index

вместе с каждым классом объектов естественно рассматривать допустимый класс преобразований этих объектов, согласованный с их структурой. в случае алгебраических систем такие преобразования называются гомоморфизмами

множество – это векторное пространство над полем из одного элемента, совпадающее со своим базисом. роль теории групп в математике определяется тем, что все биективные преобразования любого множества, сохраняющие заданную на этом множестве структуру, образуют группу

Н.Вавилов, "Конкретная теория групп"


  • гомоморфизмы групп
  • теорема о гомоморфизме
  • действие группы
  • орбиты и стабилизаторы
  • G-морфизм
  • перестановки как действия
  • регулярное представление группы
  • действие группы на себе
  • однородные пространства группы
  • теоремы Силова
  • произведения групп
  • расширения
  • n-транзитивность
  • свободные абелевы группы
  • группы, заданные отношениями образующих
  • свободные произведения групп
  • группы Кокстера
  • группа SLₙ(K), образующие и соотношения, группа Стейнберга
  • группы движений


  • гомоморфизмы

    гомоморфизм - это отображение, сохраняющее операцию

    образом img гоморофизма, отображающем одну структуру в другую, называются только такие элементы второй структуры, в которые переходят элементы первой

    ядром ker гоморофизма, отображающем одну структуру в другую, называются только такие элементы прообраза, которые переходят в нейтральный элемент образа

      ϕ: G → H
        
      ker ϕ = { x ∈ G | ϕ (x) = eH }
      
      img ϕ = { y ∈ H | ∃x ∈ G : ϕ (x) = y }
    

    гоморофизм не обязан быть изоморфизмом (т.е. взаимно-однозначного соответствия не требуется)


    гомоморфизмы групп

    гомоморфизм группы сохраняет операцию, в том смысле, что неважна последовательность действий при отображении: сначала операция, а потом оторбражение результата эквиваленто отображению операндов, а потом выполнению операций с их образами

      
          (a • b) , гомоморфизм    ==    гомоморфизм a b • , ('образ_a'  'образ_•'  'образ_b')
    
    

    пусть даны произвольные группы G и T с единицами 1G и 1T соответственно. отображение ϕ:G→T называется гомоморфизмом групп, если:

         ϕ (x ·G y) = ϕ (x) ·T ϕ (y)      ∀ x,y ∈ G
    
      при этом выполняется:
         
         ϕ 1G = 1T
         ϕ x⁻ =  (ϕ x)⁻
    

    не все отображения в множествах являются гомоморфизмами. контрпример:
    отображение ϕ множества натуральных числел при котором каждое число переходит в число на единицу большее гомоморфизмом не является, т.к.

        ϕ (1 + 5) ≠ (ϕ 1) + (ϕ 5)
    

    гомоморфизм групп ϕ:G→T называется мономорфизмом, если отображение ϕ инъективно

    гомоморфизм групп ϕ:G→T называется эндоморфизмом, если отображение ϕ сурьективно

    гомоморфизм групп ϕ:G→T называется изоморфизмом, если он является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно

    пример: отображение при котором каждому целому ставится в соответствие его остаток при делении на n, является гомоморфизмом групп, но не изоморфизмом т.к. оно не иньективно

    изоморфизм переводит единицу в единицу

      пусть
         φ  : G → T
      
         φ⁻ : T → G
    
      если φ - изоморфизм, то
    
         φ⁻ ∘ φ G = IdG
    
         φ ∘ φ⁻ T = IdT
    

    изоморфизмом является любое движение плоскости (трансформация, сохраняющая расстояния)

    изоморфизм конечного множества в себя называется "перестановкой". количество таких перестановок равно n! если мощность множества равна n. множество перестановок является группой по отношению к операции "композиция перестановок" и такая группа обозначается Sn. все эти группы некоммутативны, если n>2

    коммутативная группа не может быть изоморфной некоммутативной

    автоморфизмом группы G называется изоморфизм ϕ:G→G

    ядро гомоморфизма групп ϕ:G→T является нормальной подгруппой группы G

    образ гомоморфизма групп ϕ:G→T является подгруппой группы T

    если группа B изоморфна некоторой подгруппе группы G, то говорят, что группа B "может быть вложена" в группу G

    экспонента и логарифм как изоморфизмы ℝ⁺ и ℝ*

    удивительное свойство вещественных чисел состоит в том, что относительно сложения и умножения они устроены почти одинаково. экспонента и логарифм задают взаимно обратные изоморфизмы между аддитивной группой ℝ⁺ и мультипликативной группой ℝ* положительных вещественных чисел ℝ₊:

      exp : R⁺ → R*
      x → exp x
    
      log : R* → R⁺
      x → log x

    exp (x + y) = (exp x) * (exp y), экспонента является гомоморфизмом аддитивной структуры в мультипликативную

    log (x * y) = (log x) + (log y), логарифм является гомоморфизмом мультипликативной структуры в аддитивную

    exp (log x) = x и log (exp x) = x, exp и log взаимно обратны

    listing bc:


