функциональный анализ - это линейная алгебра пространства функций - пространства с бесконечном числом измерений. функциональный анализ изучает отображения элементов таких пространств. предметом функционального анализа следует считать объекты, наделенные согласованными алгебраической и топологической структурами

функан


  • функциональные ряды
  • дуальное пространство
  • свертка функций
  • уравнение Эйлера-Лагранжа
  • Лагранжиан
  • Гамильтониан
  • скобки Пуассона
  • функции Бесселя
  • операторы

  • неравенство Бесселя и равенство Парсельваля

    пусть в гильбертовом пространстве векторов есть ортогональное множество ε и вектор x. тогда сумма скалярных произведений удовлетворяет неравенству :

      Σ |(x,ej)|² ≤ |x|²
      j

    если множество ε является ортонормированным базисом, то неравенство становится равенством и называется равенством Парсельваля


    функциональные ряды

    пример функционального ряда:

          x + x² + x³ + ... + xⁿ + ... 

    при "знаменателе ряда" x ∈ (-1,1) этот ряд сходится, иначе - расходится

    равномерно сходящийся функциональный ряд на интервале - это ряд, в котором функциональные суммы лежат в ε-полоске для всех членов ряда от 1 до N :

        |r| < ε для любого n > N 

    равномерно сходящийся функциональный ряд можно почленно интегрировать

    если ряд, собранный из производных функционального ряда, сходится равномерно, то исходный ряд можно почленно дифференцировать

    достаточный принцип Вейерштрасса : если во всех точках области D значения функций из ряда не превосходят по абсолютному значению положительное число и ряд из таких положительных чисел - сходится, то исходный функциональный ряд в области D сходится равномерно

    теорема Абеля : если степенной ряд

        a₀ + a₁ * x + a₂ * x² + ... + aₙ * x^n + ...
    сходится в точке x₀, то он сходится и в любой точке интервала [-x₀, x₀]

    если степенной ряд расходится в точке x₀, то он расходится на интервалах, для котороых |x| > x²

    пусть для ряда a₀ + a₁ * x + ... + aₙ * xⁿ + ...

        ρ = lim (an+1 / a_n)  
    тогда радиус сходимости R ряда будет
        R = 1 / ρ

    сумма степенного ряда есть непрерывная функция внутри интервала сходимости ряда


    дуальное пространство

    пусть k - скаляр из поля K, а V - линейное векторное пространство над полем K

    тогда очевидно что cуществует гомоморфизм f : v → v . k , v∈V

    дуальность заключается в том что существует пространство гомоморфизмов V* такое что

        φ : v → k, v∈V, φ∈V*

    элементы пространства V называются векторами, а элементы пространства V* называются ковекторами. такие ковектры называются "линейными функционалами"

    если взять базис {e_1,...,e_n} в пространстве V, то ему будет соответствовать базис {e^1,...,e^n} в пространстве V* такой что

        e^j(e_i) = δ(ij)

    Def: линейной формой в пространстве V над полем K называется функция от элементов пространства со значениями в поле K

    если вектор пространства V выразить через базисные векторы e1,...,en как

        x  =  e1 ⋅ x1   +   ...   +   en ⋅ xn  
    то значение функции будет
        f (x)  =  f (e1) ⋅ x1   + ... +   f (en) ⋅ xn
               =    u1 ⋅ x1     + ... +     un ⋅ xn  
    т.о. линейная форма f (x) - это однородная линейная функция координат x1,...,xn с коэффициентами u1,...,un из K. эти коэффициенты можно выбирать из K произвольно и по ним всегда можно определить некоторую линейную форму

    рассмотрим теперь линейные формы f,g,... как новые обьекты, которые будем называть "ковекторы". вместо f(x) будем писать u⋅x и называть это скалярным произведением ковектора u на вектор x

    ковекторы составляют некое векторное пространство, которое называется пространством двойственным векторному пространству V и обозначается как V*

        u ⋅ x  =  u1 ⋅ x1   +   ...    +   un ⋅ xn 
    коэффициенты u1,...,un называются координатами ковектора u

    пространства V и V* всегда имеют одинаковые размерности, а в случае если K - поле, то они еще и изоморфны

    конечномерный (дискретный) случай

    пусть S - произвольное множество, F(S) - множество функций на S со значениями в поле K - отображений вида

        f: S → K
    
        (f1 + f2) s = (f1 s) + (f2 s)
        (a ⋅ f) s = a ⋅ (f s) 

