Three Rings for the Elven-kings under the sky,
              Seven for the Dwarflords in their halls of stone,
              Nine for Mortal Men doomed to die,
              One for the Dark Lord on his dark throne
              In the Land of Mordor where the Shadows lie.
              One Ring to rule them all,
              One Ring to find them,
              One Ring to bring them all and in the darkness bind them.

                   J.R.R.Tolkien, The Lord of the Rings 

конспект книжечки Николая Вавилова "Конкретная теория колец"

прямая сумма колец

пусть R1, ..., Rs - кольца

обозначим через R1 ⊕...⊕ Rs, кольцо, которое как множество совпадает с R1×..×Rs, с покомпонентными операциями сложения и умножения:

      (x1,..,xs) + (y1,..,ys) = (x1 + y1,.,xs + ys)
      (x1,..,xs) * (y1,..,ys) = (x1 * y1,.,xs * ys)

прямая сумма конечного числа колец часто называется также их прямым произведением и в этом случае обозначается R1⊗..⊗Rs

гомоморфизмы колец

пусть R и S - два кольца

Def : отображение f:R→S называется гомоморфизмом колец, если f одновременно является гомоморфизмом аддитивной и мультипликативной структур, т.е. если для любых x,y∈R выполняются равенства

   f (x + y) = (f x) + (f y)
   f (x * y) = (f x) * (f y)

так как R образует группу по сложению, то из того, что f сохраняет сложение, автоматически вытекает, что (f 0_R) = 0_S

в то же время, из того, что f сохраняет умножение, в общем случае отнюдь не следует, что (f 1_R) = 1_S. гомоморфизм f, для которого (f 1_R) = 1_S, называется унитальным

обычно для колец с 1 мы включаем 1 в сигнатуру и рассматриваем только унитальные гомоморфизмы

гомоморфизм f называется:

• мономорфизмом, если он инъективен
• эпиморфизмом, если он сюръективен
• изоморфизмом (ISO), если он биективен
• эндоморфизмом (ENDO), если R = S
• автоморфизмом (AUTO), если R = S и f - биективен

отображение f кольца R в кольцо S называется гомоморфизмом, если оно сохраняет операции, т.е.

       f (x + y) = f (x) + f (y)
       f (x ∙ y) = f (x) ∙ f (y)

точнее: пусть А и S - два кольца c операциями + и ∙, а также со скалярным произведением на множитель из какого-либо множества/структуры скаляров С

Def : гомоморфизмом колец называется такое отображение ϕ:А→S, что

  ϕ 0A = 0S
  ϕ 1A = 1S
  ϕ (x + y) = (ϕ x) + (ϕ y)
  ϕ (x ∙ y) = (ϕ x) ∙ (ϕ y)
  ϕ x⁻ = (ϕ x)⁻
  ϕ (x * α) = α * (ϕ x)

для всякого гомоморфизма ϕ:R→S ядром является идеал у, и обратно, всякий идеал К - ядро некоторого гомоморфизма. идеал с точностью до изоморфизма определяет образ гомоморфизма, ядром которого он является: (ϕ R) ≅ R/I

пример: ядром гомоморфизма ℤ → ℤ/3ℤ будут все числа, кратные трём

если f - сюръективный гомоморфизм кольца K на кольцо R, то его ядро (ker f) является идеалом кольца K, причём кольцо R изоморфно фактор-кольцу K/(ker f)

если J - идеал кольца K, то отображение f:K→K/J, определяемое условием

     f (a) = a + J,   ∀ a ∈ K

внутренние автоморфизмы

пусть u∈R*. тогда отображение

  Iu : R → R
  x → u * x * u⁻ 

в самом деле

   Iu (x + y) = (Iu x) + (Iu y)
и
   Iu (x * y) = (Iu x) * (Iu y)

проекции на слагаемые

если R = R1⊕..⊕Rs - прямая сумма колец R1,..,Rs, то

      pri : R → R1 ⊕ ... ⊕ Rs
      (x1 , ... , xs) → xi

каноническая проекция

пусть R - кольцо, I ⊲ R, а R/I - факторкольцо. тогда (по определению операций в R/I) такая каноническая проекция

    R → R/I
    x → x + I

конечные поля

по определению поле обязано содержать по крайней мере два элемента: 0 и 1. оказывается, существует поле ровно из двух элементов, а именно: определим на множестве F2 = {0,1} алгебраические операции, полагая

              +   0  1
              --------
              0   0  1
              1   1  0

              ×   0  1
              --------
              0   0  0
              1   0  1

так определенные операции превращают F2 в поле

также и трехэлементное множество F3 = {0,1,−1} превращается в поле введением следующих операций:

                  +    0  1  2
                  ------------
                  0    0  1  2
                  1    1  2  0
                  2    2  0  1

                  ×    0  1  2
                  ------------
                  0    0  0  0
                  1    0  1  2
                  2    0  2  1

