метрическое пространство Эвклида


что именно хотел нам сказать Эвклид многочисленными томами своих "Начал" (Στοιχεῖα)?

у него был старомодный стиль выражаться, из-за чего сегодняшние читатели не всегда могут понять замысел великого человека. собственно, на одной ноге вопрос сводится к тому, понял бы Эвклид (знавший кое-что про расстояния и их измерение) Римана, объяснившего, что такое инфинитезимальная длина и для чего она может быть использована?

в начале "Начал" было понятие измерения (то бишь длины) и, как венец, конструкция метрического пространства

Def: метрическое пространство - это произвольное множество объектов (именуемых для простоты точками) Х, такое, что между любыми двумя точками А и В определено расстояние ρ(A,B). число это - говоря современным языком, функция двух аргументов, - должно удовлетворять следующим очевидным требованиям:

примеров разных метрических пространств - не счесть. например, если точки - клетки на шахматной доске, то от любой клетки до любой можно добраться ходом ладьи (точнее, несколькими ходами), и у каждого такого пути есть длина, - если считать, что расстояние между соседними клетками равно единице. назовём расстоянием между клетками кратчайшую длину ладейного пути от одной до другой. скажем, две клетки, соседние по диагонали, окажутся на расстоянии 2. легко проверить, что все три свойства будут выполнены. другой пример получится, если заменить ладью королём (или ферзём); множество точек останется тем же, но расстояние изменится. другой "негеометрический" пример - расстояние между людьми исчислять числом рукопожатий в самой короткой цепочке. во всех этих примерах расстояние будет натуральным числом

"геометрических" примеров ещё больше - помимо обычного "школьного" расстояния на плоскости или в пространстве. скажем, пусть Х - поверхность Земли (идеальная сфера большого радиуса). тогда можно рассматривать "авиарасстояние" - кратчайшую длину маршрута авиалайнера из одной точки до другой. тут надо сделать оговороку: мы считаем, что маршруты прокладываются на такой низкой высоте, что их по-прежнему можно рисовать на глобусе. это расстояние настолько привычно нам сегодня, что мы совершенно не задумываемся над тем, как его могли бы определять во времена Эвклида (а это непросто, имея в наличии только верблюдов и утлые челны)

на той же поверхности Земли можно было бы определить расстояние и "более простым способом" - расстояние можно определять лазерным дальномером по прямой линии, и можно было бы не мудрствуя лукаво, определить расстояние ρ(A,B) между городами А и В таким дальномером. но и тут есть небольшая трудность: даже если города А и В находятся неподалёку друг от друга, "в прямой видимости", то на этот рецепт можно положиться, если поднять дальномер на небольшую вышку. но если города достаточно далеко от друга, кривизна Земли будет сказываться: чтобы померить таким образом расстояние от Москвы до Лондона, надо будет либо поднимать дальномер на здоровенную высоту (и тогда уже не ясно, при чём тут будут Москва и Лондон?), либо копать прямой туннель и светить лазером туда. но что нам технические трудности, если нет принципиальных? чтобы отличать два способа мерить расстояние на поверхности Земли, будем называть это расстояние "туннельным", в отличие от "авиационного"

почему же сам Эвклид не сказал про это ни слова, оставив догадки нам?

проблема в том, что у Эвклида не было чёткой идеи, что такое число

конечно, не надо считать его неучем. Эвклид прекрасно знал, что такое натуральные числа 1,2,3,4,... и как с ними оперировать, считая овец, рабов, детей и прочие "неделимые" вещи. однако "неделимых" вещей меньше, чем хочется посчитать-померить: например, можно прицениться к зерну на рынке и купить не мешок, а пол-мешка. почём за пол-мешка? ну, если за мешок - 10 оболов, то за полмешка - 5. почему? да потому, что полмешка и ещё пол-мешка - как раз целый мешок и получится. в общем, народ прекрасно оперировал тем, что мы сегодня называем положительными рациональными числами

конечно, измеряя длины, надо было договариваться о выборе единиц; тут была большая свобода, но при полном понимании, что футы легко превратить в аршины, и прочая...

что же мешало Эвклиду сказать, что наш мир - метрическое пространство, где расстояния между точками измеряются рациональными числами?

ответ, - не что, а кто!

Пифагор обнаружил засаду. оказалось, что никаким выбором единицы длины нельзя добиться того, что сторона квадрата и диагональ того же квадрата - числа (разумеется, рациональные числа - о других никто и подумать не мог)

представить себе мир, в котором расстояния между некоторыми точками существуют, а между некоторыми - нет - для греков было невозможно. в результате Эвклид отказался от идеи ставить абстрактную "длину" во главу угла. в "Началах" все длины - всегда длины конкретных отрезков, полученных разными построениями. для объяснения арифметических действий с отрезками Эвклиду понадобилось несколько книг из его тринадцатитомных "Начал"

и тем не менее есть все основания полагать, что Эвклид прекрасно понимал, что длина правит миром. это видно уже по тому, какие "геометрические инструменты" он благословил для использования при построениях и доказательствах. это циркуль, позволяющий рисовать окружности (множества точек, равноудалённых от центра) и линейка. линейка, конечно, имелась в виду не размеченная сантиметрами, а просто инструмент, позволявший проводить "прямые линии" между двумя заданными точками

а что такое "прямая линия"?

и тут Эвклид приходит к своему знаменитому "аксиоматическому методу". пробубнив что-то маловразумительное про "длину без ширины" и "равнорасположенность по отношению ко всем своим частям", он прямо заявляет: прямые - это подмножества (скажем, плоскости), обладающие перечисленными свойствами. и далее перечисляет свои знаменитые "аксиомы", начиная с возможности неограниченного продолжения в любую сторону, и кончая пресловутым Пятым постулатом

на самом деле ни одна из этих аксиом не является "очевидной", как этого ни добивался Эвклид

скажем, логически мы не видим препятствий для неграниченного продолжения прямой, - если только не допустить, что по каким-то мистическим причинам, продолжая прямую за горизонт, мы не наступим себе же на хвост. вот Магеллан, плывя "по прямой" (скажем, по экватору), вернулся бы в ту же точку, откуда выплыл, и вынужден был бы пойти на второй круг (по-прежнему не встречая препятствий)

или, скажем, понятие "параллельности"

параллельными (на плоскости) называются прямые, которые не пересекаются, сколько бы мы их не продолжали. а с чего мы взяли, что такие прямые вообще бывают? не пересекаются (пока) те конечные куски, которые мы построили, а откуда мы знаем, что будет, если продолжить ещё дальше? конечно, можно попробовать извернуться. давайте возьмём прямую и построим эквидистанту - множество точек, равноудалённых от этой прямой на одно и то же расстояние, скажем, 1. такая эквидистанта, конечно, состоит из двух линий по обе стороны нашей прямой, и эти линии не могут с нашей прямой пересечься (тогда расстояние обратилось бы в нуль). с другой стороны, а с чего мы взяли, что обе эти линии - прямые?

в общем, так или иначе, в списки "очевидных аксиом" с необходимостью попал "Постулат о параллельных" - без него геометрия "не строилась" - невозможно было доказать самые очевидные утверждения

например, без "Постулата о параллельных" - нет подобия треугольников

точнее, пусть есть треугольник АВС с тремя сторонами, удовлетворяющими "неравенству треугольника". удвоим все длины, получим треугольник А’B’C’. верно ли, что углы двух треугольников равны? очевидно, что да, но не докажешь без "Постулата о параллельных"

говоря сегодняшним языком, Эвклид попытался "замести мусор под ковёр". имея в голове "идею" (в платоновском смысле) метрического пространства, он попытался в терминах метрики ввести основные понятия (прямых, окружностей) и аксиоматизировать их свойства с тем, чтобы "расстояние" (метрика) определялась этими свойствами однозначно

как определяются окружности, - очевидно. а вот как определить прямые, пользуясь только понятием "длина"?

ответ: надо определить отрезок как "кратчайшую линию" между двумя точками (концами): по этому определению, отрезок АВ - это множество таких точек С, для которых

    ρ (A , С)  +  ρ (С , B) = ρ (A , B)  
т.е., для которых неравенство треугольника "вырождается" в равенство. легко сообразить, как определить продолжение отрезка "по прямой" в обе стороны за пределы (концы)

это определение выглядит логично, если мы подразумеваем наше "обычное" расстояние на плоскости. однако в случае произвольного метрического пространства результатом такого определения могут оказаться неожиданные объекты. скажем, для "ладейного" расстояния отрезками будут вертикальные и горизонтальные ряды клеток, а вот отрезок с концами в других точках будет выглядеть, как прямоугольник с диагональю в этих точках. на поверхности Земли линии, прямые в смысле "авиационного расстояния", окажутся большими кругами (экватор, меридианы и другие круги, полученные пересечением сферы с плоскостью, проходящей через центр сферы). а вот отрезков в смысле "туннельного расстояния" не будет вовсе: отрезок АВ состоит только из двух концов, а все остальные его точки не лежат на сфере!

иными словами, чтобы "наша" геометрия приобрела привычный вид, мы должны наложить на функцию "расстояние", помимо трёх очевидных требований, ещё целый ряд дополнительных условий. для этого надо выйти из шкапа™, назвать ребёнка по имени™ и вообще разговаривать по существу, называя ρ - функцией, а не о свойствах разных объектов (которые можно определить в терминах этой функции ρ)

откуда берутся разные "функции расстояния"?

мы видели, что разных "функций расстояния" (метрик) даже на одном и том же множестве можно придумать очень много (включая тривиальные, - скажем, ρ(A,B)=1 для любых двух различных точек А,В). как обнаружить те из них, которые будут соответствовать "хорошим" геометриям?