    $> bc -ql
    x = 6.4
    y = 3.7
    x1 = l(x)
    y1 = l(y)
    z1 = x1 + y1
    z = e(z1)
    z
    23.67999999999999999986
    x * y 
    23.68
      

    гомоморфизм групп - каноическая проекция на фактор-группу

    пусть H ◂ G. отображение

       π : G → G/H
       x → x ∙ H 
    это отображение π является сюръективным гомоморфизмом, называемым канонической проекцией на фактор-группу. ker π = H

    нормальные подгруппы группы G и только они являются ядрами гомоморфизмов f:G→F из группы G во все другие группы . ядро любого гомоморфизма любой группы - нормальная подгруппа этой группы

    отображение взятия остатка по модулю n из ℤ является гомоморфизмом. ядро — это подгруппа nℤ

    вычисление определителя задает гомоморфизм из группы матриц GL(n,ℂ) в группу ℂ*. ядро - это матрицы с определителем 1 - группа SL(n,ℂ)

    отображение группы перестановок

    Th Кэли: любая конечная группа изоморфна подгруппе в симметрической группе Sₙ для какого-то n

    Тh: "отображение четности" sgn: Sₙ → {±1} является гомоморфизмом

    "отображение четности" определяет гомоморфизм из симметрической группы перестановок Sₙ в группу C₂. ядро этого гомоморфизма — подгруппа четных перестановок, она обозначается Aₙ

    ВСЕ группы из двух элементов - изоморфны

    биекция ϕ группы G на себя называется автоморфизмом, если

        ϕ (y ∙ x) = (ϕ y) ∙ (ϕ x) для любых x,y ∈ G

    отображение f : G → S одной группы в другую называется антигомоморфизмом, если

          для любых x,y ∈ G  f (y ∙ x) = (f x) ∙ (f y)


    Николай Вавилов, СПбГУ


    TA-DAMM!!!

    теорема о гомоморфизме

                                            гомоморфный образ группы
                                            до победы коммунизма
                                            изоморфен факторгруппе
                                            по ядру гомоморфизма 

    Th: для любого гомоморфизма групп φ: G1 → G2 факторгруппа G1 по ядру kerφ изоморфна G2:

                   imgφG1   =   G2    ≅   G1 / kerφG1 

    Proof: очевидно, что

      img φ = { y ∈ G2 | ∃ x ∈ G1, φ x = y }
    
      ker φ = { x ∈ G1 | φ x = 1 ⊂ G2 }
      
      ker φ ◂ G1  потому что ∀ x ∈ G1, y ∈ ker φ
      
      φ (x ∙ y ∙ x⁻) = (φ x) ∙ (φ y) ∙ (φ x⁻) = (φ x) ∙ 1 ∙ (φ x)⁻ = 1
    мы доказали ∃ факторгруппы G1 / kerφ

    построим новое отображение ψ: G1/kerφ → imgφ

    поскольку в факторгруппе e = kerφ, операция сохранилась, то

        ψ (x ∙ kerφ)  →  φ x
      
        (ψ x) ∙ (ψ kerφ)  →  φ x   т.к. гомоморфизм отображает 1 прообраза в 1 образа
      
        ψ x  →  φ x
    доказанa ∃ сурьективности отражения в одну сторону

    докажем существование обратного иньективного отражения img φ → G1/(ker φ)

          φ (x) = φ (y)    ⮕    x⁻ ∙ y ∈ kerφ   <=>     y = x 
    доказано. но если отражение сурьективно в одну сторону и иньективно в другую, то наличиствует биекция

    QED

    Corr: если группа G конечна, то |G| = |Ker φ| · |Img φ|

    для факторизации группы необходимо существование гомоморфизма, который переводит подгруппу G в единицу (наличие ядра гомоморфизма). если ядро есть, то факторизация группы G возможна, а если такого гомоморфизма нет - то и факторизация невозможна

    и обратно - если есть гомоморфизм группы в другую группу, то в первой группе обязательно есть подгруппа, которая является ядром этого гомоморфизма

    примеры гомоморфизмов

    например гомоморфизмом является отображение группы подобий на прямой на группу вещественных чисел, а ядром такого гомоморфизма являются все паралельные переносы. при этом операция композиции первой группы отображается на операцию умножения второй

    пример: отображение группы движений плоскости на группу 2ℤ такое что движениям, не меняющим ориентации плоскости соответствует 0, а движениям меняющим ориентацию плоскости соответствует 1 - является гомоморфизмом

    если Sₙ - группа перестановок, Aₙ - группа четности, G = {1, −1}, то отображение

             ε : Sₙ → G
             ε(σ) =  1    если σ ∈ Aₙ
             ε(σ) = −1    если σ ∈ Sₙ/Aₙ
    является гомоморфизмом. ядром этого гомоморфизма является Aₙ. |Aₙ| = n!/2

