index

теория групп состоит в том, чтобы вписывать и вычеркивать такого рода выражения: x∙x⁻


  • коммутант
  • нижний центральный ряд группы
  • групповая алгебра K[G]
  • представления конечных групп
  • сплетающий оператор
  • факторпредставление
  • прямая сумма представлений
  • усреднение по конечной группе
  • теорема Машке
  • характеры Фробениуса
  • представление конечных абелевых групп
  • теорема Фробениуса-Бернсайда
  • ортонормированный базис в групповой алгебре
  • разложение регулярного представления на неприводимые
  • усреднение с весом

  • коммутант

    коммутатор двух элементов группы есть [x , y] = x∙y∙x⁻∙y⁻

    коммутантом группы называется подгруппа, порожденная множеством всех коммутаторов: [G , G] = < [x , y] | x , y ∈ G >

    коммутант НЕ состоит из коммутаторов . коммутант порождается коммутаторами и состоит из всевозможных конечных произведений коммутаторов

    коммутант, как и центр, измеряет отклонение группы от абелевости. чем больше центр и чем меньше коммутант, тем ближе группа к абелевой

    коммутант – это наименьшая нормальная подгруппа в G, факторгруппа по которой - абелева

    подгруппа H≤G нормальна, если φ(H)≤H для любого внутреннего автоморфизма φ∈Inn(G)

    подгруппа H называется характеристической, если φ(H)≤H для любого автоморфизма φ∈Aut(G)

    подгруппа H называется вполне характеристической, если φ(H)≤H для любого эндоморфизма φ∈End(G). так как Inn(G)≤Aut(G)≤End(G), то имеет место следующая цепочка импликаций:
    H вполне характеристическая ⇒ H характеристическая ⇒ H нормальная

    для абелевой группы [G,G] = 1

    фактор по коммутанту G/[G,G] – абелева группа

    ядро ker(ψ) любого гомоморфизма ψ : G → A в абелеву группу A, содержит [G,G]

    для любой группы [G,G] ≤ G. факторгруппа G/[ G,G ] является наибольшей абелевой факторгруппой.

    коммутант [G,G] группы G является вполне характеристической подгруппой

    нижний центральный ряд группы

      Ce₀(G) = G
      Ce₁(G) = [G,G]
      Ce₂(G) = [[G,G],G]
      .
      Ceₙ(G) = [Ceₙ₋₁(G),G]
    
    группа G - нильпотентна класса n, если n - наименьшее такое, что Ceₙ(G) = 1

    групповая алгебра K[G]

    это алгебра, элементы которой интерпретируются как Σ g * a ,     a ∈ K , g ∈ G
    это формальные линейные комбинации:

    Σ = 0 <=> ∀ g ∈ G, a = 0

    Σ g * a   +   Σ g * b = Σ g * (a + b)

    (Σ g1 * a) ∙ (Σ g2 * b) = Σ g1 ∙ g2 * (a * b)     формула свертки

    пусть Е - векторное пространство над К. всякий гомоморфизм алгебр K[G] → EndK(E) индуцирует гомоморфизм групп G → AutK(E) и т.о. представление кольца K[G] в Е порождает представление группы G. задание представления превращает Е в модуль над кольцом K[G]

    представления конечных групп

    линейные представления

    в дальнейшем предполагается, что G - конечная группа
    пусть R - коммутативное ассоциативное кольцо (обычно - поле)
    пусть V - это R-модуль (свободный, конечного ранга)

    тогда линейное представление G на R, с модулем представления V - это гомоморфизм

    π : G → GL(V) = Aut(V)
    g → πg

    GL(V) - полная линейная группа модуля V

    каждому элементу из G сопоставляется обратимый линейный оператор на модуле V

    π называется представлением, а V называется модулем (пространством) представления

    это и есть представление группы линейными операторами: отображение группы G в пространство линейных операторов

    представление унитарно, если всякий оператор унитарен и тривиально, если для всех элементов из G оператор является тождественным отображением

    представление называется точным, если отображение g→GL(V) взаимно-однозначно (в таком случае в ядре гомоморфизма будет единица). если представление неточно, то все смежные с g элементы G представляются одним и тем же оператором, а два разных класса - разными операторами. неточный гомоморфизм может расматриваться, как точное представление факторгруппы G/ker