мы говорим "геометрии" во множественном числе, чтобы подчеркнуть тот факт, что каждому выбору метрики будет соответствовать свой учебник геометрии, а уж толстым или тонким он будет - как повезёт

технически самый сложный момент - функция расстояния должна быть "гладкой", дифференцируемой в определённом смысле. конечно, сама по себе длина отрезка - даже на прямой, где она равна модую разности координат ρ(A,B)=|A-B|, - уже негладкая функция при А=В. это было бы не очень большой бедой, можно было бы рассмотреть квадрат длины (он уже будет гладким), но нам нужно больше, чем просто "гладкость" - нам нужно, чтобы можно было мерять длину "бесконечно малых" отрезков, а конкретно - чтобы для любого путешественника, движение которого по плоскости описывается в момент времени t∈ℝ функцией положения А(t), можно было померять длину |v(t)| его вектора скорости

      v(t) = d/dt A(t)  
и это допущение уже делает невозможным формальный разговор в терминах языка, доступного Эвклиду, - надо звать Ньютона на роль переводчика!

тем не менее, Эвклид знал понятие касательной (пусть и в ограниченном контексте - только для конических сечений), поэтому можно было бы рассчитывать на интуицию могучего старика

зато если такая функция - "длина векторов скорости, приложенных к данной точке А" (она называется "риманова метрика", "метрический тензор") в самом деле есть, - это колоссальное дело. с её помощью можно определить "длину кривой", не прибегая к понятию "отрезка", - обычным интегрированием

пусть по плоскости ползёт муравей, начав движение в момент t=0 и закончив его в t=1. поделим отрезок [0,1] на миллион равных частей и обозначим через Ai промежуточные положения муравья (миллион точек). тогда крошечые "отрезки" [Ai,Ai+1] настолько близки, что можно их считать прямолинейными длиной 10-6*|vi| (догадались, откуда одна миллионная?), а общую длину маршрута - интегралом ∫|v(t)|dt, взятым по отрезку [0,1]

получается, что для любой (достаточно гладкой) кривой γ:[0,1]→ℝ² (значок справа - стандартное обозначение "двумерной плоскости" без какого-либо намёка на "расстояние", просто наборы из двух действительных чисел (x,y) для обозначения точек на ней) можно определить её длину |γ|≥0

дальше - дело техники: имея две точки А,В на плоскости, можно сравнивать между собой длины всевозможных "достаточно хороших" кривых, соединяющих эти точки. при не слишком ограничительных требованиях среди этих кривых существует кратчайшая кривая (иногда - не единственная), которая их соединяет. такая кривая называется геодезическим отрезком с концами в А и В, а её длина - геодезическим расстоянием

откуда же может взяться риманова метрика на разных множествах?

её не может быть в "шахматных пространствах" - там просто не бывает "бесконечно близких точек", и нет касательных векторов

в случае метрик на сфере вектор скорости хорошо определён и понятен. единственное, что отличает сферу от "настоящей" плоскости - на плоскости вектор скорости "лежит" в самой плоскости, а вектор скорости муравья на сфере - касательный вектор к сфере, и торчит "чуть-чуть вверх". но длина вектора скорорости оказывается вполне определена. если разобрать этот пример в деталях, то окажется, что соответствующее геодезическое расстояние будет совпадать с "авиарасстоянием". а что же с "туннельным расстоянием", спросите вы? увы. туннельное расстояние не получается как "геодезическое" расстояние, какую бы риманову метрику мы не пробовали

но кроме римановой метрики можно в принципе брать довольно широкий класс функций от двух аргументов ("точка приложения" и "приложенный к этой точке касательный вектор"). чтобы быть совсем точным, надо немного закорючек все-же написать

риманова метрика - это способ приписать длину (точнее, её квадрат) любому вектору v с координатами (v1,v2), приложенному ("касательному") к точке А с координатами (x,y), по формуле

|v|² = g11(x,y) * v1² + 2 * g12(x,y) * v1 * v2 + g22(x,y) * v2²

смысл написанного выражения - в правой части стоит квадратичная форма, которая превращается в "обычную" плоскую длину, если мы положим g11=g22=1, g12=0 для всех (x,y)

чтобы построенное геодезическое расстояние оказалось совместимым с общими аксиомами функции расстояния ρ, надо потребовать, чтобы набор функций gij(x,y) удовлетворял инфинитезимальным аксиомам расстояния:

т.о., из трёх "аксиом расстояния" для "инфинитезимального расстояния", заданного квадратичной формой, только одно требование (положительности) является существенным и независимым, остальные следуют из него

NB: техническое условие, без которого не получится хорошая теория, - функции gij(x,y) должны быть "хорошими", как минимум, дифференцируемыми по переменным x и y

и всё же, - где ж тут эвклидова геометрия?

теперь, сузив класс различных возможностей, можно перейти к исходному вопросу

при каком выборе римановой метрики G=gij(x,y) мы получим "эвклидову геометрию" на плоскости?

ответ, известный со "школьных времён" - если в качестве G взять единичную матрицу (единицы на диагонали, нули на остальных местах). можем ли мы как-нибудь "угадать" этот вывод, не проверяя ответ "прямой подстановкой"?

правильный подход, - надо рассмотреть симметрии, преобразования плоскости, сохраняющие риманову метрику (они называются изометриями)

собственно, понятие изометрии определено для произвольного метрического пространства Х: преобразование f множества Х в себя называется изометрией относительно функции расстояния ρ, если

    ρ (f(A) , f(B)) = ρ (A , B) 
для любой пары точек А,В ∈ X. такое преобразование заведомо является инъективным (вложением, "разные точки переходят в разные"), но априори может не быть сюръективным (накрытием, "в каждую точку кто-нибудь да перейдёт")

разные римановы поверхности (двумерные поверхности, на которых задана риманова метрика) по-разному симметричны. легко описать все изометрии эвклидовой плоскости:

  1. параллельные переносы
  2. вращения вокруг произвольного центра на произвольный угол
  3. "зеркальные" симметрии относительно разных прямых

этот список - полный: любая изометрия раскладывается в композицию (последовательное применение) преобразований одного из этих типов

от симметрий можно отказаться, если мы рассматриваем только преобразования плоскости, сохраняющие ориентацию (и не позволяющие превратить букву "Я" в букву "R")

очевидное наблюдение: изометрии переводят геодезические линии снова в геодезические - в самом деле, в определении геодезической линии участвует только понятие расстояния (пускай и инфинитезимального). кроме того - на сферической геодезической линии нет понятия "лежать между" (это, правда, уже не Эвклид, а Гильберт добавил)

этих изометрий достаточно много: любую точку А можно перевести в любую точку В при помощи изометрии. более того, любые две точки А,В на плоскости можно перевести в любые две другие точки C,D по выбору, при единственном (очевидно, необходимом) предположении: ρ(A,B)=ρ(C,D). более того, на плоскости такая изометрия единственна, если мы хотим, чтобы ориентация сохранялась

сходными свойствами обладает сфера с "авиационной" метрикой: её группа симметрий столь же богата

есть ли ещё римановы поверхности с подобными свойствами?

о, это классный вопрос!

скажем, если вместо двумерной плоскости мы ограничимся одномерными кривыми, то там все рассуждения, описанные выше, вполне применимы, разве что риманова метрика G вместо 2×2-матрицы мы будем иметь дело с 1×1-матрицей, состоящей из единственного элемента, с необходимостью положительного, - что будет? сможем ли мы отличить "эвклидову" прямую ℝ от окружности, на которой расстояние измеряется длиной кратчайшей из двух дуг, соединяющих две данные точки? если радиус окружности космически велик и кругосветные путешествия невозможны, то у одномерных муравьёв, живущих на окружности, нет никаких способов решить, живут ли они на прямой или на окружности

на двумерной сфере муравьи гораздо больше могут узнать о своём мире. в частности, они могут взять три точки на сфере, соединить их геодезическими отрезками, и померить углы при вершинах. вы тоже можете проделать подобный опыт: возьмите два меридиана, лондонский (долгота равна нулю), условный пекинский (долгота равна 90 градусам на восток) и экватор. все три кривые - геодезические, и втроём они ограничивают здоровенный треугольник. все внутренние углы этого треугольника, как нетрудно видеть, равны 90 градусам (прямые!), и их сумма равна 270 градусам, а вовсе не 180. можно, конечно, робко возразить, что-де для измерения углов такого треугольника надо совершить если не кругосветное, то достаточно дальнее путешествие. на это последует робкий ответ: если взять любой сферический треугольник с геодезическими сторонами, то сумма его углов будет больше 180 градусов: хоть немного, да больше. можно заменить дальнее путешествие точностью измерений!

