индекс

вот возьмём что-то простое - множество. у множества свойств не очень много — ну что там, сами элементы назвать, да ещё их количество можно посчитать
наделим наше множество определённой структурой, а именно: скажем, что помимо прочего на множестве определена операция, которая двум элементам множества сопоставляет элемент этого множества. пока не очень интересно
добавим некоторые свойства для этой операции: пусть она ассоциативна (какое-то слово), пусть существует выделенный относительно неё элемент нашего множества — выделен он так, что… (тут мы пишем аксиомы группы — про единицу и про обратный элемент). мы получили нечто, что называется группой. это множество, на котором ещё сверху стоит какая-то пристройка
можно строить дальше — пусть группа оснащена ещё одной дополнительной структурой (и тут мы пишем аксиомы кольца) — получаем кольцо


  • алгебра
  • структуры

  • полугруппа
  • моноид
  • сетоид
  • группа
  • полукольцо
  • простое кольцо
  • кольцо
  • подкольцо
  • тело
  • поле
  • группы

  • сопряженные элементы
  • подгруппа
  • смежные классы
  • фактор-группа
  • кольца

  • область целостности
  • идеалы
  • фактор-кольцо
  • решетки
  • фильтры
  • приложение: важные группы


    пусть A и B - два непустых множества. пусть есть отображение f : A → B

    отображение f иньективно (мономорфно), если для любых x,y∈A из x ≠ y следует f(x) ≠ f(y) что означает, что каждый элемент домена отображается в отличный от других элемент кодомена. говорят, что А вкладывается в В

    отображение f cюрьективно (эпиморфно), если для каждого y∈B существует x∈A, такой что f(x) = y сие означает, что диапазон покрыт полностью. говорят, что А накрывает В

    отображение f биективно (изоморфно), если оно одновременно иньективно и сюрьективно
    примером изоморфизма служит изоморфизм двух картезианских произведений множеств: A ⨯ B ≅ B ⨯ A

    алгебра

    алгебра представляет собой

    алгебра с пустым набором отношений называется "универсальной алгеброй"

    алгебра с пустым набором операций называется "моделью"

    иногда алгеброй называют лишь свободный модуль над кольцом (линейное пространство) и тогда просто структуру с сигнатурой называют алгебраической системой

    нуль-арная операция на множестве - это константа f : ∅ → Y

    унарная операция на множестве Y - это отображение f : Y → Y

    бинарная операция на множестве Y - это отображение f : Y × Y → Y

    заданные на наборе бинарные операции определяют некоторые интересные структуры на данном наборе: при этом, как частные случаи, алгебра может быть полугруппой, моноидом, группой, полукольцом, недокольцом, кольцом, телом или полем, а также (если она сетоид) полурешеткой или решеткой


    Николай Вавилов, СПбУ


    полугруппа

    полугруппа (semigroup) — алгебра, для элементов которой определена (замкнутая) бинарная операция. нейтрального элемента (а следовательно и инверсий) не требуется

    примером полугруппы является структура с тремя элементами и с такой вот таблицей Кэли для операции:

                      |  камень   коса    платок
               -------+----------------------------
               камень |  камень   камень  платок
               коса   |  камень   коса    коса
               платок |  платок   коса    платок
    
    нейтрального элемента здесь не выбрать в принципе

    докажем математическую корректность реализации и сгенерим код этой игры для Ocaml с помощью Coq:


    Coq listing
    Require Import Utf8 String. Open Scope string_scope.
    
    Extraction Language Ocaml.
    
    Record semigroup : Type := mkSg
      {
        γ : Set ;
        β : γ → γ → γ ;
      }.
    
    Inductive thing : Set :=
     | камень : thing
     | коса   : thing
     | платок : thing.
    
    Definition game (x : thing) (y : thing) : thing :=
      match x with
        | камень => match y with | платок => платок | _ => камень end
        | коса   => match y with | камень => камень | _ => коса   end
        | платок => match y with | коса   => коса   | _ => платок end
      end.
    
    Definition x : semigroup.
      refine  (mkSg thing game).
    Defined.
    
    Eval compute in (x.(β)) камень  коса.
    Eval simpl   in (x.(β)) коса    платок.
    Eval compute in (x.(β)) платок  камень.
    