    πe = idv
    πg⁻ = πg

    G × V → V
    (g,v) → πg(v)

    т.о. представление задает линейное действие G на V:

    π(v1 + v2) = π(v1) + π(v2)
    π(λ*v) = π(v) * λ
    v, v1, v2 ∈ V, λ ∈ R

    линейное представление задает линейное действие, но и линейное действие задает линейное представление:

    G ⟳ V
    G → GL(V) ,     GL(V) ∈ V
    g → (v → g ∙ v)

    и тогда

    πg = (v → g ∙ v) = Lg
    QED

    * * *

    G ⟳ V ~~~→ R[G] ⟳ V

    (Σ g * ag) v = Σ (g ∙ v) * ag   ∈   V

    это задает на V структуру левого R[G]-модуля

     --------------------------------------------------------------------    
       представление                  модуль
     --------------------------------------------------------------------
      факторпредставление           фактормодуль
      эквивалентность               изоморфизм   
      сплетающий оператор           гомоморфизм
      неприводимое представление    простой модуль
      неразложимое представление    неразложимый (в прямую сумму) модуль
      полная приводимость           полупростота (прямая сумма простых) 
     --------------------------------------------------------------------
      

    в дальнейшем предполагается, что V = Rⁿ и R = K - поле

    - базис в V
    V = Rⁿ
    GL(Rⁿ) = GLₙ(R)     это просто умножение на обратимую матрицу

    π : G → GLₙ(R)

    такое линейное представление называется матричным. над полем любое конечномерное представление является таким. n называется степенью представления

    важным инвариантом матрицы (относительно сопряженности) является след матрицы

    x = (xij)
    trace(x) = Σxii

    след матрицы является примером контрадействия

    матричный элемент представления π в позиции ij :

    πij : G → R
    g → πij(g) = (πg)ij

    любое представление абелевой группы над алегбраически-замкнутым полем - одномерно

    сплетающий оператор

    пусть есть два представления группы G над одним и тем же кольцом R:

    π : G → GL(U)
    ρ : G → GL(V)

    что такое гомоморфизм между π и ρ? эквивариантность

                           πg
                       U   →   U
    
       G ∋ g         φ ↓       ↓ φ
    
                       V   →   V
                           ρg
    
      
    φ : U → V называется сплетающим оператором, если ∀ g ∈ G эта диаграмма коммутативна т.е. φ ° πg = ρg ° φ

    тогда φ(g ∙ u) = g ∙ φ(u)

    это и называется эквивариантностью

    сплетающий оператор это в точности гомоморфизм R[G]-модулей:

    φ(Σ g ∙ u * ag) = Σ φ( g ∙ u * ag) = Σ φ(g ∙ u) * ag = Σ g ∙ φ(u) * ag

    если φ является изоморфизмом, то он называется эквивалентностью представлений

    в этом случае, если φ - изоморфизм:

    π : G → GL(U)
    ρ : G → GL(V)

                           πg
                       U   →   U
    
       G ∋ g         φ ↓       ↑ φ⁻
    
                       V   →   V
                           ρg
    
      
    πg = φ⁻ ° ρg ° φ

    говорят, что π и ρ - эквивалентные представления. найдется обратимая матрица x, такая что x * πg * x⁻ = ρg для любого g (одна и та же)

    неприводимость

    U ⊆ V называется G-инвариантным, если g ⟳ U ⊆ U для всех g ∈ G. имеется два тривиальных инвариантных подпространства, а именно, само V и 0. нетривиальные инвариантные подпространства называются собственными

    πu : G → GL(U)
    g → (πg)|U

    представление φ называется неприводимым, если в V нет нетривиальных G-инвариантных подпространств (собственных подпространств). это аналог простых чисел из основной теоремы арифметики

    матрицы всех неприводимых представлений являются верхне-треугольными блочными матрицами. все матрицы такого вида образуют группу

       Pₘ = ( a b
              0 c ) | a ∈ GL(m,K) , c ∈ GL(n-m,K) , b ∈ M(m,n-m,K) }, m = 1..n-1
    которая называется стандартной максимальной (количество ступенек равно 1) параболической (верхне-треугольная) подгруппой (P - parabolic). это - группа, ибо:
         ( a1 b1     ( a2 b2     ( a1*a2   a1*b2 + b1*c2
           0  c1 ) *   0  c2 ) =     0        c1*c2       )