как отличить в свете сказанного сферу от плоскости? ответ: на плоскости есть изометрии, которые переводят прямые в прямые (это-то всегда так), параллельные исходным (не пересекающиеся с ними). на сфере таких изометрий нет, потому что любые две геодезические линии (большие круги) - пересекаются. иными словами, аксиома о существовании параллельных исключает сферическую риманову геометрию из числа "конкурентов". муравьям, живущим на сфере, нечего противопоставить требованию о существовании "параллельных геодезических"

есть ли ещё конкуренты эвклидовой плоскости? оказалось, что таки-есть. первым заподозрил это, видимо, "король математиков" Гаусс, не зря он мерил углы в треугольнике, образованном тремя горными вершинами в Германии. лазерных дальномеров в ту эпоху не было, а вот отклонение суммы углов в треугольнике от 180 градусов он теоретически мог бы обнаружить, если б ему хватило точности, но уравнения Эйнштейна показывают, что точность тогдашних измерений была совершенно недостаточна для того, чтобы можно было бы обнаружить этот эффект

о чём, собственно, идёт речь? о том, что можно подобрать компоненты римановой метрики G так, чтобы она стала поразительно симметрична (в смысле, допускала бы большую группу симметрий, такую же богатую, как плоскость и сфера). есть несколько "реализаций" того, что получится в конце. более простая с вычислительной точки зрения - полуплоскость (без граничной прямой), называемая "полуплоскостью Лобачевского"; более симметричная - единичный круг (без граничной окружности), называемый "кругом Пуанкаре"

чтобы задать такую модель, скажем, в круге ℙ, надо задать формулой "риманову длину" вектора |v|, приложенного в точке с координатами (x,y), удовлетворяющими неравенству x²+y²<1 (круг!). положим (от бога!)

    |v|² = μ * |v|²
    μ (x , y) = 4 / (1 - r²)²
    r² = x² + y²
где |v| - "обычная" эвклидова длина вектора v - корень из суммы квадратов координат. иными словами, "риманова" длина касательных векторов отличается от обычной эвклидовой наличием положительного коэффициента пропорциональности μ, который равен единице в центре круга ℙ и возрастает до ∞, когда радиус-вектор точки (x,y) приближается к единице, а сама точка стремится к границе круга. если мы захотели бы вокруг каждой точки круга ℙ нарисовать "касательную окружность" одного и того же малого "риманова радиуса", то с точки зрения "эвклидова наблюдателя" эвклидовы радиусы окружностей стремились бы к нулю с приближением к границе круга. эта граница называется абсолютом, чтобы подчеркнуть её особую роль

подсчёты по соответствущим формулам позволяют доказать, что длина каждой кривой внутри круга ℙ с концами на граничной окружности - бесконечна. более того, довольно очевидно, что все диаметры круга ℙ - геодезические кривые. но помимо них есть ещё очень много других геодезических

Th: любая дуга окружности, лежащая внутри ℙ, и ортогональная (образующая в пересечении прямой угол) абсолюту, - геодезическая линия

на картинке нарисованы коричневым цветом всевозможные геодезические, одним концом "упирающиеся" в общую точку на абсолюте (напомним, что точки на абсолюте "не считаются", поэтому все эти геодезические не пересекаются друг с другом в ℙ). если считать геодезические "прямыми линиями римановой геометрии", то все эти прямые должны считаться параллельны друг другу. пока ничего страшного: на эвклидовой плоскости тоже бывают семейства прямых, попарно параллельных друг другу

легко доказать (пользуясь обычной эвклидовой геометрией), что

всё это один в один напоминает свойства эвклидовых прямых на эвклидовой плоскости: через две точки можно провести единственную прямую; через любую точку можно провести прямую в любом направлении. третье утверждение не имеет "эвклидова аналога" (почему?)

помимо прямых, есть ещё окружности. что там с ними?

Th: множество точек ℙ, равноудалённых в смысле геодезического расстояния от любой точки А∈ℙ, образует собой эвклидову окружность, целиком лежащую в ℙ и не касающуюся границы

Ахтунг: сама точка А вовсе не обязана лежать в эвклидовом центре этой окружности! (исключение - когда А совпадает с центром круга ℙ)

на картинке на двух левых фрагментах нарисованы семейства "концентрических" окружностей: один "центр", возрастающие радиусы. в первом случае центр совпадает с центром круга ℙ, во втором - сдвинут вправо. что характерно, - как бы не возрастал геодезический радиус (оставаясь конечным), - "геодезические окружности" не вылезают за пределы абсолюта (жирная окружность)

здесь имеется "монстр", отсутствующий в эвклидовой геометрии

рассмотрим эвклидову окружность, лежащую целиком внутри ℙ, которая касается абсолюта в единственной точке (см. первую картинку выше, синим цветом). это, несомненно, "окружность", но - бесконечного радиуса (не "очень большого", а именно бесконечного!). семейство таких "окружностей" нарисовано на правом фрагменте второй картинки. видно, что одна из точек всех таких окружностей лежит на абсолюте (бесконечно далеко от центра круга ℙ). все эти окружности имеют бесконечную длину (для них есть специальное имя - гороциклы, horocycles)

геометрия в диске Пуанкаре (давайте уже назовём её собственным именем, - гиперболическая геометрия, она же геометрия Лобачевского) ещё содержит довольно много сюрпризов

на картинке нарисованы две геодезических линии, проходящие через точку О и не пересекающих третью геодезическую линию а. обе эти "гиперболические прямые" параллельны "гиперболической прямой" а и пересекаются под ненулевым углом: все остальные "гиперболические прямые", лежащие внутри этого угла, тоже параллельны прямой а. иными словами, в гиперболической геометрии Постулат о параллельных Эвклида нарушается "в противоположную сторону" по сравнению со сферической "авиационной" геометрией. в сферической геометрии параллельных не было вовсе, в гиперболической их слишком много (заведомо больше, чем одна)

чтоб убедить самых скептично настроенных маловеров, мы предъявим "треугольник", совершенно немыслимый по эвклидовым понятиям. пусть А,В,С - три точки на абсолюте. легко построить три круговые дуги, ортогональные абсолюту (в эвклидовом смысле) и опирающиеся на дуги АВ, АС и ВС. соответствующие три геодезические будут взаимно параллельными друг другу. заметим, что все углы этого треугольника - нулевые. чуть-чуть пошевелив геодезические (чтоб они пересекались в точках, близких к абсолюту), можно построить настоящий гиперболический треугольник, внутренние углы которого сколь угодно малы, так что их сумма предельно далека от заветных эвклидовых 180 градусов.

(на картинке - пятиугольник, составленный из трёх "идеальных" треугольников)

чтобы убедиться, что гиперболическая геометрия ничуть не хуже эвклидовой или сферической, надо посмотреть, насколько она богата изометриями, отображениями круга ℙ в себя, сохраняющими гиперболическое расстояние (а потому автоматически переводящие "гиперболические окружности" в "гиперболические окружности" того же радиуса, а "гиперболические прямые" в "гиперболические прямые"). оказывается, группу таких изометрий очень легко описать: любую точку А∈ℙ можно изометричным преобразованием отправить в (эвклидов) центр круга ℙ, после чего вращения вокруг центра могут любое касательное направление перевести в любое другое. в смысле "богатства" (числа параметров, задающих изометрии, сохраняющие ориентацию), все три модели (сферическая, эвклидова и гиперболическая) равнобогаты: везде достаточно трёх параметров

резюме на языке XX века

в любой римановой геометрии, задаваемой римановой метрикой G, можно определить "внутренним образом" понятие кривизны метрики в каждой точке. не вдаваясь в детали, - надо посмотреть на сумму углов очень маленького геодезического треугольника рядом с этой точкой, вычислить отклонение этой суммы от 180 градусов и поделить на площадь треугольника. получившееся таким образом число (а точнее, его предел, когда размер треугольника стремится к нулю) не зависит от выбора треугольника и называется кривизной метрики в данной точке

в (идеальной круглой) сферической геометрии кривизна во всех точках равна 1/R, в эвклидовой плоскости - ноль (очевидно), а в гиперболической плоскости - отрицательна (минус единица в единичном круге ℙ с выбранной метрикой)

если мы рассмотрим произвольную поверхность в трёхмерном пространстве (представьте себе выпуклое, но совершенно асимметричное яйцо), то риманова метрика, унаследованная из окружающего пространства, будет иметь всюду положительную, но уже непостоянную кривизну. если яйцо пластилиновое и вы пальцем сделаете в нём вмятину, то кривизна в некоторых точках станет отрицательной (а в других останется положительной)

если вы свернёте лист бумаги в рулон, то поверхность будет "кривая", но кривизна унаследованной метрики всё равно останется нулевой

у поверхностей непостоянной кривизны будет очень мало изометрий - по очевидным соображениям, что если f - изометрия, то кривизна в точках А и f(A) должна быть одинаковой

так что, если вдуматься, у нас остаётся совсем небольшой выбор для геометрии, в которой нам понравится жить. если мы хотим, чтобы жилое пространство ("плоскость") было однородно во всех своих точках, то остаются только три варианта

всё

так что же хотел сказать Эвклид своими "Началами"? он совершенно точно понимал роль метрики ("расстояния") в своих построениях, но не мог говорить о ней прямым текстом, не имея подходящей числовой системы. абсолютно точно Эвклид осознавал, что понятие длины имеет смысл не только для прямолинейных отрезков ("доказывал" же он "теоремы" про длину окружности! а что это такое, если не предел длин вписанных многоугольников, сторона которых стремится к нулю? ну не было у него под рукой ни производной, ни интеграла…)

как сравнивать длины разных "бесконечно малых отрезков", из которых составлены ломаные линии, которыми мы приближаем кривые кривые? только изометрическими преобразованиями: если они сохраняют длины больших отрезков, то уж точно будут сохранять и длины "бесконечно малых" отрезков

короче, умный человек не останется без средств к пониманию мира, даже если аккуратных слов для описания у него нет

конечно, Эвклид не знал гиперболической геометрии, но уж сферическую-то он точно знал не хуже нас. конечно, он понимал, что дуги большого круга - не "настоящие прямые", но он наверняка знал, что это кратчайшие кривые на поверхности сферы. какие возможности у него оставались, чтобы описать "настоящую, плоскую" геометрию? заметя под ковёр всю проблематичную в его время идею измерения, касательных векторов, пределов и т.д., он перечислил свойства геодезических, которые, в совокупности с неявно сформулированными свойствами однородности пространства, сиречь симметричности геометрии относительно большой группы изометрий, так и не осознанных советскими школьными учителями в рамках "Колмогоровской программы", однозначно определили "плоскую" (она же эвклидова) геометрию