    если S = {1, 2, 3, ..., n} то функции f ставится в соответствие вектор ее значений (f(1),f(2),f(3),...,f(n))

    каждому элементу из S можно поставить в соответствие дельта-функцию

        δs(s) = 1
        δs(t) = 0
    
            n
        f = Σ  f(k) ⋅ δk
           k=1  

    δij представлена вектором (0,0,...,1,0,0,...,0) - еденица на i-том месте


    функционал

    функционал - это всегда оператор, действующий на линейном пространстве, и со значениями в поле скаляров (действительном или комплексном). примерами линейного функционала являются:

    пространство всех функционалов для некоторого векторного пространства V само является пространством, дуальным (сопряженным) к V. такое пространство всегда банахово, вне зависимости от того, банахово ли само пространство V

    в случае гильбертова пространства сопряженное к сопряженному совпадает с исходным - всякое гильбертово пространство рефлексивно

    любой функционал сводится к вычислению скалярного произведения

        n
        Σ  fk ⋅ xk
       k=1  


    свертка двух функций

    операция свёртки - это зависимость интеграла по времени, произведения 1-го сигнала на 2-й, от сдвига по времени второго сигнала относительно первого. результат свёртки показывает в каких местах один сигнал похож на другой, а в каких - непохож. для свёртки берётся копия первого сигнала. к ней прикладывается копия второго сигнала с определённым сдвигом. копии сигналов перемножаются. берётся интеграл по времени от этого перемножения. значение интеграла наносится на график напротив выбранного сдвига. затем сдвиг меняется, сигналы опять перемножаются. опять берётся интеграл от произведения сигналов и наносится на график. так повторяем для всех значений сдвигов. полученый график и будет свёрткой


    уравнение Эйлера-Лагранжа

    рассмотрим линейный функционал Ф : V → ℝ такой что

               b            
        Ф(f) = ∫ L(f,f',t) dt 
               a    
    

    вариация g ∈ V : на [a ,b] , g(a) = 0 , g(b) = 0 , g ≠ 0

        Ш(x) = Ф(f + g*x) 
        
               b                                   b        
        Ш(x) = ∫ L(f + g*x , (f + g*x)' , t) dt  = ∫ L(f + g*x , f' + g'*x , t) dt 
               a                                   a
    

    если f₀ есть экстремум , то dШ/df |f=f₀ = 0

             b
        Ш' = ∫ (∂L/∂f * g + ∂L/∂f' * g') dt = 
             a
    
          b                       b                                        b
        = ∫ (∂L/∂f * g) dt    -   ∫ (d/dt (∂L/∂f') * g) dt   +   ∂L/∂f' * g |   =   0
          a                       a                                        a
    

    g(a) = g(b) = 0 и последний член равен нулю
    на ненулевом интервале ∫ равен нулю только если равно нулю подинтегральное выражение
    g на всем промежутке, кроме границ, нулю не равно и значит

        ∂L/∂f  -  d/dt (∂L/f')  =  0   
    есть условие эксремума функционала Ф
    QED

    для линейного функционала Ф = ∫ L(f, f', t) dt   уравнение   ∂L/∂x = d/dt (∂L/∂x') называется уравнением Эйлера-Лагранжа

    Лагранжиан

    в классической механике Лагранжиан позволяет получить уравнения движения из принципа наименьшего действия :

    где φi - обобщенные координаты (например, координаты частиц), s - множество параметров системы, физическая величина S, называемая действием, определяется как функционал (решение интегрального уравнения):

    действие является мерой движения системы, а принцип наименьшего действия демонстрирует, что природа ленива по своей сути и не допускает лишних движений

    если мы знаем Лагранжиан поля - мы имеем полное описание физического поля и законов, описывающих его. в классической механике действие можно записать в виде:

    где x - вектор, определяющий координаты частицы массы m, а V - потенциальная энергия поля в точке, определяемой вектором x. дифференцируем действие, приравниваем результат к нулю и получаем второй закон Ньютона:
    где ∇V - градиент потенциала поля, вектор, показывающий направление наибольшего изменения поля

    инвариантность Лагранжиана для систем, обладающих функционалом действия, по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований приводит по теореме Нётер к следующим соответствиям:

    полагаем далее, что масса тела m = 1

    Ньютонова система характеризуется обобщенными координатами q и обобщенными скоростями q'

