index

важность понятия группы для математики в целом сопоставима только с важностью таких понятий как категория, множество, отображение, кольцо, модуль, топологическое пространство, многообразие, мера

Н.Вавилов

свойства обратных элементов

два свойства обратных элементов:

                          (x⁻)⁻     =   x
                          (x . y)⁻  =   y⁻ .  x⁻

обратите внимание на порядок множителей во втором выражении. если две операции не коммутируют, то он весьма существеннен. если два преобразования коммутируют, то коммутируют и обратные к ним преобразования

деление в группе

любой обратимый элемент регулярен, так что на него можно сокращать. в действительности, в группе разрешимы все уравнения вида g . x = h, достаточно умножить это равенство слева на g⁻, что дает x = g⁻ . h

с другой стороны, решением уравнения y . g = h является y = h . g⁻

если g и h не коммутируют, то эти два решения не совпадают, так что нужно различать левое частное g⁻ . h от правого частного h . g⁻

из однозначности деления вытекает, что в группе можно сокращать на любой элемент справа и слева. возможность левого сокращения означает, что равенство g . x = g . y влечет x = y. аналогично, возможность правого сокращения означает, что если x . g = y . g, то x = y

группа автоморфизмов

биекция φ группы G на себя называется автоморфизмом, если φ (g . h) = φ (g) . φ (h) для любых g,h ∈ G

легко проверить, что множество Auto(G) всех автоморфизмов группы G на себя является группой относительно композиции

группа изометрий

пусть X метрическое пространство с расстоянием d : X × X → R. биекция φ множества X на себя называется изометрией, если d (φ(x), φ(y)) = d (x,y) для любых двух точек x,y ∈ X. как всегда, легко проверить, что множество Isom(X) всех изометрий X на себя образует группу относительно композиции. эта группа называется группой изометрий (или, иногда, группой автометрий) множества X

группа диффеоморфизмов

пусть X - дифференцируемое многообразие. биекция X на себя называется диффеоморфизмом, если как она сама, так и обратное к ней преобразование φ⁻ бесконечно дифференцируемы. множество Diff(X) всех диффеоморфизмов X на себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов X

многие важные группы (например, свободные группы и все конечные группы) допускают естественные реализации как группы матриц над коммутативными кольцами, в частности, над полями

группа эвклидовых движений

полная группа изометрий эвклидова пространства V=ℝⁿ называется группой эвклидовых движений и обозначается Isom(ℝⁿ). эвклидово движение является композицией вращения (собственного или зеркального) и параллельного переноса. подгруппа Isom+(ℝⁿ), состоящая из движений с определителем 1, называется группой собственных движений

группа Брауэра.

пусть K - поле. если A и B - конечномерные алгебры над K, то их тензорное произведение A ⊗ B как векторных пространств превращается в алгебру, если положить

    (a1 ⊗ b1) * (a2 ⊗ b2) = a1 * a2 ⊗ b1 * b2

получающаяся так алгебра называется тензорным произведением алгебр A и B. алгебра A называется центральной, если ее центр совпадает с K, и простой, если в A ровно два двусторонних идеала, а именно 0 и сама алгебра A

каждая конечномерная центральная простая алгебра A над K изоморфна полной матричной алгебре M(m,D) над некоторым центральным телом D конечного ранга над K, причем тело D определено однозначно с точностью до изоморфизма. легко проверить, что тензорное произведение центральных простых алгебр само является центральной простой алгеброй. в частности, если D1, D2 - два центральных тела конечного ранга над K, то их тензорное произведение D1 ⊗ D2 имеет вид M(m,D) для некоторого центрального тела D конечного ранга. тело D определено однозначно с точностью до изоморфизма и называется произведением Брауэра тел D1 и D2. легко видеть, что это произведение превращает множество классов изоморфизма центральных тел конечного ранга над K в группу, называемую группой Брауэра поля K и обозначаемую Br(K)

группа Брауэра является важнейшим арифметическим инвариантом поля K. например, так как поле ℂ алгебраически замкнуто, то Br(ℂ)=1

