теория категорий


стрелка в моём представлении - это некое преобразование, имеющее что-то слева и что-то справа (возможно, одно и то же - тогда она id)

в том-то и дело, что стрелка - это не преобразование. это просто стрелка. в некоторых категориях - в категории множеств и тотальных функций, в категории всяких алгебраических структур, в категории топологических пространств - стрелка действительно преобразование. в других же категориях - в категориях, соответствующих некоторому моноиду; или некоторому частично упорядоченному множеству; или в категории, где объекты - города, а стрелки обозначают существование железнодорожного маршрута между ними: в этих категориях стрелки - это просто стрелки


  • двойственная категория
  • классы морфизмов
  • категории
  • функтор
  • кофунктор
  • бифунктор
  • функторы и графы
  • инициальный обьект
  • терминальный обьект
  • нулевой обьект
  • произведение
  • копроизведение
  • эквалайзер
  • коэквалайзер
  • расслоеные произведения
  • расслоеные копроизведения
  • предел
  • копредел
  • естественные преобразования
  • лемма Ионеды
  • монада
  • сопряженные функторы
  • моноид
  • группоид

  • Cats ... and Dogs

    морфизмы важнее обьектов

    любая категория состоит из обьектов и морфизмов

    мы не можем ожидать, что "все обьекты категории образуют множество" или что "все морфизмы категории образуют множество". категории, где это выполняется называются "small" и "locally small"

    двойственная категория

    для любой категории можно организовать двойственную ей категорию op , поменяв направление морфизмов

    обьекты дуальной категории совпадают с обьектами категории, а морфизм дуальной категории f* направлен противоположно, но между теми же самыми обьектами

    композиция морфизмов в дуальной категории сохраняется, но меняет порядок на противоположный:

         (g ∘ f)* = f* ∘ g*


    в общем случае категория, в которой любые два объекта р и q связаны не более чем одной стрелкой p→q, называется категорией предпорядка. если Р есть совокупность объектов категории предпорядка, то на ней определено следующее бинарное отношение R: <р,g> ∈ R тогда и только тогда, когда в данной категории предпорядка существует стрелка p→q. отношение R обладает свойствами (мы пишем pRq вместо <р,g> ∈ R
    (i) рефлексивность, т. е. для каждого р выполнено pRp
    (ii) транзитивность, т. е. если pRq и qRs, то pRs

    транзитивное и рефлексивное бинарное отношение обычно называют отношением предпорядка

    категории 1 и 2 - это категории предпорядка, отноотношение предпорядка на которых удовлетворяет следующему додополнительному условию:
    (iii) антисимметричность, т.е. если pRq и qRp, то p=q
    антисимметричное отношение предпорядка называют отношеотношением частичного порядка

     

    простейшим примером категории предпорядка, но не частичного порядка является двухобъектная категория с четырьмя стрелками:

    для которой pRq и qRp, но p≠q

    категория называется дискретной, если в ней каждая стрелка является единичной для некоторого объекта. дискретная категория представляет собой пример категории предпорядка, поскольку заданный объект может иметь лишь одну единичную стрелку

    по любому моноиду М строится категория с одним объектом. в качестве объекта берется множество M, а в качестве стрелок - элементы из М

    пусть К - коммутативное кольцо. тогда множество всех матриц над К можно превратить в категорию Matr(K). ее объектами являются целые положительные числа 1,2,3,.., а стрелками m→n - матрицы размера mxn. композиция А°В определяется как произведение матриц А а В. категорная ассоциативность получается из ассоциативности матричного умножения. единичной стрелкой является единичная матрица порядка m


    классы морфизмов

    гомоморфизм (ὁμός - равный, одинаковый и μορφή - вид, форма) - это отображение категории, сохраняющее ее операции и отношения

    инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом

    сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом

    эпиморфзим, являющийся одновременно и мономорфизмом, называется биморфизмом

    биективный гомоморфизм называется изоморфизмом

    изоморфизм системы на себя называется автоморфизмом

    любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий

    в категории не все морфизмы - обратимы, и не на все морфизмы можно сокращать. кроме того, морфизмы могут вести себя по разному в категории и дуальной к ней категории

    мономорфизм

    предположим теперь, что f:A→В инъективна, а две «параллельные» функции g,h:C→A выбраны так, что диаграмма

    коммутативна, т. е. f°g = f°h. тогда для всякого х∈С имеем
    f°g{x) = f°h(x), т.е. f(g(x)) = f(h(x))

    но f инъективна, поэтому g(x) = h(x). отсюда следует, что g и h, имеющие один и тот же выход при каждом входе, совпадают. этим показано, что на инъективные функции можно «сокращать слева», т.е.
    если f°g = f°h, то g = h

    морфизм f является мономорфизмом, если

           g
           →       f
        C  h   A   →  B
           → 
    (f ∘ g) x = (f ∘ h) x => g = h

    эпиморфизм

    стрелка f: a→b называется эпиморфной или эпистрелкой (сократимой справа) в категории Ч?, если для произвольной пары 'ё'-стрелок g, h: b=^c из равенства gof=h°f следует g = h, т. е. всякий раз, когда диаграмма f

    коммутативна, будет g = h

    морфизм f является эпиморфизмом если

                    g
            f       →
        A   →   B   h   C
                    → 
    (g ∘ f) x = (h ∘ f) x => g = h

    эндоморфизм

    морфизм, в которых начальная и конечная категории совпадают. множество эндоморфизмов Endo(A)=Homo(A,A) является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом id[A]

    в Set «изо» — синоним для «моно и эпи». так же обстоит дело в топосе, но для произвольной категории это, конечно, не верно

