index

абелевы группы - не группы, а модули над ℤ

Н.Вавилов

R-модули

Def: модулем над кольцом R (с бинарными операциями + и ∙) называется векторное пространство M с операциями сложения векторов и умножения их на скаляр (из кольца), такая что для ∀ m,m1,m2∈M и ∀ ρ,ρ1,ρ2∈R выполняется следующее:

     R × M → M
     (ρ , m) → ρ  ∙ m

     (ρ1 + ρ2)  ∙  m = (ρ1 ∙  m) + (ρ2 ∙  m)
     ρ  ∙  (m1 + m2) = (ρ  ∙ m1) + (ρ  ∙ m2)
     (ρ1 ∙ ρ2)  ∙  m = ρ1  ∙  (ρ2 ∙ m)

в случае некоммутативного кольца такие модули называются левыми (скаляр из поля слева от элемента из модуля). а правыми модулями называют в этом случае:

      ∙  : M × R → M
     (ρ , m) → ρ  ∙ m

     m  ∙  (ρ1 + ρ2) = (m  ∙ ρ1) + (m ∙ ρ2)
     (m1 + m2)  ∙  ρ = (m1  ∙ ρ) + (m2  ∙ ρ)
     m  ∙  (ρ1 ∙ ρ2) = (m  ∙  ρ1)  ∙  ρ2 

в случае коммутативного кольца R (поля) определения левого и правого модуля совпадают и их называют просто модулями

обычно требуют дополнительно, чтобы выполнялось равенство

    1  ∙  m = m

любое кольцо можно рассматривать как модуль над собой

любой идеал кольца можно рассматривать как модуль над этим кольцом

любое коммутативное кольцо - алгебра над собой

листинг Haskell

свободный R-модуль

Def: свободный модуль - модуль над кольцом R, если он обладает базисом

не в каждом модуле можно выбрать базис, и даже когда это возможно - в случае некоммутативного кольца (тела) модуль может иметь несколько базисов с различным числом элементов

все векторные пространства являются свободными модулями

вообще говоря, векторным пространством называется модуль над телом (хотя они бывают левые и правые). в случае же полей - с категорной точки зрения лучше все же различать левые и правые векторные пространства - также, как мы различаем их в случае тела (когда мы просто вынуждены это делать). потому что левое векторное пространство образует двойственную категорию к правому векторному пространству и никогда не может быть ей изоморфно (оно может лишь случайно совпасть, но такой изоморфизм превратится в тыкву при замене базиса): поле коммутативно, но операторы не коммутативны

если есть два свободных R-модуля M1 и M2, то существует единственное оторбражение φ:M1→M2, переводящее базис M1 в базис M2

два свободных модуля над одним и тем же кольцом изоморфны тогда и только тогда, когда в них существуют базисы с одинаковым количеством элементов

сурьекция переводит систему образующих модуля в систему образующих образа

иньекция переводит линейно-независимую систему в линейно-независимую

правый свободный R-модуль ранга n

Rⁿ = { ( x₁
         .
         .
         xₙ ) | xₖ ∈ R }



       ( x₁       ( y₁        ( x₁ + y₁
         .          .            .
         .    +     .     =      .
         xₙ )       yₙ )        xₙ + yₙ )


       ( x₁                   ( x₁ * λ
         .      * λ        =     .
         .                       .
         xₙ )                   xₙ * λ )



       стандартный базис при размерности n=3:

            ( 1              ( 0             ( 0
     e₁ =     0       e₂ =     1       e₃ =    0
              0 )              0 )             1 )

правый модуль умножается на скаляр справа: Rⁿ * λ

левый свободный R-модуль ранга n

ₙR = { (x₁..xₙ) | xₖ ∈ R }

      (x₁..xₙ) + (y₁..yₙ) = (x₁ + y₁ .. xₙ + yₙ)

      λ * (x₁..xₙ) = (λ * x₁ .. λ * xₙ)


       стандартный базис при размерности n=3:

       ₁e = (1 0 0)   ₂e = (0 1 0)   ₃e = (0 0 1)

левый модуль умножается на скаляр слева: λ * ₙR

бимодуль

если на структуре M заданы структуры левого R-модуля и правого S-модуля, то М называется бимодулем. при этом должно выполняться

       ∀ λ ∈ R, μ ∈ S, m ∈ M
       (λ * m) * μ = λ * (m * μ)

прямая сумма

прямая сумма и группы

пусть F и G - две аддитивные абелевы группы. рассмотрим "покомпонентное сложение" на F×G

                 (f1 , g1)  +  (f2 , g2)    =    (f1 + f2 , g1 + g2)

в самом деле, это сложение ассоциативно, а его нейтральным элементом является

    e = (e , e)

    (h , g)⁻ = (h⁻ , g⁻)

таким образом, F×G образует группу относительно сложения, называемую прямой суммой групп F и G:

    F ⊕ G 

прямая сумма и кольца

пусть R1, ..., Rs - кольца. обозначим через R1 ⊕...⊕ Rs, кольцо, которое как множество совпадает с прямым произведением

