индекс

  • определения
  • сопряженные элементы
  • тривиальные подгруппы
    1. центр группы
    2. сопряженные подгруппы
    3. нормальные подгруппы
  • смежные классы
  • факторгруппа
  • примеры групп:


    определения

    группа называется циклической, если у нее система образующих состоит из одного элемента x (и обратного к нему), а все другие элементы группы имеют вид: x ∙ x ∙ ... или x⁻ ∙ x⁻ ∙ ...

    любая циклическая группа - коммутативна (абелева)

    примерами циклических групп являются группы ℤ и ℤ/nℤ

    примером циклической группы является группа {1, i, -i, -1} относительно операции умножения с нейтралью 1. здесь образующим служит число i:

          1 = i * -i
          i = iⁱ
         -1 = i²
         -i = i³

    любая конечная циклическая группа Cₙ изоморфна ℤ/nℤ, а любая бесконечная - изоморфна ℤ

    группа называется конечнопрожденной, если ее система образующих - конечна

    порядком элемента g группы называется наименьшее n∈ℕ, такое что gⁿ = e. если такого n не существует, то говорят, что порядок g бесконечен. в конечной группе у всех элементов конечный порядок

    большое значение в теории конечных групп имеют элементы порядка 2, которые называются инволюциями :

        g * g = e

    например: две инволюции матриц GL(n,K) - транспонирование и обратимость

    Th Ферма (малая) : для любого элемента g конечной группы g|G| = e

    порядок любого элемента группы равен порядку обратного к нему элемента

    произведение двух элементов конечного порядка может не быть элементом конечного порядка. например в GL₂(ℤ)

         a = ( 0 −1          Ord(a) = 4
               1  0 )
    
         b = ( 0  1          Ord(b) = 3,
              −1 −1)
    
    поскольку
    
         a² = ( −1  0        a³ = −a     a⁴ = e
                 0 −1)
    
         b² = ( −1 −1        b³ = e
                 1  0 )
    
    в то же время
    
         a * b = ( 1 1
                   0 1 )
    
         (a * b)k = ( 1 k
                      0 1 )
    
         Ord(a * b) = ∞
    


    сопряженные элементы

    x,y ∈ G называются сопряженными если ∃ g ∈ G :

        y = g  ∙ x ∙ g⁻
        y = g⁻ ∙ x ∙ g 

    сопряжение задает соотношения эквивалентности ибо

    явным образом выполняются

    класс сопряженности элемента

    Def: класс сопряженности J элемента x группы G включает в себя все те элементы группы, которые могут быть получены сопряжением какого-либо элемента группы G с этим элементом x :

        J  = { x | (g ∙ x ∙ g⁻) , g ∈ G }

    G = ∐ Ji . |Ji| делит |G| нацело

    для абелевых групп все классы сопряженности - одноэлементны. например: ℤ/3ℤ = { 0 , 1 , 2 }

      J₀ = 0 + 0 + 0 = 1 + 0 + 2 = 2 + 0 + 1 = 0
      J₁ = 0 + 1 + 0 = 1 + 1 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1
      J₂ = 0 + 2 + 0 = 1 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 = 2

    код на Ocaml

    пример: для неабелевой группы кватернионов Q₈ существуют следующие классы сопряженности:

      J1 = {±1}
      J2 = {±i}
      J3 = {±j}
      J4 = {±k}

    пример: в группе перестановок Sₙ классы сопряженности включают элементы с одним и тем же количеством транспозиций

    пример: количество четных перестановок пяти элементов |A₅| = 60 и, значит, все 5-циклы (всего 24 элемента) разбиваются (как минимум) на два класса сопряженности так как они не могут быть в одном классе сопряженности, поскольку 24 не делит 60 нацело

    сопряжение совпадает с тождеством, если элемент x группы G коммутирует со всеми элементами группы G. совокупность таких элементов называется центром группы и центр очевидным образом является абелевой подгруппой группы G


    тривиальная и несобственная подгруппы

    в каждой группе G есть по крайней мере две подгруппы. а именно, очевидно, что {e} ◁ G, эта подгруппа называется тривиальной и часто обозначается просто e или 1. столь же очевидно, что G ◁ G. эта подгруппа называется несобственной. все подгруппы H ◁ G, отличные от G, называются собственными. подгруппы 1 и G называются очевидными подгруппами группы G

    для ℤ любой набор чисел, равных по модулю - является подгруппой. и других подгрупп (кроме тривиальных {0} и ℤ) на множестве целых чисел - нет

