index


    Ширь, глубь, высь - лишь три координаты
    Дальше хода нет. Засов закрыт
    С Пифагором слушай сфер сонаты
    Атомам дли счет, как Демокрит
    Путь по числам - приведет нас в Рим он
    Все пути ума ведут туда
    То же в новом - Лобачевский, Риман
    Та же в зубы узкая узда
    Но живут, живут в N измереньях
    Люди воль, циклопы мысли, те
    Кому жалки мы с ничтожным зреньем
    С нашим шагом по одной черте

               Валерий Брюсов

  • линейное отображение векторного пространства
  • замена базиса векторного пространства
  • классификация векторных пространств

  • Def: множество R назовем пространством, если в нем выделена система подмножеств F, удовлетворяющая следующим аксиомам:

  • пересечение счетного или конечного числа множеств F принадлежит F
  • объединение конечного числа множеств F принадлежит F
  • пустое множество принадлежит F
  • само R принадлежит F

    Def: отображение пространства R в пространство R1 называют непрерывным, если оно однозначно и прообраз любого замкнутого множества замкнут. в случае отображения пространства R в вещественную прямую (которая также является пространством) говорят о непрерывной функции. взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение называется гомеоморфизмом

    отображение R в R1 непрерывно тогда и только тогда, когда оно однозначно и прообразы открытых множеств открыты. критерий Коши — отображение y=ϕ(x) непрерывно, если каждой окрестности V(y) соответствует окрестность U(x), образ которой содержится в V(y), — вообще говоря, недостаточен, поскольку объединение окрестностей может не оказаться открытым множеством

    Def: полной системой функций на множестве R называют систему функций, обладающую следующими свойствами:

    Def: пространство называется нормальным, если любые два непересекающихся замкнутых множества могут быть включены в непересекающиеся открытые множества

    коммутативная группа, в которой определено умножение на вещественные числа, причем имеют место дистрибутивный закон умножения относительно сложения и ассоциативный закон умножения, называется линейным (или векторным) пространством

    пространство над полем комплексных чисел, в котором введено скалярное произведение называется унитарным

    линейные отображения векторных пространств

    линейное отображение свободных модулей конечного ранга есть умножение координат на некую матрицу и никаких других линейных отображений не существует. эта матрица называется "матрицей линейного отображения"

    φ : U → V , U ≅ Rⁿ , V ≅ Rm
    ψ,φ ∈ Hom(U,V)
    (ψ + φ) u = φ(u) + ψ(u)

    если R - коммутативное кольцо, то

    (λ * φ) x = λ * φ(x)

    если - базис U, - базис V, то отображение (φij) определяемое формулой

        φij(uk) = vi, если j=k
               = 0, если j≠k
    

    образует базис Hom(U,V) и ранг модуля Hom равен произведению рангов U и V

    раскладываем каждый φ(uk) по базису v, и получаемые столбцы координат записываеся как очередной столбец матрицы

    Hom(Rⁿ,Rm) ≅ M(m,n,R)   ,   λij   ,     1≤i≤m , 1 ≤j≤n

    φ ~~~> λij = [φ]u,v

        U ∋ x = (u₁..uₙ) * (α₁
                            .
                            αₙ)
    
        φ(x) = (v₁..vₘ) * (β₁
                           .    
                           βₘ)
    
             = φ(u₁) * α₁ + .. + φ(uₙ) * αₙ
    
             = (v₁ * λ11 + .. + vₘ * λm1) * α₁ + .. + (v₁ * λ1n + .. + vₘ * λmn) * αₙ
    
             = v₁ * (λ11 * α₁ + .. + λ1n * αₙ) + .. + vₘ * (λm1 * α₁ + .. + λmn * αₙ)
    
        βi = (λi1 * α₁ + .. + λin * αₙ) = (λi1..λin) * ( α₁
                                                       .
                                                       αₙ)
    

    координаты образа получаются из координат оригинала умножением слева на матрицу линейного отображения в соответствующих базисах: [φ(x)]v = [φ]ij * [x]u

        (β₁      (λ11 .. λ1n       (α₁    
         .          .              .
         βₘ)  =   λm1 .. λmn)  *    αₙ)
    


    замена базиса в векторном пространстве

    пусть R - коммутативное кольцо, V = Rⁿ правый свободный модуль над R

    пусть u - старый базис пространства V, а v - новый базис и (u ~~~> v) есть матрица перехода от базиса к базису

    базис правого R-модуля записывается слева от его координат в виде строки, а координаты записываются столбцом:

    V ∋ x = * α = * β

    при смене базиса координаты вектора меняются контравариантно, а сами векторы базиса - ковариантно

    v = u * (u ~~~> v)

    β = (u ~~~> v)⁻ * α


    классификация векторных пространств

    группа линейных автоморфизмов

    пусть V – векторное пространство над полем K. Отображение ϕ : V → V называется линейным, если

               ϕ (u + v) = (ϕ u) + (ϕ v) 
               ϕ (λ * u) = λ * (ϕ u) 
    
    для любых u,x ∈ V и λ ∈ K

    линейные отображения V в себя называются линейными операторами, а биективные линейные отображения – обратимыми линейными операторами

    множество GL(V) = Aut(V) всех обратимых линейных операторов на V называется полной линейной группой пространства V

               dim(ℂ) = 2       
               dim(ℍ) = 4    dim(ℍ) = 2    
               dim(𝕆) = 8    dim(𝕆) = 4
    
               dimK(K[x]) = ℵ₀ 
               dim(ℝ) = 2ℵ₀    базис Гамеля
    
    
               U ≅ V    <=>   dim(U) = dim(V)
    
