный элемент и все поле)
максимальным идеалом называется всякий идеал, не содержащийся ни в каком другом идеале
если элемент x кольца необратим, тогда все элементы кольца, кратные ему, образуют собственный идеал
каждый необратимый элемент кольца содержится в некотором максимальном идеале
если элемент кольца обратим, тогда всякий идеал, который его содержит, совпадает со всем кольцом
если все необратимые элементы кольца образуют идеал, он является максимальным, и притом - единственным
если в кольце максимальный идеал единствен, он включает в себя все необратимые элементы кольца (которое в этом случае называется локальным кольцом) т.е. коммутативное кольцо называется локальным, если оно имеет единственный максимальный идеал
всякий максимальный идеал является простым
кольцо называется Нетеровым, если каждый идеал в нем конечнопорожден
в топологии все Нётеровы вещи - конечны
целостное кольцо (domain) - коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов которого не равно 0)
идеал I кольца R максимален, тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R/I является полем
фактор по идеалу является областью целостности
радикал идеала I кольца R, обозначаемый как √I есть { x ∈ R | ∃ n ∈ ℕ : xⁿ ∈ I }
идеал называется радикальным, если он совпадает со своим радикалом
кольцо называется приведенным (reduced), если для любого x из кольца выполняется
if xⁿ = 0 then x = 0 , n ∈ ℕ
т.е. приведенное кольцо - это кольцо без нильпотентов
идеал радикален только тогда когда фактор по нему - приведен
такие абстрактные теоремы, как теорема Гильберта о базисе или теорема Гильберта о нулях, имеют простую и весьма полезную интерпретацию в теории систем алгебраических уравнений. в случае теоремы Гильберта о нулях существенно, чтобы система рассматривалась не над вещественными, а над комплексными числами
между нелинейными системами над R и над C имеются принципиальные различия. это связано с тем, что поле C алгебраически замкнуто. Поле K называется алгебраически замкнутым, если всякий неконстатный многочлен с коэффициентами из поля K имеет корень в поле K. В противном случае говорят, что поле алгебраически незамкнуто
Th: однородный идеал порождается конечным количеством элементов
Th: в замкнутом алгебраическом поле K ∃ (c1,...,cn) из Kⁿ, такие что максимальный идеал 𝓜 кольца многочленов над полем K порождается многочленом [x1-c1,...,xn-cn] и, тем самым,
V(𝓜) = {c1,...,cn} ≠ ∅
аффиное множество этого идеала - непусто
или - другая формулировка - аффинное множество собственного идеала из кольца многочленов над замкнутым алгебраическим полем непусто:
I ◂ K[x1, ..., xn] => V(I) ≠ ∅
Th: пусть
f(V(I)) = 0 => f ∈ √I
или
I(V(I)) = √I
N = ( n+d
d ) - 1
ℙⁿ → ℙ^N
[x0,...,xn] → все мономы степени d от x0,...,xn в каком-то порядке
например: n = 1 , d = 2
v : ℙ¹ → ℙ³
[x0 , x1] → [x0² , x0*x1 , x1²] = [z0, z1, z2]
Img (v) = V (z0 * z2 = z1²)
справа - обращение в ноль миноров матрицы ( z0 z1
z1 z2 )
например: n = 1, d = 3
v : ℙ¹ → ℙ³
[x0 , x1] → [ x0³ , x0² * x1 , x0 * x1² , x1³ ]
Img (v) = V ( z0 * z3 - z1 * z2 , z1² - z0 * z2 , z2² - z1 * z3 )
справа - обращение в ноль миноров матрицы ( z0 z1 z2
z1 z2 z3 )
если послать x0 в 1, то получим уравнение для twisted cubic: t → t, t², t³
например: n = 2 , d = 2
v : ℙ¹ → ℙ⁵
[x0, x1] → [ x0² , x0 * x1 , x0 * x2 , x1² , x1 * x2 , x2² ]
rnk ( z00 z01 z02
z01 z11 z12
z02 z12 z22 ) = 1
Img (v) = V ( z00 * z11 - z01² , z00 * z22 - z02² , z11 * z22 - z12²
, z00 * z12 - z01 * z02 , z11 * z02 - z01 * z12 , z22 * z01 - z02 * z12
)
,
и снова справа - обращение в ноль миноров матрицы
в общем же случае :
ker = < zi * zj + zh * zl | i + j = h + l >
i = (i0,...,in)
j = (j0,...,jn)
h = (h0,...,jn)
l = (l0,...,ln)
пусть M(m,n,K) - матрица координат z, m < n
J,L ⊂ { 1, ..., n } , |J| = m-1 , |L| = m+1
тогда уравнение Плюкера выглядит так:
Σ (-1)^t * Z _J_U_i * Z _L_\_i = 0
i=L\J
где t - количество инверсий при переносе индекса i из конца на подобающее местонапример:
M(2,4,K)
J = {1} , L = {2,3,4}
i = {2,3,4}
z12 * z34 - z13 * z24 + z14 * z23 = 0
ℙ^n x ℙ^m → ℙ^(m*n + n + m)
[x1,...,xn] x [y1,...,ym] → [xi * yj] , i=0,..,n j=0,..,m
это тензорное произведение однородных пространств
проективные пространства являются частным случаем грассманиана: ℙⁿ⁻¹ = Gr (1, n)
флаг в Kⁿ - это последовательность вложенных подпространств
0 < U1 < U2 < ... < Us < V
размерности этих подпространств U называются "типом флага"
флаг называется "полным" если в нем все размерности идут без пропусков - от 1 до (dim V) - 1
GLₙ(K) - группа матриц размерности nxn над полем K
Bₙ(K) - группа Бореля (верхнетреугольных матриц)
GLₙ / B - полное многообразие флагов