    Fact equal_game : forall k, (x.(β)) k k = k.
    Proof. intros. unfold game. induction k; trivial. Qed.
    
    Fact game_closed : forall x y, (game x y = камень) \/ (game x y = коса) \/ (game x y = платок).
    Proof. intros x y. induction x; induction y; (simpl; tauto). Qed.
    
    Fact game_comm : forall x y, game x y = game y x.
    Proof. intros x y. (induction x; (simpl; tauto)). Qed.
    
    Axiom not_equial :  камень <> коса.
    
    Fact game_not_assoc : exists x y z, (game x (game y z)) <> game (game x y) z.
    Proof. induction x. exists камень. exists платок. exists коса. simpl.
           apply not_equial. Qed.
    
    Check (x.(γ)).
    Eval simpl in (x.(β)) камень коса.
    

    end of Coq listing

    так пишется код для аэронавтики и реакторов

    любые отображения множества на себя можно выполнять последовательно, поэтому они (отображения) естественным образом образуют полугруппу с операцией "композиция отображений"

    другим примером полугруппы являются нормали ко всем элементам любого выпуклого множества точек двумерной сферы вместе с операцией умножения (например - inner-product в прямоугольной системе координат, связанной с центром сферы)

    в категорном смысле полугруппа является магмой - категорией с бинарной операцией без аксиом, а только с таблицей Кэли. магма, это структура с бинарной операцией, у которой нет коммутативности, нет обратного элемента, нет нейтрали и нет ассоциативности ;-) ну это шутка. а если строго по определению, это просто синоним замкнутой бинарной операции, без каких-либо дополнительных свойств

    пример магмы с неассоциативной и некоммутативной операцией:

    
          |  i   j   k
        --+-------------
        i |  i   j   j
        j |  k   k   j  
        k |  j   i   k
    
                           i ∙ j       = j    ≠    k =      j ∙ i    
                           (i ∙ j) ∙ j = k  ⁠⁠  ≠    j = i ∙ (j ∙ j) 
      
    нет нейтрали, а значит и нет обратных элементов. вуаля!

    еще один пример неассоциативности и некоммутативности в магме

                        |   i    j
                      --+----------
                      i |   j    i
                      j |   j    i
    
           (i ∙ j) ∙ i = j
           i ∙ (j ∙ i) = i
           i ∙ j = i ≠ j = j ∙ i
      


    моноид

    моноид — алгебра, для элементов которой определена замкнутая бинарная операция c нейтральным элементом. инверсий не требуется

    элемент e ∈ X называется левым нейтральным, если e ∙ x = x для всех x ∈ X и правым нейтральным, если x ∙ e = x. элемент, который одновременно является как левым, так и правым нейтральным, называется нейтральным элементом

    примером моноида служат: натуральные числа (начинающиеся с нуля) - для операции сложения, и целые числа - для операции умножения (с вычетом нуля)

    другим примером моноида служит алгебра с образующими {0,1}, с бинарной операцией Λ и c нейтралью 1

              Λ | 0 1
              --+-----
              0 | 0 0
              1 | 0 1
      

    очень похожим примером моноида служит алгебра с образующими {0,1}, с бинарной операцией V и c нейтралью 0

              V | 0 1
              --+-----
              0 | 0 1
              1 | 1 1
       

    сразу видно, что инверсий (соответственно - нуля и единицы) в таких таблицах не получить


    Николай Вавилов. СПбГУ

    категориально моноид - это категория с одним обьектом и с эндоморфизмами


    Coq listing
    Require Import ZArith. Open Scope Z_scope.
    
    Class Monoid {A:Type} (compose : A → A → A) (uni : A) : Prop :=
      {
        compose_assoc : forall x y z : A , compose x (compose y z) = compose (compose x y) z ;
        uni_left      : forall x         , compose uni x = x ;
        uni_right     : forall x         , compose x uni = x ;
      }.
    
    Instance ZMul : Monoid Zmult 1.
      apply Build_Monoid. intros. ring. intros. ring. intros. ring.
    Qed.
    
