ℤ / nℤ = ℤₙ

классы эквивалентности и факторизация групп

есть одна фича в математическом языке, которой математики пользуются совершенно естественно и свободно, а для остальных она может с непривычки быть серьёзным психологическим барьером

дело в том, что в математике понятие равенства - очень суровая штука. равенство = подразумевает, что два чтоугодно по разные стороны от него, обладают полностью идентичными свойствами. нельзя приравнивать друг другу яблоки и груши, даже если их число одинаково. нельзя приравнивать физические величины разной размерности, даже если их численные значения совпадают. ноль как число не равен нулевому вектору, а тот - не равен нулевой матрице или тождественно нулевой функции. более того, пурист скажет, что ноль как целое число и ноль как комплексное число, - тоже разные нули

с другой стороны, некоторые вещи настолько "похожи" друг на друга, что это обстоятельство непременно надо специально отметить

например, когда мы говорим "окружность" (на плоскости), что мы имеем в виду? если мы говорим the circle, то это обозначает некоторое конкретное множество точек плоскости, находящихся на одинаковом (положительном) расстоянии от конкретного центра. на одной и той же плоскости можно нарисовать this circle и that circle, и ваш собеседник вас поймёт, если вы покажете пальцем или обозначите их разными именами. а вот сочетание a circle означает множество, принадлежащее к большому классу кривых, которые можно начертить циркулем. как такую фигуру задать однозначно (как множество)? ответ общеизвестен: центром и радиусом. проговоривши это вслух, мы однозначно условились, что такое "окружности" и что такое "данная окружность". но мы твёрдо знаем, что окружности бывают маленькие и большие, и в этом смысле они неравные. а если окружности одинакового радиуса, - они как, равные?

правильный ответ - нет

как множества точек, две окружности с одинаковыми радиусами могут не пересекаться, пересекаться частично или полностью совпадать (если совпадают их центры). только в последнем случае мы имеем основания говорить, что они равны. а для остальных случаев нам нужно новое слово. можно было бы пользоваться словом "одинаковы", но с этим есть небольшая психологическая проблема. слово "одинаковый" взято из разговорного языка, и как всякое слово, имеет расплывчатый смысл. даже если мы "определим" логически корректно значение понятия "одинаковый", наши ассоциации будут нам мешать

самый надёжный способ избавиться от подобной опасности ("договорились об одном, а говорим о другом") придумали философы и схоласты: надо взять слово из какого-нибудь иностранного или мёртвого языка, с которым ни у кого ничего не ассоциируется, и начать им пользоваться только во_вполне_определённом_смысле. вместо "одинаковости" мы будем говорить о "конгруэнтности". разные окружности одного радиуса - всего лишь конгруэнтны и только очень изредка - равны

ну хорошо, с окружностями разобрались. но они - только один класс фигур, а есть ещё трапеции, треугольники, прямоугольники и прочее зверьё из школьных задачников. как быть с ними? с равенством - понятная проблема, но можно ли как-нибудь определить конгруэнтность и для них?

можно пойти путём зоологов: расковырять и изучить каждый вид фигур, выяснить, чем они характеризуются (углы, длины сторон, параллельность и т.д.), а потом сказать, что-де "две фигуры одного вида конгруэнтны, если все ключевые параметры у них попарно равны"

математики предпочитают менее прямолинейный подход и всегда стараются "положить подальше, чтоб потом брать поближе"

можно определить, что такое "преобразование плоскости", и начать уже эти преобразования рассаживать по клеткам (вместо отдельных фигур)

простейшее преобразование - тождественное, оно не делает вообще ничего, и требуется нам только для нужд языка, когда (и если) мы будем говорить о группах преобразований

после тождественного отображения самые простые преобразования - "параллельные переносы"

кроме них, есть "вращения вокруг точки", есть "отражения в прямых линиях" как в зеркале - все эти преобразования примечательны тем, что они (и только они) не меняют расстояния между точками

есть "подобия" (гомотетии) - эти меняют расстояния, но в одно и то же число раз, сохраняя при этом углы

есть преобразования, сохраняющие прямолинейность, сохраняющие параллельность прямых на плоскости... (а ещё есть непрерывные нелинейные преобразования, дифференцируемые, - имя им легион)