P - матрица из стандартной параболической подгруппы GLₙ(K) соответствующей размерности
P имеет вид:
( * x
0 * )
где на диагонали стоят матрицы Бореля размерностей m1 ... mt : m1 + ... + mt = n, а размерность нулевых блоков составляет от 1 до m
Gr (m, n) = GLₙ(K) / Pₘ
ℙⁿ⁻¹ = Gr (1, n) = GLₙ(K) / P₁
GLₙ(K) / P - многообразие флагов (может быть - неполное, если P ≠ B)
Th: две взаимно простые неприводимые кривые - f степени m и g степени n - пересекаются в m*n точках (может быть - кратных)
уравнение элиптической кривой в форме Вейерштрассе:
y³ + a * y² + b * y = x³ + c * x² + d * x + n
и если поле не характеристики 2 или 3, то делая подстановки переменных (при которых происходит деление на 2 и на 3) можно получить:
y² = x³ + h * x + m
цель - ввести понятие базиса Грёбнера идеала и показать, насколько сильные алгоритмические методы это понятие предоставляет для решения общих систем алгебраических уравнений. базис Грёбнера идеала стал играть важную роль во многих исследованиях по абстрактной алгебре, компьютерной алгебре, алгебраической геометрии, теории выпуклых многогранников, дискретной геометрии и других областях математики
задача о решении произвольной системы алгебраических уравнений вряд ли может быть решена в общей постановке. исторически алгебра формировалась как наука о решении таких систем (заметим, что одно алгебраическое уравнение можно рассматривать как частный случай системы уравнений). было накоплено огромное количество результатов, в том числе и негативного характера. наиболее яркий из таких результатов - это теорема Абеля о неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения степени больше 4
простейший пример САУ - это система линейных уравнений. система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. система называется определенной, если она имеет ровно одно решение
Теорема Кронекера—Капелли. система совместна тогда и только тогда, когда ранг rk 𝔸 матрицы коэффициентов равен рангу rk 𝔸 расширенной матрицы
если система над бесконечным полем (ℚ,ℝ,ℂ,...) имеет более одного решения, то она имеет бесконечно много решений (есть свободная неизвестная). в частности, множество из двух точек в ℝⁿ не может быть задано системой линейных уравнений
помимо метода Гаусса, есть и другие методы решения системы. например, метод Крамера использует определители (и этот метод не универсален - он применим только к квадратным определенным системам)
геометрически множество решений системы линейных уравнений над ℝ есть некоторое подмножество пространства ℝⁿ. эти множества описывает следующая теорема:
Th:
1) множество решений системы либо пусто, либо есть линейное многообразие M, т.е. результат параллельного переноса подпространства U ⊆ ℝⁿ на некоторый вектор a ∈ ℝⁿ
2) обратно, всякое линейное многообразие может быть задано системой линейных уравнений
в ℝ³ есть четыре типа подпространств:
1) начало координат
2) прямая, проходящая через 0
3) плоскость, проходящая через 0
4) все пространство ℝ³
поэтому в качестве множества решений системы линейных уравнений от трех неизвестных может выступать пустое множество, произвольная точка, произвольная прямая, произвольная плоскость или все пространство ℝ³
пусть K[x1, ..., xn] - множество всех многочленов от переменных x1, ... , xn с коэффициентами в поле K (или, как говорят, над полем K). на этом множестве определены операции сложения и умножения. множества с такими операциями в алгебре называют кольцами. для многочленов от одной неизвестной будем обозначать через deg f(x) степень многочлена f(x)
Th:
о делении с остатком для многочленов от одной переменной.
для любых многочленов f(x), g(x) ∈ K[x], g(x) ≠ 0, существуют и единственны многочлены q(x), r(x) ∈ K[x] такие, что
f(x) = g(x) * q(x) + r(x) и
deg r(x) < deg g(x)
многочлен q(x) называется неполным частным, а многочлен r(x) - остатком при делении f(x) на g(x)
Th: число α ∈ K является корнем многочлена f(x) ∈ ∈ K[x] тогда и только тогда, когда f(x) делится на (x−α) без остатка
многочлен p(x1 , ..., xn) называется неприводимым , если он отличен от константы и равенство p=p1*p2 влечет за собой равенство константе одного из многочленов p1 или p2. два многочлена называются ассоциированными , если они отличаются ненулевым числовым множителем. Неприводимые многочлены являются аналогом простых чисел
для многочленов также имеет место теорема об однозначном разложении на простые множители:
Теорема
о факториальности кольца многочленов
каждый многочлен из кольца K[x1,...,xn], отличный от константы, разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение единственно с точностью до порядка множителей и ассоциированности