    ее Лагранжиан, зависящий от обобщенных координат, скоростей и от времени есть L(q, q', t)

    интеграл по времени от Лагранжиана L при заданной траектории называют действием S

    истинная траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действие S

    функция Лагранжа L для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией K и потенциальной энергией U :

        L   =   K  -  U

    выразим (полагая массу равной еденице) через массу, скорость и высоту:

        L   =   v² / 2    -    g * h

    на любом участке траектории Лагранжиан L должен быть минимален. тогда

    t L   =   ∇r L   
    
             d(∂L/∂v)/dt   =  ∂L/∂r
    
             dp/dt   =   ∂L/∂r
    
             где
                r   - радиус-вектор тела
                v   - скорость тела       = dr/dt
                p   - импульс тела        = dv/dt

    сам Лагранжиан L при этом - не консервативен

    Лагранжиан L инвариантен при замене базиса - переписываем формулы для K и U; все остальное остается в силе

    Гамильтониан

    пусть x, y - координаты фазового пространства. если

        dx/dt = - ∂H/∂y
        
        dy/dt = + ∂H/∂x
    то
             ℋ = H(x, y, t) - Гамильтониан (или "энергетическая функция")

    скобки Пуассона

    есть такой оператор в пространстве функций, который называется "скобки Пуассона":

        { g₁ (x, y) , g₂ (x, y) }  =  ∂g₁/∂y  *  ∂g₂/∂x  -  ∂g₁/∂x  *  ∂g₂/∂y

    скобка Пуассона линейно зависит от градиента g₁ и линейно зависит от градиента g₂ - т.е. является билинейной формой от градиентов двух скалярных функций :

        { g₁ , g₂ } = ∂lg₁ ∂kg₂ Plk

    скобка Пуассона - это почти что как скалярное произведение векторов, но с одним важным отличием: у скалярного произведения матрица симметричная, а у скобок Пуассона - кососимметричная

        Pkl = - Plk

    при этом выполняется тождество Якоби:

        Pkn ∂n Plm + Pmn ∂n Pkl + Pln ∂n Pmk = 0 

    итак, скобки Пуассона обладают двумя важными свойствами:

    1) {g₁ , g₂} = - {g₂ , g₁} (кососимметричность)

    2) {g₁ g₃ , g₂} = g₁ {g₃ , g₂} + g₃ {g₁ , g₂} (тождество Лейбница)

    продолжая аналогию со скалярным произведением векторов, можно сказать, что у скобки Пуассона тензор P выполняет роль метрики у векторов

    физически элементы этой матрицы говорят какие пространственные координаты соответствют каким импульсам:

        Pxi xj = 0, Pyi yj = 0, Pxi yj = ±δ

    если на многообразии можно завести скобку Пуассона, то такое многообразие называется пуассоновым, а если к тому же у матрицы P будет обратная матрица, то такое многообразие уже называется симплектическим

    NB: антисимметричную матрицу мы можем обратить только если ее размерность - четная


    функции Бесселя

    эти функции образуют базис в пространстве функций

    функции Бесселя первого и второго рода - функции одного аргумента, имеющие параметр ν - "порядок функции". параметр может принимать как целые значения, так и дробные. как часто бывает со специальными функциями, их можно вычислить только приближенно

    функция Бесселя первого рода Jν(x) задается рядом, который сходится при всех x, но делает это слишком медленно вдали от ноля

    функция Бесселя второго рода Yν(x) определяется через функцию Бесселя первого рода - в виде дроби, которая имеет устранимые разрывы при целочисленных значениях порядка ν

    если кратко, то это функции, которые присутствуют в решении линейного дифференциального уравнения (уравнения Бесселя):

                x² * yˮ(x) + x * y'(x) + (x² - ν²) * y(x) = 0
    
        или
    
                x * [ x * y'(x) ]' + (x² - ν²) * y(x) = 0
    с решением в виде:
                y  =  A * Jν (x)   +   B * Yν (x)
    
                где A и B - некоторые константы

    корни уравнения:

                x1 < x2 < x3 . . . < xn < xn+1
                xn+1 − xn → π при n → ∞  

    специальные функции Jν (x) и Yν (x) есть соответственно:

    1. Bessel-функции первого рода, Jν (x), которые конечны в x = 0 при всех действительных значениях ν
    2. Bessel-функции второго рода, Yν (x), которые в x = 0 сингулярны