    если стрелка f:p→q из категории предпорядка, соответствующей частично упорядоченному множеству Р, имеет обратную стрелку q→p, то в силу антисимметричности р=q. но тогда f должна быть единственной стрелкой из р в р. т.о., в частично упорядоченном множестве, рассматриваемом как категория, каждая стрелка мономорфна и эпиморфна, но изострелками являются только единичные стрелки

    группа есть моноид (М,*,е), в котором для каждого х∈М существует у∈М, удовлетворяющий равенствам х*у=е=у*х. на самом деле может существовать только один такой у для данного х. он называется обратным к х. рассматривая моноид как категорию с одним объектом, приходим к такому заключению: группа есть в сущности то же самое, что однообъектная категория, в которой каждая стрелка является изострелкой

    объекты а и b называются изоморфными в категории С, если существует стрелка f:a→b, являющаяся изострелкой в C

    в категории Set отношение А≍В имеет место, когда существует биекция между А и В, при наличии которой каждое из этих множеств можно представлять себе как переобозначение другого

    в категории Grp две группы изоморфны, если существует групповой гомоморфизм (функция, сохраняющая групповую структуру) одной группы в другую, для которого найдется обратное в теоретико-множественном смысле отображение, сохраняющее групповую структуру (и являющееся поэтому обратным в категории Grp). такая стрелка называется изоморфизмом групп

    в категории Тор изоморфные топологические пространства называются обычно гомеоморфными. это означает, что существует гомеоморфизм между ними, т.е. непрерывная биекция, для которой обратное отображение тоже непрерывно

    в этих примерах изоморфные объекты «одинаковы». можно свободно переходить от одного к другому с помощью изострелки и обратной к ней. более того, эти стрелки, устанавливающие взаимно однозначное соответствие между элементами двух объектов, сохраняют и соответствующую структуру

    ретракции

    морфизм f : A → B называется ретракцией если

                   f
                   →
              A          B ⟳
                   ←
                   g 
    ∃ g : B → A и верно что f ∘ g = 1B

    что-то большое отображается во что-то маленькое и потом отображается из маленького обратно в большое так, чтобы на всех обьектах это совпало

    коретракции

    морфизм f : A → B называется коретракцией если

                   f
                   →
           ⟲ A          B
                   ←
                   g 
    ∃ g : B → A и верно что g ∘ f = 1A

    что-то маленькое отображается во что-то большое и потом отображается из большого обратно в маленькое так, чтобы на всех обьектах это совпало

    в категрии Set
    мономорфизмы = коретракции = иньективные отображения
    эпиморфизмы = ретракции = сюрьективные отображения

    в категории Grp
    мономорфизмы = иньективные гомоморфизмы
    эпиморфизмы = сюрьективные гомоморфизмы

    в small категориях
    сюрьекция ⇒ эпиморфизм
    иньекция ⇒ мономорфизм
    ретракция ⇒ сюрьекция
    коретракция ⇒ иньекция
    но в общем случае категории это может и не совпадать

    композиция мономорфизмов - мономорфизм. композиция эпиморфизмов - эпиморфизм

    если g ∘ f - мономорфизм, то f - мономорфизм

    если g ∘ f - эпиморфизм, то f - эпиморфизм

    морфизм является изоморфизмом <=> он одновременно является ретракцией и коретракцией

    примеры

    в категории Grp для эпиморфизма, точная последовательность :

      1 → F → G → H → 1 
    где ядро следующего отображения является образом предыдущего. тогда пример ретракции "расширение H при помощи F" :
                f
      1 → F → G ⇄ H → 1
                g
    
      (f ∘ g) x = x  ∀ x ∈ H 
    f является ретракцией означает что G = F ⋋ H и приведенное выше называется "расщепляющимся расширением", если такое g существует

    не все расширения расщепляются. контр-пример в категории Abg - "сложение с переносом" :

             группа десяток                 группа единиц
        0  →     ℤ/10     →    ℤ/100     →       ℤ/10      →   0
                                         ←
                                  этого морфизма нет
      
    т.е. это пример эпиморфизма, который не является ретракцией

    эпиморфизм не являющейся ретракцией ℤ → ℤ/mℤ

                    эпиморфизм
        0  →  I  →  R  →  R/I  →  0
                    обратного
                    вложения
                    чтобы композиция равнялась единице - нет 

    мономорфизм не являющейся коретракцией ℤ → ℤ : n → n + n


    примеры категорий

    дискретная

    единственными морфизмами в такой категории являются тождественные морфизмы. типичным примером является одно множество без структуры

    моноид

    MON : моноид - это категория с единственным обьектом и множеством морфизмов

    композиция 1) всегда существует (поскольку источник и цель - один и тот же обьект; 2) всегда ассоциативна

    нейтральным элементом является тривиальный морфизм id

    Monoid ∋ EndoC(X) = MorphC(X,X)

    группоид

    группоид - это категория с единственным обьектом и множеством морфизмов, каждый из которых - обратим

    нейтральным элементом является тождественный морфизм id

    Groupoid ∋ EndoC(X) = MorphC(X,X)

    множества

    Set - категория множеств. морфизмы - отображения между множествами. два множества категорно изоморфны в Set, если между ними есть биекция т.е. |A| = |B|. id = тождественное отображение множества на себя

    POSet - категория частично-упорядоченных множеств. морфизмы - монотонное отображение. изотонное (сохраняющее порядок), антитонное (обращающее порядок)

    ORD - категория упорядоченных множеств. морфизмы - монотонные отображения

    пары

    PAIR - обьектами являются (x,y) , y ⊆ x . морфизмами являются

         Morph ((x , y) , (u , v)) = { f ∈ Map (x , u) | f (y) ⊆ v }  

    отношения

    REL - обьектами являются множества, а морфизмами являются 2X×Y - бинарные отношения между элементами xRy

