многообразие представляет собой обобщение представлений о поверхностях
в физике многообразия наделяются дополнительными структурами, отвечающими за свойства пространства, времени и материи, при этом физические величины описываются тензорными полями на многообразии
многообразие есть пространство, локально подобное Эвклидову пространству в том смысле, что оно может быть покрыто кусками координатных сетей (пересекающихся хотя бы на границах со смежными сетями). такая структура позволяет ввести дифференцирование. структурой многообразия определяются такие понятия, которые не зависят от выбора системы координат
дифференцируемое многообразие это тройка (М, {(Bi,fi)}, K) где
основная идея, лежащая в определении гладкого многообразия, проста: оно "склеено" из "лоскутков", каждый из которых "похож" на область Эвклидова пространства конечного числа измерений
соединение непрерывной симметрии с многообразиями приводит к группам Ли. многообразие группы Ли состоит из точек, которые можно интерпретировать как преобразования, а кривые на этом многообразии являются образом последовательных преобразований
часто возникают ситуации, когда физические величины (тензоры) не остаются постоянными в пространстве и/или во времени, но остаются постоянными при смещении вдоль некоторого семейства кривых на многообразии положений. надлежащее обобщение реализуется с помощью производной Ли, определение которой не связано с существованием каких-либо структур на многообразии, кроме гладкости. при этом производная Ли согласована с тензорной алгеброй на многообразии: производная Ли от тензора является тензором того же типа
первый способ определения скаляра на многообразии, как результата отображения M → ℝ
второй способ определения скаляра на многообразии, как отображение координат fi(Bi) → ℝ с условиями непротиворечивости, а именно: на склейке карт отображение с карты Bi посредством функции fi будет таким же, как если бы точку сначала отобразили на карту Bj, а там уже отобразили координаты Bi в скаляр - функцией Fij
дифференциирование тензора по скалярному аргументу не меняет его валентости
вектор на многообразии можно определить двумя способами: через оператор дифференцирования или через координаты
даже в Эвклидовом пространстве вектор можно ассоциировать с упорядоченной парой точек только если ограничиться аффинными преобразованиями координат. нелинейные преобразования (например, переход к цилиндрической системе координат или любой другой криволинейной) нарушает линейность преобразований разности координат, и следовательно обнаруживает ограниченность ее "векторной природы". для построения "настоящих" векторов, которые являются таковыми независимо от выбора системы координат, с каждым векторным полем в Эвклидовом пространстве можно ассоциировать линейный оператор "дифференцирования вдоль поля": соответствие между векторными полями и линейными дифференциальными операторами является взаимно-однозначным
сопряженным к пространству векторов V называют пространство V*линейных вектор-функций, называемых ковекторами
тензор второго ранга - это такая машинка, в которую мы вставляем ковектора и вектора и прокрутив до конца эту мясорубку, получаем на выходе скаляр
дифференциал - это иное представление полного набора частных производных. дифференциал каждой координаты - это базисный ковектор - элемент поверхности
свертка - это действие ковектора на вектор. если мы некий обьект свернули с произвольным набором векторов и ковекторов и получили тензор, значит исходный обьект тоже был тензором (в частности - если после такой операции у нас получился скаляр. как пример такой операции свертки - символ Кронекера с двумя индексами)
все тензорные поля являются функцией от точки на многообразии. тензорные поля на многообразии это совокупность тензоров во всех точках многообразия
для любой пары гладких векторных полей X и Y можно определить их скобку Ли:
[X , Y] = X . Y - Y . X и чтобы получить координатное представление скобки Ли, правую часть этого определения нужно применить к произвольной гладкой функции f
не любой тензор представляется как произведение векторов и ковекторов, зато любой тензор представляется как линейная комбинация таких произведений
тензорное умножение дифформы (ковекторы, поверхность многообразия) на поливектор (векторы, дифференциал по направлению) дает скаляр соотвествующий изменению в направлении поливекторов
дифференциальная форма - это функция, значениями которой в точке являются набор компонент тензора. линейные функционалы на пространстве дифференциальных форм являются аналогами обобщенных функций
и если вектором задается касательная к кривой, а поливектором - касательная к поверхности, то дифференциальной формой задается поверхность
простейший пример дифференциальной формы - это дифференциальная форма на прямой ℝ: dx - это 1-форма, далее - на Эвклидовой плоскости ℝ²: dx и dy - это 1-формы. примером дифференциальной 1-формы будет градиент в трехмерном Эвклидовом пространстве ℝ³:
∇ = (dx, dy, dz)
так, для трехмерного случая, по определению - для любого вектора v, касающегося плоскости xy,
однажды Эли Картан перебрал абсента и тут ему пришла в голову странная мысль:
"Что если я представлю формулу замены переменных без этого удручающего якобиана?"