    (* Instance ZAdd : Monoid Zplus 0. *)
    (*   apply Build_Monoid. intros. ring. intros. ring. intros. ring. *)
    (* Qed. *)
    
    Fixpoint power {A: Type} {compose: A → A → A} {uni: A} {M : Monoid compose uni}
                   (a: A) (n: nat) :=
      match n with
          | 0%nat => uni
          | S p => compose a (power a p)
      end.
    
    Compute power 2 10.   (* 1024 в случае ZMul или 20 в случае Zadd *)
    

    end of Coq listing


    сетоид

    сетоидом (setoid, E-set, Bishop set) называется структура, снабженная отношением эквивалентности

    если мы определим отношение эквивалентости на множестве - мы тут же получим классы конгруэнтности на нем (рассматривая эквивалентность как равенство)

    сетоиды нужны тогда, когда различие между идентичностью (identity) и сопоставимостью (equivalence) должны быть явны


    группа

    группа — алгебра, для элементов которой определена замкнутая бинарная операция (пусть будет "∙"), нейтраль и инверсии. группа - это моноид, все элементы которого обратимы

    групповая операция ДОЛЖНА быть ассоциативна. если групповая операция коммутативна, то группа называется абелевой

    элемент x ∈ G называется обратимым слева, если существует элемент y ∈ G такой, что y ∙ x = e. элемент y называется левым обратным к x

    x называется обратимым справа, если существует элемент z ∈ G такой, что x ∙ z = e. элемент z называется правым обратным к x

    если у элемента x существуют и левый обратный k и правый обратный t, то k = t

    (x⁻)⁻ = x
    (x ∙ y)⁻ = y⁻ ∙ x⁻ и для некоммутативного случая важен порядок операндов

    в группе разрешимы все уравнения вида g ∙ x = h, достаточно умножить это равенство слева на g⁻, что дает x = g⁻ ∙ h

    с другой стороны, решением уравнения y ∙ g = h является y = h ∙ g⁻

    если g и h не коммутируют, то эти два решения не совпадают, так что нужно различать левое частное g⁻ ∙ h от правого частного h ∙ g⁻

    в группе можно сокращать на любой элемент справа и слева. возможность левого сокращения означает, что равенство g ∙ x = g ∙ y влечет x = y. возможность правого сокращения означает, что если x ∙ g = y ∙ g, то x = y

    примеры групп

    примерами самой маленькой группы является группа { 1 } по умножению и изоморфная ей группа { 0 } по сложению

    чуть больше размером группа с двумя элементами { 1 , a } со следующей таблицей Кэли:

             |  1   a
           --+--------
           1 |  1   a
           a |  a   1
    

    и еще чуть больше группа с тремя элементами { 1 , a, b } со следующей таблицей Кэли:

              |  1   a   b
           ---+----------
           1  |  1   a   b
           a  |  a   b   1
           b  |  b   1   a
    

    примером группы являются множество целых чисел ℤ для операции сложения (c нейтралью 0). числовые множества ℚ, ℝ, ℂ образуют группы по сложению. множества ℚ₊ = {x∈ℚ | x > 0} и ℝ₊ = {x∈ℝ | x > 0} положительных рациональных и вещественных чисел представляют собой группы по умножению (с нейтралью 1)

    группами явлются движения прямой (Transfer Simmetry Id) и окружности (Rotation Symmetry Id) по отношению к операции композиции ∘:

      ∘  |  Id   T   S        ∘  |  Id   R   S
      ---+-------------       ---+------------
      Id |  Id   T   S        Id |  Id   R   S
      T  |   T   T   S        R  |   R   R   S
      S  |   S   S   T        S  |   S   S   R
    
    причем Id - тривиальное отображение - является нейтральным элементом групп


    полукольцо

    полукольцо (rig) - это множество элементов со структурой моноида по сложению и моноида по умножению. сложение коммутативно, а умножение дистрибутивно над ним

    полукольцами являются натуральные числа (начиная с 0)

    полукольцами являются все решетки

    отсутствие инверсий (negate) отражается в отсутсвии буковки n в слове 'rig'


    Coq listing
    Coq.setoid_ring.Ring_theory
    
    Record semi_ring_theory : Prop := mk_srt
      {
        SRadd_0_l   : forall n     , 0 + n == n;
        SRadd_comm  : forall n m   , n + m == m + n ;
        SRadd_assoc : forall n m p , n + (m + p) == (n + m) + p;
        SRmul_1_l   : forall n     , 1 * n == n;
        SRmul_0_l   : forall n     , 0 * n == 0;
        SRmul_comm  : forall n m   , n * m == m * n;
        SRmul_assoc : forall n m p , n * (m * p) == (n * m) * p;
        SRdistr_l   : forall n m p , (n + m) * p == n * p + m * p
      }.
    