    центр группы

    множество элементов, коммутирующих со всеми элементами G, называется центром группы G и обозначается C(G). элементы C(G) называются центральными. эти элементы образуют подгруппу: нейтральный элемент входит в нее по своему определению, и очевидным образом для каждого элемента из центра обратный к нему тоже будет в центре. пусть теперь с1 и с2 - принадлежат центру группы, тогда:

        c1 * c2 = a3 = c2 * c1
    покажем, что элемент а3 тоже лежит в центре группы. перемножим его с любым элементом b4 из группы, не принадлежащим к ее центру:
        a3 * b4 = (c1 * c2) * b4 = c1 * (b4 * c2) = b4 * (c1 * c2) = b4 * a3
    и, значит, элемент а3 тоже принадлежит центру группы. QED

    нейтральный элемент любой группы принадлежит ее центру - по определению. абелева группа сама себе центр

    сопряженные подгруппы

    если H◁ G, то класс сопряженности H равный

        { g ∙ H ∙ g⁻  |  ∀ g ∈ G } 
    является подгруппой G. такие подгруппы называются сопряжёнными к H

    сопряжение есть изоморфное отображение группы на себя, которое оставляет инвариантым единичный элемент группы и которое сопоставляет каждой подгруппе другую, сопряженную, подгруппу. говорят, что H есть самосопряженная или инвариантная подгруппа, если она совпадает со всеми своими сопряженными подгруппами. имея дело с инвариантной подгруппой H нет необходимости различать правую и левую эквивалентости относительно H

    нормальные подгруппы

    подгруппа H называется нормальной (invariant subgroup), (обозначается H ◀ G) если:

        ∀ g ∈ G : (g ∙ H ∙ g⁻) ∈ H
    иными словами, H ◀ G тогда и только тогда, когда вместе с любым своим элементом подгруппа H содержит и его класс сопряженности

    для нормальной подгруппы выполняется условие: если (x ∙ y) ∈ H, то и (y ∙ x) ∈ H

    1 и G - всегда нормальные (тривиальные) подгруппы G. если других нормальных подгрупп нет, то группа G называется простой

    все подгруппы абелевой группы - нормальны

    циклическая группа Cp ≅ ℤ/pℤ⁺ порядка p (где p - простое число) не имеет подгрупп, кроме тривиальных, а тривиальные явно нормальны и значит такая группа - простая

    группа параллельных переносов в пространстве любой размерности - нормальная подгруппа эвклидовой (содержащей лишь преобразования сдвига и поворота) группы

    подгруппы {±1}, {±1 , ±i}, {±1 , ±j, {±1 , ±k} группы кватернионов Q₈ являются нормальными

    по нормальным подгруппам можно факторизовать и они могут быть ядрами гомоморфизмов

    подгруппа A₃ "четности" (сумма всех транспозиций - четное число, считая количество транспозиций в е за ноль) есть {e,(132),(123)} нормальная подгруппа группы перестановок: A₃ ◂ S₃ т.к.

        (23) ∙ { e , (132), (123) } ∙ (23) = { e , (312), (132) } 

    аффинная группа

              Affₙ(K) = { ( g  u
                            0  1 )  |  g ∈ GLₙ(K) , u ∈ Kⁿ }
    не является нормальной в GLₙ₊₁(K)

    если мы имеем дело с группой преобразований G какого-либо многообразия, то все преобразования из группы, которые оставляют неподвижной какую-нибуть точку многообразия составляют подгруппу. вместо точки неподвижным элементом может быть любая составленная из точек многообразия фигура и преобразования подгруппы либо должны оставлять неподвижной фигуру в целом, либо они оставляют неподвижными все точки фигуры

    можно получать подгруппы используя вместо инвариантных точек или фигур инвариантные функции на многообразии. если ψ(p) - произвольная функция на многообразии с элементами p, то мы преобразованием S:p→p' связываем функцию ψ', определяемую равенством ψ'(p')=S(ψ(p)) и говорим, что она получается из ψ преобразованием S. теперь рассмотрим все преобразования, которые переводят ψ(p) в себя. так вот, такие преобразования образуют подгруппу, а ψ(p) является инвариантом группы G преобразований

    гамильтонова группа

    некоммутативная группа, у которой любая подгруппа - нормальна

    примером гамильтоновой группы является группа кватернионов Q₈


    смежные классы

    пусть H◁ G, g ∈ G . левым смежным классом группы G по подгруппе H, порожденным элементом g, называется множество