группы в топологии

пусть I = [0,1] отрезок, а X - топологическое пространство. непрерывное отображение f : I → X называется путем в X. при этом x = f(0) называется началом пути, а y = f(1) - его концом. путь, для которого x = f (1) = f (0), называется замкнутым путем или петлей в точке x

рассмотрим два пути f, g : I → X, начала и концы которых совпадают, т. е. f(0) = g(0) и f(1) = g(1)

эти пути называются гомотопными, если существует непрерывное отображение h : I × I → X, такое, что h(s,0) = f(s) и h(s,1) = g(s) для всех s ∈ I. любое такое отображение h называется гомотопией между путями f и g

мы будем рассматривать только гомотопии с закрепленными концами, для которых, кроме того, h(0,s) = f(0) = g(0) и h(1,s) = f(1) = g(1) для всех t ∈ I. иными словами, два пути гомотопны, если один из них можно непрерывно продеформировать в другой в пространстве X так, чтобы их начала и концы все время оставались неподвижными, в этом случае мы будем писать f ∼ g

ясно, что гомотопия является отношением эквивалентности на множестве путей с началом x и концом y. классы этой эквивалентности называются гомотопическими классами путей с началом x и концом y

с каждым топологическим пространством X и абелевой группой A связываются группы гомологий Hn(X,A) и двойственные к ним группы когомологий nH(X,A) пространства X с коэффициентами в группе A. при этом группы гомологий ведут себя ковариантно по отношению к непрерывным отображениям топологических пространств, а группы когомологий - контравариантно. иными словами, любому непрерывному отображению f : X → Y топологических пространств сопоставляются гомоморфизмы

    Hn(f) : Hn(X,A) → Hn(Y,A)
    nH(f) : nH(Y,A) → nH(X,A)

классически рассматривались группы гомологий и когомологий с целыми коэффициентами. в самом первом приближении эти группы при n≥1 измеряют наличие n-мерных дырок в пространстве X. с точки зрения алгебры гораздо интереснее рассматривать не когомологии с постоянными коэффициентами, а их обобщения с коэффициентами в локальных системах абелевых групп, наиболее важными из которых являются пучки

в группе возможно сокращение на любой элемент как слева, так и справа. возможность сокращения слева означает в точности, что строки таблицы Кэли состоят из попарно различных элементов, а возможность сокращения справа эквивалентна аналогичному условию для столбцов. например, в полугруппе левых нулей возможно сокращение справа, но не слева ; а в полугруппе правых нулей, соответственно, слева, но не справа. это значит, что для группы все строки и все столбцы ее таблицы Кэли состоят из попарно различных элементов. такие таблицы встречаются настолько часто, что имеют специальное название

рассмотрим nэлементное множество X. расположение элементов множества X в квадратную таблицу размера n × n таким образом, чтобы каждый элемент множества X встречался ровно по одному разу в каждой строке и каждом столбце, называется латинским квадратом. таким образом, каждая строка и каждый столбец латинского квадрата являются перестановками множества X. число n называется порядком латинского квадрата

легко построить латинский квадрат любого порядка, для этого достаточно расположить элементы X в первой строке произвольным образом, а каждую следующую строку строить из предыдущей применением RotateRight. получающаяся таблица является таблицей Кэли циклической группы порядка n = |X|

таблица умножения группы обязана быть латинским квадратом. однако, будучи необходимым, это условие далеко не достаточно. например, таблица

        ∗   a  b  c  d
        ---------------
        a   a  b  d  c
        b   b  c  a  d
        c   c  d  b  a
        d   d  a  c  b

во-первых, в таблице с таким умножением нет нейтрального элемента (для нейтрального элемента соответствующая строка и столбец должны совпадать с исходным расположением элементов множества X)

во-вторых, задаваемое этой таблицей умножение неассоциативно:

    (a * b) * d = b * d = d

a
    a * (b * d) = a * d = c

в действительности, латинские квадраты это в точности таблицы Кэли квазигрупп

множество G с (не обязательно ассоциативной) бинарной операцией называется квазигруппой, если в нем возможно сокращение на любой элемент слева и справа, т.е. если для любых x,y,z ∈ G каждое из равенств zx=zy и xz=yz влечет равенство x=y. квазигруппа с нейтральным элементом называется лупой

