теория групп состоит в том, чтобы вписывать и вычеркивать такого рода выражения: x∙x⁻

коммутант

коммутатор двух элементов группы есть [x , y] = x∙y∙x⁻∙y⁻

коммутантом группы называется подгруппа, порожденная множеством всех коммутаторов: [G , G] = < [x , y] | x , y ∈ G >

коммутант НЕ состоит из коммутаторов . коммутант порождается коммутаторами и состоит из всевозможных конечных произведений коммутаторов

коммутант, как и центр, измеряет отклонение группы от абелевости. чем больше центр и чем меньше коммутант, тем ближе группа к абелевой

коммутант - это наименьшая нормальная подгруппа в G, факторгруппа по которой - абелева

для абелевой группы [G,G] = 1

фактор по коммутанту G/[G,G] - абелева группа

ядро ker(ψ) любого гомоморфизма ψ : G → A в абелеву группу A, содержит [G,G]

для любой группы [G,G] ≤ G. факторгруппа G/[G,G] является наибольшей абелевой факторгруппой

подгруппа H≤G нормальна, если φ(H)≤H для любого внутреннего автоморфизма φ∈Inn(G)

подгруппа H называется характеристической, если φ(H)≤H для любого автоморфизма φ∈Auto(G)

подгруппа H называется вполне характеристической, если φ(H)≤H для любого эндоморфизма φ∈Endo(G)

так как Inn(G) ≤ Auto(G) ≤ Endo(G), то имеет место следующая цепочка импликаций:

H вполне характеристическая ⇒ H характеристическая ⇒ H нормальная

коммутант [G,G] группы G является вполне характеристической подгруппой

нижний центральный ряд группы

существует ряд :

  Ce₀(G) = G
  Ce₁(G) = [G,G]
  Ce₂(G) = [[G,G],G]
  .
  Ceₙ(G) = [Ceₙ₋₁(G),G] 

групповая алгебра K[G]

это алгебра, элементы которой интерпретируются как Σ g * a ,     a ∈ K , g ∈ G
это формальные линейные комбинации:

Σ = 0 <=> ∀ g ∈ G, a = 0

Σ g * a   +   Σ g * b = Σ g * (a + b)

(Σ g1 * a) ∙ (Σ g2 * b) = Σ g1 ∙ g2 * (a * b)     формула свертки

пусть Е - векторное пространство над К. всякий гомоморфизм алгебр K[G] → End_K(E) индуцирует гомоморфизм групп G → Aut_K(E) и т.о. представление кольца K[G] в Е порождает представление группы G. задание представления превращает Е в модуль над кольцом K[G]

представления конечных групп

линейные представления

пусть G - конечная группа. пусть R - коммутативное ассоциативное кольцо (обычно - поле). пусть V - это R-модуль (свободный, конечного ранга)

тогда линейное представление G на R, с модулем представления V - это гомоморфизм

    π : G → GL(V) = Auto(V) 
    g → πg

GL(V) - полная линейная группа модуля V

каждому элементу из G сопоставляется обратимый линейный оператор на модуле V

π называется представлением, а V называется модулем (пространством) представления

это и есть представление группы линейными операторами: отображение группы G в пространство линейных операторов

представление унитарно, если всякий оператор унитарен и тривиально, если для всех элементов из G оператор является тождественным отображением

представление называется точным, если отображение g→GL(V) взаимно-однозначно (в таком случае в ядре гомоморфизма будет единица). если представление неточно, то все смежные с g элементы G представляются одним и тем же оператором, а два разных класса - разными операторами. неточный гомоморфизм может расматриваться, как точное представление факторгруппы G/ker

π_e = id_v
π_g⁻ = π_g⁻

G × V → V
(g,v) → π_g(v)

т.о. представление задает линейное действие G на V:

  π(v1 + v2) = π(v1) + π(v2)
  π(λ*v) = π(v) * λ
  v, v1, v2 ∈ V, λ ∈ R 

линейное представление задает линейное действие, но и линейное действие задает линейное представление:

  G ⟳ V  
  G → GL(V) ,     GL(V) ∈ V
  g → (v → g ∙ v) 

π_g = (v → g ∙ v) = L_g
QED

* * *

G ⟳ V ~~~→ R[G] ⟳ V

(Σ g * a_g) v = Σ (g ∙ v) * a_g   ∈   V

это задает на V структуру левого R[G]-модуля

 --------------------------------------------------------------------    
   представление                  модуль
 --------------------------------------------------------------------
  факторпредставление           фактормодуль
  эквивалентность               изоморфизм   
  сплетающий оператор           гомоморфизм
  неприводимое представление    простой модуль
  неразложимое представление    неразложимый (в прямую сумму) модуль
  полная приводимость           полупростота (прямая сумма простых) 
 --------------------------------------------------------------------

в дальнейшем предполагается, что V = Rⁿ и R - поле

< e₁..eₙ > - базис в V
V = Rⁿ
GL(Rⁿ) = GLₙ(R)     это просто умножение на обратимую матрицу

π : G → GLₙ(R)

такое линейное представление называется матричным. над полем любое конечномерное представление является таким. n называется степенью представления

важным инвариантом матрицы (относительно сопряженности) является след матрицы

x = (x_ij)
trace(x) = Σx_ii

след матрицы является примером контрадействия

матричный элемент представления π в позиции ij :

π_ij : G → R
g → π_ij(g) = (π_g)_ij

любое представление абелевой группы над алегбраически-замкнутым полем - одномерно

сплетающий оператор

пусть есть два представления группы G над одним и тем же кольцом R:

π : G → GL(U)
ρ : G → GL(V)

что такое гомоморфизм между π и ρ? эквивариантность

                       πg
                   U   →   U

   G ∋ g         φ ↓       ↓ φ

                   V   →   V
                       ρg

тогда φ(g ∙ u) = g ∙ φ(u)

это и называется эквивариантностью

сплетающий оператор это в точности гомоморфизм R[G]-модулей:

  φ(Σ  g ∙ u * ag) = 
  Σ φ( g ∙ u * ag) = 
  Σ φ(g ∙ u) * ag = 
  Σ g ∙ φ(u) * ag 

если φ является изоморфизмом, то он называется эквивалентностью представлений. в этом случае, если φ - изоморфизм:

π : G → GL(U)
ρ : G → GL(V)

                       πg
                   U   →   U

   G ∋ g         φ ↓       ↑ φ⁻

                   V   →   V
                       ρg

  

говорят, что π и ρ - эквивалентные представления. найдется обратимая матрица x, такая что x * π_g * x⁻ = ρ_g для любого g (одна и та же)

неприводимость

U ⊆ V называется G-инвариантным, если g ⟳ U ⊆ U для всех g ∈ G. имеется два тривиальных инвариантных подпространства, а именно, само V и 0. нетривиальные инвариантные подпространства называются собственными

   πu : G → GL(U)
   g → (πg)|U 

представление φ называется неприводимым, если в V нет нетривиальных G-инвариантных подпространств (собственных подпространств). это аналог простых чисел из основной теоремы арифметики

матрицы всех неприводимых представлений являются верхне-треугольными блочными матрицами. все матрицы такого вида образуют группу

   Pₘ = ( a b
          0 c ) | a ∈ GL(m,K) , c ∈ GL(n-m,K) , b ∈ M(m,n-m,K) }, m = 1..n-1

     ( a1 b1     ( a2 b2     ( a1*a2   a1*b2 + b1*c2
       0  c1 ) *   0  c2 ) =     0        c1*c2       )

все матрицы π_ij неприводимого представления можно "загнать" в одну и ту же подгруппу Pₘ - одним сопряжением

неприводимость представления зависит только от img(π) = π(G) = { π_g | g ∈ G }

* * *

любой сплетающий оператор либо равен нулю, либо обратим

пусть К - поле, U и V - неприводимые модули. тогда
если U ≇ V, то Homo_G(U,V) = 0
если U ≅ V , то Aut_G(U) является телом