"Постулат о параллельных", кстати - вовсе не единственная аксиома, выделяющая случай нулевой кривизны среди других возможных (постоянная, но отрицательная кривизна). сферический случай отсекается аксиомой о самом существовании параллельных. почему Эвклид выбрал именно его, чтоб отсечь гиперболический случай - наверное, вопрос вкуса. есть несколько очевидных способов отличить нулевую кривизну от ненулевой. самый очевидный из них - существование подобных фигур

рассмотрим треугольник АВС с тремя вершинами и тремя геодезическими отрезками между ними. (их длины, конечно, удовлетворяют неравенству треугольника). удвоим (или, наоборот, уполовиним) все длины сторон. все неравенства сохранятся, значит, можно построить треугольник, "подобный" данному, с коэффициентом два (или половина). в эвклидовой геометрии углы этих треугольников будут в точности равны углам исходного треугольника. в неэвклидовых (сферической или гиперболической) - будут отличаться. иными словами, чтобы исключить "неэвклидовы геометрии", Эвклиду надо было всего-навсего постулировать "эффект увеличительного стекла": увеличивая все размеры в одно и то же число раз, мы сохраняем все углы. но старик не захотел, вместо этого замутив что-то невразумительное про параллельные прямые и суммы накрест лежащих углов. о вкусах не спорят

то, что мы видим сегодня, с высоты интеллектуального полёта Бернхардта Римана, - выглядит ровно как максимально рациональная стратегия Эвклида объяснить его современникам все последствия, не вдаваясь в тонкости механизма, который реально правит миром

Эвклид оставил нам в наследие сундук с невероятными сокровищами: мы перебираем их в восторге от их красоты и прелести. но в XX веке пришли грубые небритые физики в драных свитерах, и прогнали служителей Геометрии нахрен. "Никакой эвклидовой геометрии в нонешнем мире нет. Мир кривой, и его кривизна не из-за злого умысла, а потому, что материя его искривляет. Всё, забыли про симметрии. Каждый поц, летящий в чёрную дыру, сам будет отвечать за свою собственную геометрию". радует, что хоть домашние штаны останутся впору всем путешественникам, что бы ни думали о размере штанов внешние наблюдатели

если вы хотите моего личного совета, я б вам посоветовал жить в гиперболическом мире. он намного богаче эвклидова: длина круга радиуса r растёт гораздо быстрее, чем 2πr, а площадь гиперболической сферы - быстрее, чем 4πr². да и вообще, там сильно прикольнее


как распрямлять круги на сфере. новости землеведения

уважаемой публике были показаны в качестве экспонатов альтернативных геометрий две совершенно разных игрушки. одна - хорошо известная всем со школы, - “глобус”. надо только было убедить скептиков, что называть экватор, меридианы и прочие “большие круги” сферическими прямыми - не просто аллегория, а вполне математически корректное описание, результат конструкции (выбор кратчайшего пути), которая на эвклидовой плоскости приводит к самым стандартным прямолинейным отрезкам. после этого можно было обсуждать причуды сферической геометрии. вторая - малоизвестная “модель”, в которой понятие инфинитезимально малого расстояния (по-научному - определение длины касательных векторов) задаётся при помощи загадочной формулы. она не слишком ужасна, но и непонятно с первого взгляда, как можно было бы её угадать (ответ: надо сначала выучить азы функций комплексной переменной)

существенная черта этой “гиперболической метрики” - она пропорциональна привычной эвклидовой, но коэффициент пропорциональности стремится к бесконечности при приближении к абсолюту, границе единичного круга. скажем, если мы нарисуем круг радиуса r < 1 с центром в центре диска Пуанкаре ℙ единичного радиуса, то эвклидова длина периметра этого круга будет 2πr < 2π, a гиперболическая длина - 4πr/(1-r²), и она быстро растёт до бесконечности, когда r стремится к единице

Ахтунг: этот подсчёт - простой, но идеологически неправильный: нельзя сравнивать эвклидов радиус круга и его гиперболическую длину. сравнивать с гиперболическим периметром 4πr/(1-r²) надо гиперболический же радиус σ такого круга, равный интегралу

          r
      σ = ∫ 2/(1-r²) dr
          0

возникает естественный вопрос, - что заставляет две “сестринские” геометрии появляться на свет столь разными способами? ответ - наша педагогическая тяга к “простоте”, которая хуже воровства©. потратив ещё немного усилий, можно понять, насколько эти геометрии генетически близки

как нам распрямить сферу

начнём со сферы, - более простой из двух. самое главное обстоятельство, которое раздражает при попытке построить сферическую геометрию - наличие антиподальных точек (типа полюсов на Земле). из-за этих точек в естественную формулировку “через две сферические точки проходит единственная сферическая прямая” приходится добавлять исключения (а исключения всегда раздражают математиков). из-за этих точек любые две сферические прямые пересекаются, но не по одной, а всегда по двум (антиподальным) точкам. в общем, хорошо бы как-то из этих сиамских близнецов выбрать одного, а второго - лишить гражданских прав и забыть. ну, например, считать “настоящими” только точки Северного полушария, а про Южное - вообще забыть. такая сегрегация, конечно, - полный произвол, зато упрощает нашу жизнь. северную полусферу (если сделать её из резины) можно “распластать” на обычной плоскости, получится круг, граница которой - бывший экватор

если делать это, сидя в Северном, мы увидим, как бывшие меридианы превратятся в диаметры круга, бывшие параллели - в концентрические круги… такая система координат, называемая “азимутальной проекцией” (см. картинку), она ужасно искажает Южную полусферу (а Южный полюс вообще растягивает в громадную окружность). но поскольку мы договорились игнорировать Южную полусферу, то искажения приемлемы

очень похоже на гиперболическую геометрию, но это только внешнее сходство. в новых “круговых” координатах можно написать старую сферическую метрику, и - калькулятор в руки, считай себе длины кривых в азимутальной проекции и выписывай уравнения остальных геодезических. но в азимутальной проекции нарушается изотропность касательных векторов: сферическая длина касательного вектора начинает зависеть от его направления. иными словами, если мы нарисуем маленький сферический круг вблизи экватора, то с азимутальной точки зрения он покажется нам эллипсом. это понятно без долгих вычислений: если считать, что в азимутальных координатах эвклидов радиус равен сферическому расстоянию, то эвклидов периметр экватора будет равен 2π, а его эвклидов радиус - π/2. отношение этих чисел равно 4, а вовсе не π, как должно было бы быть на плоскости. иными словами, азимутальные координаты “растягивают” длины в направлении экватора, по сравнению с длинами, перпендикулярными ему. искажение (равное 4/π) численно невелико, но есть. это означает, что сферическая длина касательного вектора |v| уже будет не корнем из суммы квадратов координат с коэффициентом μ зависящим от точки приложения вектора, а более сложным выражением, зависящим от направления v

но у нас есть головная боль посильнее. представим себе корабль, пересекающий экватор из Северного полушария в Южное в какой-нибудь точке, например, с нулевой долготой (где-то в Гвинейском заливе в Атлантике). пока он севернее экватора, он будет близко к границе азимутального диска, но как только он пересечёт экватор, - надо скачком передать корабельные документы его близнецу, который как раз в тот же момент пересёк экватор в Тихом океане и перешёл из категории “незаконных южан” в “законные северяне”. такой скачок из одной точки в другую, конечно, нарушает всю идею непрерывности (по крайней мере, визуально)

если присмотреться тщательнее, то окажется, что с нашим кораблём произошло нечто похуже мгновенного скачка через полмира. предположим, что на корабле зажжены навигационные огни: красный по левому борту, и зеленый - по правому борту. глядя на эти огни издалека, можно всегда понять, где у корабля нос, а где корма (соответственно, в какую сторону он плывёт). единственное исключение - если эти огни сливаются в одну точку: тогда, конечно, нельзя понять, направо корабль плывёт или налево, но всякий судоводитель понимает, что это не тот случай, когда надо беспокоиться: в важном вопросе, плывёт ли корабль на тебя или от тебя, судовые огни разнесены на максимальное расстояние и дают мгновенный ответ на близких расстояниях

а теперь посмотрим, что происходит при пересечении экватора кораблём с зажжёнными огнями. напомним, что каждый огонь - тоже точка, которую мы видим на карте, пока она в северной полусфере, и должны немедленно заменить на антиподальную в момент пересечения экватора. если корабль плывёт перпендикулярно экватору (по нулевому меридиану), то через полмира прыгнет нос корабля, и (оказавшись в Тихом океане) одновременно перепрыгнут оба судовых огня, - но! если вы нарисуете соответствующие антиподальные точки, то огни поменяются местами! красный окажется по правому борту, а зеленый - по левому, как при отражении в зеркале. иными словами, при таком переходе изображение нашего корабля на азимутальном круге заменится на зеркальное. в таком случае говорят, что у капитана поменялась ориентация™. на самом деле, конечно, если бы мы рисовали кораблик не на плоскости, а с мачтой, торчащей перпендикулярно карте вверх, то после скачка оказалось бы, что мачта стала торчать вниз. если бы на палубе лежали наручные часы, то после скачка надо было бы перевернуть их циферблатом вниз, при этом направления по часовой стрелке и против часовой стрелки поменялись бы местами. те, кому подобные фокусы покажутся странными, очень поучительно будет поиграть с лентой Мёбиуса: эффект тот же самый

