примеры групп:
группа называется циклической, если у нее система образующих состоит из одного элемента x (и обратного к нему), а все другие элементы группы имеют вид:
любая циклическая группа - коммутативна (абелева)
примерами циклических групп являются группы ℤ и ℤ/nℤ
примером циклической группы является группа {1, i, -i, -1} относительно операции умножения с нейтралью 1. здесь образующим служит число i:
1 = i * -i i = iⁱ -1 = i² -i = i³
любая конечная циклическая группа Cₙ изоморфна ℤ/nℤ, а любая бесконечная - изоморфна ℤ
группа называется конечнопрожденной, если ее система образующих - конечна
порядком элемента g группы называется наименьшее n∈ℕ, такое что gⁿ = e. если такого n не существует, то говорят, что порядок g бесконечен. в конечной группе у всех элементов конечный порядок
большое значение в теории конечных групп имеют элементы порядка 2, которые называются инволюциями :
g * g = e
например: две инволюции матриц GL(n,K) - транспонирование и обратимость
Th Ферма (малая) : для любого элемента g конечной группы g|G| = e
порядок любого элемента группы равен порядку обратного к нему элемента
произведение двух элементов конечного порядка может не быть элементом конечного порядка. например в GL₂(ℤ)
a = ( 0 −1 Ord(a) = 4 1 0 ) b = ( 0 1 Ord(b) = 3, −1 −1) поскольку a² = ( −1 0 a³ = −a a⁴ = e 0 −1) b² = ( −1 −1 b³ = e 1 0 ) в то же время a * b = ( 1 1 0 1 ) (a * b)k = ( 1 k 0 1 ) Ord(a * b) = ∞
x,y ∈ G называются сопряженными если ∃ g ∈ G :
y = g ∙ x ∙ g⁻ y = g⁻ ∙ x ∙ g
сопряжение задает соотношения эквивалентности ибо
Def: класс сопряженности J элемента x группы G включает в себя все те элементы группы, которые могут быть получены сопряжением какого-либо элемента группы G с этим элементом x :
J = { x | (g ∙ x ∙ g⁻) , g ∈ G }
G = ∐ Ji . |Ji| делит |G| нацело
для абелевых групп все классы сопряженности - одноэлементны. например: ℤ/3ℤ = { 0 , 1 , 2 }
J₀ = 0 + 0 + 0 = 1 + 0 + 2 = 2 + 0 + 1 = 0 J₁ = 0 + 1 + 0 = 1 + 1 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 J₂ = 0 + 2 + 0 = 1 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 = 2
код на Ocaml
пример: для неабелевой группы кватернионов Q₈ существуют следующие классы сопряженности:
J1 = {±1} J2 = {±i} J3 = {±j} J4 = {±k}
пример: в группе перестановок Sₙ классы сопряженности включают элементы с одним и тем же количеством транспозиций
пример: количество четных перестановок пяти элементов |A₅| = 60 и, значит, все 5-циклы (всего 24 элемента) разбиваются (как минимум) на два класса сопряженности так как они не могут быть в одном классе сопряженности, поскольку 24 не делит 60 нацело
сопряжение совпадает с тождеством, если элемент x группы G коммутирует со всеми элементами группы G. совокупность таких элементов называется центром группы и центр очевидным образом является абелевой подгруппой группы G
в каждой группе G есть по крайней мере две подгруппы. а именно, очевидно, что {e} ◁ G, эта подгруппа называется тривиальной и часто обозначается просто e или 1. столь же очевидно, что G ◁ G. эта подгруппа называется несобственной. все подгруппы H ◁ G, отличные от G, называются собственными. подгруппы 1 и G называются очевидными подгруппами группы G
для ℤ любой набор чисел, равных по модулю - является подгруппой. и других подгрупп (кроме тривиальных {0} и ℤ) на множестве целых чисел - нет