      Yν (x) = [ Jν (x) * cos (ν * π) − J−ν (x) ] / sin (ν * π) , ν - нецелое число
    когда ν - целое, то берется предел при ν→n

    для целых ν функции Jν и J−ν не являются линейно независимыми:

           J−ν (x) = (−1)^ν * Jν (x)
    для нецелых ν функции Jν и J−ν линейно независимы

    значение функций в точке может быть найдено по формулам:

                         π                                     π
          Jn(x)  = 1/π * ∫ cos(n * θ − x * sin θ) dθ  =  1/π * ∫ cos(x * sin θ − n * θ) dθ
                         0                                     0
    

    в СКА Maxima:

    bessel_j (v, z)
    the Bessel function of the first kind of order v and argument z
    bessel_y (v, z)
    the Bessel function of the second kind of order v and argument z
    bessel_i (v, z)
    the modified Bessel function of the first kind of order v and argument z
    bessel_k (, )
    the modified Bessel function of the second kind of order v and argument z


    топология

    пусть X - топологическое пространство

    подмножество B ⊆ X называется "нигде не плотным", если inf (B) = ∅. иными словами, B "нигде не плотно", если в каждом непустом открытом множестве U ⊆ X найдется такое непустое открытое подмножество V ⊆ U , что V ∩ B = ∅

    любое дискретное подмножество в ℝⁿ "нигде не плотно"

    канторово множество на отрезке [0,1] "нигде не плотно", хотя и не содержит изолированных точек

    пусть X - нормированное пространство. "аннулятором" подмножества M ⊆ X называется множество

        M = {f ∈ X : f (x) = 0  ∀ x ∈ M } 
    "преданнулятором" подмножества N ⊆ X называется множество
        N = {x ∈ X : f (x) = 0 ∀ f ∈ N }   

    пусть H - гильбертово пространство. каноническая биекция R : H → H отображает ортогональное дополнение множества M ⊆ H на его аннулятор. ортогональное дополнение к прообразу множества N ⊆ H при биекции R - это в точности преданнулятор N

    (i) для любого подмножества M ⊆ X его аннулятор M - замкнутое векторное подпространство в X
    (ii) для любого подмножества N ⊆ X его преданнулятор N - замкнутое векторное подпространство в X

    топологическое пространство X называется "локально компактным", если каждая его точка имеет окрестность, замыкание которой - компактно. таковы, например, все конечномерные нормированные пространства, все их открытые и закрытые подмножества, все конечномерные многообразия. простейший пример топологического пространства, не являющегося локально компактным, - множество ℚ рациональных чисел с унаследованной из ℝ топологией

    (i) сумма любого семейства выпуклых множеств - выпуклое множество
    (ii) пересечение любого семейства выпуклых множеств - выпуклое множество
    (iii) образ и прообраз выпуклого множества при линейном отображении - выпуклые множества

    пусть X - нормированное пространство над R, и пусть A, B ⊂ X - выпуклые непересекающиеся подмножества
    (i) если inf A ≠ ∅, то A и B разделены гиперплоскостью
    (ii) если A и B открыты, то они строго разделены гиперплоскостью
    (iii) если A замкнуто, а B компактно, то они строго разделены гиперплоскостью

    можно показать, что в конечномерном нормированном пространстве любые два выпуклых непересекающихся множества разделены гиперплоскостью. в бесконечномерном случае это, вообще говоря, не так, даже если эти множества замкнуты


    категория нормированных пространств с морфизмами-операторами

    язык категорий и функторов удобен для использования в функциональном анализе. одна из основных категорий функционального анализа - категория нормированных пространств, объектами которой являются нормированные пространства, а роль морфизмов играют ограниченные линейные операторы

    пусть X, Y - нормированные пространства. линейный оператор T : X → Y называется "ограниченным", если существует такое c>0, что

        |T x| ≤ c * |x| для всех x ∈ X  

    нормой ограниченного линейного оператора T : X → Y называется число

        |T| = inf { c > 0 | |T x| ≤ c * |x| ∀ x ∈ X }  

    то как оператор действует в пространстве полностью определяется тем, как он действует на базис пространства

    сопряженный оператор

    пусть есть оператор A и функционал 𝓕, такой что

        𝓕 (x) = (x, y₀) , |𝓕| = |y₀|
    тогда
        (A x , y) = (x , y₀) = (x , A* y)