чтобы избавиться от разрывности, надо было бы “подклеить” границу азимутального круга, экватор, сам к себе так, чтобы антиподальные точки склеились бы друг с другом. мы бы получили поверхность без края (как и полагается поверхности сферы), путешествие по которой проходило бы без скачков (если подклеить гладко). можно это сделать? изначально кажется, что да. рассмотрим сначала задачу только для экватора: это окружность длиной 2π, сделанная из гибкой, но нерастяжимой верёвки (проволоки). удобно считать её ориентированной, т.е., указать разрешённое направление движения вдоль окружности. можно ли свернуть её так, чтобы противоположные точки (на расстоянии π друг от друга) склеились бы в одну? ответ - да. давайте разрежем проволоку ровно пополам, и полученные концы склеим “крест накрест” в одну точку. у нас получится “восьмёрка”, две петли которой аналогичны двум полушариям на сфере. но в отличие от двумерной сферы, мы можем сейчас без всякого ущерба выкинуть, скажем, нижнюю петлю: каждой “нижней” точке соответствует единственная антиподальная верхняя точка, и в отличие от сферы, при непрерывном путешествии вдоль окружности при прохождении “перекрёстка” восьмёрки не возникает никаких проблем: вместо того, чтобы продолжать движение сверху вниз, надо просто повернуть и продолжать движение по верхней петле (напомним, что наша окружность была ориентирована, так что есть единственное направление, по которому можно съехать с перекрёстка)

реально же проблема возникает при попытке приклеить к двукратно завязанному экватору азимутальный диск. в трёхмерном пространстве это невозможно сделать без самопересечений. подходящая аналогия - знаменитая бутылка Клейна, которая понятно как устроена (в частности, нетрудно себе вообразить муравьёв, живущий на её поверхности), но в наше трёхмерие она не пролезает без самопересечений (в чётырёхмерном мире - сколько угодно). то же самое можно сказать про результат нашего издевательства с азимутальным диском

comments

аналогия с географическими картами и атласами весьма наглядна и продуктивна. не менее важно, что она исторична

она прежде всего математична. вся математическая теория гладких многообразий основана именно на идее самосогласованной системы локальных карт, каждая из которых "обслуживает" небольшой кусок глобального целого. наличие на "глобальном целом" какой-нибудь структуры (скажем, римановой метрики) подразумевает выбор карт, на которых эта структура явно задана конкретными формулами, и правилами перехода от карты к карте, которые сохраняют величины, заданные конкретными формулами

сразу непонятна история с кораблем, почему он должен сменить ориентацию. видимо, что-то в разъяснении устранения южного полушария пропущено. дальше я без бумаги и карандаша нить потерял достаточно быстро

вот едете вы по меридиану. на сфере надо описать круг 360 градусов чтобы вернуться, за это время ваша мачта как раз опишет целый круг. а в проективной плоскости мы отождествили антиподов, стало быть ваш цикл стал в два раза короче – вы выйдете в начало вашего пути описав лишь 180 градусов (от экватора на полюс 90 градусов и 90 градусов от полюса до экватора), в этот момент мачта имеет обратное направление. если это не убеждает, можете мерить ориентацию репером – вектор по ходу движения и вектор направо под 90 градусов (что есть право – вопрос ориентации поверхности, обычно сферу ориентируют так, что третий репер - вертикальный - торчит наружу). пока вы ползете свои 90 градусов до экватора ориентация сохраняется, как на сфере (при движении от 0 жо 180 градусов), но через 90 градусов вы телепортируетесь (или отражаетесь в антиподальную точку) и смените ориентацию - проверьте что ориентация сменится и на сфере при пересечении южного полюса (т.е. это нарушение право/лево есть и на на сфере)

проективная плоскость – классная вещь, но кроме аксиомы о параллельных (там их нет), в ней есть отличие по ориентации. его можно также увидеть следующим образом – прямая там - это замкнутая линия, и прямая l не делит проективную плоскость на две части. любые две точки А и B соединены прямой m, значит один из отрезков [A,B] на прямой m (а их два!) не пересекает l. такое не может произойти на ориентируемой поверхности – там замкнутая кривая отрежет область справа от области слева. а на неориентируемой нет глобального право и лево. есть такое описание, уж не знаю, поможет ли. берете квадрат со сторонами

    a  = 0,0 - 0,1
    b  = 0,0 - 1,0
    a' = 1,0 - 1,1
    b' = 1,0 - 1,1
в декартовых координатах. теперь, если вы склеите а и а', то получите цилиндр, если еще и b с b', то бублик, если b с -b' (т.е. наоборот их отождествите) – то бутылка Клейна, а если а склеите с -а' и b склеите с -b' – вот тут будет проективная плоскость. движения надо представлять так – вы едете по прямой, когда она выходит на границу, скажем 1,1/3, то возникает с другой стороны по склейке, здесь 0,2/3. в целом заклеенная полусфера – это примерно о том же самом, но может так чуть интуитивнее про топологию (а может и нет)

когда корабль свалился в экватор в атлантике и вынырнул в тихом океане, он сменил карту?

конечно. Северную карту можно было бы продолжить без проблем чуть на юг от экватора, а Южную - чуть на север. в обеих картах пересечение экватора было бы ничем не примечательным событием, но при перерасчёте координат возникает смена ориентации

хирургия иным манером

другой способ описать получившегося монстра, называемого “топологической моделью проективной плоскости” - начать с ленты Мёбиуса. если “посмотреть” на боковую границу ленты Мёбиуса, проведя по ней пальцем, то увидим, что в отличие от обычной ленты граница ленты Мёбиуса состоит не из двух разных окружностей, а всего из одной. дальше можно рассуждать следущим образом: есть у нас поверхность, край которой состоит из одной-единственной окружности. видали мы в детстве такие поверхности: возьмите мячик, и вырежьте в нём круглую дырку. жалко мячик - возьмите детский спасательный круг и вырежьте круглую дырку на нём, но не перестарайтесь: если просто разрезать ножницами велосипедную камеру поперёк, то получится короткий шланг, граница которого - две окружности, а мы просили ровно одну. поэтому режьте с оглядкой

перепортив таким образом все двумерные поверхности в доме, вы установите экспериментальным путём незамысловатую истину: вырезанный кусок всегда можно заклеить “простой” заплаткой, граница которой тоже состоит из окружности (мы сейчас пренебрегаем вопросом длины разреза, который надо заклеить). если есть на поверхности дырка, ограниченная одной замкнутой линией, то её можно заклеить заплаткой в виде круга, подклеив края. ну так за дело: лента Мёбиуса - поверхность, её граница - одна замкнутая линия (топологическая окружность). клей в руки - и вперёд, заделать дырку и получить поверхность совсем без края

что, не получается? а я знал...

дело в том, что край (граница) листа Мёбиуса - окружность только с точки зрения муравьёв, живущих на поверхности этой ленты, они и в самом деле не смогли бы отличить её от маленькой круговой дырочки, как если б лента была сделана из ремня с дырочками. а мы, взрослые трёхмерные люди, видим (присмотревшись), что в нашем пространстве эта окружность завязана в узел. простенький (самый простой из возможных!), но узел. соответственно, чтобы заклеить в ленте дырку круговой заплаткой, надо сначала завязать в узел и граничную окружность нашей заплатки. а это невозможно сделать без самопересечений

что это было? ещё раз подчеркнём: все эти невообразимые ужасы возникли в результате всего лишь невинной попытки “разделить сиамских близнецов” и придумать способ, как можно было бы на обычной сфере выбрать по одному представителю из каждой пары антиподальных точек. единственное требование, которое мы предъявляли - непрерывность: выбор из двух близких антиподальных пар должен был быть согласованным, без скачков. разумеется, ни о каком расстоянии или метрике речь не шла. но зато, склеив нашего монстра (называемого “вещественной проективной плоскостью”), мы теперь можем снабдить его расстоянием и даже римановой метрикой. как? элементарно

пусть A=(P,-P) и B=(Q,-Q) - две “проективные” точки, соответствующие двум антиподальным парам сферических точек (надеюсь, обозначения понятны). тогда можно положить ρ(A,B) равным минимуму из сферических расстояний от P до Q и -Q. по очевидным соображениям, оно же равно минимуму из сферических расстояний от -P до Q и -Q. (очевидное соображение состоит в том, что отображение сферы, отправляющей любую точку в её антипода - изометрия). иными словами, проективная плоскость - это сфера (со всеми прелестями сферической метрики, в том числе большой группой симметрий), но лишённая неудобной двойственности. в проективной геометрии “прямые” - следы больших кругов на сфере, - всегда пересекаются, и всегда в единственной точке. более того, через любые две разные проективные точки проходит единственная прямая

так в чём выгода? ну, с абстрактной точки зрения проективная плоскость просто хороша тем, что упрощает язык и делает ненужными исключения в сферической геометрии. но на самом деле её польза - гораздо, гораздо больше. попробуем сформулировать процедуру разделения близнецов алгебраически

единичная сфера живёт в трёхмерном пространстве с координатами (x,y,z). каждая точка сферы определяет единственный луч с центром в (0,0,0), проходящий через эту точку; всё, что лежит на этом луче, имеет координаты (λx, λy, λz) со всевозможными значениями λ>0. обратно, каждую точку в трёхмерном пространстве можно спроектировать из центра О на сферу, поделив все координаты точки на корень из суммы их квадратов (расстояние до центра). антиподальным точкам будут соответствовать два антинаправленных луча, вместе образующих одну прямую

что будет, если заменить луч с вершиной в О на прямую в ℝ³ - на прямую, тоже проходящую через (0,0,0)? хотелось бы найти такую поверхность в ℝ³, которая пересекала бы каждую такую прямую в единственной точке. тогда на такую поверхность можно бы проектировать точки сферы, и антиподальные точки (соответствующие одной и той же прямой!) автоматически спроектируются в одну и ту же точку, решив за нас проблему, вызвавшую столько трудностей с топологией. к сожалению, одной такой поверхности нет и не может быть

зато очевидным образом есть поверхность, “обслуживающая” почти все точки пространства (соответственно, сферы). такая поверхность называется - та-дамм! - эвклидова плоскость в ℝ³, главное, чтобы она не проходила через О