φ называется гомотетией, если φ ≅ λ * id

Th: над алгебраически-замкнутым полем нет никаких иных гомоморфизмов, кроме гомотетий
Proof:
поле K алгебраически-замкнуто     <=>     ∀ φ : U → U     ∃ K ∋ λ ≠ 0 :   φ(u) = u * λ при u ≠ 0
проверим, что (при таких условиях теоремы) выполняется следующее равенство: (φ - λ * id_U) u = 0
φ - сплетающий оператор, вычитаемое - сплетающий оператор, а значит и их разность - сплетающий оператор и следовательно φ - λ * id_U = 0
QED

факторпредставление

если что-то не выполняется, то нужно посмотреть, что мешает этому выполняться и по этому чему-то - профакторизовать

π : G → GL(V) , dim(V) = n < ∞
g → (v → g ∙ v)

U ⊂ V , U есть G-подмодуль

V/U = { v + U | v ∈ V } это фактормодуль. теперь G ⟳ V/U = g ∙ v + U

π_V/U : G → GL(V/U)
g → (v + U → g ∙ v + U)

матрица факторпредставления в базисе e_m+1+U,..,eₙ+U есть SE матрицы

   πg = ( πg|U     *
           0    πV/U,g )

    Pₘ = { ( a b 
             0 c ) | a ∈ GL(m,R), c ∈ GL(n-m,R, b ∈ M(m,n-m,R) }

    ( a1 b1     ( a2 b2     ( a1*a2   a1*b2 + b1*c2
      0  c1 ) *   0  c2 ) =     0        c1*c2      )

    подгруппа Леви:

    Lₘ = { ( a 0
             0 c ) | a ∈ GL(m,R) , c ∈ GL(n-m,R) }

    Pₘ → Lₘ

    ( a b     ( a 0
      0 c ) →   0 c )
    
    Uₘ = { ( e b
             0 e ) | b ∈ M(m,n-m,R) }

прямая сумма представлений

π : G → GL(U)
g → π_g
ρ : G → GL(V)
g → ρ_g
π ⊕ ρ : G → GL(U+V)
g → π_g + ρ_g

если U и V - свободные модули, то в качестве базиса прямой суммы можно взять обьединение их базисов и тогда матрица преобразования выглядит как прямая сумма матриц

π : H → GL(U)
h → π_h
ρ : G → GL(V)
g → ρ_g
π ⊞ ρ : H × G → GL(U ⊕ V)
(h , g) → (π ⊞ ρ)_(h,g)

Δ : G → G × G
g → (g,g)
π ⊕ ρ есть ограничение внешней прямой суммы π ⊞ ρ

усреднение по конечной группе

усреднение векторов

инвариантами группы G называются элементы v^G = { v ∈ V | ∀ g ∈ G, π_g(v) = v }

φ : V → V^G
v → 1/|G| * Σ g∙v

∀ v ∈ V^G , φ(v) = v

усреднение линейных отображений

π : G → GL(U)
ρ : G → GL(V)
φ ∈ Homo(U,V)

         πg 
     U   →   U
    
   φ ↓       ↓ ρg°φ°πg⁻ 
    
     V   →   V
         ρg 
  

Homo_K(U,V) → Homo_K(U,V)^G
φ → 1/|G| * Σ ρ_g°φ°π_g⁻

таким образом инвариантами Homo являются сплетающие операторы. это те операторы, для которых в приведенном выше коммутирующем квадрате справа стоит φ

теорема Машке

π : G → GL(U)
U ⊆ V , где V, U - G-инвариантные векторные подпространства

когда же π раскладывается в прямую сумму?
по теореме о базисах ∃ W ⊆ V : U ⊕ W = V
если W тоже G-инвариантно, то π_g = π_u ⊕ π_v

проекция и проектор

V = U ⊕ W
∀ v ∈ V ∃! u ∈ U и ∃! w ∈ W : v = u + w

φ : V → U     это проекция
v → u

ψ : V → V     это проектор
v → u             ker(ψ) = W       img(ψ) = U       ψ² = ψ