множество элементов, коммутирующих со всеми элементами G, называется центром группы G и обозначается C(G). элементы C(G) называются центральными. эти элементы образуют подгруппу: нейтральный элемент входит в нее по своему определению, и очевидным образом для каждого элемента из центра обратный к нему тоже будет в центре. пусть теперь с1 и с2 - принадлежат центру группы, тогда:
c1 * c2 = a3 = c2 * c1покажем, что элемент а3 тоже лежит в центре группы. перемножим его с любым элементом b4 из группы, не принадлежащим к ее центру:
a3 * b4 = (c1 * c2) * b4 = c1 * (b4 * c2) = b4 * (c1 * c2) = b4 * a3и, значит, элемент а3 тоже принадлежит центру группы. QED
нейтральный элемент любой группы принадлежит ее центру - по определению. абелева группа сама себе центр
если H◁ G, то класс сопряженности H равный
{ g ∙ H ∙ g⁻ | ∀ g ∈ G }является подгруппой G. такие подгруппы называются сопряжёнными к H
сопряжение есть изоморфное отображение группы на себя, которое оставляет инвариантым единичный элемент группы и которое сопоставляет каждой подгруппе другую, сопряженную, подгруппу. говорят, что H есть самосопряженная или инвариантная подгруппа, если она совпадает со всеми своими сопряженными подгруппами. имея дело с инвариантной подгруппой H нет необходимости различать правую и левую эквивалентости относительно H
подгруппа H называется нормальной (invariant subgroup), (обозначается H ◀ G) если:
∀ g ∈ G : (g ∙ H ∙ g⁻) ∈ Hиными словами, H ◀ G тогда и только тогда, когда вместе с любым своим элементом подгруппа H содержит и его класс сопряженности
для нормальной подгруппы выполняется условие: если (x ∙ y) ∈ H, то и (y ∙ x) ∈ H
1 и G - всегда нормальные (тривиальные) подгруппы G. если других нормальных подгрупп нет, то группа G называется простой
все подгруппы абелевой группы - нормальны
циклическая группа Cp ≅ ℤ/pℤ⁺ порядка p (где p - простое число) не имеет подгрупп, кроме тривиальных, а тривиальные явно нормальны и значит такая группа - простая
группа параллельных переносов в пространстве любой размерности - нормальная подгруппа эвклидовой (содержащей лишь преобразования сдвига и поворота) группы
подгруппы {±1}, {±1 , ±i}, {±1 , ±j, {±1 , ±k} группы кватернионов Q₈ являются нормальными
по нормальным подгруппам можно факторизовать и они могут быть ядрами гомоморфизмов
подгруппа A₃ "четности" (сумма всех транспозиций - четное число, считая количество транспозиций в е за ноль) есть {e,(132),(123)} нормальная подгруппа группы перестановок: A₃ ◂ S₃ т.к.
(23) ∙ { e , (132), (123) } ∙ (23) = { e , (312), (132) }
аффинная группа
Affₙ(K) = { ( g u 0 1 ) | g ∈ GLₙ(K) , u ∈ Kⁿ }не является нормальной в GLₙ₊₁(K)
если мы имеем дело с группой преобразований G какого-либо многообразия, то все преобразования из группы, которые оставляют неподвижной какую-нибуть точку многообразия составляют подгруппу. вместо точки неподвижным элементом может быть любая составленная из точек многообразия фигура и преобразования подгруппы либо должны оставлять неподвижной фигуру в целом, либо они оставляют неподвижными все точки фигуры
