анализ на многообразиях

- Заглавие этой песни называется «Пуговки для сюртуков»
- Вы хотите сказать - песня так называется? - спросила Алиса, стараясь заинтересоваться песней
- Нет, ты не понимаешь, - ответил нетерпеливо Рыцарь. - Это заглавие так называется. А песня называется «Древний старичок»
- Мне надо было спросить: это у песни такое заглавие? - поправилась Алиса
- Да нет! Заглавие совсем другое. «С горем пополам!» Но это она только так называется!
- А песня эта какая? - спросила Алиса в полной растерянности
- Я как раз собирался тебе об этом сказать. «Сидящий на стене»! Вот какая это песня! Музыка собственного изобретения!

анализ на многообразиях

ещё в 60-е годы Майкл Спивак, автор легендарного пятитомного учебника по дифференциальной геометрии, называл ее No Man's Land, потому что тогда этому не учили ни в одном "стандартном" университетском курсе. теперь устоялся термин "анализ на многообразиях" (calculus on manifolds), и положение изменилось к лучшему. ... про многообразия и карты на них, про различные структуры, "живущие" на многообразиях, про то, как они взаимодействуют друг с другом, и в каком направлении перемещаются под действием отображений. от занудных вычислений бесконечных производных от сложных функций избавляются при помощи бескоординатного подхода: вначале вводится кольцо (алгебра) бесконечно-гладких функций на многообразии, а потом различные структуры определяются через их действие на этом кольце. векторные поля вводятся как дифференцирования этого кольца, дифференциальные формы - как двойственный модуль и т.д.

пространство физических измерений Неструева

Def: дифференциал - это линейная (на самом деле - линейная часть аффинной) аппроксимация данного нелинейного отображения f в данной точке a ∈ ℝⁿ :

    f : ℝⁿ → ℝⁿ
    f x = (f a) + A ⋅ (x − a) + o(|x − a|)

где A - матрица Якоби :

    ( ∂f₁/∂x₁  ∂f₁/∂x₂  ⋯  ∂f₁/∂xₙ
      ∂f₂/∂x₁  ∂f₂/∂x₂  ⋯  ∂f₂/∂xₙ
               ⋯     ⋯    ⋯     ⋯
      ∂fₙ/∂x₁  ∂fₙ/∂x₂  ⋯  ∂fₙ/∂xₙ )

для векторной функции преобразования

    f x = (f₁ x₁, …, fₙ x )
      x = (   x₁, …,    xₙ)

нотация частной производной крайне неоднозначна: смысл выражения

    f_x = ∂f(x,y)/∂x

зависит от того, какая именно переменная выбрана в качестве y

существование дифференцируемых отображений - это неочевидный факт, уникальность которого подмывается тем обстоятельством, что все полиномиальные и рациональные алгебраические отображения - дифференцируемы. это обстоятельство создает иллюзию того, что "почти все" отображения дифференцируемы, что совершенно неверно. практически все динамические процессы вокруг нас (за исключением разве что небесной механики) - недифференцируемые отображения

Def: тангенциальным вектором к области U ⊆ ℝⁿ в точке x ∈ U называется пара (x,v), где v ∈ ℝⁿ есть вектор

обьединение всех тангенциальных векторов к области U в точке x обозначается T_xU. это обьединение изоморфно ℝⁿ

еще более крупное обьединение TU = ⋃_p∈U T_pU называется tangent bundle всей области U

tangent space - это <d/dx₁, d/dx₂, ..., d/dx_n>
cotangent space - это <dx₁,dx₂,...,dx_n> - дуальное пространство

если мы говорим о поддоменах в ℝⁿ, очевидно что TU = U × ℝⁿ, что является открытым подпространством в ℝ²ⁿ (в общем случае это не так)

можно думать о касательном векторе, как о векторе из ℝⁿ приложенном к точке x. два касательных пространства в двух различных точкам многообразия - это disjoint union. поэтому разность p−x из

    f : ℝ^m → ℝⁿ
    f p = (f x) + A ⋅ (p−x) + o(|p−x|)

отождествляется с вектором v ∈ T_xU

в том же духе образ A ⋅ v отождествляется с касательным к T_bV вектором, b = f a. это верно всегда