в обоих случаях так построенные поля совпадают с кольцами вычетов ℤ/2ℤ и ℤ/3ℤ

кольцо ℤ/4ℤ не может быть полем, потому что оно имеет делители 0

тем не менее, поле из четырех элементов существует, просто оно не изоморфно ℤ/4ℤ. чтобы убедиться в этом, рассмотрим множество F4 = {0,1,u,v}, операции в котором вводятся следующим образом:

                  +    0  1  u  v
                  ---------------
                  0    0  1  u  v
                  1    1  0  v  u
                  u    u  v  0  1
                  v    v  u  1  0

                  ×    0  1  u  v
                  ---------------
                  0    0  0  0  0
                  1    0  1  u  v
                  u    0  u  v  1
                  v    0  v  1  u

аналогично (хотя и несколько сложнее) можно построить конечное поле Fq любого "примарного" порядка q=p^m

поле порядка q=p^m единственно с точностью до изоморфизма. в то же время, если q не является примарным, то не существует поля из q элементов, например, нет полей, содержащих 6, 10, 12, 14, 15 элементов

• high-school algebra (полиномы, дроби, матрицы)
• college algebra (группы, кольца, модули)
• university algebra (категории, пучки, когомологии)

нильпотенты

Def : элемент кольца x называется нильпотентом, если x^n = 0 для некоторого натурального n

очевидно, 0 нильпотентен. отличные от 0 нильпотенты называются нетривиальными

так в кольце ℤ/4ℤ имеем 2 ≠ 0, но 2^2 = 4 = 0

нетривиальные нильпотенты есть и в кольце матриц M(n,K) при любом n ≥ 2

приведенные кольца

условие отсутствия в кольце делителей нуля является черезчур ограничительным. например, кольцо непрерывных функций на топологическом пространстве как правило имеет делители 0. сейчас мы определим важнейшее ослабление условия целостности

Def : кольцо R называется приведенным, если в нем нет нетривиальных нильпотентных элементов

иными словами, для x∈R из того, что x^n = 0 вытекает, что x = 0

если кольцо не является приведенным, то в нем есть делители 0. однако, и приведенное кольцо может иметь делители 0. скажем, в кольце ℤ/6ℤ делители 0 есть, так как в нем 2 · 3 = 0, но нетривиальных нильпотентов там нет

при любых p ∈ P, m ≥ 2 элемент p кольца ℤ/p^mℤ нильпотентен

при любом n ≥ 2 кольцо матриц M(n,K) содержит громадное количество нильпотентов. например, нильпотентна любая стандартная матричная единица eij, i ≠ j

идемпотенты

Def : элемент кольца e называется идемпотентом, если e * e = e. в этом случае e^n = e для любого натурального n

в каждом кольце 0 и 1 являются тривиальными идемпотентами

любой нетривиальный идемпотент является делителем 0: e * (1 − e) = 0 = (1 − e) * e

характеристика кольца

пусть R - коммутативное кольцо с 1. рассмотрим гомоморфизм колец

   ψ : ℤ → R
   n → n · 1 =  1 + ... + 1  (n слагаемых)

пусть I = ker ψ - ядро этого гомоморфизма

так как ℤ - кольцо главных идеалов, то I = mℤ для некоторого m ∈ ℕ

для m≠0 в кольце R выполняется 1 +... + 1 = 0, где число единиц равно m

Def : если ker ψ = mℤ, то говорят, что характеристика R равна m и пишут char(R) = m

чтобы различать случаи char(R) = 0 и char(R) > 0, в первом из них говорят, что R кольцо нулевой характеристики, а во втором, что R кольцо положительной характеристики

особенно важен случай, когда char(R) = p > 0 (где p - простое число). такое R называется "кольцом простой характеристики"

примеры колец различных характеристик

• характеристика ℤ, ℚ, ℝ, ℂ равна 0
• характеристика кольца классов вычетов ℤ/mℤ равна m, в частности, характеристика простого поля Fp = ℤ/pℤ равна p
• характеристика булева кольца множеств R = 2^X, X ≠ ∅, (относительно симметрической разности и пересечения) равна 2

тот факт, что характеристика всех известных нам полей либо равна 0, либо является простым числом, не случаен

Th: характеристика области целостности либо равна 0, либо является простым числом

Th: характеристика неразложимого кольца либо равна 0, либо является примарным числом

адресованное Декарту письмо Ферма, содержащее метод нахождения максимумов и минимумов на основе дуальных чисел, вне всякого сомнения представляет собой один из самых поразительных документов в истории человечества - это письмо опередило свое время более, чем на три века. получающийся на этом пути подход к анализу гораздо современнее не только XIX века, но и первой половины XX века. точка зрения Ферма начала возрождаться в работах итальянских алгебраических геометров, но ее триумфальное возвращение произошло только в 1960-х годах, когда Гротендик установил, что правильным подходом к инфинитезимальному исчислению конечного порядка - единственным возможным подходом в случае положительной характеристики - является переход от полей к кольцам, содержащим нильпотенты произвольных порядков. построить чисто алгебраическую версию дифференциального исчисления бесконечного порядка гораздо сложнее