для начала Картан, как водится среди математиков, выразил интегрируемое и область с помощью новой координатной функции:
затем он формально выразил дифференциалы через новые дифференциалы:
и теперь он смог извлечь якобиан - обрабатывая дифференциалы весьма странным способом:
точно так же, как столбцы матрицы Якоби при вычислении детерминанта
таким образом он смог избавиться от якобиана det[J] и внести информацию в дифференциалы :
det [J] . d(x₁) ∧ ... ∧ d(xₙ)
= det [J] . det [x₁, .., xₙ]
= det [J.X]
= det [X']
= det [x'₁, ..., x'ₙ]
= d(x'₁) ∧ .. ∧ d(x'ₙ)
⇨ ∫ f(X') . (dx'₁ ∧ .. ∧ dx'ₙ) = ∫ f((ϕ(X)) . Det[J_ϕ] . (dx₁ ∧ ... ∧ dxₙ)
как истинный француз, мсье Картан быстренько аксиомизировал и обобщил это свое мощное изобретение, заставив тем самым будущие поколения школяров ломать мозги в попытке понять что за чертовщина тут происходит
U ⊂ ℝⁿ , f : U → ℝ
Åk(U) это модуль над кольцом гладких функций от n переменных
∧ : Åk(U) ⨯ Ål(U) → Åk+l(U)
d : Åk(U) → Åk+1(U) , k = 0,1,2,3,...
f ∈ Å⁰(U)
d f = Σ ∂f/∂xi dxi ∈ Ź(U)
например: f ∈ Å⁰(ℝ³)
f(x,y,z) = exp(x).sin(y.z)
d f = [exp(x).sin(y.z)] dx + [z.exp(x).cos(y.z)] dy + [y.exp(x).cos(y.z)] dz
d (d f) = 0
d f ∈ Ź(U)
например: w ∈ Ź(ℝ³)
w = y dx + z dy + x dz
dy = ∂y/∂x dx + ∂y/∂y dy + ∂y/∂z dz = 0 + dy + 0
dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy + ∂z/∂z dz = 0 + 0 + dz
dx = ∂x/∂x dx + ∂x/∂y dy + ∂x/∂z dz = dx + 0 + 0
d w = dy ∧ dx + dz ∧ dy + dx ∧ dz
d (d w) = 0 + 0 + 0 = 0
d w ∈ Ų(ℝ³)
например: t ∈ Ź(ℝ³)
t = (x + y²) dx + (y.z + x) dy + (z³ + 3.x.y) dz
d t = ( 1 dx + 2.y dy + 0 dz) ∧ dx
+ ( 1 dx + z dy + y dz) ∧ dy
+ (3.y dx + 3.x dy + 3.z² dz) ∧ dz
= (1 - 2.y) dx ∧ dy
+ (3.x - y) dy ∧ dz
+ 3.y dx ∧ dz
d (d t) = 3 dx ∧ dy ∧ dz + 3 dy ∧ d x ∧ dz = 0
d t ∈ Ų(ℝ²)
например: φ ∈ Ų(U)
φ = x.exp(z) dy ∧ dz + y.cos(x) dz ∧ dx + (x³ + y³ + z³) dx ∧ dy
d φ = exp(z) dx ∧ dy ∧ dz
+ cos(x) dx ∧ dy ∧ dz
+ 3.z² dx ∧ dy ∧ dz
= [ exp(z) + cos(x) + 3.z² ] dx ∧ dy ∧ dz
d (d φ) = 0
d t ∈ ų(ℝ²)
свойства :
φ, ψ ∈ Åk(U)
d φ ∈ Åk+1(U)
d (φ + ψ) = d φ + d ψ
d (d φ) = 0
φ ∈ Åk(U) ψ ∈ Ål(U)
d (φ ∧ ψ) = d φ ∧ w + (-1)kφ ∧ d ψ
f ∈ Å⁰
d (f φ) = d f ∧ φ + f (d φ)
электро-магнитное поле является примером дифференциальной формы. тензор поля равен:
0 Ex Ey Ez
-Ex 0 -Hz Hy
-Ey Hz 0 -Hx
-Ez -Hy Hx 0
нам нужна базисная дифформа второй градации в пространстве с четырьмя измерениямии. поэтому число компонент - 4!/(2!*2!) = 6