    все матрицы πij неприводимого представления можно "загнать" в одну и ту же подгруппу Pₘ - одним сопряжением

    неприводимость представления зависит только от img(π) = π(G) = { πg | g ∈ G }

    * * *

    любой сплетающий оператор либо равен нулю, либо обратим

    пусть К - поле, U и V - неприводимые модули. тогда
    если U ≇ V, то HomG(U,V) = 0
    если U ≅ V , то AutG(U) является телом

    φ называется гомотетией, если φ ≅ λ * id

    Th: над алгебраически-замкнутым полем нет никаких иных гомоморфизмов, кроме гомотетий
    Proof:
    поле K алгебраически-замкнуто     <=>     ∀ φ : U → U     ∃ K ∋ λ ≠ 0 :   φ(u) = u * λ при u ≠ 0
    проверим, что (при таких условиях теоремы) выполняется следующее равенство: (φ - λ * idU) u = 0
    φ - сплетающий оператор, вычитаемое - сплетающий оператор, а значит и их разность - сплетающий оператор и следовательно φ - λ * idU = 0
    QED

    факторпредставление

    если что-то не выполняется, то нужно посмотреть, что мешает этому выполняться и по этому профакторизовать

    π : G → GL(V) , dim(V) = n < ∞
    g → (v → g ∙ v)

    U ⊂ V , U есть G-подмодуль

    V/U = { v + U | v ∈ V } это фактормодуль. теперь G ⟳ V/U = g ∙ v + U

    πV/U : G → GL(V/U)
    g → (v + U → g ∙ v + U)

    матрица факторпредставления в базисе em+1+U,..,eₙ+U есть SE матрицы

       πg = ( πg|U     *
               0    πV/U,g )
    в базисе e₁..eₙ

        Pₘ = { ( a b 
                 0 c ) | a ∈ GL(m,R), c ∈ GL(n-m,R, b ∈ M(m,n-m,R) }
    
        ( a1 b1     ( a2 b2     ( a1*a2   a1*b2 + b1*c2
          0  c1 ) *   0  c2 ) =     0        c1*c2      )
    
        подгруппа Леви:
    
        Lₘ = { ( a 0
                 0 c ) | a ∈ GL(m,R) , c ∈ GL(n-m,R) }
    
        Pₘ → Lₘ
    
        ( a b     ( a 0
          0 c ) →   0 c )
        
        Uₘ = { ( e b
                 0 e ) | b ∈ M(m,n-m,R) }
      

    т.о. это прямая сумма матриц a ⊕ c

    прямая сумма представлений

    π : G → GL(U)
    g → πg
    ρ : G → GL(V)
    g → ρg
    π ⊕ ρ : G → GL(U+V)
    g → πg + ρg

    если U и V - свободные модули, то в качестве базиса прямой суммы можно взять обьединение их базисов и тогда матрица преобразования выглядит как прямая сумма матриц

    π : H → GL(U)
    h → πh
    ρ : G → GL(V)
    g → ρg
    π ⊞ ρ : H × G → GL(U ⊕ V)
    (h , g) → (π ⊞ ρ)(h,g)

    Δ : G → G × G
    g → (g,g)
    π ⊕ ρ есть ограничение внешней прямой суммы π ⊞ ρ

    усреднение по конечной группе

    усреднение векторов

    инвариантами группы G называются элементы vG = { v ∈ V | ∀ g ∈ G, πg(v) = v }

    φ : V → VG
    v → 1/|G| * Σ g∙v

    ∀ v ∈ VG , φ(v) = v

    усреднение линейных отображений

    π : G → GL(U)
    ρ : G → GL(V)
    φ ∈ Hom(U,V)

             πg 
         U   →   U
        
       φ ↓       ↓ ρg°φ°πg⁻ 
        
         V   →   V
             ρg 
      

    HomK(U,V) → HomK(U,V)G
    φ → 1/|G| * Σ ρg°φ°πg

    таким образом инвариантами Hom являются сплетающие операторы. это те операторы, для которых в приведенном выше коммутирующем квадрате справа стоит φ

    теорема Машке

    π : G → GL(U)
    U ⊆ V , где V, U - G-инвариантные векторные подпространства

    когда же π раскладывается в прямую сумму?
    по теореме о базисах ∃ W ⊆ V : U ⊕ W = V
    если W тоже G-инвариантно, то πg = πu ⊕ πv