    R = R1 × .. × Rs

  (x1, .., xs) + (y1, .., ys) = (x1 + y1, .., xs + ys),
  (x1, .., xs) * (y1, .., ys) = (x1 * y1, .., xs * ys)

прямая сумма и R-модули

если свободного R-модуля у нас нет, но мы его строим:

           M₁ , .., Ms

           M₁ ⊕ .. ⊕ Ms = M₁×..×Ms = { (u₁,.,us) | ui ∈ Mi }

если же свободный R-модуль уже есть:

           M₁, .., Ms ⊆ M

           если 1) M₁ + .. + Ms = M
                2) ∀ i    Σ Mj  ∩  Mi = 0
                         j≠i

           то M ≅ M₁ ⊕ ... ⊕ Ms

линейное пространство разлагается в прямую сумму непересекающихся подпространств, если любой его элемент однозначно представим в виде суммы, в которой первое слагаемое принадлежит первому подпространству, второе слагаемое принадлежит второму подпространству (каждое из которых называется при этом линейным дополнением к другому)

трёхмерное линейное пространство является прямой суммой плоскости (двумерного подпространства) и любой прямой (одномерного подпространства), не лежащей в этой плоскости (и не параллельной ей), а также прямой суммой любых трёх не лежащих в одной плоскости непараллельных прямых

трёхмерное линейное пространство является суммой двух несовпадающих плоскостей, но не является их прямой суммой, так как пересечение плоскостей даёт прямую и поэтому нулевой вектор может быть представлен бесконечным числом способов:

      0 = v1 + v2,    

пространство разбивается в прямую сумму одномерных подпространств

пространство полиномов степени не больше n (от фиксированного числа переменных) может быть представлено в виде прямой суммы

      M₀ ⊕ M₁ ⊕ ... ⊕ Mₙ    

проективный модуль

слагаемые прямых сумм свободных модулей называются "проективными модулями":

    P₁ ⊕ P₂ ⊕ ... ⊕ Pₙ = Kⁿ

модуль P над кольцом R называется проективным, если
для всякого гомоморфизма g: P → M
и эпиморфизма f: N → M
существует гомоморфизм h: P → N, такой что
g = f ∘ h

прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое

прямое произведение

прямое произведение и группы

пусть F и G две группы. рассмотрим покомпонентное умножение на F×G

  (f1 , g1) ∙ (f2 , g2) = (f1 ∙ f2 , g1 ∙ g2)

в самом деле, это умножение ассоциативно, а его нейтральным элементом является

      e = (e , e)

      (h, g)⁻ = (h⁻, g⁻)

таким образом, F×G образует группу относительно умножения, называемую прямым произведением групп F и G:

      F ⊗ G

для случая конечных абелевых групп часто термины "прямое произведение" и "прямая сумма" используются как синонимы. в случае бесконечного числа факторов даже для абелевых групп следует различать прямое произведение и прямую сумму. как правило, они не только не изоморфны, но даже имеют разную мощность

прямое произведение и кольца

TODO

прямое произведение и R-модули

TODO

иньективный модуль

прямые множители свободных модулей называются иньективными модулями:

    Q₁ ⊗ Q₂ ⊗ ... ⊗ Qₙ = ⁿK

модуль Q над кольцом R (ассоциативным с 1) называется инъективным, если
для всякого гомоморфизма f: A → Q
и мономорфизма g: A → B
существует такой гомоморфизм h: B → Q, что
f = h ∘ g

прямое произведение модулей инъективно тогда и только тогда, когда инъективен каждый сомножитель

Homo_R(U,V)

кольцо гомоморфизмов

модуль линейных отображений

пусть U, V - правые R-модули в коммутативном кольце R

           HomoR(U,V)  = { φ:U→V | ∀ u,u1,u2 ∈ U, ∀ λ ∈ R
                                     φ (u1 + u2) = (φ u1) + (φ u2)
                                     φ (u * λ) = (φ u) * λ
                                   }

           φ, ψ ∈ HomoR(U,V)
           (φ + ψ) u = (ψ u) + (ψ u)
            φ + ψ ∈ HomoR(U,V)

такая операция задает на Homo_R(U,V) структуру абелевой группы

можно ли умножать отображения на скаляр? можно - при наличии бимодулей-аргументов

для того, чтобы завести на Homo структуру модуля, надо иметь аргументом бимодуль

пусть R и S - коммутативные кольца, λ ∈ R, α ∈ S

задаем ...