         1 → Aₙ → Sₙ → {1, -1} → 1 

    S₂ = { e , (12) } и группа четности А₂ = { e }

    S₃ = { e , (12) , (13) , (23) , (123) , (132) } и ее группа четности A₃ = { e , (123) , (132) }

    S₄ состоит из двадцати четырех элементов, а A₄ ≅ V₄

    при n≥5 все группы четности Aₙ - просты. следствием из этого является неразрешимость полиномов степеней выше 4 в радикалах (в общем случае). этот факт первым обнаружил Галуа

    пусть G1 = ( ℝ₊ ; * ), G2 = ( ℝ ; + ). тогда для отображения логарифмирования ln:

        ln: G1 → G2
        ln(x) = y                        ∀ x ∈ G1
        ln(x1 * x2) = ln(x1) + ln(x2)    ∀ x1, x2 ∈ G1
    
    ln — гомоморфизм групп. так как это — биекция, то ln — изоморфизм. ядром этого гомоморфизма является 1

    пусть G1 = GLₙ(ℝ), G2 = ( ℝ\{0} ; * )

    поскольку |A * B| = |A| * |B| для ∀ A,B ∈ G1, то отображение A → |A| из G1 в G2, ставящее в соответствие матрице A ее определитель |A|, является гомоморфизмом групп. ядром этого гомоморфизма является единичная матрица e

    пусть G = ( ℂ\{0} ; * ), H = ( ℝ\{0} ; * ) ⊂ G, T = {z ∈ ℂ | |z| = 1}. рассмотрим сюръективный гомоморфизм

         f : G → T
         f(z) = z²/|z|²
    тогда ker f = H. в силу теоремы о гомоморфизме T ≅ G/(ker f) = ℂ*/ℝ*


    действие группы на множества, преобразования

    множество M и отображение φ : G × M → M

    множество M и отображение φ : M × G → M

    если S — группа перестановок на множестве M, т.е. группа всех биекций σ:M→M (с групповой операцией "композиция перестановок"), то задание такой структуры равносильно заданию гомоморфизма групп ψ:G→S

    говорят, что группа G "действует слева" на множестве M, если задан гомоморфизм ψ:G→S из группы G в группу S перестановок элементов множества M. элементы группы G называются в этом случае преобразованиями, а сама группа G — группой преобразований множества M

    категориально - группа G "действует слева" на множестве M, если задано отображение

            G × M → M
            (g , m) = g ∘ m
    
            такое что:
    
            g2 ∘ (g1 ∘ m) = (g2 ∘ g1) ∘ m
            e ∘ m = m
    
            для всех g ∈ G, m ∈ M, где e — нейтральный элемент G

    пример преобразования

            GL₂(ℤ) ⟳ ℤ² = ℤ²
    
            ( α   β    ( x        ( α * x + β * y
              γ   δ )    y )  =     γ * x + δ * y )
    
    
            ℤ₂ ⟲ GL₂(ℤ) = ℤ₂
    
                       ( α   β
            ( x   y )    γ   δ )   =   ( x * α + y * γ    x * β + y * δ )
    

    эти два действия - линейны. такие действия тождественны линейным представлениям группы Φ:G→CLₙ(R)

    >

    орбиты и стабилизаторы

    подмножество { g ∘ m | g ∈ G } ⊂ M называется орбитой элемента m ∈ M

    с категорной точки зрения орбиты являются обьектами категории GSET

    действие группы G на множестве M определяет на нём отношение эквивалентности:

        ∀ n,m ∈ M         n ∼ m    <=>   ∃ g ∈ G : g ∘ n = m
    при этом классами эквивалентности являются орбиты элементов

    либо G ⟳ x = G ⟳ y либо G ⟳ x ∩ G ⟳ y = ∅

    M является дизьюнктным обьединением различных орбит

    m₁, m₂,.., mₙ - представители различных орбит

    M - однородное G-множество (действие G на M транзитивно) если ∀ x,y ∈ M ∃ g ∈ G : y = g ∙ x

    подгруппа { g ∈ G | g ∘ m = m } ≥ G называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента m ∈ M

    стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены

    еще стабилизатор называют подгруппой изотропии

    орбита x ≅ стабилизатор x. это изоморфизм G-пространств

    нормализатором М называется { g ∈ G | g⁻ ∘ M ∘ g ⊆ M }

    G-морфизм

    пусть X,Y - два левых G-модуля. тогда отображение φ: X → Y называется G-морфизмом, если оно эквивариантно, т.е. φ(g * x) = g * φ(x)

                      α
             G × X    →    X
    
       (idG,φ) ↓           ↓ φ
    
             G × Y    →    Y
                      α
      

      H  ⟳ X    G ⟳ Y    (H,X) → (G,Y)    ψ: H → G    φ: X → Y    φ(h * x) = ψ(h) ∘ φ(x)
    