ψ₀ = 1/|G| * Σ π_g°ψ°π_g⁻

W₀ = ker(ψ₀) , ψ₀ - проектор на U , dim(U) + dim(W₀) = dim(V)

тогда V = U ⊕ W₀

Th Машке: пусть G - конечная группа порядка n и K - поле (char(K) не делит n). тогда групповое кольцо K[G] полупросто

из нее следует полная приводимость: при таких условиях класс неразложимых представлений совпадает с классом неприводимых

скалярное произведение: B(uⁿ , vⁿ) = u₁ * v₁ + .. + uₙ * vₙ

 
    π G → GL(ℂⁿ) = GLₙ(ℂ) 
    g → πg 

классическая унитарная группа:

    U(n,ℂ) = { x ∈ GL(n,ℂ) | conj(x)⁺ * x = e = x * conj(x)⁺ }

для любого представления конечной группы на ℂⁿ существует инвариантное, положительно определенное эрмитово скалярное произведение

    B : V × V → ℂ
      |
      | усреднение билинейных форм 
      V 
    B₀ : V × V → ℂ

π : G → GL(V)

относительно B₀ все операторы π_g , g ∈ ℂ, унитарны. конечномерное унитарное представление любой группы вполне приводимо:

   ρ : G → U(n,ℂ)
   U ⊕ U⊥ = V 

унитарное представление группы неприводимо тогда и только тогда, когда единственными операторами, коммутирующими со всеми π_g являются операторы, кратные единичному. это называется операторной неприводимостью представления π

характеры Фробениуса

x ∈ M(n,K), trace(x) = Σ λ_ii

  π : G → GL(n,K)
  g → π

  χπ : G → K
  g → trace(π) 

следы сопряженных матриц равны : trace(x*y) = trace(y*x), trace(x⁻*y*x) = trace(y)

Th: π ∼ ρ <=> χ_π = χ_ρ (при char(K) = 0)

1_G : G → K*
g → 1

χ_φ⊕ρ = χ_π + χ_ρ

χ_φ⊗ρ = χ_π * χ_ρ

χ(1) = dim(V) = deg(π) (порядок матрицы представления)

h ∼ g       ⇒       χ_π(h) = χ_π(g)   ,   χ_π(h∙g) = χ_π(g∙h)

χ_π(g⁻) = conj(χ_π(g)) (при K = ℂ)

* * *

v ∈ V , η ∈ V* , g ∈ G

π : G → GL(V)    
g → π_g

π* : G → GL(V*)
g → π_g⁻⁺

    ((η)π*_g)(v) = η(π_g)(v)

π_g⁻⁺     контраградиентная (дуальная) к π_g матрица.   при K = ℂ ,   χ_π* = conj(χ_π)

представление конечных абелевых групп

здесь и далее полагаем K = ℂ

каждое унитарное представление группы G в V является прямой суммой циклических подпредставлений

  Cₙ | 1 g g² .. gj .. gn-1
  ---+-------------------
  χ₁ | 1 1 1     ..    1
  χ₂ | 1
  .  | .
  χi | 1        ζij
  .  | .
  χₙ | 1  

ζ - первообразный корень степени n из 1
эта матрица - матрица DFT
это полностью описывает представление конечных абелевых групп, поскольку произвольная абелева группа есть сумма циклических

* * *

пусть есть две группы: H и G

K[H × G] = K[H] ⊗ K[G]

χ : H → K*
θ : G → K*

χ ⊗ θ = ξ

ξ : H × G → K*
(h,g) → χ(h) ⊙ θ(g)

чтобы получить табличку характеров для ξ надо просто взять и тензорно перемножить такие таблички для χ и для θ

абелизация

как из любой группы сделать абелеву?