можно получать подгруппы используя вместо инвариантных точек или фигур инвариантные функции на многообразии. если ψ(p) - произвольная функция на многообразии с элементами p, то мы преобразованием S:p→p' связываем функцию ψ', определяемую равенством ψ'(p')=S(ψ(p)) и говорим, что она получается из ψ преобразованием S. теперь рассмотрим все преобразования, которые переводят ψ(p) в себя. так вот, такие преобразования образуют подгруппу, а ψ(p) является инвариантом группы G преобразований
некоммутативная группа, у которой любая подгруппа - нормальна
примером гамильтоновой группы является группа кватернионов Q₈
пусть H◁ G, g ∈ G . левым смежным классом группы G по подгруппе H, порожденным элементом g, называется множество
{ H ∙ g | g ∈ G }
правый смежный класс определяется как
{ g ∙ H | g ∈ G }
подгруппа H группы G является нормальной, если g ∙ H = H ∙ g для всех g ∈ G т.е. если разбиения на левые и правые смежные классы совпадают
пример: группа перестановок трех элементов S₃ является неабелевой группой наименьшего порядка
пусть H = { e , (12) } ◁ S₃ и g = (13) тогда
правым смежным классом элемента g будет g ∙ H = { (13) , (123) }
левым смежным классом элемента g будет H ∙ g = { (13) , (132) }
разбиения на левые и правые смежные классы не совпадают и значит H не является нормальной подгруппой S₃
Th Лагранжа: в конечной группе G порядок любой ее нормальной подгруппы H делит нацело порядок группы
Proof:
|H ∙ x| = |x ∙ H| = |H| , ∀ x ∈ G по определению нормальной подгруппы
класс сопряженности для любого элемента нормальной подгруппы всегда состоит из одного элемента, а значит
h ↔ H ∙ x - биекция. аналогично и для правого смежного класса
QED
например: группа перестановок двух элементов S₂ = { e, (12) } является абелевой. ее группой четности является тождественная группа A₂ = { e } и вполне очевидно что |S₂|/|A₂|=2
чтобы говорить о факторизации нужно чтобы структура была сетоидом
факторгруппа (quotient group) - это "сравнение по модулю" в мире групп, которое бьет исходную группу на конгруэнции. при этом в качестве "модуля", по которому происходит "сравнение", используется нормальная подгруппа. сами конгруэнции при этом подгруппами не являются, т.к. не содержат единицу
группа, получающаяся из G отождествлением всех эквивалентных относительно H элементов называется факторгруппой
а именно, на множестве классов (тех самых конгруэнциях) заводится структура группы с нейтралью (в качестве нейтрали выступает та самая подгруппа H, используемая как "модуль") и с исходной операцией (но по Минковскому). для всех элементов конгруэнции выполняется:
(X ∙ H)⁻ = X⁻ ∙ H 1 = H
факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H обозначается G/H
G/H = { x ∙ H | x ∈ G } с операцией по Минковскому:
(x ∙ H) ⨯ (y ∙ H) = x ∙ (H ∙ y) ∙ H = x ∙ (y ∙ H) ∙ H = x ∙ y ∙ (H ∙ H) = x ∙ y ∙ Hнезависимость правой части от представителей определяется нормальностью H
если G абелева, циклическая или конечнопорождённая, то и ее факторгруппа G/H будет обладать тем же свойством
H ⨯ G/G ≅ H
H ⨯ G/H ≅ G
пример: G = ℤ. подгруппы имеют вид H = nℤ (элементы G кратные n). смежные классы имеют вид a + n*ℤ, т.е. состоят из чисел которые дают один остаток при делении на n. складываются эти множества так же как и соответствующие остатки
пример: факторгруппа ℝ/ℤ имеет естественную интерпретацию как группа T = {z∈ℂ | |z| = 1} поворотов плоскости вокруг начала координат. в самом деле, биекция