                 α
        H × X    →    X
    
    (ψ,φ) ↓           ↓ φ
        
        G × Y    →    Y
                 α
      

    "структура левого G-модуля на X" = "гомоморфизм G → Sx". он называется перестановочным представлением группы G

    перестановки

    π ∈ Sₙ ⟳ {1..n}
    { i , π(i) , π²(i)..πm-1(i) } , πm(i) = i

    то, что в скобках - орбита элемента i под действием перестановки π - действие π на орбите. свойство лежать в одной орбите - это отношение эквивалентности на {1,..,n}. все множество символов {1..n}разбивается на дизьюнктное обьединение орбит

    одноэлементая орбита : π(i) = i такие элементы наз. неподвижными, а орбиты - тривиальными
    Fix(π) = { i | 1 ≤ i ≤ n }

    Mob(π) = { 1,..,n } \ Fix(π)
    такие орбиты называются истинными

    циклы разных орбит независимы = носители циклов не пересекаются. два независимых цикла - коммутируют. циклиный тип перестановки - длины циклов этой перестановки (по убыванию длинны)

    две перестановки сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый циклиный тип

    n = n1 + n2 + ... + nt, n1 ≥ n2 ≥ .. ≥ nt
    decr(π) = n - t

    классы сопряженности:

    S₂ 
    2        (12)
    1+1       e
    
    S₃
    3        (123)        (132) 
    2+1      (12)(3)      (13)(2)      (23)(1) 
    1+1+1     e
    
    S₄
    4        (1234)     (1243)     (1342)     (1324)     (1423)     (1432)
    3+1      (123)(4)   (132)(4)   (142)(3)   (124)(3)   (143)(2)   (134)(2)   (234)(1)   (243)(1)  
    2+2      (12)(34)   (13)(24)   (14)(23)   
    2+1+1    (12)(3)(4) (13)(2)(4) (14)(3)(2) (23)(1)(4) (24)(1)(3) (34)(1)(2)
    1+1+1+1   e
    

    sgn(π) = (-1)^decr(π)

    четное количество циклов четной длины - перестановка четная

    Aₙ = { π ∈ Sₙ | sgn(π) = +1 }

    композиция с одной транспозицией меняет знак

      
      Sₙ = < (1,2),(2,3),..,(n-1,n) >
      
      Sₙ → {±1}
      π → sgn(π)
      
      sgn(α ∘ γ) = sgn(α) * sgn(γ)
    

    Sₙ ⟳ {1..n}

    (π ∘ σ) (i) = π (σ (i))
    1(i) = i

    регулярное представление группы

    представление группы есть φ : G → куда-то, где мы умеем считать

    если ker φ = 1, то такое представление является точным (faithful)

    рассмотрим конечную группу G. занумеруем элементы. рассмотрим преобразование всех элементов группы под действием какого-то одного. это отображение, очевидно, сюръективно, инъективно, а значит, и биективно. иными словами, оно является перестановкой. различным элементам группы сопоставляются различные перестановки - в группе не бывает "двойников", которые действуют одинаково на все элементы - по крайней мере, они отличаются действием на нейтральный элемент. таким образом любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе достаточно большой симметрической группы Sₙ

    такое представление конечной группы подгруппой перестановок называется регулярным представлением

    другими словами - регулярное представление группы G правыми умножениями

       ρ : G → S(G)
       ρg ∙ x = g ∙ x
    является инъективным гомоморфизмом


    действие группы на себе

        G × G → G
        (g , x) → g ∘ x  
    это вложение G в S(G), ядро которого - тривиально

        G × G → G
        (g , x) → x ∘ g⁻  
    любая левая и любая правая трансляции - коммутируют

        (G × G) × G → G
        ((h , g) , x) → h ∘ x ∘ g⁻
    
    

    Δ : G → G × G g → (g , g)

    сопряжение

        G × G → G
        (g , x) → g ∙ x ∙ g⁻
      

    класс сопряжения состоит из одного элемента <=> этот элемент - централен

    представления автоморфизмов

        G → Aut(G)
        g → (x → g ∘ x)
      
    ядро = { g ∈ G | ∀ x ∈ G, g ∘ x = x ∘ g } = C(G) - центр
    образ = нормальная подгруппа в Aut(G). этот образ называется Inn(G) - группа внутренних автоморфизов G

    Inn(G) = G/C(G), Aut(G)/Inn(G) = Out(G)

    правое сопряженное к x:

        G × G → G
        (x , g) → g⁻ ∘ x ∘ g
      
    это - антигомоморфизм группы автоморфизов

    однородные пространства группы

    H ≤ G, тогда G/H = { g ∘ h | g ∈ G , h ∈ H }

    G ⟳ G/H

        G × G/H → G/H
        (g , xH) → g ∘ x ∘ H
      
    G/H - левое однородное G-пространство

    Th Caley: пусть H ≤ G. ядро перестановочного представления G → S(G/H) равно максимальной нормальной подгруппе, содержащейся в H