        { H ∙ g  |  g ∈ G } 

    правый смежный класс определяется как

        { g ∙ H  |  g ∈ G }  

    подгруппа H группы G является нормальной, если g ∙ H = H ∙ g для всех g ∈ G т.е. если разбиения на левые и правые смежные классы совпадают

    пример: группа перестановок трех элементов S₃ является неабелевой группой наименьшего порядка
    пусть H = { e , (12) } ◁ S₃ и g = (13) тогда
    правым смежным классом элемента g будет g ∙ H = { (13) , (123) }
    левым смежным классом элемента g будет H ∙ g = { (13) , (132) }
    разбиения на левые и правые смежные классы не совпадают и значит H не является нормальной подгруппой S₃

    Th Лагранжа: в конечной группе G порядок любой ее нормальной подгруппы H делит нацело порядок группы

    Proof:
    |H ∙ x| = |x ∙ H| = |H| , ∀ x ∈ G по определению нормальной подгруппы
    класс сопряженности для любого элемента нормальной подгруппы всегда состоит из одного элемента, а значит
    h ↔ H ∙ x - биекция. аналогично и для правого смежного класса
    QED

    например: группа перестановок двух элементов S₂ = { e, (12) } является абелевой. ее группой четности является тождественная группа A₂ = { e } и вполне очевидно что |S₂|/|A₂|=2


    факторгруппа

    чтобы говорить о факторизации нужно чтобы структура была сетоидом

    факторгруппа (quotient group) - это "сравнение по модулю" в мире групп, которое бьет исходную группу на конгруэнции. при этом в качестве "модуля", по которому происходит "сравнение", используется нормальная подгруппа. сами конгруэнции при этом подгруппами не являются, т.к. не содержат единицу

    группа, получающаяся из G отождествлением всех эквивалентных относительно H элементов называется факторгруппой

    а именно, на множестве классов (тех самых конгруэнциях) заводится структура группы с нейтралью (в качестве нейтрали выступает та самая подгруппа H, используемая как "модуль") и с исходной операцией (но по Минковскому). для всех элементов конгруэнции выполняется:

        (X ∙ H)⁻ = X⁻ ∙ H
    
        1 = H

    факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H обозначается G/H

    G/H = { x ∙ H | x ∈ G } с операцией по Минковскому:

        (x ∙ H) ⨯ (y ∙ H)
       = x ∙ (H ∙ y) ∙ H
       = x ∙ (y ∙ H) ∙ H
       = x ∙  y ∙ (H ∙ H)
       = x ∙  y ∙ H
    независимость правой части от представителей определяется нормальностью H

    если G абелева, циклическая или конечнопорождённая, то и ее факторгруппа G/H будет обладать тем же свойством

    H ⨯ G/G ≅ H

    H ⨯ G/H ≅ G

    пример: G = ℤ. подгруппы имеют вид H = nℤ (элементы G кратные n). смежные классы имеют вид a + n*ℤ, т.е. состоят из чисел которые дают один остаток при делении на n. складываются эти множества так же как и соответствующие остатки

    пример: факторгруппа ℝ/ℤ имеет естественную интерпретацию как группа T = {z∈ℂ | |z| = 1} поворотов плоскости вокруг начала координат. в самом деле, биекция

        ψ : ℝ/ℤ → T
        ψ x = cos 2πx + i * sin 2πx  
    демонстрирует изоморфизм групп ℝ/ℤ и T
        ψ x = ψ (x + ℤ)

    пример факторизации - факторизация группы движений прямой по сдвигам создает группу из двух элементов - сами сдвиги и отражения - с нейтралью "сдвиги" т.к. сдвиг в композиции со сдвигом дает сдвиг, а сдвиг с композицией с отражением дает отражение. отражение в композиции с отражением дает сдвиг - так что все нормально с обратимостью. получается такая таблица Кэли:

         T   S
     -----------   
      T  T   S  
      S  S   T

    точно также можно факторизовать движения плоскости, повороты и отражения - факторизацией по поворотам со следующей таблицей Кэли:

         R   S
     -----------   
      R  R   S  
      S  S   R  
    нейтралью очевидно будет "повороты", а обратным элементом для отражений будут отражения

    пример факторгруппы в группе кватернионов:
    факторгруппой является подгруппа {1,-1}, а классами являются {1,-1} ; {i,-i} ; {j,-j} ; {k,-k}. и действительно:

        {i,-i} * {1,-1} = {i,-i} ;  {1,-1} * {i,-i} = {i,-i}
        {j,-j} * {1,-1} = {j,-j} ;  {1,-1} * {j,-j} = {j,-j}
        {k,-k} * {1,-1} = {k,-k} ;  {1,-1} * {k,-k} = {k,-k}        
    
        {i,-i} * {j,-j} = {k,-k} ;  {i,-i} * {k,-k} = {j,-j}
        {k,-k} * {j,-j} = {i,-i} ;  {j,-j} * {k,-k} = {i,-i}
        {i,-i} * {k,-k} = {j,-j} ;  {k,-k} * {i,-i} = {j,-j}     
      
    здесь умножение - это умножение по Минковскому. а группа из этих четырех классов с нейтралью {1,-1} изоморфна группе Клейна (ℤ/2ℤ) ⊕ (ℤ/2ℤ)

    пример фактор-группы для некоммутативной группы есть факторизация группы движений плоскости на группу вращения и группу отражения, где нейтралью служит группа вращения

    пример факторгруппы в группе перестановок четырех элементов: S₄/V₄ = S₃

    однородное пространство

    H\G = { H ∙ g | g ∈ G } левое однородное пространство (класс конгруэтности)

    G/H = { g ∙ H | g ∈ G } правое однородное пространство (тоже класс конгруэнтности)

    |H\G| = |G/H| и это индекс подгруппы H

    G = ∐ H\G = ∐ G/H

    x⁻ ∙ H = (H ∙ x)⁻

    однородное пространство и факторпространство - это одно и то же (??)


    примеры групп

    симметрическая группа Sₙ (группа перестановок)

    группа различных перестановок множества с n элементами, с операцией "композиции двух перестановок" и нейтральным элементом - тривиальной перестановкой

    пусть G - множество всех взаимно однозначных отображений множества X на себя. тогда G является группой относительно композиции, называемой "симметрической группой множества X". и действительно
    - композиция отображений ассоциативна
    - композиция двух биекций снова является биекцией
    - тождественное отображение является биекцией и служит нейтральным элементом композиции
    - и, наконец, любая биекция обратима, причем обратное отображение также является биекцией

    группа перестановок имеет морфизм в группу {1, -1} ; * ; 1 при котором перестановки с четным числом транспозиций отображаются в 1, а с нечетным отображаются в -1

    при представлении любого элемента группы Sₙ матрицей, определитель будет равен ±1. таким образом группа перестановок n элементов может быть представлена подгруппой из GL(n,ℤ/2ℤ). например при n=3 имеем:

          (132)                                (123)                           e
                                                                    
     ( 3     ( 0  0  1    ( 1        ( 2    ( 0  1  0    ( 1       ( 1     ( 1  0  0   ( 1
       1       1  0  0      2          3      0  0  1      2         2       0  1  0     2
       2 )     0  1  0 )    3 )        1 )    1  0  0 )    3 )       3 )     0  0  1 )   3 )
    
    
           (12)                                (23)                           (13)
        
     ( 2     ( 0  1  0    ( 1        ( 1    ( 1  0  0    ( 1       ( 3     ( 0  0  1   ( 1
       1       1  0  0      2          3      0  0  1      2         2       0  1  0     2
       3 )     0  0  1 )    3 )        2 )    0  1  0 )    3 )       1 )     1  0  0 )   3 )    
      
    при этом трейс матрицы равен 3 для тривиальной перестановки, 0 - для циклических и 1 - для транспозиций

    вот Maxima

    симметрическая группа Sₙ коммутативна тогда и только тогда, когда n≤2. в частности, группа S₃ уже некоммутативна. действительно, для циклов (12), (13):

        (13) ∘ (12) ̸≠ (12) ∘ (13) 
    получаем "группу треугольника" порядка 6 - самую маленькую неабелеву группу

    Th Кэли : любая конечная группа изморфна какой-нибуть подгруппе симметрической группы Sₙ

    группа четности Aₙ

    нормальные подгруппы Sₙ с общим четным числом перестановок обозначаются Aₙ и называются группами четности

    подгруппа A₃ = { e , (132) , (123) } является нормальной подгруппой группы S₃. докажем это используя СКА Максима. вот листинг

    группа A₃ циклическая, так как она нормальна и имеет размерностью простое число: |A₃|=3