    Record semi_morph : Prop := mkRmorph
      {
        Smorph0    : [cO] == 0;
        Smorph1    : [cI] == 1;
        Smorph_add : forall x y , [x +! y] == [x] + [y];
        Smorph_mul : forall x y , [x *! y] == [x] * [y];
        Smorph_eq  : forall x y , x ?=! y = true → [x] == [y]
      }.
    

    end of listing


    простое кольцо

    недокольцо (rng) - это множество элементов со структурой группы по сложению и полугруппы по умножению (кольцо без единицы по умножению и следовательно - без инверсий). тот факт, что negate есть, а единицы (I) по умножению - нет, отражается в отсутствии буковки i в слове 'rng'


    Coq listing
    Coq.setoid_ring.Ring_theory
    
    Record almost_ring_theory : Prop := mk_art
      {
        ARadd_0_l   : forall x     , 0 + x == x;
        ARadd_comm  : forall x y   , x + y == y + x;
        ARadd_assoc : forall x y z , x + (y + z) == (x + y) + z;
        ARmul_1_l   : forall x     , 1 * x == x;
        ARmul_0_l   : forall x     , 0 * x == 0;
        ARmul_comm  : forall x y   , x * y == y * x;
        ARmul_assoc : forall x y z , x * (y * z) == (x * y) * z;
        ARdistr_l   : forall x y z , (x + y) * z == (x * z) + (y * z);
        ARopp_mul_l : forall x y   , -(x * y) == -x * y;
        ARopp_add   : forall x y   , -(x + y) == -x + -y;
        ARsub_def   : forall x y   , x - y == x + -y
      }.
    

    end of listing


    кольцо

    кольцо (ring) - это множеество элементов со структурами: группы по сложению и моноида по умножению. операции сложения и умножения должны быть связаны законами дистрибутивности слева и справа. если операция умножения "∙" коммутативна ( a ∙ b = b ∙ a ), то кольцо называется коммутативным, но в общем случае этого не требуется


    Coq listing
    Coq.setoid_ring.Ring_theory
    
    Record ring_theory : Prop := mk_rt
      {
        Radd_0_l   : forall x     , 0 + x == x;
        Radd_comm  : forall x y   , x + y == y + x;
        Radd_assoc : forall x y z , x + (y + z) == (x + y) + z;
        Rmul_1_l   : forall x     , 1 * x == x;
        Rmul_comm  : forall x y   , x * y == y * x;
        Rmul_assoc : forall x y z , x * (y * z) == (x * y) * z;
        Rdistr_l   : forall x y z , (x + y) * z == (x * z) + (y * z);
        Rsub_def   : forall x y   , x - y == x + -y;
        Ropp_def   : forall x     , x + (- x) == 0
      }.
    
    Record ring_morph : Prop := mkmorph
      {
        morph0    : [cO] == 0;
        morph1    : [cI] == 1;
        morph_add : forall x y , [x +! y] == [x] + [y];
        morph_sub : forall x y , [x -! y] == [x] - [y];
        morph_mul : forall x y , [x *! y] == [x] * [y];
        morph_opp : forall x   , [-!x] == -[x];
        morph_eq  : forall x y , x ?=! y = true → [x] == [y]
      }.
    

    end of listing


    Андрей Бовыкин. питерские лекции

    подкольцо

    подкольцо кольца K — это пара (R , φ), где R — кольцо, а φ:R→K есть мономорфизм (вложение) колец

    подкольцо кольца K рассматривается как подмножество R ⊂ K, замкнутое относительно операций из основного кольца K

    кольцо целых чисел ℤ является подкольцом поля вещественных чисел и подкольцом кольца полиномов ℤ[x]

    тело

    тело (skew-field) — алгебра, для элементов которой определены ассоциативные операции: сложения с инверсиями, умножения c инверсиями (кроме умножения для нуля). коммутативных свойств по умножению не требуется

