index


    octave:1> sqrt (5)
    ans =  2.2361
  

число τ называется отношением крайнего и среднего (extreme and mean ratio), божественной пропорцией (divina proportione), золотым сечением (golden ratio, golden section) или числом Фидия

τ² = τ¹ + τ⁰


  • полиномы
  • линейные формы
  • билинейные формы
  • квадратичные формы

  • полиномы

    пусть K обозначает одно из следующих множеств : ℤ, ℚ, ℝ или ℂ. тогда множество всех полиномов K[x] от одной независимой переменной x над K образует коммутативное кольцо


    Николай Вавилов , СПбГУ

    базис полиномов степени n : 1, x, x², ..., xⁿ


    Николай Вавилов, СПбГУ

    пусть кольцо R = K[x], а V - векторное пространство над K. структура R-модуля на V есть задание линейного оператора φ ∈ End(V)

          φ : V → V
          φ v = x * v   
    
    которое называется "скалярным произведением"

    при компьютерных вычислениях с полиномами:

         xⁿ =  x * x ^ (n-1)  , если n нечетно
               (x ^ (n/2))²   , если n четно
    

    перемножение полиномов - это пример свертки в кольце R[x] над ℝ

    кольцо полиномов с дифференцированием

    { ℝ[x]  ;    + , * , 0 , 1 , x }
    
    ' : ℝ[x] → ℝ[x]
    k' = 0
    (f + g)' =  f' + g'
    (f * g)' = (f' * g) + (f * g')
    (f ∘ g)' = (f' ∘ g) * g'


    линейные формы

    линейной формой переменных x1,…,xn называется полином первой степени

          Σ ai * xi 
    и в матричной форме:
        ₙA * Xⁿ 

    примером линейной формы служит дифференциал функции f от векторного аргумента X:

        df(X) = Σ df(xi) / dxi

    пусть V есть векторное пространство над полем К

    линейная форма на V это гомоморфизм V → K

    пространство линейных форм называется "дуальным пространством" и обозначается V*

    в случае конечномерных пространств размерности V и V* равны: пусть i - базис в V . дуальный к нему базис <λi в V* определяется как

           λi(xj) = δij


    билинейная форма

    билинейная форма - это "умножение" в мире векторов!

    билинейное отображение - это дистрибутивность умножения относительно сложения

    билинейную форму нельзя определить в некоммутативном случае

    K - поле, V - пространство размерности n над ним

    пространство билинейных форм на V обозначается L (V, V ; K)

      B : V × V → K
    
      B (u₁ + u₂, v) = B (u₁, v) + B (u₂, v)
      B (u, v₁ + v₂) = B (u, v₁) + B (u, v₂)
      B (u * α, v) = B (u, v) * α
      B (u, v * β) = B (u, v) * β

    не всякая билинейная форма является скалярным произведением. B называется "билинейным скалярным произведением", если B рефлексивна:

        B (u, v) = 0 <=> B (v, u) = 0
    
        u ⊥ v <=> B (u , v) = 0
        u ⊥ u <=> B (u , u) = 0
      

    B называется симметрическим скалярным произведением S²V*, если

      ∀ u,v ∈ V : B (u, v) = B (v, u) 

    B называется симплектическим (антисимметричным) скалярным произведением Λ²V*, если

      ∀ u ∈ V : B (u, u) = 0  
    т.е. все векторы изотропны

    пример:

      ℝ² × ℝ² → ℝ
    ( x₁ ( y₁ x₂ ) , y₂ ) → x₁ * y₂ - x₂ * y₁

    B называется кососимметрическим (skew-symmetric) скалярным произведением, если

          ∀ u,v ∈ V : B (u, v) = - B (v, u)
        

    симметрическое отображение

       V × V → S²V*
       Sym : µ (x, y) → 1/2 * (µ (x, y) + µ (y, x))
    

    антисимметрическое отображение

       V × V → Λ²V*
       Alt : µ (x, y) = 1/2 * (µ (x, y) − µ (y, x))
    

    отображение V × V → S²V* ⊕ Λ²V* есть изоморфизм

    radical ker µ есть все v ∈ V такие что µ(v,w) = 0, ∀ w ∈ V. B называется невырожденной если ее radical равен нулю. невырожденная антисимметричная билинейная форма называется симплектической

    матрица Грама

    пусть есть система векторов в пространстве. рассмотрим матрицу у которой в i-той строке и j-том столбце стоит скалярное произведение вектора a_i на вектор a_j. матрица симметричная. квадратная симметрическая матрица, составленная из попарных скалярных произведений системы векторов называется матрицей Грама

    критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю

    если какой-либо главный минор (минор диагонального элемента) матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю - потому что главный минор матрицы Грама системы представляет собой определитель Грама подсистемы векторов, а если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

    1. матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны

    2. матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны, поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