    проекция и проектор

    V = U ⊕ W
    ∀ v ∈ V ∃! u ∈ U и ∃! w ∈ W : v = u + w

    φ : V → U     это проекция
    v → u

    ψ : V → V     это проектор
    v → u             ker(ψ) = W       img(ψ) = U       ψ² = ψ

    ψ₀ = 1/|G| * Σ πg°ψ°πg

    W₀ = ker(ψ₀) , ψ₀ - проектор на U , dim(U) + dim(W₀) = dim(V)

    тогда V = U ⊕ W₀

    Th Машке: пусть G - конечная группа порядка n и K - поле (char(K) не делит n). тогда групповое кольцо K[G] полупросто

    из нее следует полная приводимость: при таких условиях класс неразложимых представлений совпадает с классом неприводимых

    скалярное произведение:

                     _              _
        B(uⁿ , vⁿ) = u₁ * v₁ + .. + uₙ * vₙ
      
    π G → GL(ℂⁿ) = GLₙ(ℂ)
    g → πg

    классическая унитарная группа: U(n,ℂ) = { x ∈ GL(n,ℂ) | conj(x)⁺ * x = e = x * conj(x)⁺ }

    для любого представления конечной группы на ℂⁿ существует инвариантное, положительно определенное эрмитово скалярное произведение

        B : V × V → ℂ
          |
          | усреднение билинейных форм 
          V 
        B₀ : V × V → ℂ
    B₀(u,v) = 1/|G| * Σ B(πg(u) , πg(v)) ∈ ℂ

    π : G → GL(V)

    относительно B₀ все операторы πg , g ∈ ℂ, унитарны. конечномерное унитарное представление любой группы вполне приводимо:

    ρ : G → U(n,ℂ)

    U ⊕ U = V

    унитарное представление группы неприводимо тогда и только тогда, когда единственными операторами, коммутирующими со всеми πg являются операторы, кратные единичному. это называется операторной неприводимостью представления π

    характеры Фробениуса

    x ∈ M(n,K)

    trace(x) = Σ λi

    π : G → GL(n,K)
    g → πg

    χπ : G → K
    g → trace(πg)

    эта функция χπ и есть характер Фробениуса. характер не является гомоморфизмом

    следы сопряженных матриц равны : trace(x*y) = trace(y*x), trace(x⁻*y*x) = trace(y)

    Th: π ∼ ρ <=> χπ = χρ (при char(K) = 0)

    1G : G → K*
    g → 1

    χφ⊕ρ = χπ + χρ

    χφ⊗ρ = χπ * χρ

    χ(1) = dim(V) = deg(π) (порядок матрицы представления)

    h ∼ g       ⇒       χπ(h) = χπ(g)   ,   χπ(h∙g) = χπ(g∙h)

    χπ(g⁻) = conj(χπ(g)) (при K = ℂ)

    * * *

    v ∈ V , η ∈ V* , g ∈ G

    π : G → GL(V)    
    g → πg

    π* : G → GL(V*)
    g → πg⁻⁺

        ((η)π*g)(v) = η(πg)(v)

    πg⁻⁺     контраградиентная (дуальная) к πg матрица.   при K = ℂ ,   χπ* = conj(χπ)

    представление конечных абелевых групп

    здесь и далее полагаем K = ℂ

    каждое унитарное представление группы G в V является прямой суммой циклических подпредставлений

      Cₙ | 1 g g² .. gj .. gn-1
      ---+-------------------
      χ₁ | 1 1 1     ..    1
      χ₂ | 1
      .  | .
      χi | 1        ζij
      .  | .
      χₙ | 1  
    

    ζ - первообразный корень степени n из 1
    эта матрица - матрица DFT
    это полностью описывает представление конечных абелевых групп, поскольку произвольная абелева группа есть циклических

    * * *

    пусть есть две группы: H и G

    K[H × G] = K[H] ⊗ K[G]

    χ : H → K*
    θ : G → K*

    χ ⊗ θ = ξ

    ξ : H × G → K*
    (h,g) → χ(h) ⊙ θ(g)

    чтобы получить табличку характеров для ξ надо просто взять и тензорно перемножить такие таблички для χ и для θ

    абелизация

    как из любой группы сделать абелеву?