G_ab = G/[G,G]

инфляция

пусть H - нормальная подгруппа группы G

π: G/H → GL(V)
g+H → π_g+H

ψ : G → GL(V)
g → π_g+H

    π: G/H → GL(V)                неприводимо 
       |                              |
       |  инфляция                    |
       V                              V
    ψ : G → GL(V)                 неприводимо

G → G/H → GL(V)

у группы G имеется |G/[G,G]| различных 1-мерных представлений, являющихся инфляциями неприводимых представлений G/[G,G]

дефляция

если π : G → GL(1,K) = K* есть 1-мерное представление, то [G,G] ≤ ker(π)

это называется дефляцией

теорема Фробениуса-Бернсайда

Th : полагаем, что K - поле, с характеристикой не делящей порядок группы G
пусть π₁ .. π_s - все различные неприводимые представления G над K
пусть n₁ .. n_s - их соответствующие степени
пусть χ₁ .. χ_s - их соответствующие характеры
тогда
1) s = количество классов сопряженных элементов в G
2) |G| = n₁² + .. + n_s²
3) n_i делит порядок группы G

примеры

каждое действие группы на множестве задает линейное действие группы на векторном пространстве, для которого это множество является базисом

G ⟳ G
G × G → G
(x , y) → x y

G ⟳ K[G] есть левое регулярное представление. все неприводимые представления содержатся в регулярном представлении

группа Sₙ действует на множестве {1..n}, но такое представление не является неприводимым. приводимое представление легко получить, если считать, что группа действует на базисе n-мерного пространства. мы пойдем таким путем:

Sₙ ⟳ Kⁿ. для ∀ g ∈ Sₙ, g(e_i) = e_g(i) . такое представление называется естественным

U = K(e₁..eₙ) есть инвариантное одномерное подпространство

по теореме Машке у U есть инвариантное дополнение W = K(e₁-e₂) ⊕ K(e₂-e₃) ⊕ .. ⊕ K(eₙ₋₁-eₙ) . это тоже будет линейным представлением группы Sₙ, которое называется стандартным. это можно понять так, что Sₙ переставляет вершины симплекса размерности n который находится в подпространстве с размерностью (n-1) (например треугольник на плоскости). стандартное представление неприводимо

пример1: группа S₃

группа - наименьшая неабелева. порядок группы равен 6

рассмотрим [S₃,S₃] = A₃ (группа четности)
|S₃/A₃| = 6/3 = 2

вот эти два представления порядка 1 (одномерных представления):

1 : S₃ → K*
g → 1

α : S₃ → K*
g → sgn(g)

но сопряженных классов у S₃ три: 1 , (12) , (123), а их порядки соответственно: 1,3,2. это значит что должно быть еще одно неприводимое представление

поскольку |S₃| = 6 = 1² + 1² + x², т.е. порядок x этого представления равен 2

наш базис есть e₁-e₂, e₂-e₃

    (  1  0
       0  1 )

при (12) e₁-e₂ переходит в e₂-e₁ = -(e₁-e₂), а e₂-e₃ переходит в e₁-e₃ = Σ e

вот это представление порядка 2:

  β : S₃ → GL(2,U)
  (12) → ( -1  1
            0  1 )
  (23) → (  1  0
            1 -1 )
   ... 

проверять это все надо вращая треугольник на двумерной плоскости

составим таблицу характеров группы S₃ (traces соответствующих матриц):

         1  (12)  (123)
    1    1    1    1
    α    1   -1    1
    β    2    0   -1

пример2: группа Q

|Q| = 8, C(Q) = ±1, четыре одномерных представления

классы сопряженности - {1} , {-1} , {±i} , {±j} , {±k}

таблица характеров

              1    -1    ±i   ±j   ±k
     χ1       1     1     1    1    1
     χ2       1     1     1   -1   -1
     χ3       1     1    -1    1   -1 
     χ4       1     1    -1   -1    1
     χ5       2    -2     0    0    0 
  

ортонормированный базис в групповой алгебре

π : G → GL(U)
ρ : G → GL(V)
φ : U → V

где π и ρ - неприводимые представления G над K, а φ - произвольное линейное отображение