пример. рассмотрим плоскость Π=Π[3], заданную уравнением {z=1} в ℝ³ с координатами (x,y,z). среди всех точек вида (λx, λy, λz), λ≠0, есть не более одной такой точки. если z≠0, то это пересечение случится в точке (x/z, y/z, 1). тем самым плоскость Π[3] с координатами u=x/z, v=y/z, “обслуживает” все точки, сферы/пространства, кроме плоскости {z=0} и соответствующего большого круга на сфере. эти точки “не видны” на плоскости Π[3] - они "не отрбасывают тень" на эту плоскость, если "посветить" на них фонариком из точки О. более того, если мы посмотрим на этой плоскости, что происходит с образами точек, у которых z стремится к нулю (неважно, с какой стороны), то эти точки будут “убегать на бесконечность”: их (u,v)-координаты будут расти неограниченно

что же делать с этими “невидимыми” (или “бесконечными”, “идеальными”) точками? в отличие от гиперболической геометрии, где мы не обязаны были о них заботиться, в случае сферы/трёхмерного пространства эти точки ничем не отличаются от остальных, разве что неудачным расположением относительно выбранной плоскости Π[3]. но это поправимо

рассмотрим плоскость Π[2], заданную уравнением {y=1}. эта плоскость будет “обслуживать” (предъявлять единственную проекцию на себя) все точки, кроме тех, у которых {y=0}. для остальных точек единственный представитель будет иметь координаты (x/y, 1, z/y), на самой плоскости Π[2] можно в качестве координат выбрать u´=x/y, v´=z/y (совпадающие с ограничением эвклидовых координат (x,z) на Π[2]). на плоскости Π[2] теперь уже окажутся “невидимыми” точки, у которых y=0

в совокупности, две плоскости Π[2] и Π[3] покрывают все точки в ℝ³, кроме точек вида (x,0,0). ну что же, - на этот счёт у нас есть плоскость Π[1] с уравнением {x=1} и координатами u˝=y/x, v˝=z/x

что же мы получили в результате?

вместо одной поверхности, пересекающей все прямые в ℝ³, мы получили три разные плоскости Π[1], Π[2] и Π[3] и три точки-образа (u,v), (u´,v´) и (u˝,v˝). казалось бы, это даже хуже, чем две точки-близнеца на сфере. в чём разница? а разница в том, что эти три плоскости (называемые картами на проективной плоскости) изначально различны (физическое пересечение плоскостей в ℝ³ не в счёт): в тот момент, когда ваш корабль приближается к границам одной из карт Π[i], он уже давно находится близко к центру как минимум на одной из двух других оставшихся карт, и переключаться с одной карты на другую надо не скачком, в момент пересечения “запретной линии”, а заблаговременно, выбрав ту карту, на которой “запретная линия” совершенно ничем не примечательна. скажем, запретная линия {z=0} в карте Π[3] в координатах на карте Π[2] имеет совершенно прозаическое уравнение v´=0 на плоскости (u´,v´)

иными словами, мы имеем что одно и то же множество “проективных точек” (множество всех прямых в ℝ³, проходящих через О) оказывается покрытым атласом из трёх карт, каждая из которых выглядит как копия обычной эвклидовой плоскости ℝ². почти все “проективные точки” (эвклидовы прямые) видны на каждой из трёх карт, а то, что не видно на одной, прекрасно видно на одной из двух других. более того, зная координаты (u,v) какой-то проективной точки на карте Π[3], мы можем мгновенно вычислить координаты этой же точки на оставшихся картах: формулы пересчёта даются рациональными дробями от u,v

на самом деле, конечно, с вычислительной точки зрения (когда множества задаются уравнениями) удобнее не пользоваться картами вовсе, а сразу писать уравнения в “однородных координатах” (x,y,z). что значит однородность? рассмотрим моном-одночлен, произведение координат вида

    f (x, y, z) = xp * yq * zr
с неотрицательными показателями степеней p,q,r. степенью монома называется сумма d=p+q+r, и она однозначно задаётся тождеством
    f (λ*x, λ*y, λ*z) = λd f (x, y, z)
при всех λ≠0

Def: полином (по-русски “многочлен”, сумма мономов-одночленов) называется однородным, если все слагаемые в этой сумме имеют одну и ту же степень. по линейности, каждый такой многочлен удовлетворяет тому же соотношению

    f (λ*x, λ*y, λ*z) = λd * f (x, y, z)
при всех λ≠0. мы никогда не будем рассматривать многочлен, тождественно равный нулю

как выглядит множество в ℝ³, заданное уравнением f(x,y,z)=0, с однородным ненулевым многочленом f?

из приведённого соотношения немедленно следует, что наряду с любой точкой (x,y,z)≠(0,0,0) этому же уравнению удовлетворяет точка (λ*x,λ*y,λ*z) при всех λ≠0. такие множества называются коническими, а с нашей точки зрения это означает, что уравнение (непременно с нулём в правой части!) задаёт условие на проективные точки

например, любое линейное уравнение вида a*x+b*y+c*z=0 - однородное (и задаёт плоскость в ℝ³, проходящую через О, за исключением тривиального случая a=b=c=0). в каждой из карт это уравнение имеет вид прямой линии:

      a*u + b*v + c   = 0,
или
      a*u´ + b + c*v´ = 0,
или
      a + b*u˝ + c*v˝ = 0
- в зависимости от выбора карты. конечно, все такие множества называются проективными прямыми. а что бы вы хотели? если они в каждой карте выглядят прямыми, как ещё их называть? кстати, всевозможные плоскости вида ax+by+cz=0 проходят через центр сферы и, по определению, высекают на сфере большие круги, которые мы раньше называли “сферическими прямыми”. наш проективный атлас позволяет целиком и полностью мотивировать такую терминологию

прямые бывают, прямо скажем, разные

рассмотрим случай a=b=0, c≠0. в первой карте уравнение приобретает сакраментальный вид 1=0. что вы таки скажете за такое уравнение? таки я скажу: ему не удовлетворяет ни одна “конечная” точка (u,v). а кто удовлетворяет? наплюйте в первую карту - они ничего не смыслят в том, как рисуют прямые настоящие пацаны. на вторй карте она будет осью v´=0, на третьей - осью v˝=0, и всё окажется по понятиям. а в первой карте вы ничего не видите, потому что там вся эта прямая состоит из “бесконечно удалённых точек”. она так и называется, бесконечно удалённая прямая. зато само её наличие позволяет придать смысл разным “парадоксальным” утверждениям. подчеркнём ещё раз: бесконечная прямая - своя для каждой карты, а на самой проективной плоскости она ничем не выделяется, как ничем не выделяется на остальных картах, но играет удобную роль в разговоре

давайте рассмотрим в карте Π[3] с координатами (u,v) семейство параллельных линий, например, u=c, где c - постоянная, пробегающая все возможные вещественные значения. будучи параллельными, эти прямые не пересекаются. а что мы увидим в карте, скажем, (u´,v´)? уравнение u=c в однородных координатах выглядит как уравнение плоскости x-c*z=0 (почему?), а значит, в карте (u´,v´) примет вид u´-c*v´=0, т.е., u´=c*v´. когда постоянная с∈ℝ меняется, мы получим набор прямых, под разными наклонами проходящих через точку (u´,v´)=(0,0) (невидимую, т.е., "бесконечную") в исходной карте. таким образом, все проективные прямые, параллельные данной, пересекаются друг с другом в одной и той же "бесконечно удалённой точке", лежащей на "бесконечно удалённой прямой". сама эта бесконечно удалённая прямая соответствует прямой v´=0 во второй карте (никуда не делась, лапочка)

а что там у нас с кругами? a давайте сразу кинем шапку на ринг и ответим вопросом на вопрос. почему только круги? а что вообще у нас будет с квадриками, кривыми, задаваемыми уравнениями второй степени?

скажем, возьмём окружность на плоскости Π[3], заданную уравнением u²+v²-1=0. как она будет выглядеть в однородных координатах? ответ: x²+y²-z²=0 (проверьте!). это - уравнение прямого кругового конуса, который и на сфере высечет окружность (какую? из системы уравнений x²+y²-z²=0 и x²+y^+z²=1 следует, что 2*z²=1, т.е., две окружности z=±√2/2=0.7071... |z|<1, как и следовало ожидать. а что там в других картах? а в других картах мы неожиданно увидим две кривые, u´²+1-v´²=0 и 1+u˝²-v˝²=0. обе они - гиперболы с рогами, уходящими в бесконечность. а чего же, спрашивается, вы хотели? обе оси u=0 и v=0 в исходной карте - бесконечно удалённые прямые для карт Π[2] и Π[1] соответственно, поэтому пересечения исходной окружности с этими картами просто обязаны были уехать на бесконечность. но это, конечно, крайний вариант. если бы мы взяли в качестве карты произвольную плоскость Π⊆ℝ³ на эвклидовом расстоянии 1 от О (т.е., заданную уравнением a*x+b*y+c*z=1 с коэффициентами a,b,c, сумма квадратов которых равна единице, и выбрали бы эвклидовы координаты (унаследованные из ℝ³) на этой плоскости, то мы бы увидели всю гамму эллипсов и гипербол, в зависимости от выбора плоскости Π

точнее, не совсем всю: кое-что сохраняется при переходе от карты к карте. надо разбираться с тем, как устроены изометрии проективной плоскости

изометрии проективной плоскости

напомним, что изометрии проективной плоскости по определению порождены изометриями сферы (мы так определили метрику на проективной плоскости). в свою очередь, изометрии (круглой) сферы все порождены жёсткими вращениями трёхмерного пространства вокруг цента О. таких вращений много, как мы знаем: любую точку сферы можно перевести в любую, соответственно, любую плоскость на единичном расстоянии от центра О тоже можно перевести в любую. как геометрически выглядит такое преобразование?