    Gab = G/[G,G]

    инфляция

    пусть H - нормальная подгруппа группы G

    π: G/H → GL(V)
    g+H → πg+H

    ψ : G → GL(V)
    g → πg+H

        π: G/H → GL(V)                неприводимо 
           |                              |
           |  инфляция                    |
           V                              V
        ψ : G → GL(V)                 неприводимо

    G → G/H → GL(V)

    у группы G имеется |G/[G,G]| различных 1-мерных представлений, являющихся инфляциями неприводимых представлений G/[G,G]

    дефляция

    если π : G → GL(1,K) = K* есть 1-мерное представление, то [G,G] ≤ ker(π)

    это называется дефляцией

    теорема Фробениуса-Бернсайда

    Th: полагаем, что K - поле, с характеристикой не делящей порядок группы G
    пусть π₁ .. πs - все различные неприводимые представления G над K
    пусть n₁ .. ns - их соответствующие степени
    пусть χ₁ .. χs - их соответствующие характеры
    тогда
    1) s = количество классов сопряженных элементов в G
    2) |G| = n₁² + .. + ns²
    3) ni делит порядок группы G

    примеры

    каждое действие группы на множестве задает линейное действие группы на векторном пространстве, для которого это множество является базисом

    G ⟳ G
    G × G → G
    (x , y) → x y

    G ⟳ K[G] есть левое регулярное представление. все неприводимые представления содержатся в регулярном представлении

    группа Sₙ действует на множестве {1..n}, но такое представление не является неприводимым. приводимое представление легко получить, если считать, что группа действует на базисе n-мерного пространства. мы пойдем таким путем:

    Sₙ ⟳ Kⁿ. для ∀ g ∈ Sₙ, g(ei) = eg(i) . такое представление называется естественным

    U = K(e₁..eₙ) есть инвариантное одномерное подпространство

    по теореме Машке у U есть инвариантное дополнение W = K(e₁-e₂) ⊕ K(e₂-e₃) ⊕ .. ⊕ K(eₙ₋₁-eₙ) . это тоже будет линейным представлением группы Sₙ, которое называется стандартным. это можно понять так, что Sₙ переставляет вершины симплекса размерности n который находится в подпространстве с размерностью (n-1) (например треугольник на плоскости). стандартное представление неприводимо

    пример1: группа S₃

    группа - наименьшая неабелева. порядок группы равен 6.

    рассмотрим [S₃,S₃] = A₃ (группа четности)
    |S₃/A₃| = 6/3 = 2

    вот эти два представления порядка 1 (одномерных представления):

    1 : S₃ → K*
    g → 1

    α : S₃ → K*
    g → sgn(g)

    но сопряженных классов у S₃ три: 1 , (12) , (123), а их порядки соответственно: 1,3,2. это значит что должно быть еще одно неприводимое представление

    поскольку |S₃| = 6 = 1² + 1² + x², т.е. порядок x этого представления равен 2

    наш базис есть e₁-e₂, e₂-e₃

        (  1  0
           0  1 )

    кокстеровские образующие S₃ = < (12),(23) >

    при (12) e₁-e₂ переходит в e₂-e₁ = -(e₁-e₂), а e₂-e₃ переходит в e₁-e₃ = Σ e
    при (23) e₁-e₂ переходит в e₁-e₃ = Σ e, а e₂-e₃ переходит в e₃-e₂ = -(e₂-e₃)

    вот это представление порядка 2:

      β : S₃ → GL(2,U)
      (12) → ( -1  1
                0  1 )
      (23) → (  1  0
                1 -1 )
       ... 
    а любую другую перестановку можно выразить как произведение этих фундаментальных транспозиций

    проверять это все надо вращая треугольник на двумерной плоскости

    составим таблицу характеров группы S₃ (traces соответствующих матриц):

             1  (12)  (123)
        1    1    1    1
        α    1   -1    1
        β    2    0   -1

    пример2: группа Q

    |Q| = 8, C(Q) = ±1, четыре одномерных представления

    классы сопряженности - {1} , {-1} , {±i} , {±j} , {±k}

    таблица характеров

                  1    -1    ±i   ±j   ±k
         χ1       1     1     1    1    1
         χ2       1     1     1   -1   -1
         χ3       1     1    -1    1   -1 
         χ4       1     1    -1   -1    1
         χ5       2    -2     0    0    0 
      

