- линейное пространство, в котором допускается умножение точек пространства друг на друга с результатом - "точка в этом же пространстве" называется алгеброй
- слово "алгебра" подразумевает, что есть две операции: умножение и сложение и что умножение дистрибутивно относительно сложения
- алегбра, это структура с замкнутой бинарной операцией (универсальная алгебра) или с отношением (модель)
Def: кольцо, являющееся линейным пространством над полем скаляров (при коммутативности умножения на скаляры в линейном пространстве), называется алгеброй
заменяя в определении линейного пространства поле скаляров кольцом с делителями нуля, мы получим модуль. в модулях имеются особенные векторы, которые не равны 0, но их произведения на делитель нуля, могут быть равны 0
примерами алгебр являются:
заменяя поле ℝ скаляров полем ℂ или телом ℍ мы получим комплексное или кватернионное линейное пространство
Def : ассоциативная алгебра называется простой, если она не содержит двусторонних идеалов. простыми ассоциативными алгебрами над полем являются алгебры M(n,ℝ), M(n,ℂ) и M(n,ℍ) вещественных, комплексных и кватернионных матриц n-го порядка. простыми алгебрами являются и сами алгебры ℝ, ℂ и ℍ
существуют только две конечномерные алгебры над полем действительных чисел, в которых умножение коммутативно, ассоциативно и нет делителей нуля, - это само поле действительных чисел и поле комплексных чисел
если отказаться от коммутативности, но все же предполагать умножение ассоциативным, то существует еще одна конечномерная алгебра над полем действительных чисел - это кватернионы
отказ от ассоциативности дает еще одну конечномерную алгебру над полем действительных чисел - с восьмью единицами (одна действительная и семь мнимых). это - октанионы
эти четыре числовые системы - "алгебры с делением" - деление всегда возможно и не выводит за рамки той же самой системы. числа этих систем - единственные имеющие "норму". из-за существования нормы и возможности деления, эти числовые системы известны как "нормированные алгебры с делением"
группа кватернионов замечательна тем, что хотя и не является абелевой, но все ее подгруппы - нормальны. знаки в таблице Кэли расставляются в соответствии с диаграммой:
1\2| i j k
---+-------------
i | -1 k -j
j | -k -1 i
k | j -i -1
---+-------------
(Hurwitz integer) - это кватернион, компоненты которого либо все целые либо все полуцелые:
H = { a + b ∙ i + c ∙ j + d ∙ k ∈ H | a,b,c,d ∈ ℤ or a,b,c,d ∈ ℤ + 1/2 }
кватернион z называется унитарным если |z|² = 1. группа унитарных кватернионов обозначается U(1,H). элементы группы удовлетворяют условию z⁻ = z~
пусть G = {±1, ±r, ±t, ±s | r² = t² = 1, s² = −1, rt = −tr = s }
тогда HG называется алгеброй расщепленных кватернионов
HG ≅ M(2,R)
Proof: пусть
r = ( 1 0
0 −1 )
t = ( 0 1
1 0 )
s = ( 0 1
−1 0 )
тогда <±1, ±r, ±t, ±s> является базисом в M(2,R) с условиями октанионы имеют восемь единичных элементов: обычную действительную единицу и семь других, которые называются e₁, e₂ и так далее до e₇. квадрат каждого из них есть -1. таблица умножения октанионных единиц задается с помощью "плоскости Фано"
предположим вам надо перемножить е₃ и e₇. найдите на диаграмме соответствующие точки, найдите линию, которая соединяет их, и увидите что на этой линии есть и третья точка, e₁. по стрелкам, вы переходите от е₃ к e₇ и потом к e₁. e₃*e₇=e₁. если порядок следования противоположный, добавте минус: e₇*e₃=-e₁. еще одна вещь: считается что концы всех линий склеены со своими началами, так что e₁*e₃=e₇ и e₃*e₁=-e₇
плоскость Фано - это проективная плоскость для двухэлементного поля 2ℤ. она состоит из прямых проходящих через начало координат в векторном пространстве 2ℤ³. поскольку каждая такая прямая содержит ненулевой элемент можно также полагать плоскость Фано как состоящую из семи ненулевых элементов пространства 2ℤ³. и если полагать начало координат такого пространства 2ℤ³ соответствует нейтрали 1 ∈ O, мы получим следующую картину:
замечательно, что плоскости проходящие через начало координат в этом векторном пространтсве размерности 3 дают подалгебры изоморфные кватернионам, а линии через начало координат изоморфны алгебрам комплексных чисел, и начало координат само по себе изоморфно алгебре вещественных чисел
пусть А есть R-модуль. тогда билинейное отображение A × A → A задает R-алгебру
тогда
m : A × A ~~~> μ : A ⊗ A → A
билинейное отображение линейное отображение
(x , y) → x ∙ y μ (x ⊗ y) = x ∙ y
τ : A ⊗ B → B ⊗ A -- "twist"
x ⊗ y → y ⊗ x
μ = μ ∘ τ
η : R → A
1A = η (1R)
μ ∘ (1 ⊗ η) = μ ∘ (η ⊗ 1) = 1
пусть А и В - две R-алгебры. пусть φ : A → B
φ ∘ μA = μB ∘ (φ ⊗ φ)
C называется коалгеброй над R если задано линейное отображение Δ : C → C ⊗ C
(1 ⊗ Δ) ∘ Δ = (Δ ⊗ 1) ∘ Δ
τ ∘ Δ = Δ
ε : C → R -- augmentation
C ⊗ R = (1C ⊗ ε) ∘ Δ (C)
R ⊗ C = (ε ⊗ 1C) ∘ Δ (C)
пусть есть две коалгебры ΔC : C → C ⊗ C и ΔD : D → D ⊗ D
пусть φ : C → D
ΔD ∘ φ = (φ ⊗ φ) ∘ ΔC
билинейное отображение - это дистрибутивность умножения относительно сложения
пусть B - это R-модуль
(B, μ, η) - ассоциативная алгебра с единицей
(B, Δ, ε) - коассоциативная коалгебра с коединицей
Δ : B → B ⊗ B ε : B → R
μ : B ⊗ B → B η : R → B
следующие два утверждения эквиваленты последующим четырем условиям:
тогда (B, μ, η, Δ, ε) - биалгебра над R
биалгебра является обобщением моноидов
пусть модуль биалегбры есть моноид с операцией "∙" и нейтралным элементом e. тогда
(Δ ∘ μ) (x ⊗ y) = (x ∙ y) ⊗ (x ∙ y) (μ ⊗ μ) ∘ (1 ⊗ τ ⊗ 1) ∘ (Δ ⊗ Δ) (x ⊗ y) = (μ ⊗ μ) ∘ (1 ⊗ τ ⊗ 1) ∘ (x ⊗ x ⊗ y ⊗ y) = (μ ⊗ μ)(x ⊗ y ⊗ x ⊗ y) = (x ∙ y) ⊗ (x ∙ y)
если |X| < ∞, то R[X]* = RX - биалгебра функций на X
f : X → R
μ* : A* → (A ⊗ A)* = A* ⊗ A*
Δ* : (C ⊗ C)* → C
f,g ∈ RX, (f g) (x) = f(x) g(x)
Δ f (x , y) = f (x ∙ y)
f,g ∈ Q = HomoR-mod(C , A)
ε η
1Q = ηA ∘ εC : C → R → A
f : x → f (x)
g : y → g (y)
f ⊙ g = μA ∘ (f ⊗ g) ∘ ΔC
мультипликативным базисом конечномерной алгебры называется такой ее базис B, что множество B ∪ {0} замкнуто относительно умножения