    Th Галуа : при n ≥ 5 если H ◀ Sₙ то H = e | H = Sₙ | H = Aₙ

    Cₙ - группа вращений правильного n-угольника

    пусть Γ - правильный n-угольник на эвклидовой плоскости. тогда поворот многоугольника Γ на любой угол кратный 2π/n вокруг центра Γ совмещает Γ с собой. все такие повороты образуют конечную группу Cₙ порядка n, называемую циклической группой порядка n. каждый ее элемент является степенью поворота на угол 2π/n

    группа диэдра Dₙ - группа симметрий правильного n-угольника

    пусть Γ - правильный n-угольник на эвклидовой плоскости. рассмотрим все движения эвклидовой плоскости, переводящие Γ в себя. кроме вращений сюда относятся также отражения относительно прямых, проходящих через две противоположные вершины Γ или середины противоположных сторон (если n четно), либо через какую-то вершину и середину противоположной стороны (если n нечетно). композиция двух отражений является вращением. получающаяся группа имеет порядок 2n

    общая линейная группа GL₂(K)

    группа обратимых 2×2-матриц над полем K с ненулевым определителем

            GL₂(K) = { ( α β
                         γ δ ) ∈ M(2,K) | α * δ - β * γ ≠ 0 }

    специальная линейная группа SL₂(K)

    группа 2×2-матриц c положительным единичным определителем над полем K

            SL₂(K) = { ( α β
            γ δ ) ∈ M(2,K) | α * δ - β * γ = 1 }

    некоммутативная группа кватернионов Q₈

    состоит из восьми матриц из M₄(ℝ): ±e, ±i, ±j, ±k, с операцией умножения:

                 1   i   j   k
             1   1   i   j   k
             i   i  -1   k  -j
             j   j  -k  -1   i
             k   k   j  -i  -1

    матричное представление элементов группы:

    e = ( 1  0  0  0      i = ( 0 −1  0  0      j = ( 0  0 −1  0     k = ( 0  0  0 −1
          0  1  0  0            1  0  0  0            0  0  0  1           0  0 −1  0
          0  0  1  0            0  0  0 −1            1  0  0  0           0  1  0  0
          0  0  0  1 )          0  0  1  0 )          0 −1  0  0 )         1  0  0  0 )
    

    в ней все подгруппы - нормальны: {±1} , {±1 , ±i} , {±1 , ±j} , {±1 , ±k} . докажем это используя CAS maxima - TODO

    группа Клейна V₄

    возможно представление группы V₄ в виде множества, элементами которого являются функции :

    а в качестве групповой операции рассматривается "композиция" с таблицей Кэли:
                | e  a  b  c
              --|------------
              e | e  a  b  c
              a | a  e  c  b
              b | b  c  e  a
              c | c  b  a  e

    другое представление группы V₄ есть множество двоичных чисел {00, 01, 10, 11} , а в качестве операции используется сложение по модулю с таблицей Кэли:

                | 00 01 10 11
             ---|-----------
             00 | 00 01 10 11
             01 | 01 00 11 10
             10 | 10 11 00 01
             11 | 11 10 01 00
    изоморфизм налицо

    еще V₄ изоморфна нормальной подгруппе группы перестановок S₄:

      { e, {(1,2),(3,4)}, {(1,3),(2,4)}, {(2,3),(1,4)} }

    и V₄ изоморфна нормальной подгруппе группы кватернионов:

        Q₈/{1,-1} = { {1,-1}, {i,-i}, {j,-j}, {k,-k} } 

    группа 4ℤ⁺

    это группа вычетов по модулю 4 с групповой операцией "сложение"

    группа 4ℤ⁺ и группа {1, i, i², i³ }*, где i это мнимая единица - изоморфны :

        0 1 2 3             1   i   i²  i³
      0 0 1 2 3          1  1   i   i²  i³
      1 1 2 3 0          i  i   i²  i³  1
      2 2 3 0 1          i² i²  i³  1   i
      3 3 0 1 2          i³ i³  1   i   i²
      

    аффинная группа

    пусть K - поле

    рассмотрим пары (g,u) где g ∈ GL(n,K) - квадратная матрица nxn, u ∈ Kⁿ - столбец высоты n

    определим на множестве GL(n,K) × Kⁿ умножение ∙, полагая

        (g1,u1) ∙ (g2,u2) = (g1 * g2 , g1 * u2 + u1) 

    получающаяся так группа называется аффинной группой степени n над K и обозначается Aff(n,K)

    матрица g называется линейной частью, а вектор u - трансляционной


    индекс