    центр p-группы

    центром группы G называется C(G) = { x ∈ G | x • g = g • x , ∀ g ∈ G }. центр является нормальной подгруппой

    конечная группа называется p-группой, если ее порядок является степенью простого числа p

    Th: центр конечной p-группы отличен от ее нейтрального элемента (C(G) ≠ e , 1 < |G| < ∞)

    например: 3ℤ⁺ = { 0 , 1 , 2 } C(3ℤ⁺) = { 0, 1, 2 }

    Th: если порядок G делится на p, то в G есть элемент с порядком p

    множество X на котором группа G действует просто транзитивно, называется главным однородным пространством для группы G. как G-множество оно изоморфно самой группе G относительно действия G на себе преобразованиями, но изоморфизм этот, вообще говоря, не является каноническим. для установления изоморфизма нужно зафиксировать точку x ∈ X. тогда G → X, g → gx, и будет искомым изоморфизмом

    теоремы Силова

    пусть G - конечная группа и p - простое число. если G - абелева, то существует H ≤ G такая, что |H| = |G|p , pm || G

    если |G : P| ⊥ p, то подгруппа P называется "силовской" p-подгруппой

    Th Ep : ∃ P ≤ G такая что |P| = |G|p

    Th Cp : все силовские p-подгруппы - сопряжены. ∃ g ∈ G : Q = g ∘ P ∘ g⁻ , Q и P - силовские

    Th Dp : всякая p-подгруппа в G содержится в некоторой "силовской" подгруппе. H ≤ G, |H| = pⁿ ⇒ ∃ P ≤ G : H ≤ P

    Th Fp : количество силовских р-подгрупп в G сравнимо с 1(mod p)

    GLₙ(pm)

    Th : q = pm , |GLₙ(Fq)| = (qⁿ - 1)(qⁿ - q)(qⁿ - q²)...(qⁿ - qn-1) это количество базисов

    Th : |SLₙ(Fq)| = |GLₙ(Fq)| / (q - 1)

    Th : |Uₙ(Fq)| = (n² - n)/2

    Uₙ(Fq) - силовская р-подгруппа в GLₙ(Fq)

    силовские подгруппы группы Sₙ

    |Sₙ| = n!

    формула Лежандра : кратность p в n! = n/p + n/p² + ..

    |Sp|p = p = |Cp|

    подгруппа H ≤ G называется "холловской", если |H| ⊥ |G:H|

    любая силовская подгруппа является холловской


    произведения групп

    внешнее прямое произведение

    F × H = { (f , h) | f ∈ F , h ∈ H }

    (f1 , h1) * (f2 , h2) = (f1 * f2 , h1 * h2)

    внутреннее прямое произведение

    взаимный коммутант подгрупп F и H есть [F , H] = < [f , h] | f ∈ F , h ∈ H > , [f , h] = f∙h∙f⁻∙h⁻

    = G

    F ∩ H = 1

    F ◂ G , H ◂ G

    при этих условиях [F,H] = 1 и значит ∀ f,h : f∙h = h∙f , а значит G ≅ F × H

    центральное произведение

    G = F ∙ H - центральное произведение если

    = G

    F ◂ G , H ◂ G

    откуда следует, что F ∩ H ≤ C(G)

    полупрямое произведение

    = G

    F ∩ H = 1

    H ◂ G , F ≤ G

    G является полупрямым произведением нормальной подгруппы H и дополнительной подгруппы F

    G = H ⋋ F = F ⋌ H

    задается G следующим набором: (F, H, F ⟳ H) и разное действие может приводить к различным G

    пример:

    Sₙ = Aₙ ⋋ C₂

        C₂ = <(12)>
      

    S₃ = C₃ ⋋ C₂   пример групп pq, где p и q - простые числа

    GLₙ(K) = SLₙ(K) ⋋ K*

        K* = ( 1
                 1
                   .
                     ε ) 
      

    пример: Bₙ(K) = Dₙ(K) ⋌ Uₙ(K)

    пример: Nₙ(K) = Dₙ(K) ⋋ Sₙ

    пример: Affₙ(ℝ) = GLₙ(ℝ) ⋌ ℝⁿ

        (g , u) ,    g ∈ GLₙ(ℝ) ,    v ∈ ℝⁿ
    
        { ( g v
            0 1 ) | g ∈ GLₙ(ℝ) , v ∈ ℝⁿ }
    
    
        (h , u) * (g , v) = ( h u       ( g v        ( h*g   h*v+u
                              0 1 )  *    0 1 )   =     0      1   )
      

    итак

        H ⋋φ F = { (h , f) | h ∈ H , f ∈ F }
    
        φ : F → Aut(H)
        
        (h1 , f1) * (h2 , f2) = (h1 * φ(f1) h2 , f1 * f2)
      