итак, вот компоненты дифформы:
dt Λ dx = 0 1 0 0 dt Λ dy = 0 0 1 0 dt Λ dz = 0 0 0 1
-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
dz Λ dy = 0 0 0 0 dx Λ dz = 0 0 0 0 dy Λ dx = 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
а посчитали мы их вот таким образом :
dt Λ dx = dt Λ dy = dt Λ dz =
dt ⊗ dx - dx ⊗ dt = dt ⊗ dy - dy ⊗ dt = dt ⊗ dz - dz ⊗ dt =
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
dz Λ dy = dx Λ dz = dy Λ dx =
dz ⊗ dy - dy ⊗ dz = dx ⊗ dz - dz ⊗ dx = dy ⊗ dx - dx ⊗ dy =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
тогда дифференциальная форма тензора электро-магнитного поля имеет вид:
F = Ex Λ dt Λ dx + Ey Λ dt Λ dy + Ez Λ dt Λ dz +
Hx Λ dz Λ dy + Hy Λ dx Λ dz + Hz Λ dy Λ dx
все готово для интегрирования по многообразию! бери и пользуйся
конструкция
g : ℝn→ ℝm
g u = x
g* : Åk(ℝm) → Åk(ℝn)
g* f = f ∘ g
g* dxi = d gi = Σ ∂gi/∂uj duj
g* (φ Λ ψ) = (g* φ) Λ (g* ψ)
g* (φ + ψ) = (g* φ) + (g* ψ)
b g(b)
∫ f (g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du
a g(a)
u = g(x)
g : [a, b] → ℝ
w = f(u) du ∈ Ź(ℝ)
pullback g*
g* du = d g = g'(x) dx
g* w = f(g(x)) g'(x) dx
pullbacks могут быть применены к различным обьектам - например к дифференциальным формам
предположим что φ : M → N есть гладкое отображение между гладкими многообразиями M и N; тогда существует связанное с ним линейное отображение из пространства 1-форм на N в пространство 1-форм на M. это линейное отображение называют "pullback by φ", и обозначают как φ*. любое ковариантное тензорное поле - в частности дифференциальные формы - на N могут быть "pulled back" в M с помощью φ
пусть φ : M → N есть гладкое отображение между гладкими многообразиями M и N, и пусть f : N → ℝ есть гладкая функция на N. тогда pullback функции f посредством φ есть гладкая функция (φ*f) на M определяемая как:
(φ*f) x = f (φ x)
если f есть гладкая функция на открытом множестве U из N, тогда та же самая формула определяет гладкую функцию на открытом множестве φ⁻(U) в M
если f : N → A есть гладкое отображение из N в любое многообразие A, тогда
(φ*f) x = f (φ x) есть гладкое отображение из M в A
pullback дифференциальных форм имеет два свойства, которые делают его очень полезным:
φ∗( α ∧ β ) = φ∗α ∧ φ∗β
φ∗( d α ) = d ( φ∗α )
g: (0 , 2π) → ℝ²\0
g t = [sin t , cos t]
ω = (x dy - y dx) / (x² + y²)
ω ∈ Å1(ℝ²\0)∗
g* dx = d (cos t) = (- sin t) dt
