многообразие (manifold) - хаусдорфово топологическое пространство с конечным базисом, каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной эвклидову пространству ℝⁿ

многообразия

• эйлерова характеристика

поверхности

S⁰ - это две точки
S¹ - это окружность
S² - это сфера

тор - это поверхность без мяса :

    Tor = S¹ ⨯ S¹   

диски

D⁰ - это точка
D¹ - это отрезок
D² - это круг
D³ - это шар

соленоид - это тор с мясом :

     Sol = S¹ ⨯ D² 

поверхность Sⁿ⁻¹ - это граница для диска Dⁿ

теорема Адамса

единственными структурами на сферах являются:
S⁰ - ℤ/2ℤ
S¹ - 𝕋¹
S³ - ℍ
S⁷ - 𝕆

других - нет

проективные пространства

окружность S¹ c выколотой точкой изоморфна ℝ
если отождествить эту выколотую точку с ∞ - получаем ℝℙ
фундаментальная группа - ℤ = < s | ∅ >

сфера S² с выколотой точкой (отождествляемой с ∞) изоморфна ℝ² - получаем ℝℙ²
фундаментальная группа - ℤ/2ℤ = < s | s² = 1 >

внутренность сферы S³ изоморфна ℝ³, и если стянуть поверхность сферы в точку (считаемую далее за ∞), то получится ℝℙ³
фундаментальная группа - ℤ/2ℤ

ℝℙ - это окружность, у которой отождествлены противоположные точки

ℝℙ² - это сфера, у которой отождествлены противоположные точки

ℝℙ³ - это шар, у которого отождествлены противоположные точки границы

   ℝℙ⁰   →    ℝℙ¹    →    ℝℙ²     →    ℝℙ³   →   ... 
      диаметр       ДБК        глобус       ...
   

диаграммы проективных пространств

диаграммы проективных пространств ℝℙ² и ℝℙ² ⨯ ℝℙ²

теперь просто склеиваем по отрезкам с учетом направлений

многообразия

Def: множество M⊂ℝⁿ называют гладким элементарным многообразием размерности k≲n, если существуют область U⊂ℝ^k и отображение Ф : U → ℝⁿ класса Cⁱ такие, что M=Ф(U) и
существует обратное отображение Ф⁻, которое непрерывно
ранг матрицы Якоби ∂Ф/∂u максимальный, т.е. равен k

отображение Ф называют параметризацией, а переменные u=(u₁,...,u_k) - локальными координатами. гладкость отображения Ф нужна для того, чтобы существовал касательный вектор в каждой точке многообразия, т.е. чтобы можно было дифференцировать все компоненты функции Ф. требование максимальности ранга матрицы Якоби гарантирует гладкость многообразия. обратимость Ф гарантирует отсутствие самопересечений

локально многообразие всегда представляет собой график некоторой функции

окружность на ℝ² элементарным многообразием не является. в самом деле, если представить ее как образ некоторого интервала числовой прямой ℝ, то либо утратится взаимная однозначность, либо какие-то точки окружности не войдут в образ интервала. аналогично сферу в ℝ³ нельзя представить как образ области в ℝ², охватив все точки сферы. замкнутый шар в пространстве не является элементарным многообразием - на этот раз будут проблемы с граничными точками

открытое множество в n-мерном многообразии - всегда n-мерное многообразие. точка не является открытым множеством в ℝ¹. прямая не является открытым множеством в ℝ². плоскость не является открытым множеством в ℝ³ (в аналитической топологии - топологии Хаусдорффа)

многообразия с краем

многообразие с краем M, это n-мерная поверхность с границей, внутренние точки которой (точки из ΔM) имеют окрестности, эквивалентые Эвклидову пространству, а точки на границе (точки из ∂M) имеют окрестности, эквивалентые Эвклидовым полупространствам (причем все точки лежат на границе этого Эвклидова полупространства). т.е. это подпространство допускающее такое разбиение на две части

   M = (ΔM , ∂M) 

примерами таких многообразий служат - отрезок [0 ,1], полуоткрытый отрезок [0, 1) и лист Мёбиуса

любое многобразие можно превратить в многообразие с краем просто вырезав из него диск соответствующей размерности - линия разреза как раз и будет краем

в двумерном случае все края будут изоморфны окружности. например цилиндр - это сфера с двумя вырезанными дисками

S² x [0, 1] - это шар с полостью. такое многообразие будет многообарзием с краем и краями будут служить границы обоих сфер. а вот S²⨯S¹ - это шар с полостью, у которого каждая точка сферы полости отождествлена с одной и только одной точкой наружной границы шара (для простоты можно положить, что прямо противоположной, хотя это не обязательно). и такое многообразие не является многообразием с краем - оно является просто многообразием

Th о крае многообразия: если M - гладкое k-мерное многообразие с краем, то его край ∂M является гладким (k-1)-мерным многообразием без края

замкнутый шар в ℝ³ - это трехмерное многообразие с краем, у которого край - это сфера, представляющая собой двумерное многообразие без края