    H ⟳ N , φ : H → Aut(N)

    G = N ⋊φ H

    (n₁ , h₁) ∙ (n₂ , h₂) = ( n₁ ∙ φ(h₁) n₂ , h₁ ∙ h₂ )

    расширения

    группа G называется расширением F при помощи H, если в G есть изоморфная H нормальная подгруппа, фактор-группа по которой изоморфна F. по крайней мере одна такая группа всегда существует, это прямое произведение H × F

    = G

    F ∩ H = 1

    H ◂ G , F ≅ G/H

    1 → H → G → F → 1

    пример:

    A₅ - наименьшая простая неабелева группа

                                  sgn            
      A₅ ◂ S₅ а значит 1 → A₅ → S₅ → C₂ → 1
    S₅ - расширение C₂ при помощи A₅

    S₅ = A₅ * 2

    пример:

    |SL₂(F₅)| = 120 = 5 * 4 * 6
    {+e , -e} = Center(SL₂(F₅))
    PSL₂(F₅) = SL₂(F₅)/{+e,-e}
    |PSL₂(F₅)| = 60

      1 → C₂ → SL₂(F₅) → A₅ → 1
    SL₅(F₅) - расширение A₅ при помощи C₂

    SL₂(F₅) = 2 * A₅

    для любого поля K характеристики ≠2 имеем SL(2,K) = С₂ ⋌ PSL(2,K)

    пример: диэдральная группа

    |Dₙ| = 2n , Cₙ - группа вращений , C₂ - группа отражений
    Cₙ ◂ Dₙ , |Dₙ : Cₙ| = 2
    Dₙ = Cₙ ⋋ C₂
    Dₙ =

    пример: Sₙ = С₂ ⋌ Aₙ

    каждая подгруппа группы кватернионов Q нормальна. поэтому Q представляется в виде Q = C₄ * C₂

    разрешимые группы – это группы, которые можно собрать последовательными расширениями из конечного числа абелевых кусков

    разрешимая группа – группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами:

             1 = G₀ ⊂ G₁ ⊂ .. ⊂ Gₙ = G , Gi ◂ Gi+1    ,    Gi+1/Gi - коммутативна 
    нормальность с последующими членами ряда при этом необязательна, только с непостредственным соседом справа

    любая подгруппа разрешимой группы - разрешима, и любая факторгруппа разрешимой группы - тоже разрешима

    у группы G есть нормальная подгруппа, которая разрешима и фактор по ней тоже разрешим <=> группа G разрешима
    именно это является причиной того, что уравнения степеней 5 и выше не разрешимы в радикалах: группа A₅ - простая, а значит группа S₅ неразрешима

    пример:

    в группе S₄ есть нормальный делитель V₄ ◂ S₄ и подгруппа S₃ ≤ S₄, состоящая из перестановок, оставляющих на месте 4
    V₄ ∩ S₃ = 1 , V₄ S₃ = S₄ т.е. S₄ = S₃ ⋌ V₄
    по предыдущему примеру S₃ = С₂ ⋌ С₃. т.е. S₄ = (C₂ ⋌ C₃) ⋌ V₄, причем все три подгруппы, из которых собирается S₄, абелевы
    именно это разложение группы S₄ отвечает за разрешимость уравнений четвертой степени в радикалах

    расщепляющееся расширение

    пусть π : G → F

    расширение G = H ⋋ F = F ⋌ H называется расщепляющимся, если оно допускает расщепляющий гомоморфизм (splitting homomorphism, сечение), т.е. если существует такой гомоморфизм σ : F → G, что π ∘ σ = idF

    расщепляющееся расширение группы F содержит подгруппу, изоморфную F. в случае расщепляющихся расширений F отождествляется с σ(F) и рассматривается как подгруппа в G. однако, как правило, эта подгруппа не является нормальной

    расщепляющееся расширение F при помощи H называется полупрямым произведением нормального делителя (ядра) H и дополнительной подгруппы (дополнения) F

    в полупрямое произведение группы H и F входят неравноправно, так как H является нормальной подгруппой, а F – нет. если же мы потребуем, чтобы F тоже было нормальной подгруппой, то G = H × F есть прямое произведение H и F

    короткая точная последовательность

    последовательность гомоморфизмов

            μ      ν
        A₁  →  A₂  →  A₃
      
    называется точной, если img μ = ker ν

             μ      ν
          0  →  A₁  →  A₂
      

              μ      ν
          A₁  →  A₂  →  0 
      

    пусть i : H → G – изоморфизм H в G, а π : G/i(H) → F – изоморфизм G/i(H) на F

                i   π
          1 → H → G → F → 1 
    
    точность этой диаграммы означает, что ядро каждого следующего гомоморфизма совпадает с образом предыдущего. тем самым, точность в члене H означает, что ker(i) = 1, точность в члене G – что ker(π) = img(i) и, наконец, точность в члене F – что img(π) = F. группа H называется ядром расширения

    n-транзитивность

    G называется n-транзитивной на X, если любую n-ку с попарно различными элементами из X можно действием G на X перевести в любую другую n-ку (n ≤ |X|)