    примером тела является тело кватернионов:

        ℍ = { (  z    w
                 _    _
                -w    z  )  |  z , w ∈ ℂ }
    
        c базисом ±( 1  0     ±( i  0     ±( 0  1      ±( 0  i
                     0  1 )      0 -i )     -1  0 )       i  0 )
    

    поле

    поле (field) — алгебра, для элементов которой определены ассоциативные и коммутативные операции сложения-умножения c инверсиями (кроме инверсии умножения для нуля - "делить на ноль нельзя")

    другими словами, поле - это структура со свойствами

    любое поле является телом

    пусть F ⊂ K два поля. F называют подполем (subfield) K, и K называют расширением (extension) F. число x∈K называется алгебраическим над F если x является корнем нетривиального полинома с коэффициентами в F. сумма и произведение алгебраических чисел - тоже алгебраическое число

    в поле всегда есть единица по умножению

    в аддитивной группе поля единица порождает циклическую подгруппу

          ⟨1⟩ = { 1,  1 + 1,  1 + 1 + 1,  ... }
        
    если данная группа - конечна и содержит n элементов, то говорят, что характеристика поля равна n. если циклическая группа ⟨1⟩ бесконечна, то говорят, что характеристика поля - нулевая

    если у поля F характеристика равна n > 0, то n — простое число. действительно, если n - непростое, то n=m*k, и значит в поле F сумма m единиц (не равная нулю), умноженная на сумму k единиц (не равную нулю) равна нулю. значит, в поле имеются делители нуля, что невозможно для поля по определению

    в поле с характеристикой p > 0 выполняется правило "детских биномиальных коэффициентов":

        (x + y)^n = x^n + y^n
      

    в поле с характеристикой 0 выполняется правило "биноминальных коэффициентов":

                    n
        (x + y)^n = Σ (n,i) * x^(n-i) * y^i 
                   i=0
      

        поле     ⊂     коммутативное кольцо
    
         ∩                    ∩
    
        тело     ⊂         кольцо
      

    * * *


    listing Haskell
    module Structures where
    
    class Semigroup a where
      (<+>) :: a → a → a
    
    class Semigroup a => Monoid' a where
      zero :: a
    
    class Monoid' a => Group a where
      rev :: a → a
    
    class Group a => Ring a where
      (<^>) :: a → a → a
      one :: a
      rec :: a → a
    
    class Ring k => SkewField k where
    
    class SkewField k => Field k where
    
    -- rational numbers
    
    data Q = Q { nom :: Integer , den :: Integer }
            deriving (Show , Eq)
    
    instance Semigroup Q where
      a <+> b = let n = (nom a * den b) + (nom b * den a) ; d = den a * den b
                in  Q { nom = n , den = d }
    
    instance Monoid' Q where
      zero   = Q { nom = 0 , den = 1 }
    
    instance Group Q where
      rev a  = Q { nom = - (nom a) , den = den a }
    
    instance Ring Q where
      a <^> b = Q { nom = nom a * nom b  , den = den a * den b }
      one     = Q { nom = 1 , den = 1 }
      rec a   = Q { nom = den a , den = nom a }
    
    instance SkewField Q where
    
    instance Field Q where
    
    
    ---------------------------------------------------------------------------          
    
    
    module TestStruct where
    
    import Structures
    import Test.QuickCheck
    
    instance Arbitrary Q where
      arbitrary =
        (arbitrary :: Gen Integer) >>= \n → (arbitrary :: Gen Integer) >>= \d ->
        return $ if d == 0
                 then  Q { nom = n , den = 1 }
                 else  Q { nom = n , den = d }
    
    equal_Q :: Q → Q → Bool
    equal_Q z1 z2 = nom z1 * den z2 == den z1 * nom z2
    
    --------
    
    prop_Semigrp_assoc_Q :: Q → Q → Q → Bool
    prop_Semigrp_assoc_Q x y z = x <+> (y <+> z) == (x <+> y) <+> z
    
    prop_Monoid_unit_Q :: Q → Bool
    prop_Monoid_unit_Q a = zero <+> a == a
    
    prop_Group_rev_Q :: Q → Bool
    prop_Group_rev_Q k = let z = k <+> rev k in  Q { nom = nom z , den = 1 } == zero
    