    оператор A* называется сопряженным к оператору A

    оператор называется нормальным, если он коммутирует со своим сопряженным

    оператор называется самосопряженным, если он равен своему сопряженному

    унитарный оператор

    это оператор, который не меняет норму :

        |U x| = |x|  

    унитарный оператор всегда имеет обратный, который в свою очередь равен сопряженному

        U⁻ = U* 

    унитарный оператор не меняет скалярного произведения :

        (U x, U y) = (x , y)

    лемма о змее : пусть дана коммутативная диаграмма векторных пространств (или модулей над произвольным кольцом) с точными строками

    тогда существует точная последовательность

        0 → Ker α → Ker β → Ker γ → Coker α → Coker β → Coker γ → 0

    пусть X и Y - нормированные пространства. операторы S ∈ B(X) и T ∈ B(Y) называются подобными (соответственно, изометрически эквивалентными), если существует топологический (соответственно, изометрический) изоморфизм U : X → Y, делающий следующую диаграмму коммутативной:

    в случае гильбертовых пространств изометрическую эквивалентность чаще называют унитарной эквивалентностью. смысл этого определения в том, что операторы S ∈ B(X) и T ∈ B(Y) следует считать "одинаковыми", если пространства X и Y можно отождествить (топологически либо изометрически) так, что оператор S "превратится" в оператор T

    пусть X, Y - банаховы пространства и T : X → Y - ограниченный линейный оператор

    1. T топологически инъективен ⇐⇒ T сюръективен
    2. T сюръективен ⇐⇒ T топологически инъективен
    3. T - топологический изоморфизм ⇐⇒ T - топологический изоморфизм

    пусть X, Y - банаховы пространства и T : X → Y - ограниченный линейный оператор

    1. T изометричен ⇐⇒ T коизометричен
    2. T коизометричен ⇐⇒ T изометричен
    3. T - изометрический изоморфизм ⇐⇒ T - изометрический изоморфизм

    пусть X, Y - банаховы пространства. ограниченный линейный оператор T : X → Y имеет закрытый образ тогда и только тогда, когда его сопряженный оператор T : Y → X имеет закрытый образ. если эти условия выполнены, то

        Img T = (Ker T)
        Img T = (Ker T)
    и существуют изометрические изоморфизмы
        Ker T ≅ (Coker T)
        Coker T ≅ (Ker T)

    пусть X, Y, Z - банаховы пространства, S ∈ B (X , Y), T ∈ B (Y , Z) и TS = 0. следующие утверждения эквивалентны:

                               S    T
      (i) последовательность X →  Y → Z точна и Img T замкнут
    
                                 T∗     S∗
     (ii) последовательность X∗  ←  Y∗  ←  Z точна и Img S замкнут

    цепной комплекс C = (Cn,dn) банаховых пространств точен тогда и только тогда, когда точен его сопряженный комплекс C = (Cn , dn*)

    лемма Серра : пусть X, Y, Z - банаховы пространства, S ∈ B (X , Y), T ∈ B (Y , Z) и TS = 0. предположим, что операторы S и T имеют закрытые образы. тогда существует изометрический изоморфизм

        (Ker T / Img S) ≅ Ker S / Img T

    если C - цепной комплекс банаховых пространств со строгими дифференциалами, то для каждого n ∈ ℤ₊ существует изометрический изоморфизм Hⁿ(C) ≅ Hₙ(C)


    спектр опреатора

    одним из важнейших инвариантов линейного оператора является его спектр. он содержит в себе хоть и не всю информацию об операторе, но весьма существенную ее часть. понятие придумал Гильберт в начале XX в. в связи с некоторыми задачами теории интегральных уравнений. первоначально оно никак не было связано с тем понятием, которое встречается в физике - совпадение терминов было случайным. однако после создания матаппарата квантовой механики в 1920-х–1930-х гг. - чудесным образом оказалось, что связь все же есть. само по себе понятие спектра носит чисто алгебраический характер и имеет смысл не только для линейных операторов, но и для элементов произвольных ассоциативных алгебр

    пусть A - унитальная алгебра. спектром элемента a ∈ A называется множество

        σA(a) = {λ ∈ ℂ : a − λI необратим } 
    множество
        ρA (a) = ℂ \ σA(a) 
    называется резольвентным множеством элемента a