    пример: Sₙ n-транзитивна на {1,..,n}, причем она единственна

    пример: Aₙ (n-2)-транзитивна на {1,..,n}

    группы, заданные отношениями образующих

    группа треугольников

    заданная множеством образующих и множеством соотношений:

    T(m,n,k) = m = 1, yⁿ = 1, zk = 1>

    пусть a = 1/m + 1/n + 1/k . T(m,n,k) конечна <=> a > 1

    a = 1 случай Евлкида

    a > 1 случай Риманна

    a < 1 случай Лобачевского:
    T(2,2,3) = D₃ ≅ S₃
    T(2,3,3) = A₄
    T(2,3,4) = S₄
    T(2,3,5) = A₅

    группа S₃

    есть группа перестановок трех символов xyz З-циклом а = (xyz) и 2-циклом b = (ху). S₃ порождается элементами a и b, удовлетворяющими соотношениям а³ = 1, b² = 1, a ∙ b = b ∙ a²

    группа Клейна V₄

    можно описать как группу, порожденную двумя элементами а и b, удовлетворяющими соотношениям а² = 1, Ь² = 1, a ∙ b = b ∙ а

    braid-relation, заплетающее соотношение

    Sₙ = <(12),(23)..(n-1,n)> , все эти порождающие являются инволюциями и называются фундаментальными транспозициями

    si ∘ sj = sj ° si при |i - j| ≥ 2

    (si,si+1)³ = 1

    braid-relation: s₁∘s₂∘s₁ = s₂∘s₁∘s₂

    кокстеровское задание Sₙ = i² = 1, (sisj)² = 1 при |i - j| ≥ 2, (si,si+1)³ = 1>

    группа кос

    группа кос (braid-group) Bₙ = ibj = bjbi при |i - j| ≥ 2 , bibi+1bi = bi+1bibi+1>

      1 → Группа чистых кос → Bₙ → Sₙ → 1
                              ti → si 
    

    свободные произведения групп

    H = , G =
    H * G содержит изоморфные копии H и G
    H ∩ G = 1
    любой элемент из H * G имеет вид: x₁*x₂*..*xₙ, так что xi ∈ H\{1} ⇒ xi+1 ∈ G\{1} и наоборот

    PSL₂(ℤ) = C₂ * C₃

    F₂ = F₁ * F₁

    Fₙ = Fₙ₋₁ * F₁ = ℤⁿ

    прямое произведение является факторгруппой свободного произведения

    группы Кокстера

    G = <S>, где G - группа, а S - порождающая система, все элементы которой имеют порядок 2 (все они являются инволюциями) и которая называется кокстеровской системой образующих:

    si² = 1

    (sisj)mij = 1 , mij ≥ 2 , при i≠j

    (mij), mii = 1, матрица Кокстера

    mij = 2   sisj = sjsi
    mij = 3   sisjsi = sjsisj
    mij = 4   sisjsisj = sjsisjsi

    примеры:

    Dₙ = диэдральная группа, группа симметрий правильного многоугольника

    D = ∞ = 1>

    Sₙ

    I₂(2) = A₁ + A₁     ∙     ∙

    I₂(3) = A₂             ∙-----∙

    I₂(4) = B₂             ∙--4--∙

    I₂(6) = G₂             ∙--6--∙

    конечные группы симметрий:

        Aₙ, n≥2        ∙----∙ ... ∙----∙
    
        Bₙ, n≥2        ∙----∙ ... ∙----∙--4--∙
    
                            ∙
                           /      
        D₄           ∙----∙         
                           \
                            ∙
    
                                         ∙
                                        /
        Dₙ, n>4        ∙----∙ ... ∙----∙
                                        \
                                         ∙
    
        E₆,            ∙----∙----∙----∙----∙
                                 |
                                 ∙
    
        E₇,            ∙----∙----∙----∙----∙----∙
                                 |
                                 ∙
    
        E₈,            ∙----∙----∙----∙----∙----∙----∙
                                 |
                                 ∙
        
        F₄             ∙----∙--4--∙----∙
    
        G₂             ∙--6--∙
    
        H₃             ∙--5--∙----∙
    
        H₄             ∙--5--∙----∙----∙
    
        I₂(m), m>6     ∙--m--∙
      

    это группы симметрий каких-то конфигураций в Евлкидовых пространствах :
    Aₙ - симметрии правильных симплексов (как образующие используются ортонормальные базисы)
    Bₙ - симметрии гиперкуба
    G₂ - симметрии правильного шестиугольника
    H₃ - симметрии правильного додэкаэдра и касаэдра
    F₄,H₄ - симметрии правильных многомеров (polytopes)
    E₈ - симметрия самой плотной упаковки восьмимерных шаров