два близких понятия: граница и край. как они связаны между собой? что будут представлять собой граница и край для кривой, поверхности и области в ℝ³?
для кривой с концами в ℝ³ край - это ее концы, а границей будет вся кривая
для поверхности с краем в ℝ³, например, для полусферы, краем будет окаймляющая ее окружность, а границей - вся поверхность
для замкнутого шара B(0,1)⊂ℝ³ его краем будет сфера и границей - та же сфера
тем самым все зависит от размерности многообразия: если оно полной размерности, то край совпадет с границей, а если меньшей, то это разные множества

эйлерова характеристика

топологическим примером присущего свойства многообразия является его Эйлерова характеристика. Эйлер обратил внимание на то, что для выпуклого многоугольника в трехмерном Эвклидовом пространстве с V вершинами (углами), E ребрами и F гранями выполняется соотношение:

      V - E + F = 2

та же самая формула будет верна, если спроектировать вершины и грани многоугольника на двумерную сферу. при таком отображении оказывается, что это соотношение верно, даже если прообразом отображения будет являться и вогнутый многоугольник. таким образом 2 является инвариантом для сферы и называется Эйлеровой характеристикой

в общем случае Эйлерова характеристика χ может не быть равна 2. для тора она равна 0, а для остальных замкнутых неориентируемых поверхностей χ < 0

с характеристикой Эйлера связана характеристика кривизны правильных многоугольников, а именно: сумма углов (выраженная в радиантах, когда угол в 2π радиан равен 1 радианту) любого правильного многогранника равна его характеристике Эйлера, а именно - равна 2. положим характеристикой кривизны одной вершины правильного многоуголника величину 1 - Σ (углов в одной вершине). тогда кривизна для одной вершниы правильного куба равна 1/4 (1 - 3/4), а сумма для восьми вершин равна Эйлеровой характеристике правильного куба. кривизна для одной вершины правильного тетраэдра равна 1/2 (1 - 3/6), а сумма для шести вершин равна Эйлеровой характеристике правильного тетраэдра

конфигурационные пространства

для вращающегося постоянного по длинне рычага с одной степенью свободы - S¹

для вращающегося постоянного по длинне рычага с двумя степенями свободы - S²

для двух сопряженных вращающихся неизменных по длине рычагов с одной степенью свободы для каждого - Tor

вообще говоря, любое вещественное многообразие представляет собой конфигурационное пространство какого-либо многочленного рычага с звеньями фиксированных длин, поэтому любую конфигурацию можно определить с помощью точек на ℝ

для n-мерной конфигурации и для крашеной косы (pure braides) : Cⁿ(X)

для n-мерной конфигурации и для обычной косы (braides) : UCⁿ(X) = Cⁿ(X) / Sₙ , где Sₙ - группа перестановок

матричные пространства

GLₙ(ℝ) - открытое множество

репер - квадратная матрица линейно-независимого набора векторов, размерности равной размерности пространства

гомотопия

     H(t) Mₙ(ℝ) = M / (det M)t/n 

SOₙ(ℝ) - это ортонормированные реперы. SO₂(ℝ) = ℝℙ¹ = S¹, SO₃(ℝ) = ℝℙ² = S²

Eₙ(ℝ) = ℝⁿ ⨯ SOₙ(ℝ) это группа Евклида или группа изометрий

Affₙ(ℝ) = ℝⁿ ⨯ GLₙ(ℝ) это аффинная группа

ATₙ(ℝ) = ℝⁿ ⨯ Mₙ(ℝ) это группа аффиных трансформаций. она вкладывается в Homo (ℝⁿ,ℝⁿ) :

     ATₙ : ℝⁿ → ℝⁿ 
      X → M * X + V 

Th Перельмана

пусть M - компактное 3-мерное односвязное многообразие. тогда M изоморфно S³

Th Уитни о вложениях

любое многообразие размерности n можно вложить в пространство ℝ²ⁿ⁺¹. и эта оценка - точная. если же M - гладкое многообразие, то оно вкладывается в ℝ²ⁿ

теорема о ежике

нельзя причесать ежика

не существует непрерывного касательного векторного поля на сфере, которое нигде не обращается в ноль. другими словами, на сфере невозможно выбрать касательное направление в каждой точке, которое определено во всех точках сферы и непрерывно зависит от точки. неформально говоря, невозможно причесать свернувшегося идеальным клубком ежа так, чтобы у него не торчала (строго вертикально к поверхности клубка) ни одна иголка

следствие: любое непрерывное отображение сферы на себя либо имеет неподвижную точку, либо отображает некоторую точку на её диаметрально противоположную

"в каждый момент времени на Земле должен быть циклон". интересное метеорологическое приложение этой теоремы получается, если рассмотреть ветер как непрерывное векторное поле на поверхности планеты. рассмотрим идеализированный случай, в котором нормальная к поверхности составляющая поля пренебрежимо мала. теорема о причёсывании ежа утверждает, что на поверхности планеты всегда будет точка, в которой не будет ветра (нуль касательного векторного поля). такая точка будет центром циклона или антициклона: ветер будет закручиваться вокруг этой точки (он не может быть направлен к этой точке или из неё). т.о., по теореме о причёсывании ежа, если хоть где-то на Земле дует хоть какой-то ветер, то где-то обязательно должен быть циклон или антициклон