    3. определитель матрицы Грама системы векторов равен квадрату k-мерного объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. в этом заключается геометрический смысл определителя матрицы Грама

    пусть e₁..eₙ - базис в векторном пространстве V над полем K и u,v ∈ V

    B : V × V → K

    B (u , v) = ui * G (ei , ej) * vj

    G называется матрицей Грама билинейной формы в базисе e₁..eₙ и такая матрица однозначно задает скалярное произведение на пространстве:
    B (u , v) = u⁺ * G * v

        B симметрическое    <=>     G = G⁺
    
        B симплектическое   <=>     G⁺ = -G   и   Gₖₖ = 0
    
        B невырожденно      <=>     det G ≠ 0
    

    в ортонормированном базисе матрица Грамма равна единичной. при замене базиса матрица Грамма умножается справа на матрицу перехода и слева на (транспонированную+сопряженную) матрицу перехода

    function Z = gramm (X)
      n = length (X) ; 
      Z = zeros (n) ;
      for i = 1 : n
        for j = 1 : n
          Z (i,j) = dot (X(:,i), X(:,j)) ; 
        end
      end 
    end
    
    output_precision (2) ;
    
    e1 = [  1 ;  0 ] ;
    e2 = [  0 ;  1 ] ;
    
    ge = gramm ([e1, e2])
    det (ge) 
    
    h1 = [  0.707 ;  0.707 ] ;
    h2 = [ -0.707 ;  0.707 ] ;
    
    gh = gramm ([h1 , h2])
    det (gh) 
    
    s1 = [  1 ; -0.5 ] ;
    s2 = [  1 ;  0.5 ] ;
    
    gs =  gramm ([s1, s2])
    det (gs) 
    

    изометрии

    пусть (U, Bu) и (V, Bv) - два пространства со скалярными произведениями, определяемыми билинейными формами B

    пусть φ : U → V

    φ называется изометрией, если

        φ - изоморфизм
    
        и
    
        ∀ x,y ∈ U  :  Bv (φ x, φ y) = Bu (x, y)
        
        т.е. если преобразование φ сохраняет скалярные произведения
    

    Iso(V, Bv) - группа. далее возможны разные случаи

    Bv - симметрическое скалярное произведение

    V - квадратическое пространство

    B : V × V → K

    QB : V → K
    v → B (V , V)

    Q - квадратичная форма. тогда Iso(V,Bv) = O(V,Bv) и называется ортогональным

    Bv - симплектическое скалярное произведение

    V - симплектическое пространство, а Iso (V,B) = Sp (V,B) называется симплектической группой

    B - эрмитова/антиэрмитова

    элемент х алгебры называется эрмитовым (самосопряженным), если х⁻ = х

      эрмитова форма              антиэрмитова форма
                  ________                    ________
      B (u , v) = B (v , u)     B (u , v) = - B (v , u)    B ~~~> i * B
    
    V - эрмитово/унитарное, а Iso (V , B) = U (V , B) называется унитарной группой

    эрмиттово скалярное произведение

    B называется эрмиттовым если B (u , v) = ⁻B (v , u)

    B называется антиэрмитовым если B(u , v) = - ⁻B (v , u)

        (e1,...,en) - базис V
    
      G = (B(ei,ej))1≤i,j≤n   V = Kⁿ
    
      B(u,v) = ⁻u⁺ * G * v

    B эрмиттово <=> G эрмитова : G* = ⁻G⁺


    квадратичные формы

    квадратичной формой переменных x₁,…,xₙ называется однородный полином второй степени

          Σ aij * xi * xj 

    матрица A = aij, составленная из коэффициентов квадратичной формы, называется матрицей квадратичной формы. в матричной форме:

          ₙx * ₙAⁿ * xⁿ

    примером квадратичной формы служит второй дифференциал функции f от векторного аргумента X:

          d²f(X) = Σ ∂²f(x) / ∂xi∂xj * dxidxj

    скалярный квадрат

        Q : V → K
        v → v²      
    
        Q (λ * v) = λ² * (Q v)

    поляризация билинейной формы

      B (u, v) = 1/2 * [ Q (u + v) - Q (u) - Q (v) ]

    listing octave
    q = [ 1  0 -3 ;
          0  1  0 ;
         -2  0  2 ];
    
    det (q) 
    
    function z = bform (q,x,y)
      z = y' * q * x ;
    end
    x = [ 1 ;  2 ; 3];
    y = [ 4 ; -5 ; 6];
    z = [ -1 ; 7 ; 2];
    
    # bform (q, x, y) 
    # bform (q, y, x) 
    
    bform (q, z + x, y) 
    bform (q, z , y) + bform  (q, x, y) 
    
    function z = polarization (q, x, y)
      0.5 * (bform (q, x, y) - bform (q, x, x) - bform (q, y, y))
    end
    
    # polarization (q, x, y)
    # polarization (q, y, x)
    

    end of listing


    index