        R ⊆ X × Y , S ⊆ Y × Z , R ∘ S ⊆ X × Z
    
        R ∘ S = { (x , z) ∈ X × Z | ∃ y ∈ Y : (x , y) ∈ R , (y , z) ∈ S }
    единицей является тождественное отношение xRx

    степени

    POW - обьекты это множества, а морфизмы - отображения из подмножеств в подмножества

        Morph (x , y) = Map (2X , 2Y)
    именно с этой категорией работают при изучении различных мер

    алгебры

    Grp - обьектами являются группы. морфизмами являются: произведения - это декартово произведение групп, а копроизведения - свободные произведения групп

    Abg - обьектами являются абелевы группы. произведением является декартово произведение, а копроизведением - прямая сумма абелевых групп

    AS1 - ассоциативные кольца с единицей. морфизмами являются Homo (R,S)

    RNG - коммутативные кольца с единицей. морфизмами являются Homo (R,S)

    RMOD - правые R-модули. морфизмы - Homo (U, V)

    LIN - линейные пространства, морфизмы - отображения. инициальный обьект - нулевое пространство. изоморфизм предполагает одинаковую размерность. всякое семейство линейных пространств обладает в этой категории как произведением (декартово) так и копроизведением (прямая сумма). в конечном случае произведение и прямая сумма совпадают

    VECT - векторные пространства, как частный случай категории RMOD. морфизмы - Auto (V)

    LIE - обьекты этой категории есть кольца Ли, а морфизмы - f([x,y]) = [f(x) , f(y)]

    многообразия

    MAN - топологические многообразия. морфизмы есть непрерывное отображение

    CₙMAN - дифференцируемые многообразия. изоморфизм - диффеоморфизм

    C∞MAN - гладкие многообразия. изоморфизм - диффеоморфизм

    CωMAN - аналитические многообразия

    топологические пространства

    TOP - морфизмы этой категории образуют множество непрерывных отображений. это множество со структурой - конкретная (local) категория. изоморфизм = гомеоморфизм

    HTOP - хаусдорфовы пространства

    HOT - категория топологических пространств. не является конкретной (local) категорией - морфизм в этой категории не является отображением. морфизмы в ней - это классы непрерывных отображений относительно гомотопий. изоморфизм = гомотопическая эквивалентность. обьекты этой категории - не множества

    метрические пространства

    MET - обьекты - метрические пространства, а морфизмами являются изометрии или сжимающие отображения

    LIPSH - липшевцевы отображения - несильно-растягивающие отображения. изоморфизмы = билипшевцевы отображения

    GELD - гельдеровы отображения - изоморфизмы = сильно-растягивающие отображения


    функтор

    говоря о изоморфизме категорий мы всегда рассуждаем о функторах между этими категориями

    функтор отображает категорию в категорию (может так быть, что в ту же самую). при этом:

    и не абы как, а вот как:
    F: X → Y
    
    ∀ a ∈ X   ∃ F(a) ∈ Y
    
    ∀ (a → b) ∈ X   ∃ F (a → b) ∈ Y
    
    h : a → b   =>   F(h) : F(a) → F(b)      сохранение домена и кодомена
    
    id : a → a =>   F(id) : F(a) → F(a)      сохранение юнита
    
    h : a → b , g : b → c =>  F(g ∘ h) = F (g) ∘ F(h)   сохранение композиции

    ковариантный функтор переводит ретракцию в ретракцию, а коретракцию - в коретракцию и изоморфизм - в изоморфизм

    примеры функторов

    тождественный функтор

    для любой категории можно определить ξ : A → A

    постоянный функтор

    F из категории A в категорию B такой, что

       ∀ x ∈ A               F : x → y ,  y ∈ B
       ∀ f ∈ Homo (A , A)    F(f) = 1B

    "представимый" ковариантный функтор

        MorphC (A , _) : Cat → Set
        B ~~~> MorphC (A , B)
        MorphC(B → D) ~~~> MorphC (A , B) → MorphC (A , D)
    
          A
    
        g ↓  ⭨ f∘g
    
          B  →  D
             f  

    нетрудно убедиться что при этом id переходит в id, а композиция морфизмов - в композицию

    т.о. каждый обьект категории С задает функтор из этой категории в категорию множеств

    ковариантный функтор степени

      P : Set → Set
      x ~~~> 2X
      f : X → Y  ~~~>  2X → 2Y

    функтор абелианизации

    отображает обьект из категории Grp в обьект категории Abg

      G → G / [G,G]
    
      f : H → G
      F(f) : Hab → Gab
      (f2 ∘ f1)ab = f2ab ∘ f1ab

    кофунктор

    кофунктор обращает в кодомене порядок морфизмов домена и меняет порядок любой композиции домена в кодомене на обратный :

          u           ~~~>   u*                Homo (U , R)
    
          f : u → v   ~~~>   f* : v* → u*   так что
                                               (idu)* = idu**
                                               (g ∘ f)* = f* ∘ g*
    

    контравариантный функтор из С в D, это то же самое, что ковариантный функтор из C* в D
    и то же самое, что ковариантный функтор из C в D*

    контравариантный функтор переводит ретракцию в коретракцию, коретракцию - в ретракцию и изоморфизм в изоморфизм

    примеры

    "представимый" контравариантный функтор

    каждый обьект категории С задает еще и другой функтор из этой категории в категорию множеств:

        MorphC (_ , A) : Cat → Set
        B ~~~> MorphC (B , A)
        MorphC(B → D) ~~~> MorphC (D , A) → MorphC (B , A)
    
             f
          D  ←  B
    
         g  ⭨   ↓  g∘f
    
                A 

    нетрудно убедиться что при этом id переходит в id, а композиция морфизмов - в композицию

    контравариантный функтор степени

      P : Set → Set
      x ~~~> 2X
      f : X → Y  ~~~>  2Y → 2X

    кофунктор абелианизации

    для конечных групп - это кофунктор

      Grp ~~~> AB
      G ~~~> Gab
      f : H → G ~~~~> f* : Gab → Hab

    бифунктор

          u, v                ~~~>   F(u,v)
    
          f : u1 → u2         ~~~>   F(f,g) : F(u1,v1) → F(u2,v2)
          g : v1 → v2                         F(u1,v2) → F(u2,v1)
                                              F(u2,v1) → F(u1,v2)
                                              F(u2,v2) → F(u1,v1)


    функторы и графы

    есть категория , построенная "на пальцах", у нее есть

    кроме того, есть категория Set, построенная средствами теории множеств:

    начинаем рисовать новую картинку - с и Set. это не сложно, если не пытаться изобразить Set всю. :) никаких графов и функторов пока нет. я специально не пользовался терминами "вершины" и "дуги", потому что они нас сильно сбивают с толку. предлагаю о них на время забыть

    категорию Set нарисовать, действительно, не так сложно. единственная проблема - она большая, поэтому рисовать пришлось бы слишком долго, "мы не можем себе этого позволить". ни о каких графах она, Set, кстати, не знает и знать не должна. состоит из:

    контрольный вопрос: сколько морфизмов вида f : (очень много) → (еще больше)? вопросы такого рода - единственное, что мы сейчас изображаем на картинке. вот только никаких dom и cod пока нет, все множества в определенном смысле равноправны (являются объектами этой категории)

    откуда вы взяли числа 9 и 8 ?

    a сколько есть разных отображений из двухэлементного множества в трехэлементное? сколько в противоположном направлении? "Комбинаторика, однако! (c)"

    любое отображение F можно рассматривать как (заданное при помощи / или наоборот задающее - от аксиоматики зависит) отношение "аргументу x соответствует значение y". это вы, конечно, знаете. а вот что четко надо было сказать - что "x↦y" используется как обозначение этого бинарного отношения. где-то в контексте должно быть зафиксировано отображение F. в результате, при фиксированном x, утверждение (это логическое утверждение) "x↦y" выполняется при единственном y

    пусть теперь у нас есть (один, фиксированный) функтор F, заданный отображениями:

    на всех объектах X из :

              X ↦ F X
    на всех морфизмах а вида X1 → X2 из :
              a ↦ F a
    причем
              F a : F X1 → F X2

    обратите внимание, где какие стрелочки. что теперь нужно дорисовать к картинке, чтобы изобразить (один, фиксированный) F?

    функтор каждому объекту из сопоставит единственный объект из Set, таким образом, при фиксированном F мы получим два фиксированных объекта в Set. нужно не забыть, что функтор F ставит в соответсвие каждому тождественному морфизму id X из тождественный морфизм объекта F X из Set. а двум морфизмам cod и dom из сопоставим один морфизм a из Set, a : F A → F B

    ну вариантов всего два: либо один, либо два параллельных. я сомневалась, но решила, что если F будет сопоставлять объектам A и B, например, объекты 2 и 1 из Set, то одного из морфизмов между F A и F B существовать не будет. ох, а по идее это же ничего страшного: поскольку даже если морфизм будет один, все равно из 1 в 0 и его не будет

    главное, что сейчас видно, - что образ похож на саму . собственно из-за этого функтор вполне правильно было бы называть "гомоморфизмом структур категории на графах", но "функтор" - короче

    здесь можно было бы добавить про буковки. вводить новые обозначения для a и b, наверное, без пользы, раз они все равно произвольны. можно было бы писать, например, F A = 2 = {'туды', 'сюды'}, F B = {'здеся-я'} - у нас одна F пчела и два F пути. тогда (почти семантика...) - у нас получаются в Set такие отображения: F начало('туды') = 'здеся-я' , F конец('туды') = 'здеся-я'. что происходит с 'сюды' при действии на него образов морфизмов напишите в качестве упражнения. про графы старательно не думаем. тяжело? мужайтесь. подход серьёзный, освященный классической немецкой математикой ;)

    но мы еще не разобрались с единицами. функторы у нас пока почти произвольные. в смысле: если бы они были не на , а на какой-нибудь [1..3] или FinSet - до сих пор вcе результаты были бы те же. а под конец мы хотим нетривиальным образом получить изоморфизм получившейся категории функторов и категории графов. так что спешить не следует

    на самом деле, чтобы корректно ставить вопрос "сколько разных функторов", нужно определить, какие функторы мы считаем одинаковыми

    в теории множеств, например, на вопрос "сколько разных (=не равных) одноэлементных множеств" ответ - "очень много (класс)"; но на вопрос "сколько разных (=небиективных) одноэлементных множеств" ответ - "одно". биекция - это изоморфизм в категории множеств

    сейчас нам нужно дать определение изоморфизма функторов - а значит, описать, какую категорию образуют функторы

    объекты этой категории у нас уже описаны - это функторы. морфизмы для заданных объектов, вообще говоря, можно придумывать разные - можно брать отношения множеств, можно брать частичные отображения... при этом будут получаться разные категории. мы стремимся к тому, чтобы получившаяся категория напоминала категорию графов