ежика все-таки можно причесать, если у него эйлерова характеристика равна нулю. эйлерова характеристика двумерного тора равна 0, поэтому его "можно причесать"

теорема Борсука и лемма о барабане

Def: подпространство A топологического пространства X называется его ретрактором, если существует такое непрерывное отображение r:X→A (называемое ретракцией), что r(a)=a, ∀ а ∈ A

Sⁿ не является ретрактом Dⁿ⁺¹

в двумерном случае - "можно натянуть пленку на окружность - т.е. сделать барабан" - окружность не является ретрактором диска

доказательство_1 (функториальное):

предположим что:

            retract
               →
    Dⁿ⁺¹            Sⁿ            
               ←
            include 

  πₙ(Dⁿ⁺¹)  ≆    πₙ(Sⁿ)

     =            ⩰

     0            ℤ 

доказательство_2 (геометрическое):

F - ретракция Dⁿ⁺¹ на Sⁿ

очевидно, что при этом невозможно иметь на диске неподвижную точку, что противоречит Брауэру. QED

теоремы Брауэра и Борсука тождественны тому, что гомотопически Sⁿ нельзя стянуть в точку
Proof:
X изоморфно точке если X является ретрактом своего конуса, но конус Sⁿ есть Dⁿ⁺¹. QED

теорема Брауэра о неподвижной точке

это следствие из теоремы Борсука: Th: все n-мерные шары Dⁿ имеют неподвижную точку

теорема Борсука-Улама

классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что

Th: всякая непрерывная функция, отображающая n-мерную сферу в n-мерное эвклидово пространство, для некоторой пары диаметрально противоположных точек сферы имеет общее значение

утверждение встречается у Люстерника и Шнирельмана в работе 1930 года ; доказательство опубликовано в 1933 году Борсуком, который сослался на Улама как на автора формулировки

эквивалентное утверждение - Теорема об общем нуле: всякая нечётная (относительно диаметральной противоположности) непрерывная функция g:Sⁿ→Rⁿ из n-мерной сферы в n-мерное эвклидово пространство в одной из точек a∈Sⁿ обращается в нуль: g(a)=0

эквивалентность устанавливается введением для непрерывной функции f:Sⁿ→Rⁿ нечётной функции g(x)=f(x)-f(-x)

в одномерном случае теорема об общем нуле непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении

общее доказательство использует изоморфизм Гуревича (алгебраико-топологический вариант), либо выводится из леммы Такера (комбинаторный вариант ; лемма Такера при этом считается комбинаторным аналогом теоремы Борсука-Улама)

в 1954 году Фет обобщил результат: утверждение теоремы имеет место не только для соотношения антиподов, но и для произвольной инволюции n-мерной сферы, т.е., для всякой инволюции ∗:Sⁿ→Sⁿ и любой непрерывной функции f:Sⁿ→Rⁿ найдётся такая точка a∈Sⁿ что f(a)=f(a^∗)

на стр.48 книги Хатчера по алгебраической топологии после формулировки теоремы в размерности 2:

Столь ли очевидно, например, что в любой момент времени должна найтись пара диаметрально противоположных точек на поверхности Земли, в которых одинаковы температуры и одинаковы атмосферные давления?

>>> а разве наша планета удовлетворяет топологическим свойствам сферы? и причем здесь температура и атмосферное давление, момент времени? какое отношение они имеют к непрерывным преобразованиям сферы в плоскость?

поверхность Земли с хорошей точностью можно считать сферой, но это не важно. важно то, что внутри Земли можно взять точку ("центр") со следующим свойством: любая прямая, проходящая через этот "центр", пересекает поверхность в двух точках, и при вращении прямой эти точки движутся по поверхности непрерывно. отсюда легко получить гомеоморфизм поверхности Земли на сферу
пару точек поверхности, лежащих на одной прямой с центром, будем называть "диаметрально противоположными"
зафиксируем некоторый момент времени и измерим в этот момент температуру и атмосферное давление. предполагаем, что температура и давление являются непрерывными функциями точки. эту пару чисел будем рассматривать как декартовы координаты точки на плоскости - в результате получим непрерывное отображение поверхности Земли в плоскость
по упомянутой теореме при таком отображении существует пара диаметрально противоположных точек, отображающихся в одну точку плоскости. стало быть, в этих точках одинаковые атмосферное давление и температура

теорема Борсука-Улама верна для непрерывных отображений Sⁿ→Rⁿ во всех размерностях, а "теорема о еже" - лишь для чётномерных сфер

есть аналог этой теоремы для кнопок
Def: кнопка в ℝ³ - это плоский диск некоторого радиуса r>0, из центра которого перпендикулярно плоскости диска торчит отрезок длины r (длина отрезка равна радиусу диска)
оказывается, при любом непрерывном отображении кнопки в плоскость найдутся две точки с одинаковыми образами, расстояние между которыми будет равно r. теорема допускает обобщение на другие размерности