ψ : ℝ/ℤ → T ψ x = cos 2πx + i * sin 2πxдемонстрирует изоморфизм групп ℝ/ℤ и T
ψ x = ψ (x + ℤ)
пример факторизации - факторизация группы движений прямой по сдвигам создает группу из двух элементов - сами сдвиги и отражения - с нейтралью "сдвиги" т.к. сдвиг в композиции со сдвигом дает сдвиг, а сдвиг с композицией с отражением дает отражение. отражение в композиции с отражением дает сдвиг - так что все нормально с обратимостью. получается такая таблица Кэли:
T S ----------- T T S S S T
точно также можно факторизовать движения плоскости, повороты и отражения - факторизацией по поворотам со следующей таблицей Кэли:
R S ----------- R R S S S Rнейтралью очевидно будет "повороты", а обратным элементом для отражений будут отражения
пример факторгруппы в группе кватернионов:
факторгруппой является подгруппа {1,-1}, а классами являются {1,-1} ; {i,-i} ; {j,-j} ; {k,-k}. и действительно:
{i,-i} * {1,-1} = {i,-i} ; {1,-1} * {i,-i} = {i,-i} {j,-j} * {1,-1} = {j,-j} ; {1,-1} * {j,-j} = {j,-j} {k,-k} * {1,-1} = {k,-k} ; {1,-1} * {k,-k} = {k,-k} {i,-i} * {j,-j} = {k,-k} ; {i,-i} * {k,-k} = {j,-j} {k,-k} * {j,-j} = {i,-i} ; {j,-j} * {k,-k} = {i,-i} {i,-i} * {k,-k} = {j,-j} ; {k,-k} * {i,-i} = {j,-j}здесь умножение - это умножение по Минковскому. а группа из этих четырех классов с нейтралью {1,-1} изоморфна группе Клейна
пример фактор-группы для некоммутативной группы есть факторизация группы движений плоскости на группу вращения и группу отражения, где нейтралью служит группа вращения
пример факторгруппы в группе перестановок четырех элементов: S₄/V₄ = S₃
H\G = { H ∙ g | g ∈ G } левое однородное пространство (класс конгруэтности)
G/H = { g ∙ H | g ∈ G } правое однородное пространство (тоже класс конгруэнтности)
|H\G| = |G/H| и это индекс подгруппы H
G = ∐ H\G = ∐ G/H
x⁻ ∙ H = (H ∙ x)⁻
однородное пространство и факторпространство - это одно и то же (??)
группа различных перестановок множества с n элементами, с операцией "композиции двух перестановок" и нейтральным элементом - тривиальной перестановкой
пусть G - множество всех взаимно однозначных отображений множества X на себя. тогда G является группой относительно композиции, называемой "симметрической группой множества X". и действительно
- композиция отображений ассоциативна
- композиция двух биекций снова является биекцией
- тождественное отображение является биекцией и служит нейтральным элементом композиции
- и, наконец, любая биекция обратима, причем обратное отображение также является биекцией
группа перестановок имеет морфизм в группу
при представлении любого элемента группы Sₙ матрицей, определитель будет равен ±1. таким образом группа перестановок n элементов может быть представлена подгруппой из GL(n,ℤ/2ℤ). например при n=3 имеем:
(132) (123) e ( 3 ( 0 0 1 ( 1 ( 2 ( 0 1 0 ( 1 ( 1 ( 1 0 0 ( 1 1 1 0 0 2 3 0 0 1 2 2 0 1 0 2 2 ) 0 1 0 ) 3 ) 1 ) 1 0 0 ) 3 ) 3 ) 0 0 1 ) 3 ) (12) (23) (13) ( 2 ( 0 1 0 ( 1 ( 1 ( 1 0 0 ( 1 ( 3 ( 0 0 1 ( 1 1 1 0 0 2 3 0 0 1 2 2 0 1 0 2 3 ) 0 0 1 ) 3 ) 2 ) 0 1 0 ) 3 ) 1 ) 1 0 0 ) 3 )при этом трейс матрицы равен 3 для тривиальной перестановки, 0 - для циклических и 1 - для транспозиций
вот Maxima
симметрическая группа Sₙ коммутативна тогда и только тогда, когда n≤2. в частности, группа S₃ уже некоммутативна. действительно, для циклов (12), (13):