    морфизмы будут такие: для функторов X,Y : Set (скажем, исходный и новый функтор) морфизм f: X → Y задается отображениями:

         fA : XA → YA      отображение множества путей исходного функтора в множество путей нового
         fB : XB → YB      то же для множеств пчел
    причем допускаются только те f = (fA, fB), которые согласованы со структурой наших функторов: начало и конец образа пути совпадают с образами начала и конца исходного пути

    1. пусть у нас есть морфизм f, задаваемый отображениями 'исходная пчела-1'↦'новая пчела-1'..., (и обозначим как хотите пути...). попробуйте написать/нарисовать требование сохранения структуры при помощи стрелочки ↦ (должно получиться подобие коммутативной диаграммы)

    2. начнем рисовать категорию Set. объектами будут отдельные функторы, теперь мы их будем рисовать просто точками. возьмем все функторы с такими (FA, FB): (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 2) - последнего типа их два неизоморфных. попробуйте нарисовать все морфизмы между ними


    инициальный , ⊥, универсальный отталкивающий обьект

    инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории - это такой объект ⊥, из которого существует единственный морфизм ⊥→X в любой другой объект. если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны

    примеры:

    ничто не запрещает стрелкам входить в инициальный обьект, но этого также и не требуется. в частном случае категории Set это не так - ни одно множество, кроме пустого, не может быть отражено в пустое - но это только частный случай. к примеру - в категории Grp есть морфизмы в инициальный обьект - а именно композиция морфизмов инверсии с последующей групповой операцией

    в категории предпорядка, соответствующей предупорядоченному множеству Р, начальный объект — это элемент, удовлетворяющий условию О⊂р для всех р из Р (т.е. наименьший элемент). в частично упорядоченном множестве, где «изоморфно» означает «равно», может быть, самое большее, один начальный объект (минимум или нулевой элемент). так, в частично упорядоченном множестве {0,...,п—1} число 0 является единственным начальным объектом

    в Grp и Моn начальным объектом является произвольная одноэлементная алгебра (М,*,е), т.е. М={е} и е*е=е. каждая из этих категорий имеет бесконечно много начальных объектов

    терминальный, ⊤, универсальный притягивающий обьект

    терминальный или универсально притягивающий объект ⊤ - это такой объект, в который существует единственный морфизм X→⊤ из любого другого объекта категории. если таких обьектов несколько, то они изоморфны

    примеры: в категории множеств Set терминальным обьектом является любое множество из одного элемента

    ничто не препятствует стрелкам выходить из терминального обьекта, но этого также и не требуется

    в Set конечные объекты — это синглетоны, т.е. одноэлементные множества {е}. для данного множества А правило f(x)=e определяет функцию f:A→{е}. так как е является ее единственным возможным значением, то эта функция является единственной такой функцией. таким образом, Set имеет много конечных объектов

    в категории предпорядка конечный объект удовлетворяет условию р⊂⊤ Для всех р, т. е. является наибольшим элементом. в частично упорядоченном множестве объект ⊤ единствен (максимум), если он существует, и называется также единицей категории Р

    В Grp и Моп конечные объекты — это опять одноэлементные моноиды. поэтому в них конечные объекты — это то же самое, что начальные объекты (таким образом, равенство 0=1 «истинно с точностью до изморфизма»)

    нулевой обьект

    Def: объект, являющийся одновременно начальным и конечным, называется нулевым объектом

    категория Set не имеет нулевых объектов. тот факт, что категории Grp и Моп имеют нулевые объекты, не позволяет им быть топосами

    X = ⊤

    X = ⊤

    = ⊤


    произведения

    произведением двух обьектов X , Y категории C называется тройка - произведение , первая проекция , вторая проекция . тогда в C существует инициальный обьект и морфизмы , которые делают следующую диаграмму коммутативной :


        ∃  ( u , ξ , η )   |
           ∀ ( _ , p₁ , p₂ ) ∃ α : u → _   |
                p₁ ∘ α = ξ
                p₂ ∘ α = η 

    прямое произведение в категории C существует тогда и только тогда, когда функтор

         α : Cat → Set
    представим

    в некоторой категории обьектов-троек u представляет собой универсальный инициальный обьект ⊥

    копроизведения

    копроизведением двух обьектов X , Y категории C называется тройка - копроизведение , первое вложение , второе вложение . тогда в C существует терминальный обьект и морфизмы , которые делают следующую диаграмму коммутативной :


            ∃  ( u , ξ , η )   |
           ∀ ( _ , i₁ , i₂ ) ∃ α : _ → u   |
                α ∘ i₁  = ξ
                α ∘ i₂  = η 

    прямое копроизведение в категории C существует тогда и только тогда, когда функтор

         α : Cat → Set
    представим

    в некоторой категории обьектов-троек u представляет собой универсальный терминальный обьект ⊤

    примеры произведений и копроизведений в различных категориях

    абелевы группы

    G₁ ∏ G₂ = G₁ ⨯ G₂

    G₁ ∐ G₂ = G1 ⊕ G₂ (прямая сумма)

    группы

    G₁ ∏ G₂ = G₁ ⨯ G₂

    G₁ ∐ G₂ = G1 * G₂ (свободное произведение)

    коммутативные кольца

    R₁ ∏ R₂ = R₁ ⨯ R₂

    R₁ ∐ R₂ = R1 ⊗ R₂ (тензорное произведение)

    множества с выделенной точкой

    (X , x₀) ∏ (Y , y₀) = X ∏ Y / ~ , где соотношение эквивалентности определено как (x₀,a) ~ (x₀,y₀) ~ (b,y₀) , a ∈ Y , b ∈ X
    например для двух отрезков с выделенным концом - это окружность с выделенной точкой,
    а для двух окружностей - это сфера с выделенной точкой

    (X , x₀) ∐ (Y , y₀) = букетное произведение: выделенные точки отождествляются
    и мощность результата равна |X| + |Y| - 1

    метрические пространства

    (X , dx) ∏ (Y , dy) = ( X ⨯ Y , ( ( dx*(x1,x2)^p + dy*(y1,y2)^p ) ^ (1/p) ) )

    (X , dx) ∐ (Y , dy) = ?