    группа SLₙ(K), образующие и соотношения, группа Стейнберга

    tij(ζ) = e + ζ*eij

    Eₙ(R) = ij(ζ), ζ ∈ R, j≠i> ⊆ GLₙ(R)

    Eₙ(R) ⊆ SLₙ(R) , если R - коммутативно

    Eₙ(K) = SLₙ(K) , если K - поле

    Eₙ(R) = SLₙ(K) , если R - Эвклидово кольцо (кольцо, в котором возможно деление с остатком)

    Stₙ(R) = ij(ζ), ζ ∈ R, j≠i>

    ∃! π : Stₙ(R) → Eₙ(R) , xij(ζ) → tij(ζ)

    SLₙ(Fq) ≅ Stₙ(Fq) в случае конечного поля Fq, n≥3

    SLₙ(ℤ) = < xij | (x12 x21⁻ x12)⁴ = 1 > , xij = tij(1) , n≥3

    PSL₂(ℤ) = C₂ * C₃
    SL₂(ℤ) = C₄ * C₂
    SL₂(ℤ) = < x , y | x⁴ = 1 , y⁶ = 1 , x² = y³ >

    разложимые группы

    S = X ∐ Y
    ∀ x ∈ X, ∀ y ∈ Y : xy = yx
    G = ×
    такая группа G называется разложимой системой Кокстера

    G - неразложима <=> граф Кокстера связен

    октоэдральная группа

    Sₙ - это группа перестановки базисов в поле Kⁿ (char(K) ≠ 2)

    Sₙ ⟳ {1..n}

    S2n ⟳ {1..n,-n..-1}

    Octₙ = { π ∈ S2n | π(-i) = -π(i) }

      Octₙ = <(1,2)(-2,-1), (2,3)(-3,-2), .., (n-1,n)(-n,-n-1), (n,-n)>
                 s₁                                      sₙ₋₁      sₙ
    

    Octₙ = i² =1, (sisj)² = 1 при |i-j|≥2, (si,si+1)³ = 1, (sₙ₋₁sₙ)⁴ = 1>

    группы движений

    пусть K обозначает одно из полей ℚ, ℝ, ℂ. если рассмотреть n-мерное векторное пространство V = Kⁿ и забыть о том, что векторы можно умножать на скаляры, а оставить на V только сложение векторов, то V называется векторной группой.
    группу V можно заставить действовать на себе, а именно,
    каждому вектору u ∈ V сопоставляется аффинное преобразование T(u) : V → V, v → v + u, называемое трансляцией или параллельным переносом. группа T(V) = {T(u) | u ∈ V } называется группой трансляций. в случае, когда K = ℝ, группа T(V) состоит из эвклидовых движений пространства V

    ортогональная группа

    в случае K = ℝ всякое n-мерное пространство с невырожденным скалярным произведением изометрично ровно одному из пространств ℝpq , p+q=n, для которого

        f = ( ep    0
              0   −eq ) 
    в ℝpq скалярное произведение двух векторов x=(x₁,..,xₙ) и y=(y₁,..,yₙ) определяется посредством B(x,y) = x₁y₁ + .. + xpyp − xp+1yp+1 − .. − xₙyₙ

    ортогональная группа пространства ℝpq обозначается через O(p,q,ℝ). она состоит из всех матриц, для которых

       O(p,q,ℝ) = { g ∈ GL(n,K) | g ( ep   0
                                      0  −eq ) g⁺ = ( ep   0
                                                      0  −eq ) }
    
    в случае q=0 пространство, ℝⁿ называется эвклидовым. в этом случае ортогональная группа обозначается просто O(n,ℝ) и называется классической ортогональной группой, по определению она состоит из всех g ∈ GL(n,ℝ) таких, что g*g⁺ = e

    группа эвклидовых вращений

     SO(2,ℝ) = { ( cos(ϕ)  sin(ϕ)
                  −sin(ϕ)  cos(ϕ) ) | ϕ ∈ ℝ }
    
    группа O(2,ℝ) порождается SO(2,ℝ) и любым отражением

    группа лоренцевых вращений

      SO⁺(1,1,ℝ) = { ( ch(ϕ)   sh(ϕ)
                       sh(ϕ)   ch(ϕ) ) | ϕ ∈ ℝ }
    

    группа собственных движений эвклидовой плоскости

    эта группа порождается SO(2,ℝ) и группой трансляций. она изоморфна группе 3×3 матриц

      Me₃(a,b,ϕ) = ( cos(ϕ)   sin(ϕ)   a
                    −sin(ϕ)   cos(ϕ)   b
                       0        0      1  )

    группа собственных движений плоскости Лобачевского

      Ml₃(a,b,ϕ) =  ( ch(ϕ)  sh(ϕ)   a
                      sh(ϕ)  ch(ϕ)   b
                        0      0     1  )

    index