структуру правого S-модуля, если есть левый S-модуль, как первый аргумент:

          φ ∈ Homo(SUR, VR)S
          (φ * α) x = φ (α * x)

структуру левого S-модуля, если есть левый S-модуль, как второй аргумент:

          φ ∈ SHomo(UR, SVR)
          (φ * α) x = α * (φ x)

структуру правого R-модуля, если есть левый R-модуль, как первый аргумент:

          ψ ∈ Homo(SUR, SV)R
          (λ * ψ) x = ψ (x * λ)

структуру левого R-модуля, если есть левый R-модуль, как второй аргумент:

          ψ ∈ RHomo(SU, SVR)
          (λ * ψ) x = (ψ x) * λ

         ψ ∈ Homo(RXS, RV)R
         x (α * ψ) = (x * α) ψ

         ψ ∈ RHomo(RX, RVS )
         x (ψ * α) =

         φ ∈ SHomo(RXS, RV)
         x (φ * λ) =

         φ ∈ SHomo(RX, RVS )
         x (λ * φ) =

получившийся таким образом модуль Homo(U,V) контравариантен по первому аргументу (композиция переходит в обратную композицию, правое переходит в левое, а левое переходит в правое) и ковариантен по второму аргументу (композиция переходит в композицию, правое переходит в правое, левое переходит в левое)

над коммутативными кольцами любой модуль ведет себя как бимодуль. можно ввести умножение на скаляры любым из четырех способов

Endo_R(V)

кольцо эндоморфизмов

            φ   ψ
          U → V → W

          Homo(U,V) × Homo(V,W) → Homo(U,W)
          (φ , ψ) → ψ ∘ φ


          U = V = W
          φ,ψ ∈ HomoR(U,V) = EndoR(U) = Endo(U)      -- линейные операторы на U
          φ + ψ
          φ ∘ ψ
          λ * φ  , λ ∈ R
          (λ * φ) ∘ ψ = λ * (φ ∘ ψ) = φ ∘ (λ * ψ)

относительно этих операций кольцо эндоморфизмов Endo_R(U) образует R-алгебру с операцией "композиция морфизмов"

замена базиса при Endo(U)

      u ∈ U,  dim(U) = n
      φ ∈ Endo(U)

      u = Σ ai * ei = Σ bi * fi, где
                                   e₁..eₙ - первый базис в U
                                   f₁..fₙ - второй базис в U
                                   g = [e ~~> f]   матрица замены базиса
      v = φ(u)
      v = Σ ci * ei = Σ di * fi

      cⁿ = Φ  * aⁿ

      dⁿ = Φ' * bⁿ

      Φ' = g⁻ * Φ * g

т.о. при смене базиса матрица линейного оператора меняется на сопряженную, а у таких матриц много инвариантов: определители, следы, собственные значения

двойственный модуль

пусть R - коммутативное кольцо и U - правый R-модуль

U* = Homo(U,R) называется двойственным к U модулем

η ∈ U* называется ковектором (линейным функционалом на U)

модуль, двойственный к свободному модулю сам является свободным модулем того же ранга:

       (Rⁿ)* = ⁿR        (ⁿR)* = Rⁿ

Th: при замене базиса базисы ковекторов преобразуются контравариантно по отношению к замене базисов векторов

Proof:

      R - коммутативное кольцо, значит базис R есть 1
      пусть zₙ - базис в U
      пусть fₙ - базис в U*

      тогда базис в Homo(U,R) переводит одну компоненту базиса U в 1, а все осталные в 0:
      f*i(zj) = δij
      и значит
      fⁿ * zₙ = e

      заменим базис z на w : [z ~~> w] = g
      wₙ = zₙ * g

      тогда базис f изменится на h

          hⁿ * wₙ          =     e
          hⁿ * zₙ * g      =     e
      g * hⁿ * zₙ * g * g⁻ = g * e * g⁻
      g * hⁿ * zₙ          =     e
      g * hⁿ * zₙ          = fⁿ * zₙ
      g * hⁿ               = fⁿ
      hⁿ = g⁻ * fⁿ

Th: при замене базиса базисы координаты ковекторов преобразуются ковариантно по отношению к замене базисов векторов

Proof:

      пусть η ∈ U*
      η = aₙ * fⁿ
      при замене базиса
      η = bₙ * hⁿ
      bₙ * hⁿ = aₙ * fⁿ
      bₙ * g⁻ * fⁿ = aₙ * fⁿ
      bₙ * g⁻ = aₙ
      bₙ = aₙ * g

U** = U, если U - свободный модуль конечного ранга

пусть V - векторное пространство над полем K с базисом e₁..eₙ

V* = Homo(V,K) есть двойственное пространство

его элементами являются линейные функционалы ν:V→K и в нем есть базис e*₁..e*ₙ - это такие линейные функционалы, которые e*_i (e_j) = δ_ij

в конечномерном случае - зафиксировать изоморфизм V* ≅ V, это значит задать на V сильнейшую структуру - "невырожденное скалярное произведение":

    B : V × V → K

зафиксируем u ∈ V и рассмотрим

      B (u , _) : V → K
                  v → B (u , v)

      B (u , _) ∈ V*

      B~ : V → V*
           u → B (u , _)


      ~ : L (V, V ; K) → Homo(V , V*)
          B → B~

Iso(V,V*) = невырожденные билинейные формы

ортогональная прямая сумма

(U , B_u) ⊞ (V , B_v) = (U ⊕ V , B_{U ⊕ V})

B_{U ⊕ V} = B_u (u₁ , u₂) + B_v (v₁ , v₂)

каждый вектор U ортогонален каждому вектору V