обозначим через R множество непрерывных функций на [0,∞) со значениями в ℝ. это множество образует абелеву группу относительно поточеченого сложения функций. оно является кольцом относительно умножения функций. но, как правило, в качестве умножения в R рассматривается не обычное умножение функций, а свертка

Th: кольцо R непрерывных функций на [0,∞) относительно свертки является областью целостности

эта теорема лежит в основе операционного исчисления. любая область целостности (даже если в ней нет 1) вкладывается в некоторое поле. в данном случае это и будет поле операторов Хэвисайда. на этом пути Микусиньский дал чисто алгебраическое обоснование операционного исчисления, вне всякой связи с преобразованием Лапласа

рассмотрим три различные возможности определить структуру кольца на множестве отображений X→Y

три ключевых слова, которыми описываются эти структуры, это "композиция", "умножение" и "свертка"

во всех случаях, которые мы будем рассматривать, множество Y = A будет абелевой группой

тем самым у нас определено поточечное сложение функций:

Если f, g : X → A, то f + g определяется посредством (f + g)x = (f x) + (g x)

однако при этом мы будем рассматривать три совершенно различных типа произведений:

• "композиция" ◦ : (f ◦ g)x = f(g(x))
• "поточечное произведение функций" · : (f · g)x = f(x) · g(x)
• "свертка функций" ∗ : (f ∗ g)x есть сумма произведений (f y) · (g z) по некоторым парам (y,z)

кольцо операторов/эндоморфизмов

кольцо отображений A → A относительно композиции называется "кольцом операторов"

пусть A - произвольная абелева группа. рассмотрим множество R = Endo(A) всех эндоморфизмов группы A со следующими операциями: обычным поточечным сложением функций как сложением и композицией отображений как умножением

для любой абелевой группы A множество Endo(A) с так определенными операциями представляет собой ассоциативное кольцо с 1

алгебраисты обычно называют Endo(A) кольцом эндоморфизмов, в то время как большинcтво остальных математиков предпочитают в этом случае говорить о кольцах операторов

кольца функций

рассмотрим отображения произвольного множества X в какое-то коммутативное ассоциативное кольцо R с 1, скажем, в ℤ, ℚ, ℝ, или ℂ. множество R^X всех таких отображений с поточечными операциями сложения и умножения

   (f + g)x = (f x) + (g x)
   (f * g)x = (f x) * (g x)

из свойств операций в кольце сразу вытекает, что R^X будет коммутативным ассоциативным кольцом с 1

обычно рассматривают только алгебры функций, т. е. такие подкольца в R^X, которые содержат все постоянные функции x→c, где c - фиксированный элемент кольца R. эта конструкция колец является одной из центральных в анализе, топологии, дифференциальной и алгебраической геометрии

замена переменной

пусть R - коммутативное кольцо с 1, а X и Y - два произвольных множества. тогда определены кольца функций R^X и R^Y

пусть теперь φ : X → Y - произвольное отображение

тогда сопоставление функции f∈R^Y функции (f ◦ φ)∈R^X задает гомоморфизм колец

φ∗ : R^Y → R^X

называемый "заменой переменной"

нужно убедиться в том, что для любых двух функций f,g∈R^Y имеют место равенства

   (f + g) ◦ φ = (f ◦ φ) + (g ◦ φ)
   (f · g) ◦ φ = (f ◦ φ) · (g ◦ φ)

но эти равенства сразу вытекают из определения действий над функциями. то, что при этом 1 переходит в 1 сразу следует из того, что постоянная функция y→1 является левым нулем относительно композиции функций

отображению из X в Y соответствует гомоморфизм колец в обратном направлении, из R^Y в R^X, а вовсе не из R^X в R^Y. с точки зрения теории категорий это означает, что функтор X → R^X - из категории множеств в категорию колец - контравариантен

значение в точке

по определению операций над функциями

     ev x : R^X → R
     f → f(x)

является гомоморфизмом колец (в действительности, R-алгебр). этот гомоморфизм обычно называется "эвалюацией (evaluation) в точке x"

разложение кольца функций

разложению

X = X1 ⨿ ... ⨿ Xn

множества X в свободное объединение отвечает разложение кольца функций на нем в прямую сумму

R^(X1 ⨿ ... ⨿ Xn) ~~= R^X1 ⊕ ... ⊕ R^Xn

изоморфизм между этими кольцами устанавливается посредством

f → (f|X1, ..., f|Xn)

в частности, если множество X = {x1, ..., xn} конечно, описанная конструкция устанавливает изоморфизм

      R^X → R^n = R ⊕ ... ⊕ R
      f → (f x1 , .. , f xn)