    ортонормированный базис в групповой алгебре

    π : G → GL(U)
    ρ : G → GL(V)
    φ : U → V

    где π и ρ - неприводимые представления G над K, а φ - произвольное линейное отображение

    φ₀ = 1/|G| * Σ ρg φ πg

    π₀ : U → V   есть сплетающий оператор

    пусть поле К алгебраически-замкнуто с характеристикой 0

    тогда если U ≇ V то φ₀ = 0
    если U = V то тогда π = ρ , trace(φ) = trace(φ₀) и φ₀ является гомотетией с коэффициентом trace(φ)/dim(V)

    пусть базис в U есть , а базис в V есть
    если φ - это замена базиса:
    φij : U → V uj → vi uh →; 0, h ≠ j

    это отображения матрицы которых в этих базисах равны eij. это и есть соотношение ортогональностей Шура

    πg = (πjk(g))
    ρg = (ρhi(g))

    πjk, ρhi : G → K

    φij₀ = 1/|G| * Σ ρg φij πg

    Th:
    1) если π ≁ ρ, то 1/|G| * Σ ρhi(g) πjk(g)⁻ = 0
    2) если π ∼ ρ , то 1/|G| * Σ ρhi(g) πjk(g)⁻ = δijhk/n

    над ℂ мы построили базис пространства функций ℂG

    пусть χ, θ ∈ ℂG. тогда эрмитовым скалярным произведением называют 1/|G| * Σ χ(g) * conj(θ(g))

    χπ(g) = π11(g) + .. + πnn(g) , n = deg(π)

    пусть χ, θ ∈ KG. тогда симметрическим скалярным произведением называют 1/|G| * Σ χ(g) * θ(g⁻)

    если χ, θ - характеры конечномерного представления, то эрмитово скалярное произведение равно симметрическому скалярному произведению, хотя одно из них - полуторное, а другое - билинейное

    если char(K) = 0 то
    1) π ∼ ρ <=> χπ = χρ
    2) B(χπ, χπ) = 1 <=> π неприводимо, где B - симметрическиое скалярное произведение

    разложение регулярного представления на неприводимые

    G ⟳ K[G]
    g ∈ G
    x = Σ h * a, a ∈ K, h ∈ G
    g x = Σ g ∙ h * ah

    такое представление называется левым регулярным представлением

    χreg = ???

    G ⟳ X ~~~> π : G ⟳ K[X]
    π : G ⟳ K[G] - линейное представление на пространстве с базисом X

    Fixed points formula: χπ(g) = |Xg| ,   Xg = { x ∈ X | g ∙ x = x }

    тогда χreg(g) = |G|*δg,1

    пусть K - алгебраически-замкнутое поле характериски 0. каждое неприводимое представление группы G входит в разложение регулярного с кратностью, равной его степени:   reg = ni * πi     |G| = Σ ni²

    пусть есть группа G, K = ℂ, χ₁ .. χt - характеры неприводимых представлений. пусть h, g ∈ G тогда Σ χi(h)χi(g) = |CG(g)|δhG,gG

    усреднение с весом

    мера Хаара: μ(g) = 1/|G| , ∀ g ∈ G

    φ ∈ Hom(U,V) ~~~~~> φf ∈ Hom(U,V)G

    что может выступать в качестве f? центральные функции! функция f называется центральной если ∀ h,g ∈ G, f(hg) = f(h)

    Cf есть пространство центральных функций на G. Cf ⊆ KG. базисом в таком пространстве являются характеристические функции классов

    π : G → GL(V)
    πf = 1/|G| * Σ f(g) πg , f ∈ Cf(G)
    πf ∈ End K[G](V)

    количество различных неприводимых представлений G над K равно количеству классов сопряженных элементов G (char(K) не делит порядок G)

    базис KG суть
    δg : G → K
    h → 1 , h = g
    h → 0 , h ≠ g

    базис CfK(G) суть характеристические функции классов
    δc : G → K
    h → 1 , h ∈ Cf
    h → 0 , h ∉ Cf

    regf = 0
    0 = regf = 1/|G| * Σ f(g) regg(e₁) = 1/|G| * Σ f(g) eg ∈ K[G] ⇒
    f(g) = 0


    index