               U ⊆ V
               dim(U) = dim(V) < ∞   →   U = V
    
    
               U ⊆ V , dim(V) < ∞
               dim(U) + dim(V/U) = dim(V)
               dim(U) + codim(U|V) = dim(V)
    

    над полем все модули - свободные, а все их фактормодули имеют относительный базис

    если U ∩ V = 0 то для любого базиса в U и любого базиса в V верно что обьединение базисов является базисом в U ⊕ V

    Th: пусть φ : U → V.   тогда dim(ker φ) + dim(img φ) = dim(U)
    Proof:
    по Th о гомоморфизме:   img φ   ≅   U/(ker φ)
    QED

    Th: пусть U, W ⊆ V тогда dim(U Δ W) + dim (U ∪ W) = dim(U) + dim(W), где Δ = ∪/∩
    Proof:

                               φ 
             0 → U ∩ W → U ⊕ W → U Δ W → 0
    
             img(φ) = U Δ W
             ker(φ) = U ∩ W
    
             тогда по предыдущей Th:
             dim(U ∩ W) + dim(U Δ W) = dim(U ⊕ W)
    
    QED

    и если dim(V) < ∞ то dim(U ∩ W) ≥ dim(U) + dim(W) - dim(V)

    собственные числа и собственные векторы

    это базисы соразмерных инвариантных пространств

        φ(v) = v * λ   ,    λ ∈ K
    
        x ∈ M(n,K)
        v ∈ Kⁿ
        M(n,K) × Kⁿ → Kⁿ
        (x,t) → x * t
    
    это правое собственное число

        φ(v) = λ * v  ,    λ ∈ K
    
        x ∈ M(n,K)
        v ∈ Kⁿ
        Kⁿ × M(n,K)  → Kⁿ
        (t, x) → t * x
    
    это левое собственное число

    собственное число называется сингулярным, если оператор φ - λ * id не является обратимым

    над полем все эти три понятия совпадают

    собственное подпространство, отвечающее собственному числу λ есть ker (φ - λ * id)

    v - собственный вектор, отвечающий собственному числу λ, если (φ - λ * id) v = 0

    det(a - t * e) ∈ K[t] называется характеристическим полиномом матрицы а. он не зависит от выбора базиса:

    g⁻ * (a - t * e) * g = g⁻ * a * g - t * e = a - t * e
    det(g⁻ * (a - t * e) * g) = det(a - t * e)

    над телом все это не так (в частности - над телом кватернионов)

    dim(ker (φ - λ * id)) ≤ deg(det([φ] - λ * e))

    (t - λ)m || χφ(t)

     пусть dim(Vλ) = l
        
      a = ( λ  *
            0  * )
    
      det(a - t * e) = (λ - t)l * g(t), g ∈ U[t]
      
      l ≤ m
    

    корневое подпространство: V(λ) = ker (φ - λ * id)ⁿ, отвечающее собственному числу λ его элементы - корневые векторы. его высота m определяется, как минимальное число, при котором (φ - λ * id)m (v) = 0

    контрпример сингулярности: V = < ..e-2 e-1 e₀ e₁ e₂.. > , φ(ei) = ei+1

    все собственные числа оператора дифференцирования над K[x] равны 0, а собственными векторами являются константы

    инвариантные подпространства

    K - поле, V - векторное пространство, dim(V) = n < ∞

    φ : V → V - линейный оператор, эндоморфизм в V

    EndK (V) - кольцо линейных операторов

    U ≤ V : φ(u) ∈ U для любого u ∈ U

    U ≤ V - инвариантное подпространство в V
    u₁..uₘ - базис в U
    um+1..uₙ - относительный базис V над U

    тогда в таком базисе V (согласованном с U) матрица оператора φ имеет вид:

        ( [φ|U]       *
             0      [φV/U] )
    
    в общем случае у U может не быть инвариантного дополнения U ⊕ W = V. например оператор
        ( 1 1
          0 1 ) : K² → K²    U = 
    
    тут у U только два тривиальных подпространства: 0 и само U

    если такое дополнение все же есть (V = U ⊕ W), то тогда в обьединенном базисе матрица φ принимает вид:

        ( [φ|U]   0
            0    [φ|W] )
    

    полиномы от оператора

    f ∈ K[x]

    φ ∈ End(V) - коалгебра линейных операторов с единицей

           f(φ) = aₙ * φⁿ + .. + a₁ * φ + a₀ * id
    

    пусть матрица φ в базисе Eⁿ есть x. тогда f(φ) = f(x) = , потому что φ → x есть гомоморфизм

    совсем другое дело, если в качестве коэффициентов полинома выступают матрицы: M(n,K)[t] = M(n,K[t])

    если v - общий собственный вектор двух операторов, тогда v - собственный вектор суммы операторов с собственным числом равным сумме собственных чисел

    Th Caley-Hamilton: любая матрица является корнем своего характеристического полинома. ∀ x ∈ M(n,R) , χx(x) = 0

      n = 1 тогда f = t - λ , f(λ) = 0 
    
      n = 2 тогда x = ( a b
                        c d )
    
      x²   -  trace(x) * x   +   det(x) * e = 0 
    
      индукция
      QED
    


    index