Def: диффеоморфизм f:U→V, U,V⊂ ℝⁿ это a one-to-one гладкое отображение, инверсия которого f⁻:V→U тоже является гладким отображением

исключения

ℝ является не только полем, но и линейным пространством над самим собой. а вот в общем случае ℝⁿ не имеет такой структуры за исключением следующих :

n = 1 : ℝⁱ ≅ ℝ которое является полем (действительных чисел)
n = 2 : ℝ² ≅ ℂ которое является полем (комплексных чисел)
n = 4 : ℝ⁴ ≅ ℍ которое является телом (гамильтоновых кватернионов)
n = 8 : ℝ⁸ ≅ 𝕆 которое является алгеброй (октавы Келли)

это и определяет отличие функции от отображения в общем случае. линейное отображенме между одномерными пространствами (в координатах) - это (1×1)-матрица с единственным элементом. такая матрица отождествляется с этим единственным (числовым) элементом. это, в свою очередь, позволяет говорить что дифференциал гладкого отображения f : ℝ → ℝ в точке a есть "просто число", называемое "производной в точке" и обозначаемое как f'(a). и это исключительное свойство функции одной переменной: поскольку ℝ = ℝⁱ является полем, то такие функции могут быть не только складываемы, но и умножаемы. для гладкой функции f ее дифференциал Df в точке a ∈ U есть линейное отображение из T_aU ≅ ℝⁿ в T_faℝ и дифференциал есть элемент дуального векторного пространства T_aU* ≅ ℝⁿ*

векторные поля в пространстве ℝⁿ

поля и ОДУ

параметризованная кривая - это отображение

    γ : U → V ⊆ ℝⁿ

где U ⊆ ℝⁱ есть открытое подмножество вещественной прямой

образ γ(U) - это непараметризованная кривая

векторное поле в домене U ⊆ ℝⁿ это гладкое отображение

    X : U → TU

т.ч. (X a) ∈ T_aU для всех a ∈ U. проще говоря - это набор векторов, прикрепленных ко всем точкам из U, которые плавно изменяются от точки к точке (т.е. они дифференцируемы)

имея векторное поле можно рассмотреть :

касательную к вектору v = (X a) в точке a ∈ U
кривую, касательную ко всем векторам v(γ t) в каждый момент времени t
семейство кривых, касательных ко всем векторам во всех точках из U

первая задача проста : достаточно взять кривую (γ t) = a + t.v , a ∈ U , v = (X a) ∈ ℝⁿ

вторая задача требует решения системы однородных диффуров с заданными начальными условиями

дифференциальные формы

the space of all (smooth) vector fields X(M) on a smooth manifold M has the natural structure of a module over the ring (ℝ-algebra) C(M): this means that besides being the linear space over ℝ, vector fields can be multiplied by smooth function, yielding the application

    C(M) × X(M) → X(M)
    (f, X) → f X

differential 1-forms are born to be integrated along curves. the question why the definite integral of a real function f:[a,b]→ℝ is denoted ∫f(x)dx necessarily involving mysterious dx, puzzled generations of undergraduate students. the “right” answer is that the object that we integrate is not a function, but rather a "differential form f dx", where x:[a,b]→ℝ is the coordinate function on [a,b]

Lie groups and Lie algebras

a smooth manifold G is called a Lie group, if it carries the group structure (i.e., points can be multiplied between themselves according to a group law), and for each element g∈G the application

    G × G → G
    (g, h) → gh⁻

is smooth

one can instantly see that in this case the maps

    lg : h → gh
    rg : h → hg
    h → h⁻

are smooth self-maps of G for any g. they are called "left shift", "right shift" and "reciprocal involution of G". the unit of the group will be denoted by e and it obviously will be a very distinguished point of G