g* dy = d (sin t) = ( cos t) dt
g*ω = ((sin t)(sin t) dt - (cos t)(-cos t) dt) / 1 = 1 dt
g : ℝ³ → ℝ²
g(u₁,u₂,u3) = (u₁,u₂)
φ ∈ Ź(ℝ) , φ = dx + y dy
ψ ∈ Ų(ℝ) , ψ = x . y dx Λ dy
g* φ = du₁ + u₂ du₂
g* ψ = u₁ . u₂ du₁ Λ du₂
g : ℝ² → ℝ³
g (u,v) = ( v cos u
, v sin u
, 3 . u
)
s ∈ Ź(ℝ²)
s = z dx + x dy - y dz
g* dx = (v cos u)'u + (v cos u)'v = v (-sin u) du + (cos u) dv
g* dy = (v sin u)'u + (v sin u)'v = v cos u du + sin u dv
g* dz = 3u'u + 3u'v = 3 du + 0 dv
g* s = 3u (cos u dv - v sin u du)
+ (v cos u) (sin u dv + v cos u du)
- (v sin u) (3 du)
= (-3uv sin u + (v cos u)² - 3v sin u) du
+ (3u cos u + v cos u sin u) dv
t ∈ Ų(ℝ²)
g* (z dx Λ dy) = 3.u (g* dx) Λ (g* dy)
= 3.u (cos u dv - v sin u du) Λ (sin u dv + v cos u du)
= 3.u (v cos²u dv Λ du - v sin²u du Λ dv)
= - 3.u.v du Λ dv
dg = [ -v sin u cos u
v cos u sin u
3 0 ]
↑ ↑
du dv
g* dx Λ dy = det [ -v sin u cos u
v cos u sin u ] du Λ dv
g* dy Λ dz = det [ v cos u sin u
3 0 ] du Λ dv
g* dx Λ dz = det [ -v sin u cos u
3 0 ] du Λ dv
g* (di Λ dj) = [ ∂gi/∂u ∂gi/∂v
∂gj/∂u ∂gj/∂v ] du Λ dv
∀ w ∈ ų(ℝ²)
g* w = 0
если отображение φ переносит каждую точку многообразия M на многообразие N тогда pushforward φ отобразит векторы в касательном пространстве для каждой точки в M в векторы в касательном пространстве для образа в N
дифференциал φ в точке x - это наилучшее линейное приближение φ в окрестности точки x. это линейное отображение из касательного пространства точки x в M в касательное пространство образа φ(x) в N
пусть есть два подмножества X и Y пространства размерности n
отображение φ:X→Y называется гомеоморфизмом, если оно биективно и само φ, а также обратное к нему отображение φ⁻ - непрерывны. гомеоморфизмы - это преобразования, которые требуют, чтобы не образовывались "дырки" и "склейки" - непрерывное взаимно однозначное отображение, имеющее обратное отображение
диффеоморфизм - гомеоморфизм являющийся гладким отображением - такой, что обратное отображение тоже является гладким
если отображение φ:M→N есть диффеоморфизм многообразий, тогда pullback и pushforward могут быть использованы для переноса любого тензорного поля из M в N и наоборот
если φ есть диффеоморфизм между открытыми подмножествами ℝⁿ и ℝⁿ (скажем - как замена базиса между разными картами атласа M), тогда pullback и pushforward описывают свойства преобразований ковариантных и контравариантных тензоров: