index


важность понятия группы для математики в целом сопоставима только с важностью таких понятий как категория, множество, отображение, кольцо, модуль, топологическое пространство, многообразие, мера

Н.Вавилов


  • свойства обратных элементов
  • деление в группе
  • аддитивные группы чисел
  • мультипликативные группы чисел
  • группа углов
  • булева группа
  • симметрическая группа
  • группа автоморфизмов группы
  • группа изометрий
  • группа диффеоморфизмов
  • группа эвклидовых движений
  • группа Брауэра
  • группы в топологии
  • тривиальная и несобственная подгруппы
  • центр
  • централизатор элемента
  • примеры централизаторов
  • пересечение подгрупп
  • конечно-порожденные группы
  • нормальные подгруппы и фактор-группы

  • группы

    моноид, все элементы которого обратимы, называется группой

    Def: непустое множество G называется группой, если на нем задан закон композиции

       G × G → G
      (x, y) → x * y

    обладающий следующими тремя свойствами:

      G1: ассоциативность
          для любых x,y,z ∈ G   (x * y) * z = x * (y * z) 
          
      G2: существование нейтрального элемента
          ∃ e ∈ G :              x * e = x = e * x,  ∀ x ∈ G
          
      G3: существование обратного элемента:
          ∀ x ∈ G ∃ x⁻ ∈ G :     x * x⁻ = e = x⁻ * x

    Def: элементы x и y группы G коммутируют, если x * y = y * x. группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой

    свойства обратных элементов

    два свойства обратных элементов:

                              (x⁻)⁻     =   x
                              (x * y)⁻  =   y⁻ *  x⁻

    обратите внимание на порядок множителей во втором выражении. если две операции не коммутируют, то он весьма существеннен. если два преобразования коммутируют, то коммутируют и обратные к ним преобразования

    деление в группе

    любой обратимый элемент регулярен, так что на него можно сокращать. в действительности, в группе разрешимы все уравнения вида g * x = h , достаточно умножить это равенство слева на g⁻, что дает x = g⁻ * h

    с другой стороны, решением уравнения y * g = h является y = h * g⁻

    если g и h не коммутируют, то эти два решения не совпадают, так что нужно различать левое частное g⁻ * h от правого частного h * g⁻

    из однозначности деления вытекает, что в группе можно сокращать на любой элемент справа и слева. возможность левого сокращения означает, что равенство g * x = g * y влечет x = y . аналогично, возможность правого сокращения означает, что если x * g = y * g , то x = y

    аддитивные группы чисел

    Числовые множества Z, Q, R, C образуют группы по сложению. Иногда чтобы подчеркнуть, что речь идет именно об аддитивных структурах на этих множествах, пишут Z+, Q+ и т. д. Эти группы называются аддитивными группами целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

    Мультипликативные группы чисел

    Множества ненулевых рациональных, вещественных или комплексных чисел Q∗, R∗, C∗ (здесь для поля K через K∗ обозначено K{0}) образуют группы по умножению, называемые мультипликативными группами рациональных, вещественных и комплексных чисел, соответственно

    Множества Q+ = {x ∈ Q | x > 0} и R+ = {x ∈ R | x > 0} положительных рациональных и вещественных чисел представляют собой группы по умножению

    Группа углов (circle group)

    Множество T комплексных чисел модуля 1 также представляет собой группу по умножению. Заметим, впрочем, что операция в этой группе (группе "поворотов эвклидовой плоскости" или "группе углов") обычно записывается аддитивно, что согласуется со следующей ее интерпретацией.

    Группа T истолковывается как аддитивная группа вещественных чисел R+ по модулю 2πZ (читается "целые кратные 2π"). Иными словами, T представляется как полуинтервал [0, 2π), операция сложения ⊕ на котором определяется следующим образом: если x + y < 2π, то x ⊕ y = x + y, а если x + y ≥ 2π, то x ⊕ y = x + y − 2π В действительности, конечно, операция в T записывается обычным знаком + ("сложение углов")

    Булева группа

    Множество 2^X подмножеств в X является группой относительно симметрической разности ("булевой суммы") ∆. При этом нейтральный элемент этой операции равен ∅, а Y ∆ Y = ∅, так что каждый элемент является симметричным сам себе.

    Симметрическая группа

    Пусть G — множество всех взаимно однозначных отображений множества X на себя. Тогда G является группой относительно композиции, называемой симметрической группой множества X и обозначаемой SX или S(X) ("symmetric group").

    В самом деле, как мы знаем, композиция отображений ассоциативна; композиция двух биекция снова является биекцией; тождественное отображение является биекцией и служит нейтральным элементом композиции и, наконец, любая биекция обратима, причем обратное отображение также является биекцией.

    Заметим, что в случае |X| ≥ 3 эта группа некоммутативна. В частности, при n = 3 получаем группу треугольника S3 порядка 6 – самую маленькую неабелеву группу

    Группа автоморфизмов группы

    Биекция φ группы G на себя называется автоморфизмом, если φ (g * h) = φ (g) * φ (h) для любых g,h ∈ G

    Легко проверить, что множество Auto (G) всех автоморфизмов группы G на себя является группой относительно композиции

    Группа изометрий

    Пусть X метрическое пространство с расстоянием d : X × X → R. Биекция φ множества X на себя называется изометрией, если d (φ(x), φ(y)) = d (x,y) для любых двух точек x,y ∈ X. Как всегда, легко проверить, что множество Isom(X) всех изометрий X на себя образует группу относительно композиции. Эта группа называется группой изометрий (или, иногда, группой автометрий) множества X.

    Группа диффеоморфизмов.

    Пусть X — дифференцируемое многообразие. Биекция X на себя называется диффеоморфизмом, если как она сама, так и обратное к ней преобразование φ− бесконечно дифференцируемы. Множество Diff(X) всех диффеоморфизмов X на себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов X.

    Многие важные группы ( например, свободные группы и все конечные группы ) допускают естественные реализации как группы матриц над коммутативными кольцами, в частности, над полями.

    Группа эвклидовых движений.

    Полная группа изометрий эвклидова пространства V = R^n называется группой эвклидовых движений и обозначается Isom(R^n). Эвклидово движение является композицией вращения (собственного или зеркального) и параллельного переноса. Подгруппа Isom+(R^n), состоящая из движений с определителем 1, называется группой собственных движений.

    Группа Брауэра.

    Пусть K — поле. Если A и B — конечномерные алгебры над K, то их тензорное произведение A ⊗ B как векторных пространств превращается в алгебру, если положить

     (a1 ⊗ b1) * (a2 ⊗ b2) = a1 * a2 ⊗ b1 * b2

    Получающаяся так алгебра называется тензорным произведением алгебр A и B. Алгебра A называется центральной, если ее центр совпадает с K, и простой, если в A ровно два двусторонних идеала, а именно 0 и сама алгебра A.

    каждая конечномерная центральная простая алгебра A над K изоморфна полной матричной алгебре M(m,D) над некоторым центральным телом D конечного ранга над K, причем тело D определено однозначно с точностью до изоморфизма. Легко проверить, что тензорное произведение центральных простых алгебр само является центральной простой алгеброй. В частности, если D1, D2 — два центральных тела конечного ранга над K, то их тензорное произведение D1 ⊗ D2 имеет вид M(m,D) для некоторого центрального тела D конечного ранга. Тело D определено однозначно с точностью до изоморфизма и называется произведением Брауэра тел D1 и D2. Легко видеть, что это произведение превращает множество классов изоморфизма центральных тел конечного ранга над K в группу, называемую группой Брауэра поля K и обозначаемую Br(K)

    Группа Брауэра является важнейшим арифметическим инвариантом поля K. Например, так как поле C алгебраически замкнуто, то Br(C) = 1.

    Группы в топологии

    Пусть I = [0,1] отрезок, а X — топологическое пространство. Непрерывное отображение f : I → X называется путем в X. При этом x = f(0) называется началом пути, а y = f(1) — его концом. Путь, для которого x = f (1) = f (0), называется замкнутым путем или петлей в точке x.

    Рассмотрим два пути f, g : I → X, начала и концы которых совпадают, т. е. f(0) = g(0) и f(1) = g(1)

    Эти пути называются гомотопными, если существует непрерывное отображение h : I × I → X, такое, что h(s,0) = f(s) и h(s,1) = g(s) для всех s ∈ I. Любое такое отображение h называется гомотопией между путями f и g.

    Мы будем рассматривать только гомотопии с закрепленными концами, для которых, кроме того, h(0,s) = f(0) = g(0) и h(1,s) = f(1) = g(1) для всех t ∈ I. Иными словами, два пути гомотопны, если один из них можно непрерывно продеформировать в другой в пространстве X так, чтобы их начала и концы все время оставались неподвижными, в этом случае мы будем писать f ∼ g.

    Ясно, что гомотопия является отношением эквивалентности на множестве путей с началом x и концом y. Классы этой эквивалентности называются гомотопическими классами путей с началом x и концом y.

    С каждым топологическим пространством X и абелевой группой A связываются группы гомологий Hn(X,A) и двойственные к ним группы когомологий nH(X,A) пространства X с коэффициентами в группе A. При этом группы гомологий ведут себя ковариантно по отношению к непрерывным отображениям топологических пространств, а группы когомологий — контравариантно. Иными словами, любому непрерывному отображению f : X → Y топологических пространств сопоставляются гомоморфизмы

     Hn(f) : Hn(X,A) → Hn(Y,A)
     nH(f) : nH(Y,A) → nH(X,A)

    абелевых групп.

    Классически рассматривались группы гомологий и когомологий с целыми коэффициентами. В самом первом приближении эти группы при n ≥ 1 измеряют наличие n-мерных дырок в пространстве X. С точки зрения алгебры гораздо интереснее рассматривать не когомологии с постоянными коэффициентами, а их обобщения с коэффициентами в локальных системах абелевых групп, наиболее важными из которых являются пучки.


    В группе возможно сокращение на любой элемент как слева, так и справа. Возможность сокращения слева означает в точности, что строки таблицы Кэли состоят из попарно различных элементов, а возможность сокращения справа эквивалентна аналогичному условию для столбцов. Например, в полугруппе левых нулей возможно сокращение справа, но не слева ; а в полугруппе правых нулей, соответственно, слева, но не справа. Это значит, что для группы все строки и все столбцы ее таблицы Кэли состоят из попарно различных элементов. Такие таблицы встречаются настолько часто, что имеют специальное название.

    Рассмотрим nэлементное множество X. Расположение элементов множества X в квадратную таблицу размера n × n таким образом, чтобы каждый элемент множества X встречался ровно по одному разу в каждой строке и каждом столбце, называется латинским квадратом. Таким образом, каждая строка и каждый столбец латинского квадрата являются перестановками множества X. Число n называется порядком латинского квадрата.

    Легко построить латинский квадрат любого порядка, для этого достаточно расположить элементы X в первой строке произвольным образом, а каждую следующую строку строить из предыдущей применением RotateRight. Получающаяся таблица является таблицей Кэли циклической группы порядка n = |X|

    Таблица умножения группы обязана быть латинским квадратом. Однако, будучи необходимым, это условие далеко не достаточно. Например, таблица

    ∗   a  b  c  d
    ---------------
    a   a  b  d  c
    b   b  c  a  d
    c   c  d  b  a
    d   d  a  c  b

    является латинским квадратом, но не задает группу, по двум причинам.

    Во-первых, в таблице с таким умножением нет нейтрального элемента (для нейтрального элемента соответствующая строка и столбец должны совпадать с исходным расположением элементов множества X).

    Во-вторых, задаваемое этой таблицей умножение неассоциативно:

    (ab)d = bd = d

    в то время как

    a(bd) = ad = c

    В действительности, латинские квадраты это в точности таблицы Кэли квазигрупп.

    Множество G с (не обязательно ассоциативной) бинарной операцией называется квазигруппой, если в нем возможно сокращение на любой элемент слева и справа, т.е. если для любых x,y,z ∈ G каждое из равенств zx = zy и xz = yz влечет равенство x = y. Квазигруппа с нейтральным элементом называется лупой.

    Из таблицы Кэли моментально усматривается, что задаваемая ей алгебраическая система является лупой. Оказывается, в этом случае сравнительно несложно установить и наличие или отстутствие ассоциативности. Для того, чтобы проверить, что лупа является группой, достаточно убедиться в выполнении следующего условия: если элементы, стоящие в трех парах вершин двух квадратов, совпадают, то совпадают и элементы, стоящие в их четвертых вершинах.


    подгруппы и смежные классы

    Структура группы на G определяется тремя операциями : бинарной операцией умножения, унарной операцией взятия обратного и нульарной операцией e

    Def: пoдмножество H ⊆ G называется подгруппой в G, если оно само является группой относительно тех же операций

    иными словами, для того, чтобы H было подгруппой, необходимо выполнение следующих трех условий.
    i) h, g ∈ H = ⇒ hg ∈ H,
    ii) h ∈ H = ⇒ h − 1 ∈ H, iii) e ∈ H.

    Тривиальная и несобственная подгруппы.

    В каждой группе G есть по крайней мере две подгруппы. А именно, очевидно, что {e} ≤ G, эта подгруппа называется тривиальной и часто обозначается просто e или 1. Столь же очевидно, что G ≤ G. Эта подгруппа называется несобственной. Все подгруппы H < G, отличные от G, называются собственными. Подгруппы 1 и G называются очевидными подгруппами группы G.

    Центр.

    Множество элементов, коммутирующих со всеми элементами G, называется центром группы G и обозначается C ( G ). Элементы C ( G ) называются центральными.

    Централизатор элемента.

    Пусть x ∈ G. Определим централизатор элемента x в группе G следующим образом :

     CG(x) = { g ∈ G | g * x = x * g }

    Лемма. Для любого x ∈ G имеем CG(x) ≤ G. Доказательство. В самом деле, x * 1 = x = 1 * x, поэтому CG(x)≠∅. Если h, g ∈ C (G), то

    (h * g) * x = h * (g * x) = h * (x * g) = (h * x) * g = (x * h) * g = x * (h * g),

    так что h * g ∈ C(G). С другой стороны, если h ∈ C(G), то умножая равенство h * x = x * h на h− справа и слева, получаем x * h− = h− * x, так что h− ∈ C(G). Отсюда, конечно, сразу следует, что C(G) ≤ G. В самом деле, C(G) = ∩ CG(x), где пересечение берется по всем x ∈ G. Любое пересечение подгрупп является подгруппой.

    Примеры централизаторов.

    Вычислим централизаторы некоторых матриц.

    Централизатор регулярной полупростой матрицы

    Диагональная матрица d = diag(ε1,...,εn) называется регулярной, если все элементы εi попарно различны. Для регулярной диагональной матрицы имеет место равенство CGL(n,K) (diag(ε1,...,εn)) = D(n,K) (так как диагональные матрицы коммутируют, то D(n,K) содержится в централизаторе любой диагональной матрицы.

    Централизатор матрицы с двумя собственными числами.

    Пусть p + q = n, ε, η ∈ K∗, ε≠η

    CGL(n,K)(εe 0 , 0 ηe) = (GL(p,K ) 0 , 0 GL(q,K))

    Пусть X ⊆ G — любое подмножество в G. Определим нормализатор X как множество элементов, которые коммутируют с X в целом :

    NG(X) = { g ∈ G | g * X = X * g }

    Легко убедиться, что NG(X) - подгруппа в G.

    Нормализатор группы верхних унитреугольных матриц совпадает с группой верхних треугольных матриц,

    NGL(n,K) (U(n,K)) = B(n,K)

    Замечательно, что это верно вообще для любого поля K.

    Нормализатор группы диагональных матриц совпадает с группой мономиальных матриц,

    NGL(n,K) (D(n,K)) = N(n,K)

    Это равенство имеет место для любого K содержащего по крайней мере 3 элемента.

    Порядок |〈 g 〉| циклической подгруппы 〈 g 〉 обозначается o(g) или ord(g) (от английского ‘order’) и называется порядком элемента g. Иными словами, o(g) это либо наименьшее натуральное число n такое, что g n = 1, либо ∞.

    Группа G называется периодической, или группой кручения, если все ее элементы имеют конечный порядок.

    Группа G называется группой без кручения, если все ее≠1 элементы имеют бесконечный порядок.

    Определение. Пусть X ⊆ G. Наименьшая подгруппа в G, содержащая X, называется подгруппой, порожденной X и обозначается 〈 X 〉

    Пересечение подгрупп.

    Пусть F, H ≤ G. Тогда их пересечение F ∩ H тоже является подгруппой в G, которая называется пересечением подгрупп F и H. То же верно и для любого множества подгрупп.

    Напротив, объединение двух подгрупп крайне редко является подгруппой. Конечно, если F ≤ H или H ≤ F, то F ∪ H = H ≤ G или F ∪ H = F ≤ G, соответственно. Однако, если подгруппы F и H несравнимы, то F ∪ H никогда не является подгруппой.

    Конечно порожденные группы.

    Группа, для которой существует конечная система образующих, называется конечно-порожденной. Ясно, что любая конечная группа конечно порождена. Но даже группа, порожденная одним элементом, может быть бесконечной. С другой стороны, она не может быть слишком бесконечной: из конечного (или счетного) числа букв можно образовать лишь счетное количество слов. Поэтому ни одна группа мощности континуум, скажем, ℝ или 𝕋, не может быть конечно-порожденной.