из таблицы Кэли моментально усматривается, что задаваемая ей алгебраическая система является лупой. оказывается, в этом случае сравнительно несложно установить и наличие или отстутствие ассоциативности. для того, чтобы проверить, что лупа является группой, достаточно убедиться в выполнении следующего условия: если элементы, стоящие в трех парах вершин двух квадратов, совпадают, то совпадают и элементы, стоящие в их четвертых вершинах

централизатор элемента

пусть x ∈ G. определим централизатор элемента x в группе G следующим образом :

 CG(x) = { g ∈ G | g . x = x . g }

Lm:. для любого x ∈ G имеем CG(x) ≤ G
Proof: в самом деле, x . 1 = x = 1 . x, поэтому CG(x) ≠ ∅. если h,g ∈ C(G), то

  (h . g) . x = h . (g . x) = h . (x . g) = (h . x) . g = (x . h) . g = x . (h . g),

так что h . g ∈ C(G)
с другой стороны, если h ∈ C(G), то умножая равенство h . x = x . h на h⁻ справа и слева, получаем x . h⁻ = h⁻ . x, так что h⁻ ∈ C(G)
отсюда, конечно, сразу следует, что C(G) ≤ G
в самом деле, C(G) = ∩ CG(x), где пересечение берется по всем x ∈ G. любое пересечение подгрупп является подгруппой

примеры централизаторов

вычислим централизаторы некоторых матриц

централизатор регулярной полупростой матрицы

диагональная матрица d = diag(ε1,...,εn) называется регулярной, если все элементы εi попарно различны. для регулярной диагональной матрицы имеет место равенство

    CGL(n,K) (diag(ε1,...,εn)) = D(n,K) 

централизатор матрицы с двумя собственными числами

пусть p + q = n, ε, η ∈ K∗, ε≠η

CGL(n,K)(εe 0 , 0 ηe) = (GL(p,K ) 0 , 0 GL(q,K))

нормализатор

пусть X ⊆ G - любое подмножество в G. определим нормализатор X как множество элементов, которые коммутируют с X в целом :

    NG(X) = { g ∈ G | g . X = X . g }

нормализатор группы верхних унитреугольных матриц

совпадает с группой верхних треугольных матриц

   NGL(n,K) (U(n,K)) = B(n,K)

нормализатор группы диагональных матриц

совпадает с группой мономиальных матриц

    NGL(n,K) (D(n,K)) = N(n,K)

это равенство имеет место для любого K содержащего по крайней мере три элемента

порядок |〈g〉| циклической подгруппы 〈g〉обозначается o(g) или ord(g) (от order) и называется порядком элемента g. иными словами, o(g) это либо наименьшее натуральное число n такое, что g n = 1, либо ∞

Def : группа G называется периодической, или группой кручения, если все ее элементы имеют конечный порядок

группа G называется группой без кручения, если все ее элементы (≠1) имеют бесконечный порядок

Def : пусть X ⊆ G. наименьшая подгруппа в G, содержащая X, называется подгруппой, порожденной X и обозначается 〈X〉

пересечение подгрупп

Def : пусть F,H ≤ G. тогда их пересечение F∩H тоже является подгруппой в G, которая называется пересечением подгрупп F и H. то же верно и для любого множества подгрупп

напротив, объединение двух подгрупп крайне редко является подгруппой. конечно, если F≤H или H≤F, то F∪H=H≤G или F∪H=F≤G, соответственно. однако, если подгруппы F и H несравнимы, то F∪H никогда не является подгруппой

конечно порожденные группы

Def: группа, для которой существует конечная система образующих, называется конечно-порожденной

ясно, что любая конечная группа конечно порождена. но даже группа, порожденная одним элементом, может быть бесконечной. с другой стороны, она не может быть слишком бесконечной: из конечного (или счетного) числа букв можно образовать лишь счетное количество слов. поэтому ни одна группа мощности континуум, скажем, ℝ или 𝕋, не может быть конечно-порожденной