φ₀ = 1/|G| * Σ ρ_g φ π_g⁻

π₀ : U → V   есть сплетающий оператор

пусть поле К алгебраически-замкнуто с характеристикой 0

тогда если U ≇ V то φ₀ = 0
если U = V то тогда π = ρ , trace(φ) = trace(φ₀) и φ₀ является гомотетией с коэффициентом trace(φ)/dim(V)

пусть базис в U есть <u₁..uₘ>, а базис в V есть <v₁..vₙ>
если φ - это замена базиса:
φ_ij : U → V u_j → v_i u_h →; 0, h ≠ j

это отображения матрицы которых в этих базисах равны e_ij. это и есть соотношение ортогональностей Шура

π_g = (π_jk(g))
ρ_g = (ρ_hi(g))

π_jk, ρ_hi : G → K

φ_ij₀ = 1/|G| * Σ ρ_g φ_ij π_g⁻

Th :
1) если π ≁ ρ, то 1/|G| * Σ ρ_hi(g) π_jk(g)⁻ = 0
2) если π ∼ ρ , то 1/|G| * Σ ρ_hi(g) π_jk(g)⁻ = δ_ij*δ_hk/n

над ℂ мы построили базис пространства функций ℂ^G

пусть χ, θ ∈ ℂ^G. тогда эрмитовым скалярным произведением называют 1/|G| * Σ χ(g) * conj(θ(g))

χ_π(g) = π₁₁(g) + .. + π_nn(g) , n = deg(π)

пусть χ, θ ∈ K^G. тогда симметрическим скалярным произведением называют 1/|G| * Σ χ(g) * θ(g⁻)

если χ, θ - характеры конечномерного представления, то эрмитово скалярное произведение равно симметрическому скалярному произведению, хотя одно из них - полуторное, а другое - билинейное

если char(K) = 0 то
1) π ∼ ρ <=> χ_π = χ_ρ
2) B(χ_π, χ_π) = 1 <=> π неприводимо, где B - симметрическиое скалярное произведение

разложение регулярного представления на неприводимые

G ⟳ K[G]
g ∈ G
x = Σ h * a, a ∈ K, h ∈ G
g x = Σ g ∙ h * a_h

такое представление называется левым регулярным представлением

χ_reg = ???

G ⟳ X ~~~> π : G ⟳ K[X]
π : G ⟳ K[G] - линейное представление на пространстве с базисом X

Fixed points formula: χ_π(g) = |X^g| ,   X^g = { x ∈ X | g ∙ x = x }

тогда χ_reg(g) = |G|*δ_g,1

пусть K - алгебраически-замкнутое поле характериски 0. каждое неприводимое представление группы G входит в разложение регулярного с кратностью, равной его степени:   reg = n_i * π_i     |G| = Σ n_i²

пусть есть группа G, K = ℂ, χ₁ .. χ_t - характеры неприводимых представлений. пусть h, g ∈ G тогда Σ χ_i(h)χ_i(g) = |C_G(g)|δ_h^G,g^G

усреднение с весом

мера Хаара: μ(g) = 1/|G| , ∀ g ∈ G

φ ∈ Homo(U,V) ~~~~~> φ_f ∈ Homo(U,V)^G

что может выступать в качестве f? центральные функции! функция f называется центральной если ∀ h,g ∈ G, f(h^g) = f(h)

Cf есть пространство центральных функций на G. Cf ⊆ K^G. базисом в таком пространстве являются характеристические функции классов

π : G → GL(V)
π_f = 1/|G| * Σ f(g) π_g , f ∈ Cf(G)
π_f ∈ End _K[G](V)

количество различных неприводимых представлений G над K равно количеству классов сопряженных элементов G (char(K) не делит порядок G)

базис K^G суть
δ_g : G → K
h → 1 , h = g
h → 0 , h ≠ g

базис Cf_K(G) суть характеристические функции классов
δ_c : G → K
h → 1 , h ∈ Cf
h → 0 , h ∉ Cf

reg_f = 0
0 = reg_f = 1/|G| * Σ f(g) reg_g(e₁) = 1/|G| * Σ f(g) e_g ∈ K[G] ⇒
f(g) = 0