    Группа SL(n,Z) порождена трансвекциями tij(1) = e + eij, 1 ≤ i≠j ≤ n

    Пусть G =〈 x, y 〉 подгруппа в GL(n,Z), порожденная двумя инволюциями

    x = (-1 0 , 0  1), y = (-1 1 , 0 1)

    Так как y * x = t12(1) — элемент бесконечного порядка, то группа G бесконечна. Эта группа обозначается D∞ и называется бесконечной диэдральной группой

    Мультипликативная группа Q∗ порождена −1 и p ∈ P (это просто еще одна формулировка основной теоремы арифметики!). Она изоморфна прямому произведению группы {±1} и свободной абелевой группы счетного ранга. Тем самым, любая ее конечно порожденная подгруппа содержится в некоторой подгруппе, порожденной −1 и конечным множеством простых p1,...,pn

    Определение. Левым смежным классом G по H называется любое множество вида

    H*x = { h*x | h ∈ H }, где x ∈ G

    При этом x называется представителем класса H*x.

    Аналогично, множество

    x*H = { x*h | h ∈ H }

    называется правым смежным классом G по H с представителем x.

    Через H= { H*x | x ∈ G } обозначается множество всех левых смежных классов G по H,

    а через G/H = { x*H | x ∈ G } — множество всех правых смежных классов.

    Теорема. Группа G является дизъюнктным объединением всех различных левых (или правых) смежных классов по подгруппе H. Доказательство. Так как x ∈ Hx, то G = ∪ Hx, где объединение берется по всем Hx ∈ H  G. Таким образом, нужно лишь показать, что это объединение дизъюнктно. В самом деле, пусть Hx и Hy — два смежных класса G по H. Предположим, что Hx ∩ Hy≠∅. Это значит, что найдется z ∈ Hx ∩ Hy, т.е. найдутся такие h,g ∈ H, что z = hx = gy. Тем самым y = g− (hx) = (g− h) * x, так что y ∈ Hx. Поэтому Hy ⊆ H(Hx) = (HH)x = Hx. Точно так же проверяется и включение Hx ⊆ Hy. Таким образом, окончательно Hx = Hy. Тем самым, никакие два различных левых смежных класса не пересекаются, что и утверждалось. Доказательство для правых классов совершенно аналогично.

    Эта теорема означает, что G = ⨿ Hx, Hx ∈ H  G

    Разбиение на левые смежные классы G по H называется разложением группы G по подгруппе H. Одним из смежных классов является сама подгруппа H = H1 = 1H. Из наличия сокращения в группе сразу следует, что для каждого x ∈ G отображение

    H → H*x
    h → h*x

    задает биекцию H на смежный класс Hx, так что, в частности, |Hx| = |H|. Из только что доказанной теоремы вытекает, что для любого x /∈ H класс H*x не пересекается с H и, значит, не является подгруппой.

    Сравнение по модулю подгруппы.

    Мы знаем, что с каждым разбиением связано некоторое отношение эквивалентности. Опишем получающиеся отношения эквивалентности явно. Будем говорить, что x и y сравнимы по модулю H слева, и писать

    x ≡ y, если H * x = H * y

    Это означает, что найдутся такие h, g ∈ H, что hx = gy. Тем самым,

    x*y− = h−*g ∈ H−*H = H

    С подгруппой H связано и второе отношение эквивалентности, сравнимость по модулю H справа:

    x ≡ y, если x*H = y*H

    Легко видеть, что xH = yH эквивалентно включению x−*y ∈ H. Таким образом, мы можем ввести отношение сравнимости по модулю H и не упоминая смежные классы.

    Определение. Говорят, что элементы x, y ∈ G сравнимы по модулю H слева (соответственно, справа), если xy− ∈ H (соответственно, x−y ∈ H)

    Посмотрим, скажем на сравнимость по модулю H слева. Это отношение рефлексивно, так как

    xx− = e ∈ H,

    симметрично, так как

    yx− = (xy−)− ∈ H− = H

    и транзитивно, так как xz− = (xy−)(yz−) ∈ HH = H

    В случае, когда G коммутативна, Hx = xH так что сравнимости по модулю H слева и справа совпадают. В этом случае обычно говорят просто о сравнимости по модулю H, которая обозначается x ≡ y (mod H )


    нормальные подгруппы и фактор-группы

    todo

     


    index