    если A = ℂ, то легко видеть, что σℂ(λ) = {λ} для любого λ ∈ ℂ

    пусть X - конечномерное векторное пространство. обозначим через L(X) алгебру всех линейных операторов в X. оператор T ∈ L(X) обратим тогда и только тогда, когда Ker T = 0. следовательно,

        λ ∈ σ(T ) ⇐⇒ Ker (T − λ1X) ≠ 0 ⇐⇒ λ - собственное значение T
    таким образом, спектр оператора в конечномерном пространстве - это множество всех его собственных значений


    примеры операторов

    самые простые примеры ограниченных операторов - это, конечно, нулевой оператор и тождественный оператор

    нулевой оператор

    все тривиально:

        0 : E → F
        x → 0 

    единичный (тождественный) оператор

    все банально:

        1 : E → F
        x → x 
    при условии, что преднорма не равна нулю на пространстве E тождественно

    диагональный оператор

    пусть λ - ограниченная последовательность, т.е. элемент пространства ℓ

    пусть X - какое-либо из пространств последовательностей ℓp или c0

    тогда ∀ x ∈ X последовательность

        λ x = (λ1 * x1 , λ2 * x2 , ...)  
    также принадлежит X, и отображение
         Λ : X → X
         x → λ * x 
    является ограниченным линейным оператором. при этом
        |Λ| = |λ|   

    операторы сдвига

    пусть X - любое из пространств ℓp или c0. рассмотрим операторы

        T𝓻 : X → X,
        T𝓻 (x) = (0, x1, x2, ...)
    оператор правого сдвига
        Tℓ : X → X,
        Tℓ (x) = (x2, x3, ...) 
    оператор левого сдвига

    они оба линейны и ограничены

    оператор T𝓻 изометричен, поэтому |T𝓻| = 1

    оператор Tℓ коизометричен, поэтому |Tℓ| = 1

    дифференциальный оператор

                                      n
                         Dₙ f(t) =    Σ   φk(t) * f(k)(t)
                                     k=1
      

    интегральный оператор

    пусть (X, µ) - пространство с мерой, K - измеримая функция на X × X и E - некоторое векторное пространство функций на X. интегральным оператором на E называется оператор вида

        T : E → E
        T (f x) = ∫ K(x, y) f(y) dµ(y)
      
    функцию K иногда называют ядром оператора T, хотя она и не имеет ничего общего с подпространством Ker T; в данном случае термин "ядро" - это просто дань традиции

    оператор Лапласа

    линейный оператор, действующий в пространстве функций f от вещественного положительного аргумента t:

                             ∞       
                   ƚ(s)  =   ∫ f(t) * exp(-s*t)  dt
                             0
    называется преобразованием Лапласа. он отображает множество функций неотрицательной переменной t на множество функций переменной s

    обратное преобразование Лапласа вычисляется по формуле:

                             ∞
                     f(t) = ∫ F(s) * exp (s*t) ds
                          -∞

    оператор Фурье

    преобразование Фурье - это линейный оператор на пространстве функций вещественной переменной, отображающий в пространство функций комплексной переменной

                            ∞
                     Ƒ[s] = ∫ exp(-i2πst) * f(t) dt
                           -∞

    результат называется спектром временного сигнала f(t)

    обратное преобразование Фурье - это линейный оператор на пространстве функций комплексной переменной отображающий на пространство функций вещественной переменной

                            ∞
                     f(t) = ∫ exp(i2πst) * Ƒ[s] ds
                           -∞

    результат называется временным сигналом заданного спектра Ƒ[s]

    оператор Гильберта

    это линейный оператор на пространстве функций вещественной переменной, отображающий в пространство функций комлексной переменной :

                     ∞
        H f(t) = 1/π ∫ f(τ)/(t - τ) dτ  
                    -∞
    
    полученная комплексно-значимая функция в сумме с исходной функцией f(t) называется "аналитический сигнал". норма такого аналитического сигнала есть "огибающая" А, а его аргумент - "фаза" Ф

        s = f(t) + H f(t) = A(t) * exp Ф(t) 
        
        частота ω(t) = dФ/dt
    
          f(t) = U * cos (ω * t + φ)
        H f(t) = U * i * sin (ω * t + φ)
    

    оператор Гильберта есть свертка функций f(t) и (1/πt)

    оператор Гильберта - унитарный, он ничего не делает с нормой - норма исходной функции равна норме результата. функции f и H f - ортогональны

    обратный оператор Гильберта есть прямой оператор, взятый с обратным знаком