    пример

    пусть есть A , B , A + B , X - обьекты в категории C . отображение

             Homo (A , X)   ×   Homo (B , X)   →   Homo (A + B , X)
    существует (по определению суммы) . будет ли
             Homo (A + B , X)   →   Homo (A , X)   ×   Homo (B , X)
    отображением?

    тут ещё, видимо, нужно сформулировать какие-то требования к этому отображению, не знаю. просто в той работе употребляется в таком стиле: «возьмём стрелку из суммы; разумеется, это сумма каких-то двух стрелок из слагаемых...» - и дальше именно с суммой стрелок идёт работа

    вопрос очень правильный. ответ - да, будет отображением. причем это будет биекция

    "помножим" f : A + B → X на i1 : A → A + B . похоже?

    на самом деле определение произведения/копроизведения через универсальную стрелку начинается с введения вашего второго отображения :) - умножения стрелки в/из универсального объекта на компоненты универсального конуса/коконуса, а уже дальше утверждается существование первого, которое строит "существующий и единственный ..." морфизм, достраивающий диаграмму до коммутативной

    здесь, во-первых, проявляется такой метод проверки (и нахождения) доказательств - диаграммный поиск. если какого-то морфизма нам не хватает, мы смотрим, из каких имеющихся его можно получить путем композиции. обычно перебор очень небольшой - стрелочки хорошо типизированы. если такого способа не нашлось - значит, и морфизма нет (либо мы плохо поставили задачу - нарисовали не все стрелочки)

    во-вторых, тот поиск, который происходит в данном случае, - он повторяется во всех определениях, построенных вокруг понятия "универсального объекта". в любых их вариантах у нас будут неожиданно, "волшебным образом" появляться те же самые биекции между множествами морфизмов

    потому другой способ определения, - через сопряженные функторы, - в чем-то лучше: он позволяет ответить на все аналогичные вопросы раз и навсегда, после чего они перестают быть неожиданными


    эквалайзеры

    пусть в категории C есть два обьекта X и Y, и два морфизма f : X → Y и g : X → Y

    их эквалайзером является обьект E вместе с морфизмом e : E → X, такой что f ∘ e = g ∘ e

    и для любого морфизма m : O → X и уникального морфизма u : O → E выполняется f ∘ m = g ∘ m и m = e ∘ u

    примеры

    Set

    два множества X и Y с двумя отображениями из первого во второе, где

        Eq (f , g) = { x ∈ X | f x = g x } 
    этот пример показывает, что эквалайзер является решателем уравнений вида f (x) = g (x) для заданных значений x

    коэквалайзеры

    пусть в категории C есть два обьекта X и Y, и два морфизма f : X → Y и g : X → Y

    их коэквалайзером является обьект Q вместе с морфизмом q : Y → Q, такой что q ∘ f = q ∘ g

    и для любого морфизма q' : Y → Q' и уникального морфизма u : Q → Q' выполняется q' ∘ f = q' ∘ g и q' = u ∘ q

    примеры

    Set

    коэквалайзер двух отображений f : X → Y и g : X → Y есть то подмножество в Y которое определяется эквивалентностью

        x ∈ X , y ∈ Y : f x = g x  
    или , что симметрично , то подмножество в X которое определяется той же самой эквивалентностью

    вообще говоря, если R является классом эквивалентности на множестве S и r1, r2 есть простые проекции (R ⊂ S × S) → S тогда их коэквалайзер есть фактор-множество S/R

    Grp

    если f : X → Y и g : X → Y это два гомоморфизма групп, тогда их коэквалайзер есть фактор Y по S = { f(x) ∙ g(x)⁻ | x ∈ X }

    Abg

    для абелевых групп коэквалайзер это просто фактор-группа Y / img (f - g) (по коядру морфизма f – g)


    pullbacks, расслоенные произведения

    пусть есть категория C и три обьекта в ней X , Y , Z , а также два морфизма f : X → Z и g : Y → Z

    расслоеным произведением P называется обьект X ⨯z Y вместе с морфизмами p₁ : P → X и p₂ : P → Y, такой что
    для любого обьекта Q вместе с морфизмами q₁ : Q → X и q₂ : Q → Y
    существует единственный морфизм u : Q → P такой что q₁ = p₁ ∘ u и q₂ = p₂ ∘ u

    примеры

    Set

    { (x , y) ∈ X ⨯ Y | f x = g y }

    Grp

    нам необходимо выяснить что при условиях

      f x1 = g y1
      f x2 = g y2 
    где f и g - это морфизмы групп, выполняется следующие соотношения:
      f (x1 ∘ x2) = g (y1 ∙ y2)
      f x1⁻ = g y1⁻ 
    где ∘ и ∙ это групповые операции

    Abg

    ?