ответ: это центральная проекция

если мы возьмём две такие плоскости Π´, Π˝ в качестве карт (они будут касаться единичной сферы в соответствующих точках A´,A˝), то преобразование изометрии сопоставит любой точке P´∈Π´ точку P˝∈Π˝ полученную следующим образом: надо взять прямую, проходящую через P´ и О, и взять в качестве P˝ пересечение этой прямой с Π˝. конечно, такое пересечение может "убежать в бесконечность", но мы уже знаем, как с этим бороться

пример. пусть A´=A˝ и, соответственно, Π´=Π˝. любое вращение, переводящее точку в себя, является вращением вокруг оси, проходящей через эту точку. значит, преобразование, заданное, скажем, в карте Π[3] вокруг центра (u,v)=(0,0), будет изометрией

Ахтунг: вращение вокруг других точек изометрией проективной плоскости не будет!

другой пример изометрии - формулы перехода между плоскостями Π[i], которые мы использовали в качестве карт (и неслучайно все они были выбраны на единичном расстоянии от центра О). точка с координатами (u,v) в карте Π[3] будет иметь однородные координаты (u,v,1), что то же самое, что (u/v, 1, 1/ v). соответственно, в карте Π[2] её координаты будут (u/v, 1/v), и несмотря на деление на нуль (и вообще диковатый вид) такое отображение будет изометрией

вернёмся к обсуждению окружностей и квадрик. в курсе линейной алгебры доказывается, что всякий однородный многочлен второй степени от переменных (x,y,z) при помощи вращения координат (изометрии в трёхмерном пространстве) можно привести к форме

    F (x, y, z) = a*x² + b*y² + c*z²
с вещественными коэффициентами a,b,c. соответствующая кривая F(x,y,z)=0 в разных картах будет (неоднородной) квадратичной функцией местных координат. учитывая, что набор коэфициентоб (a,b,c) имеет смысл только с точностью до пропорциональности, мы можем легко составить список разных изометричных квадрик. там будут окружности разных радиусов, эллипсы с разными полуосями, гиперболы с разными фокусами. кроме того, там будут “распадающиеся” (приводимые) кривые: например, если F есть произведение двух разных линейных множителей, то кривая распадётся в объединение двух прямых (возможно, совпадающих, если F окажется точным квадратом). отдельно надо рассмотреть случай, когда все три коэффициента одного знака: тогда на кривой не будет вещественных точек. ну, и чтобы уж ничего не забыть, - F может оказаться разложимым, но на невещественные множители, например
    F = x² + y² = (x + i*y) * (x - i*y)
такая “кривая” распадается на две комплексных проективных прямых

промежуточная мораль

мы можем “подправить” сферическую геометрию, убивши одним выстрелом двух мух. во-первых, мы избавляемся от досадной исключительности, которая мешала нам в сферической геометрии (необходмиость отдельно рассматривать антиподальные точки). во вторых, мы придумали, с какого ракурса и каким образом фотографировать сферу так, чтобы круглые большие круги распрямились в настоящие прямые

на самом деле мы между делом прихлопнули ещё одну муху, изгнав из эвклидовой геометрии исключение - возможность параллельности прямых. в проективной геометрии параллельные прямые пересекаются, но только за пределами той карты, в которой мы их заметили

в качестве ещё одного бонуса мы избавились от ещё одной “странности” - обнаружили, что некоторые квадратичные кривые “на самом деле” проективно изометричны

есть ещё один колоссальный бонус (стóящий ещё целой стаи убитых мух) при переходе от эвклидовой геометрии к проективной - в приложениях к алгебраической геометрии

рассмотрим произвольное алгебраическое уравнение от двух переменных (x,y), вида

    f (x, y) = ∑ apq * xp * yq
с вещественными, скажем, коэффициентами apq ∈ℝ степени d = max(p+q) (максимум берётся по всем мономам с ненулевыми коэффициентами apq≠0). поскольку полином Р неоднородный, степени различных мономов могут быть различными. но мы можем одним щелчком превратить неоднородный полином f от двух переменных в однородный полином F от трёх переменных (x,y,z): достаточно каждый моном домножить на zr так, чтобы p+q+r=d было одним и тем же числом для всех мономов. тогда при z=1 мы получаем исходную кривую (в чём и был весь смысл домножения)

однородность - великое дело! из плоской кривой f(x,y)=0 мы путём минимальных усилий изготовили проективную кривую F(x,y,z)=0, которую вместо изначальной карты (u,v)=(x,y) на плоскости Π[3] можно рассматривать её в двух других картах. это позволит сблизи разглядеть ветви (“рога”) исходной кривой f(x,y)=0, которые уходят “в бесконечность” на исходной плоскости. проективная плоскость, как говорится, компактна: можно убежать “на бесконечность” в каждой отдельной карте, но на самой плоскости деваться некуда, убегать некуда. всегда найдётся подходящий “ракурс”, с которого видна любая точка проективной плоскости. с другой стороны, какую бы прямую на проектовной плоскости не взять, её всегда можно отправить “в бесконечность” подходящим изометричным преобразованием

это, кстати, общее между сферой и проективной плоскостью. картографы прекрасно понимают, что ни с какой одной точки нельзя увидеть всю поверхность Земли целиком, даже если пренебречь искажениями. нужен атлас из нескольких карт (и чем более крупный масштаб на отдельных картах, тем меньше искажения, но зато карт надо больше и атлас будет толще)

на фоне всех этих бонусов необходимость завязываться узлом с утратой ориентации - мелкая неприятность. на проективной плоскости, например, (в отличие от эвклидовой плоскости) никакая прямая не разбивает её на две части: для любой прямой L и любых двух точек А,В вне её можно соединить эти точки отрезком прямой, не пересекающим L. почему? отправьте изометрично прямую L на бесконечность, и проблема исчезнет вместе с “забором”, который запрещено пересекать

разговор о проективной плоскости призван был продемонстрировать преимущества аналитических методов. сферическая геометрия, как уже отмечено было раньше, худо-бедно нам знакома интуитивно и визуально (кто в детстве не играл с глобусом?). эквивалентная (по сути) сферической проективная геометрия поначалу кажется совершенно непривычной и парадоксальной (со всеми своими сомнительными трюками со сменой ориентации), но её колоссальные вычислительные преимущества перевешивают все топологические причуды (а если рассматривать всё над ℂ, то и причуд-то не остаётся). чтобы было понятнее - формулы сферической геометрии полны всевозможных тригонометрических выражений. это и понятно: в конце концов, каждый сферический отрезок - это дуга окружности, поэтому синусы и косинусы табунами появляются там, где в эвклидовой геометрии были длины. взамен этих синусов формулы проективной геометрии - рациональны (отношения координат, простейшие дроби), поэтому пользоваться ими, исследуя алгебраические кривые - сплошное удовольствие. никаких тебе тригонометрических тождеств, знай себе перемножай да скобки раскрывай. а в однородных координатах вообще для большинства целей хватает линейной алгебры (см. панегирик в конце)

в этом смысле гиперболическая геометрия, изначально определённая рациональной метрикой (в комплексной версии) сразу приспособлена для вычислений. единственная засада, - при вычислениях в гиперболической геометрии очень быстро появляются экспоненты и логарифмы. в этом тоже ничего удивительного нет: функция 1/z, скажем, рациональна, но если надо её проинтегрировать (например, считая какую-нибудь длину), то сразу появляется логарифм ln(z), который уже очень неалгебраический. ну, а где логарифм, там и обратная ему экспонента, тут уж никуда не денешься. скажем, гиперболическая длина окружности Lh(R) гиперболического радиуса R<∞ равна Lh(R)=2π*(sh R), где (sh R)=½(eR−e−R) - гиперболический синус, функция, обращающаяся в ноль при R=0 и имеющая там единичную производную (так что sh R ≅ R при малых R), но растущая на бесконечности, как экспонента. (это результат вычисления интеграла, выписанного в прошлый раз)

но человеку всегда мало, чего ни предложи. очень хочется пощупать руками гиперболическую геометрию, “поглазеть” на неё. можно ли построить такую поверхность H в ℝ³ таким образом, что, измеряя длины вдоль H, мы получим гиперболическую геометрию так же, как мы получаем сферическую геометрию, измеряя расстояния вдоль сферы

можно попытаться угадать, как должна будет выглядеть такая поверхность, например, глядя на то, как растёт длина гиперболической окружности Lh(R) с её радиусом (см.выше). она должна расти быстрее, чем в эвклидовом случае Le(R)=2πR, - т.е., нарисованная на Н кривая должна быть длиннее обычной “плоской” окружности. для сравнения: в сферическом случае длина Ls(R) должна расти медленнее, чем в плоском случае: отношение периметра к радиусу уменьшается за счёт того, что загибаются и тем самым слегка удлиняются сами радиусы, проведённые в разные точки этой окружности. это означает, что с трёхмерной точки зрения гиперболическая окружность должна быть сильно изогнутой, сильно неплоской (все сферические окружности - плоские)

можно попытаться грубо прикинуть, как для этого должна выглядеть поверхность. для этого мы с самого начала выберем в трёхмерном пространстве систему координат так, что поверхность стала бы графиком дифференцируемой функции z=f(x,y), где (x,y) - обычные эвклидовы координаты, которые меняются вблизи точки (0,0). более того, можно выбрать ось z так, чтобы касательная плоскость к Н стала горизонтальной. это означает, что сама функция и её первые производные обращаются в ноль в (0,0), и ряд Тейлора функции начинается с квадратичных членов. поворотом в (x,y)-плоскости можно добиться того, что эти члены имеют вид f(x,y)=a*x²+b*y²+... a,b∈ℝ. многоточие означает, что в принципе есть и более высокие степени, но они не будут играть роли в вычислениях кривизны в точке (0,0)