Lie groups can be commutative or not, and usually we will assume them to be connected. for non-connected group, the component Ge containing e is a normal subgroup and the quotient G/Ge is a discrete (zero-dimensional) group

we list the principal examples of (finite-dimensional) Lie groups

linear spaces ℝⁿ with the usual structure of Abelian additive group
the multiplicative groups ℂ^∗ = ℂ\0 and the unit circle T = {|z| = 1} ⊆ ℂ^∗
Tori ℝⁿ/ℤ_n
the general linear group GL(n,ℝ) of real nondegenerate n×n-matrices
the special linear group SL(n,ℝ) = {M ∈ GL(n,ℝ) | det M = 1} of matrices with the unit determinant
the orthogonal group O(n,ℝ) = {M ∈ GL(n,ℝ) | <Mx,My> = <x,y>} of orthogonal matrices preserving the Euclidean structure on ℝⁿ (rigid rotations around the origin and reflections)
the special orthogonal group SO(n,ℝ) = {M ∈ SO(n,ℝ) | det M = 1} orientation-preserving rotations

basically, the group of linear operators preserving any algebraic structure on ℝⁿ (symplectic, complex for even n etc) is a Lie group. e.g., upper-triangular non-degenerate matrices preserve a complete flag of subspaces in ℝⁿ

unlike general manifolds, the Lie groups naturally come equipped with a flat connection (actually, with two of them). by definition, any Lie group G acts on itself by the left shifts

   lg : h → g . h

such shift takes e∈G into g∈G, moreover, any two points g,h∈G can be transformed one into the other by the unique left shift

   lg  (h . g⁻) . g = h 
   lg  (g . h⁻) . h = g

the differential

   dlhg- : Tg G → Th G

provides the parallel transport between the tangent spaces at these points, which is independent of any curve connecting g with h. thus for any vector v ∈ TeG tangent to G at the unit point of the group can be carried out to any point g by the differential

   dlg (v) ∈ TgG

together forming the vector field X which is left invariant, dlg X = X for all g∈G

note that there are no nontrivial left-invariant functions on G except for constants. one can instantly see that the property of being left invariant is preserved by the algebraic operations (linear combinations) and commutator. conversely, any left invariant vector field X is uniquely defined by its value X(e) ∈ TeG. thus the space of all invariant vector fields is finite-dimensional and isomorphic to TeG. the operator of commutator becomes then a bilinear non-commutative operator on TeG, satisfying the standard conditions

пространство физических измерений Неструева

любая классическая система описывается набором подходящих измерительных устройств и каждое состояте системы есть набор показаний устройств, соответствующий этому состоянию:

физическая система ~~> многообразие М
состояние системы ~~> точка многообразия х
измерительное устройство ~~> функция f на М
показание измерительного устройства ~~> значение функции f(x)
набор измерительных устройств ~~> гладкая ℝ-алгебра
набор показаний устройств, соответствующий данному состоянию ~~> гомоморфизм ℝ-алгебр

в общем случае отождествление между множеством М, в котором определены функции и семейством всех гомоморфизмов М-алгебр не может быть корректю построено. это происходит, прежде всего, потому, что множество семейств гомоморфизмов может оказаться "существено меньшим" или "cуществено большим"

итак, задана абстрактная ℝ-алгебра F, как найти множество (гладкое мюгообразие) М, такое, что алгебра (гладких) функций на нем может быть отождествлена с F?

F будет предполагаться коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей над ℝ, или, короче, ℝ-алгеброй. все гомоморфизмы ℝ-алгебр, или просто ℝ-гомоморфизмы F1 —> F2, предполагаются унитарными, т.е. переводящими единцу алгебры F1 в единицу алгебры F2. хотелось бы, чтобы гомоморфизм был иньективен (т.е. не имел ядра, отличного от единицы). к сожалению, в общем случае это не так

в действительности элементы алгебры F - это не функции, а абстрактные объекты неопределеной природы. наша задача и состоит в том, чтобы превратить эти абстрактные объекты в настоящие функции на многообразии. для того, чтобы добиться успеха в этом предприятии, придется наложить на F некоторые условия. ключевыми здесь будут условия геометричности, полноты и гладкости ℝ-алгебр

обозначим через М мюжество всех ℝ-гомоморфизмов из F в ℝ. элементы мюжества М назовем ℝ-точками алгебры F, а само М - двойственым пространством или пространством М-точек алгебры F. рассмотрим мюжество Ф всех действительных функций на М

    Ф = M -> ℝ

множество Ф имеет естественую структуру ℝ-алгебры