    Rng

    пример расслоенного произведения это "удвоение кольца вдоль идеала"

    пусть I - иделал в кольце R и у нас есть последовательность

         0 → I →  R → R/I → 0 
    рассмотрим такие проекции на фактор-кольцо :
    
                    R
    
                    ↓ π
    
          R   →    R/I
              π
    
    
                   p1
            P      →   R
    
        p2  ↓           ↓ π
    
            R      →   R/I
                   π
    
       P = { (x , y) ∈ R ⨯ R   |   x = y (mod I) } 
    такая P называется удвоением или даблом и является пулбеком в категории Rng

    тогда

                   эпиморфизм
                       p1
        0  →  I  →  P  →  R  →  0
                   ретракция
    поскольку R вкладывается в P

    pushouts, расслоенное копроизведение

    пусть есть категория C и три обьекта в ней X , Y , Z , а также два морфизма f : Z → X и g : Z → Y

    расслоеным копроизведением P называется обьект X ⨯z Y вместе с морфизмами i1 : X → P и i2 : Y → P такой что
    для любого обьекта Q вместе с морфизмами j₁ : X → Q и j₂ : Y → Q
    существует единственный морфизм u : P → Q такой что j1 = u ∘ i1 и j2 = u ∘ i2

    примеры

    Set

    расслоенное копроизведение это факторобьект дизьюнктного обьединения

          X   ∐z   Y  =  X ∐ Y / ~  
    а отношение эквивалентности таково:
            ∃ z ∈ Z : x = f z  ,  y = g z ,  x ∈ X  ,  y ∈ Y 
    т.о. это копроизведение, в котором что-то отождествлено

    Grp

    амальгамированное произведение групп G, H когда F вложено в G и в H

        F     →    H
    
        ↓          ↓
    
        G     →  H *F G
    это есть свободное произведение с обьединенной подгруппой. для групп матриц
            (0 1                 ( 1 1
             1 0)                 -1 0 )
    
                C₂      →       C₆
    
                ↓                ↓
    
                C₄      →   C₄  *C2   C₆
    
            (0 1                  SL (2 , ℤ)
            -1 0) 

    категория коммутативных колец Rng

    пушаут получается тензорным произведением колец

    пусть A, B, C - обьекты и пусть f : C → A и g : C → B гомоморфизмы колец
    тогда тензорное произведение
    A ⊗C B = {Σ (ai,bi) | ai ∈ A, bi ∈ B } / < (f(c)a,b) - (a,g(c)b) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C >
    с морфизмами g' : A → A ⊗C B и f' : B → A ⊗C B
    для которого выполняется f' ∘ g = g' ∘ f
    определяет пушаут

    пример

    все базы данных делятся на две категории: одни - где есть примариКей и все линкуется на родителя (реляционные), и другие где есть oбджектАйди все линкуется на потомка

    так вот - в первой джойны это пулбеки, а во второй - пушауты


    маленькая Алиса с папой-математиком в зоопарке:
    
           Алиса  : Котята!
           Папа   : Милые, не правда-ли? Тут их двое.
           Алиса  : Посмотри - щенята!
           Папа   : Ты же умеешь считать - двое щенят!
           Алиса  : Лошадки!
           Папа   : А скажи мне, что общего между котятами, щенятами и лошадками?
           Алиса  : Ничего общего!
           Папа   : Ну что-то общее есть. Сможешь ли ты увидеть - что именно?
           Алиса  : Нет! Щенок не котенок и лошадка - тоже не котенок.
           Папа   : Давай я тебе обьясню!
                    Для начала возьмем множество S, которое строго упорядочено
                    и в котором каждый элемент является подмножеством S.
                    О чем тебе это говорит?
           Алиса  : [рыдает навсхлип]

    пределы

    теперь сведем к пределу определения (последовательно) : инициального обьекта , эквалайзера , произведения , пулбэка - в единый вид. получим - предел

    картинка TODO

    примеры

    дополнение групп

    
        n = { ..., -4, -3, -2, -1 }
    
        ... ↪ ℤ/p⁴  ↪ ℤ/p³  ↪ ℤ/p²  ↪ ℤ/p   это называется фильтрация, а ряд называется проективным
    
        lim ℤ/pⁿ = ℤp  это p-адические числа
         ←

    копределы

    теперь сведем к пределу определения (последовательно) : терминального обьекта , коэквалайзера , копроизведения , пушаута - в единый вид. получим - копредел

    картинка TODO

    примеры

    натуральный ряд, как индексная категория

      n = { 1, 2, 3, ... }
    
      1 ↪ 2 ↪ 3 ↪ 4 ↪ ...   это называется фильтрация, а ряд называется индуктивным
    
      lim (n) = ℕ
       →


    две вещи равны, когда мы их считаем равными

    Н.Вавилов

    категория была определена, чтобы определить функтор, а функтор
    был определен, чтобы определить естественные преобразования

    естественные преобразования

     F(a)  F(h)F(b)  
      →
    F⭧  
        h  
    a   →   b↓φ   ⟳ φ↓
     
    G⭨  
      G(a)    →   G(b)  
      G(h)  

    положим, у нас есть две категории, X и Y, и два ковариантых функтора, F и G:

    F : X → Y     G : X → Y

    естественное преобразование φ : F → G определяется как:

        φ : F(x) → G(x) при котором
        
        для любого обьекта x ∈ X
        и любого морфизма h : X → X
        выполняется следующее
    
      G(h) ∘ φ ∘ F(x)   =    φ ∘ F(h) ∘ F(x) 

    пример:

    категория A , категория A ⨯ A
    и два функтора

    C : A → A ⨯ A

    и

    D : A → A ⨯ A

    в таком случае проекции

    π1 : A ⨯ _ → A

    и

    π2 : _ ⨯ A → A

    являются естественными преобразованиями

    пример:

    листинг Хаскеля

    вертикальная композиция

    пусть С и D - две категории, а F,G,H : C → D это функторы между ними

    пусть τ : F ⇒ G и σ : G ⇒ H это два естественных преобразования между функторами

    тогда вертикальной композицией называется следующая диаграмма:

    таким образом композиция σ ∘ τ : F ⇒ H есть морфизм функторов

    горизонтальная композиция - функтор в 2-категории

    пусть B , С , D - три категории, а F, G : B → C и H, K : C → D это функторы между ними

    пусть τ : F ⇒ G и σ : H ⇒ K это два естественных преобразования между функторами

    тогда горизонтальной композицией называется следующая диаграмма:

    таким образом композиция σ ∘ τ : FH ⇒ GK есть функтор функторов

    2-категория

    (σ ∘ γ) ∘ (β ∘ α) = (σ ∘ β) ∘ (γ ∘ α)


    лемма Ионеды

    для любой категории С все естественные преобразования

    τ : h ⇒ F, где

    F : C → Set , F - любой функтор из категории C в категорию Set

    и

    h = MorphC (x , _) ⇒ F , представимый функтор категории C

    находятся во взаимно-однозначном соответствии с точками из F x, если h существует


    монада

    монада в категории C есть эндоморфизм: она является функтором F : C → C плюс два естественных морфизма:

    так что :

    с аксиомами:

              (F u) ∘ m   =   F → F

     F X    F uX   F (F X)   mF X F X
        →           →      

             F m ∘ m    =    m ∘ m: 

      F(F(F X))     F m   F (F X)
        →
     
    m ↓   ↓m
     
     F (F X)     →  F X
        m

    для любой категории может быть определена тождественная монада, состоящая из тождественного функтора и тождественного морфизма


    сопряженные функторы

    пусть есть две категории , C и D, а также два функтора, F : C → D и G : D → C

    эти функторы называются сопряженными (ajoints), и обозначаются как F ⊣ G, если существует естественное один-к-одному соответствие между

        F x → y
        и
        x → G y 
    для всех обьектов x ∈ C и всех обьектов y ∈ D. функтор F называется сопряженным слева и функтор G называется сопряженным справа. наличие таких сопряженных функторов означает изоморфность категорий C и D

    естественность означает, что следующая диаграмма коммутирует:

        HomoC (x, G y) ≅ HomoD (F x, y)
    
          f : x → x'
          g : y → y'
                                      τ
                   HomoD (F x , y)    →     HomoC (x , G y)
    
       HomoD (F f , g)  ↓                           ↓  HomoC (f , G g)
    
                 HomoD (F x' , y')    →     HomoC (x' , G y')
                                      τ
      

         F : C → D   *F* : C* → D*   ковариантые функторы
    
        *F : C* → D   F* : C → D*    контравариантые функторы
    

    каждая пара сопряженных функторов образует монаду и комонаду. каждая монада и комонада производит категорию сопряженных функторов

    пусть есть две категории C и D и существует функтор R из C в D и другой функтор L из D в C чья композиция с функтором R изоморфна тождественному функтору I. есть две возможных композиции, R ∘ L и L ∘ R, и два тождественных функтора, один в категории C и другой в категории D

                    R ∘ L = ID
    
                    L ∘ R = IC 
    категории C и D эквиваленты если существует двустороннее естественное преобразование между композициями R ∘ L с тождественным функтором ID, и композицией L ∘ R со своим тождественным функтором IC такое что тождественные функторы изоморфны

    так вот, сопряженность - это более слабое требование, чем эквивалентость потому что она не требует изоморфности тождественных функторов

    примеры

    Set

    фиксируем множество z и определяем два функтора

         f1  :  _  z         Set → Set           _ → _ ⨯ z
         f2  :  z  _         Set → Set           z → _

    тогда для ∀ x , y ∈ Set выполняется

         f2 (f1 (x , z) , y)     ≅     f2 (x , f2 (z , y))

    проверим листинг хаскеля

    Abg , Vect , Rmod

    в этих категориях функторы Homo и ⊗ сопряжены:

        Homo (u ⊗ v , w) ≅ Homo ( u , Homo (v , w)) 
    если зафиксировать v

    забывающий функтор

        ⬕ : Grp → Set
        F : Set → Grp
        Homo (F x , G) = Map (x , ⬕ G) , где G - группа 
    выписанное равенство - это универсальное свойство свободной группы

        ⬕ : As1 → Lie
        F : Lie → As1
    забывающий функтор делает так, что сложение остается, а умножение в ассоциативном кольце заменяется на коммутирование и т.о. становится тождественно равным нулю. получаем абелеву группу. сопряженный функтор F
      Homoas1 (F L , R) = Homolie(L , ⬕ R)
    где L - алгебра Ли, а R - кольцо. это универсальная обертывающая алгебра для алгебры Ли


    ... в качестве примера упоминается группа как категория, содержащая один объект, в которой каждая стрелка - изо. объектом для группы (M, *, e) является множество M, а вот что является стрелками? в принципе даже понятно, почему они все должны быть изо, но вот примеров таких стрелок я представить не могу

    нечего в каждой категории искать преобразования на стрелках. их там нет. категория - это просто алгебраическая структура с определенными свойствами и стрелки не обязаны быть преобразованиями - они могут быть например отношениями. пример Coq

    моноид

    моноид - это категория с одним обьектом (который называется "формальным обьектом") и множеством морфизмов из него в него же. каждый элемент моноида - это его морфизм. нейтральный элемент сопоставляется с морфизмом id. композиция и ассоциативность морфизмов при этом обеспечены автоматически

    группоид

    категория с одним обьектом (который называется "формальным обьектом") и множеством морфизмов, в которой все морфизмы являются изоморфизмами называется группоидом. каждый морфизм группоида представляет один из элементов группы, а нейтральный элемент сопоставляется с морфизмом id. композиция и ассоциативность морфизмов при этом обеспечены автоматически