если коэффициенты a,b одного знака, поверхность имеет вид чаши (или перевёрнутой чаши), - так выглядит маленький кусок сферы вблизи Северного или Южного полюсов в случае a=b. такие точки называются эллиптическими (локально напоминают эллипсоид)

если же a и b - разных знаков (оба ненулевые), то мы имеем т.н. седловую поверхность, географически описывающую точку перевала из одной долины в другую через горную цепь. такие точки называются гиперболическими, или седловыми

геометрически разницу между двумя типами точек можно описать очень просто: пересечение поверхности Н с касательной плоскостью в эллиптическом случае - одна точка (вся остальная поверхность локально лежит по одну сторону от касательной плоскости), а в гиперболическом - две пересекающиеся гладкие кривые (см.ниже)

можно посчитать (нудно и долго, увы), что в эллиптическом случае геометрия в окрестности точки будет “почти” сферической. “почти” означает, что кривизна (отклонение суммы углов крошечного геодезического треугольника от 180 градусов) в самой точке (0,0) и во всех близких точках будет положительной. во седловом (гиперболическом) случае она будет, напротив отрицательной, и периметр маленькой геодезической окружности (измеренной вдоль Н) будет больше, чем 2π×(её_геодезический_радиус): окружность “взмахивает крылышками” вверх в горы, опуская “голову и хвост” в долину. за счёт такого прогиба длина окружности удлиняется по сравнению с плоским случаем. удлиняется немного, но всё же сильнее, чем удлиняется (из-за криволинейности поверхности Н) её радиус, так что Lh(R)>2πR для малых R>0

при этом в отличие от “настоящих” сферы и гиперболической плоскости, кривизна полученной поверхности будет непостоянной (меняться от точки к точке). в случае сферы, как мы знаем, с этим можно побороться: сфера целиком состоит только из эллиптических точек, и кривизна её постоянна

таким образом, мы можем примерно представить себе, как должна выглядеть “модель” гиперболической плоскости в трёхмерном пространстве. она должна целиком состоять только из гиперболических точек. бывает ли такое? ну конечно, бывает. т.н. “параболический гиперболоид”, заданный уравнением z=x²−y² (без всяких многоточий) имеет отрицательную кривизну всюду. другой пример такой поверхности задаётся уравнением x²+x²−z²=1, и называется (однополостной) гиперболоид вращения. он действительно, более симметричный и переходит в себя при вращениях вокруг оси z, поэтому кривизна на всех окружностях z=const одинакова (но зависит от z). к сожалению, в обоих случаях кривизна хоть и отрицательна, но непостоянна. скажем, в случае гиперболоида вращения она стремится к нулю когда z→±∞, поскольку гиперболоид асимптотически стремится к прямому круговому конусу x²+y²−z²=0, кривизна которого нулевая. (почему нулевая? да потому, что настоящий конус можно разрезать вдоль любого образующего луча, проходящего через вершину, и после этого его можно будет изометрически развернуть в “плоский” угол)

поиск среди простейших поверхностей “под фонарём” не получился. может, такой поверхности не существует? нет, нет такой крепости, которую не взяли бы большевики!©

рассмотрим гладкую функцию одной переменной y=φ(x), везде положительную. её график - кривая на плоскости, не пересекающая ось y=0. поэтому можно повращать эту плоскую кривую (вместе с плоскостью) в пространстве вокруг оси х. получится гладкая поверхность Н, симметричная относительно вращений вокруг оси x в трёхмерном пространстве. геодезическая кривизна такой поверхности одинакова для всех точек с одной и той же координатой х, и её можно явно вычислить: в ответ войдут значение функции φ(x) и её производными φ’(x) и φ’’(x). потребовав, чтобы кривизна оставалась постоянной, мы получим дифференциальное уравнение (соотношение между функцией и её производными). чтобы кривизна была постоянна, функция φ должна удовлетворять этому уравнению. мистическим (?) образом, это уравнение оказывается точно решаемым в элементарных функциях (такое исключительно редко бывает!)

кривая эта называется трактриса, и у неё есть и явная формула, и “кинематическое” описание

осталось единственное небольшое “но”. вращением трактрисы мы получаем поверхность постоянной отрицательной кривизны, называемую псевдосферой (иногда псевдосферой Бельтрами), которая локально изометрична гиперболической плоскости

видно невооружённым взглядом, как разбегаются на ней геодезические линии, да и вообще можно напечатать её на 3D-принтере и поставить на книжную полку, как "глобус по-настоящему свободного мира". но псевдосфера явно имеет особенность, острое “лезвие” на окружности x=0 (псевдоэкваторе). этот пояс - неестественная граница: если мы начнём строить гиперболическую прямую, то построение закончится трагически в тот момент, когда наткнётся на псевдоэкватор, хотя ничего похожего на настоящей плоскости Лобачевского нет и быть не может

почему такое возникает? вспомним про длину гиперболической окружности и гиперболический синус, входящий в формулу для неё. экспоненциальный рост - чертовски быстрая штука. трудно вообразить себе поверхность, на которой помещались бы такие длинные окружности (напомним, - на поверхности в трёхмерном пространстве геодезическая длина совпадает с эвклидовой). сказанное, однако же, не доказательство, а всего лишь слабый аргумент, указывающий на то, что по-настоящему глобальных “трёхмерных моделей” у геометрии Лобачевского может и не быть

теорему о том, что это и в самом деле невозможно, что полностью реализовать геометрию Лобачевского поверхностью в трёхмерном пространстве не получится (только кусками), доказал Гильберт только в 1901 году, спустя 70 лет после публикации работы Лобачевского и 50 лет после революционной лекции Римана. и эти годы (вторая половина XIX века) были Золотым Веком математики! наверное, равного сделанному тогда весь XX век не произвёл (моё личное оценочное суждение, не бейте сильно)

а вот более сильное утверждение, - что на любой поверхности, реализующей геометрию (даже непостоянной) отрицательной кривизны, обязательно будут “сколь угодно плоские” точки (гиперболические точки, в которых кривизна сколь угодно близка к нулю), было доказано Николаем Владимировичем Ефимовым “только вчера” по историческим меркам, в 1975 году. это означает, что ситуация с однополостным гиперболоидом, описанным выше (на котором кривизна стремится к нулю на бесконечности) является типичной

на картинке - самый большой гиперболический диск, который ещё можно вложить в трёхмерное пространство. обратите внимание: этот диск “обёрнут” вокруг псевдосферы Бельтрами, и одновременно касается и псевдоэкватора, и сам себя (внешним образом). воистину, nec plus ultra. центр этого диска - красная точка, находящаяся на “задней” стороне псевдосферы Бельтрами (на “передней” стороне видно внешнее самокасание диска)

так в чём мораль? я надеюсь, что описанная “алгебраическая” реализация “эллиптической” (сферической, проективной) геометрии и “геометрическая” реализация гиперболической геометрии убедили читателей: никаких философских принципиальных различий между ними нет, и (вместе с промежуточной эвклидовой геометрией) они естественным образом возникают в самых разных задачах алгебры, анализа и геометрии

более того, есть тайный дуализм между эллиптическим и гиперболическим случаями, восходящий к формуле Эйлера

    exp (i*x) = cos x + i * sin x 
эта формула объясняет, почему при продолжении в комплексную плоскость экспонента становится источником тригонометрических функций. а такая миграция неявно присутствует, когда мы сравниваем эллиптическую и гиперболическую геометрию. уже в самый первый момент, давая определение эллиптической и гиперболической точек, мы сравнивали “квадратичные” аппроксимации поверхностей и интересовались, как устроено пересечение поверхности с касательной плоскостью. соответствующее уравнение a*x²+b*y²=0 определяет в “действительном” (в Питере сказали бы, в “вещественном”) мире принципиально разные объёкты, точку (0,0) или пару прямых, возможно, совпадающих друг с другом. однако в комплексном мире разница становится гораздо заметнее: над комплексными числами многочлен a*x²+b*y² всегда раскладывается на произведение двух линейных множителей. они могут быть вещественными, α*x±β*y, и тогда мы увидим пару вещественных прямых, или комплексно сопряжёнными α*x±i*β*y, которые не видны “вещественному” глазу, только точка пересечения соответствующих мнимых прямых α*x±i*β*y=0 окажется вещественной. следует ли после этого сильно удивляться тому, что в эллиптическом случае в формулах вылезают экспоненты мнимых чисел (синусы и косинусы), а в гиперболическом случае - “настоящие” экспоненты, неограниченно растущие (или быстро убывающие до нуля)?

панегирик линейной алгебре

при этом как раз “промежуточный”, эвклидов случай геометрии нулевой кривизны остаётся гораздо более базисным в сравнении с эллиптической и гиперболической версиями. это проявляется и в “более простой” геометрии (несмотря на все её исключительные случаи), и в “повышенной” симметричности (в других геометриях нет понятия подобия)

но главное обстоятельство, конечно, - это то, что за эвклидовой геометрией “прячется” линейная алгебра, алгебра уравнений первой (и иногда второй) степени

впрочем, это ещё вопрос, - кто за кем прячется

линейная алгебра, собственно, примечательна тем, что там теоретически разрешимы все уравнения, надо только внимательно следить за деталями (в частности, за комбинаторикой разных индексов, иногда очень запутанной). надо орудовать всеми четырьмя действиями арифметики, никогда не забывая, что на ноль делить нельзя

именно линейная алгебра (и выросший из неё функциональный анализ - в бесконечномерном случае) - настоящий фундамент современной математики. очень обидно видеть, в каком виде он застывает в головах “технарей” после “прохождения” в институте (да и на мехмате[Москва]/матмехе[Питер] всякое бывает)