группа SL(n,Z) порождена трансвекциями tij(1) = e + eij, 1 ≤ i≠j ≤ n

пусть G =〈 x, y 〉 подгруппа в GL(n,Z), порожденная двумя инволюциями

x = (-1 0 , 0  1), y = (-1 1 , 0 1)

так как y * x = t12(1) - элемент бесконечного порядка, то группа G бесконечна. эта группа обозначается D∞ и называется бесконечной диэдральной группой

мультипликативная группа Q∗ порождена −1 и p ∈ P (это просто еще одна формулировка основной теоремы арифметики!). она изоморфна прямому произведению группы {±1} и свободной абелевой группы счетного ранга. тем самым, любая ее конечно порожденная подгруппа содержится в некоторой подгруппе, порожденной −1 и конечным множеством простых p1,...,pn

Def: левым смежным классом G по H называется любое множество вида

    H*x = { h*x | h ∈ H }, где x ∈ G

аналогично, множество

    x*H = { x*h | h ∈ H }

через H= { H*x | x ∈ G } обозначается множество всех левых смежных классов G по H, а через G/H = { x*H | x ∈ G } - множество всех правых смежных классов

Th: группа G является дизъюнктным объединением всех различных левых (или правых) смежных классов по подгруппе H

Proof: так как x ∈ H_x, то G = ∪ H_x, где объединение берется по всем H_x ∈ H\G. нужно лишь показать, что это объединение дизъюнктно
пусть H_x и H_y - два смежных класса G по H
предположим, что H_x ∩ H_y ≠ ∅
это значит, что найдется z ∈ H_x ∩ H_y, т.е.
найдутся такие h,g ∈ H, что z = h⋅x = g⋅y
тем самым y = g⁻⋅(h⋅x) = (g⁻⋅h)⋅x, так что y ∈ H_x
поэтому H_y ⊆ H_x
точно так же проверяется и включение H_x ⊆ H_y
таким образом, H_x = H_y
тем самым, никакие два различных левых смежных класса не пересекаются, что и утверждалось. QED
доказательство для правых классов аналогично

эта теорема означает, что G = ⨿ H_x, H_x ∈ H\G

разбиение на левые смежные классы G по H называется разложением группы G по подгруппе H. одним из смежных классов является сама подгруппа H = H₁ = 1_H. из наличия сокращения в группе сразу следует, что для каждого x ∈ G отображение H→H_x задает биекцию H на смежный класс H_x, так что, в частности, |H_x|=|H|. из только что доказанной теоремы вытекает, что для любого x∉H класс H_x не пересекается с H и, значит, не является подгруппой

сравнение по модулю подгруппы

мы знаем, что с каждым разбиением связано некоторое отношение эквивалентности. опишем получающиеся отношения эквивалентности явно. будем говорить, что x и y сравнимы по модулю H слева, и писать

x ≡ y, если H * x = H * y

это означает, что найдутся такие h, g ∈ H, что hx = gy. тем самым,

x*y− = h−*g ∈ H−*H = H

с подгруппой H связано и второе отношение эквивалентности, сравнимость по модулю H справа:

x ≡ y, если x*H = y*H

легко видеть, что xH = yH эквивалентно включению x−*y ∈ H. таким образом, мы можем ввести отношение сравнимости по модулю H и не упоминая смежные классы

Def: говорят, что элементы x, y ∈ G сравнимы по модулю H слева (соответственно, справа), если x.y⁻∈H (соответственно, x⁻.y∈H)

посмотрим, скажем на сравнимость по модулю H слева. это отношение рефлексивно, так как

    x.x⁻ = e ∈ H,

    y.x⁻ = (x.y⁻)⁻ ∈ H⁻ = H

    x.z⁻ = (x.y⁻).(y.z⁻) ∈ HH = H

в случае, когда G коммутативна, H.x = x.H так что сравнимости по модулю H слева и справа совпадают. в этом случае обычно говорят просто о сравнимости по модулю H, которая обозначается

   x ≡ y (mod H )