так вот

"две фигуры называются конгруэнтными, если их можно совместить при помощи движения плоскости, сохраняющего длины и углы"

"две фигуры называются подобными, если их можно совместить при помощи преобразования плоскости, сохраняющего углы и меняющего расстояния в одно и то же число раз"

итак, мы разбили все фигуры на классы попарно конгруэнтных друг другу фигур. всё, никакой хохмы, заменили одно слово другим только для того, чтобы сказать - фигуры можно двигать по плоскости, не изменяя их свойств

разобрались с геометрией - давайте теперь разберёмся с логикой того, что мы сейчас сделали

мы взяли довольно здоровый зоопарк (всевозможные "плоские фигуры", т.е., подмножества точек плоскости). в этом зоопарке есть понятие равенства, но оно скучное: каждый зверь равен только самому себе. с другой стороны, мы в этом зоопарке что-то собираемся делать. и вот мы решили, что разница между фигурой и тем, что из неё можно получить любым движением, для конкретной задачи не существенна. мы игнорируем разницу между такими фигурами, - но для того, чтобы обозначить такую "одинаковость", нам понадобилось новое слово

такое игнорирование несущественной разницы на самом деле происходит гораздо чаще, чем мы его замечаем. алгебраический пример - "остатки"

часто, решая задачи про числа, мы обнаруживаем, что они очень сильно упрощаются, если заменить числа их остатками при делении на какое-нибудь (обычно небольшое) число, чаще всего простое, - 2,3,5,... но бывает, что задача решается, если мы смотрим на последнюю цифру чисел (остаток от деления на 10). правила манипуляции с остатками непохожи на правила действия с числами, например, остатков от деления на 2 только два, 0 и 1, и мы имеем "парадоксальное" тождество 1+1=0 (единица и минус единица - одно и то же!). понятно же, что предыдущее "равенство" - обман, остатки - не "настоящие" числа, и на самом деле мы имеем дело с какой-то "конгруэнтностью". но с какой?

мы скажем, что

"два натуральных (или целых) числа m,n эквивалентны по модулю p, если m-n делится на p"

скажем, по модулю 5 мы имеем эквивалентности (псевдоравенства)

        2+3=0
        2*3=1
        4+4=3
        и т.д.

эти два примера наводят на мысль о том, что повторяющийся паттерн надо "узаконить" и ввести в обиход, раз навсегда договорившись о терминологии

что мы имеем изначально?

есть большое множество Х (фигур, чисел, etc), некоторые элементы которого мы считаем настолько неразличимыми для наших текущих целей, что хотим игнорировать их различие (неравенство). для этого мы вводим новое понятие (конгруэнтность, эквивалентность), короче, "недоравенство". оно должно обладать очевидными свойствами обычного равенства:

• каждый зверь недоравен самому себе
• отношение недоравенства симметрично (взаимно, - у недоравенства можно поменять правую и левую части)
• и, наконец, недоравенство должно быть транзитивно: если m недоравно n, a n недоравно k, то m недоравно k

но зато уж если наше отношение недоравенства обладает нужными свойствами, то мы можем сделать решающий шаг и где-то совсем в стороне, "в параллельной Вселенной", организовать новое множество М, элементами которого являются множества попарно недоравных элементов исходного множества Х

эта стилистически чудовищная фраза на самом деле демонстрирует всю гибкость языка теории множеств: в реальных языках пришлось бы вывернуться наизнанку, вводя всё новые и новые греческие/латинские термины. но результат оправдывает себя более, чем полностью: элементы М - то, что нас в самом деле интересует, а "недоравенство" на Х становится совершенно честным, кошерным равенством на М - мы надели такие очки, через которые мы перестали видеть несущественные различия, а видим только то, что мы с самого начала решили считать существенными

психологически это очень непростой момент

переход от множества Х к множеству М называется факторизацией, само М - фактормножеством (quotient set/space)

переходя к фактормножеству, мы "забываем" (игнорируем) несущественные для нас детали, а выигрываем на том, что задача из совершенно необозримой может стать вполне обозримой. вспомните про классификацию квадратичных кривых на плоскости: такие кривые задаются довольно большим числом параметров (3х3 матрица), а после факторизации по отношению "аффинная эквивалентность" остаются всего три невырожденных объекта: парабола, эллипс и гипербола (остальные кривые - мнимые или распадающиеся на прямые)