(13) ∘ (12) ̸≠ (12) ∘ (13)получаем "группу треугольника" порядка 6 - самую маленькую неабелеву группу
Th Кэли : любая конечная группа изморфна какой-нибуть подгруппе симметрической группы Sₙ
нормальные подгруппы Sₙ с общим четным числом перестановок обозначаются Aₙ и называются группами четности
подгруппа A₃ = { e , (132) , (123) } является нормальной подгруппой группы S₃. докажем это используя СКА Максима. вот листинг
группа A₃ циклическая, так как она нормальна и имеет размерностью простое число: |A₃|=3
Th Галуа : при n ≥ 5 если H ◀ Sₙ то H = e | H = Sₙ | H = Aₙ
пусть Γ - правильный n-угольник на эвклидовой плоскости. тогда поворот многоугольника Γ на любой угол кратный 2π/n вокруг центра Γ совмещает Γ с собой. все такие повороты образуют конечную группу Cₙ порядка n, называемую циклической группой порядка n. каждый ее элемент является степенью поворота на угол 2π/n
пусть Γ - правильный n-угольник на эвклидовой плоскости. рассмотрим все движения эвклидовой плоскости, переводящие Γ в себя. кроме вращений сюда относятся также отражения относительно прямых, проходящих через две противоположные вершины Γ или середины противоположных сторон (если n четно), либо через какую-то вершину и середину противоположной стороны (если n нечетно). композиция двух отражений является вращением. получающаяся группа имеет порядок 2n
группа обратимых 2×2-матриц над полем K с ненулевым определителем
GL₂(K) = { ( α β γ δ ) ∈ M(2,K) | α * δ - β * γ ≠ 0 }
группа 2×2-матриц c положительным единичным определителем над полем K
SL₂(K) = { ( α β γ δ ) ∈ M(2,K) | α * δ - β * γ = 1 }
состоит из восьми матриц из M₄(ℝ): ±e, ±i, ±j, ±k, с операцией умножения:
1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1
матричное представление элементов группы:
e = ( 1 0 0 0 i = ( 0 −1 0 0 j = ( 0 0 −1 0 k = ( 0 0 0 −1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ) 0 0 1 0 ) 0 −1 0 0 ) 1 0 0 0 )
в ней все подгруппы - нормальны: {±1} , {±1 , ±i} , {±1 , ±j} , {±1 , ±k} . докажем это используя CAS maxima - TODO
возможно представление группы V₄ в виде множества, элементами которого являются функции :
| e a b c --|------------ e | e a b c a | a e c b b | b c e a c | c b a e
другое представление группы V₄ есть множество двоичных чисел {00, 01, 10, 11} , а в качестве операции используется сложение по модулю с таблицей Кэли:
| 00 01 10 11 ---|----------- 00 | 00 01 10 11 01 | 01 00 11 10 10 | 10 11 00 01 11 | 11 10 01 00изоморфизм налицо
еще V₄ изоморфна нормальной подгруппе группы перестановок S₄:
{ e, {(1,2),(3,4)}, {(1,3),(2,4)}, {(2,3),(1,4)} }
и V₄ изоморфна нормальной подгруппе группы кватернионов:
Q₈/{1,-1} = { {1,-1}, {i,-i}, {j,-j}, {k,-k} }
это группа вычетов по модулю 4 с групповой операцией "сложение"
группа 4ℤ⁺ и группа {1, i, i², i³ }*, где i это мнимая единица - изоморфны :
0 1 2 3 1 i i² i³ 0 0 1 2 3 1 1 i i² i³ 1 1 2 3 0 i i i² i³ 1 2 2 3 0 1 i² i² i³ 1 i 3 3 0 1 2 i³ i³ 1 i i²
пусть K - поле
рассмотрим пары (g,u) где g ∈ GL(n,K) - квадратная матрица nxn, u ∈ Kⁿ - столбец высоты n
определим на множестве GL(n,K) × Kⁿ умножение ∙, полагая
(g1,u1) ∙ (g2,u2) = (g1 * g2 , g1 * u2 + u1)
получающаяся так группа называется аффинной группой степени n над K и обозначается Aff(n,K)
матрица g называется линейной частью, а вектор u - трансляционной