    prop_Ring_unit_Q :: Q → Bool
    prop_Ring_unit_Q x = one <^> x == x
    
    prop_Ring_rec_Q :: Q → Bool
    prop_Ring_rec_Q Q { nom = 0 , den = _ } = True
    prop_Ring_rec_Q k = let z = k <^> rec k
                        in Q { nom = div (nom z) (den z) , den = 1 } == one
    
    prop_Ring_distrib_left_Q :: Q → Q → Q → Bool
    prop_Ring_distrib_left_Q a b c =
      let z = b <+> c in  if (nom z == 0) || (nom a == 0) || (nom b == 0) || (nom c == 0) then True
                          else let z1 = a <^> z
                                   z2 = (a <^> b) <+> (a <^> c)
                               in equal_Q z1 z2
    
    prop_Ring_distrib_right_Q :: Q → Q → Q → Bool
    prop_Ring_distrib_right_Q a b c =
      let z = a <+> b in  if (nom z == 0) || (nom a == 0) || (nom b == 0) || (nom c == 0) then True
                          else let z1 = z <^> c
                                   z2 = (a <^> c) <+> (b <^> c)
                               in equal_Q z1 z2
    
    prop_SkewField_assoc_Q :: Q → Q → Q → Bool
    prop_SkewField_assoc_Q x y z = x <+> (y <+> z) == (x <+> y) <+> z
    
    prop_Field_commut_Q :: Q → Q → Bool
    prop_Field_commut_Q x y = x <^> y == y <^> x
    
    prop_Field_assoc_Q :: Q → Q → Q → Bool
    prop_Field_assoc_Q x y z = x <^> (y <^> z) == (x <^> y) <^> z
    
    test_suite_for_Q =
         quickCheck prop_Semigrp_assoc_Q
      >> quickCheck prop_Monoid_unit_Q
      >> quickCheck prop_Group_rev_Q
      >> quickCheck prop_Ring_unit_Q
      >> quickCheck prop_Ring_rec_Q
      >> quickCheck prop_Ring_distrib_left_Q
      >> quickCheck prop_Ring_distrib_right_Q
      >> quickCheck prop_SkewField_assoc_Q
      >> quickCheck prop_Field_commut_Q
      >> quickCheck prop_Field_assoc_Q
    

    end of listing


    группы

    группа называется циклической, если у нее система образующих состоит из одного элемента x (и обратного к нему), а все другие элементы группы имеют вид: x ∙ x ∙ ... или x⁻ ∙ x⁻ ∙ ... любая циклическая группа - коммутативна (абелева)

    примерами циклических групп являются группы ℤ и ℤ/nℤ

    примером циклической группы является ℂ относительно умножения. здесь образующим служит число i:

          1 = i⁰
          i = iⁱ
         -1 = i²
         -i = i³
    

    группа называется конечнопрожденной, если ее система образующих - конечна

    порядком элемента g группы называется наименьшее n∈ℕ, такое что gⁿ = e. если такого n не существует, то говорят, что порядок g бесконечен. в конечной группе у всех элементов конечный порядок

    Th: пусть G — конечная группа. тогда найдется число n∈ℕ такое, что gⁿ = e для всех x∈G

    Proof:
    пусть n = ∏ O(g)
    тогда для любого g∈G число n делится на O(g) и поэтому gⁿ = e
    QED

    большое значение в теории конечных групп имеют элементы порядка 2, которые называются инволюциями: g * g = e

    две инволюции матриц - транспонирование и обратимость

    Th Ферма (малая) : g|G| = e

    порядок любого элемента группы равен порядку обратного к нему элемента

    произведение двух элементов конечного порядка может не быть элементом конечного порядка. в GL₂(ℤ)

         a = ( 0 −1          O(a) = 4
               1  0 )
    
         b = ( 0  1          O(b) = 3,
              −1 −1)
    
    поскольку
    
         a² = ( −1  0        a³ = −a     a⁴ = e
                 0 −1)
    
         b² = ( −1 −1        b³ = e
                 1  0 )
    
    в то же время
    
         a * b = ( 1 1
                   0 1 )
    
         (a * b)k = ( 1 k
                       0 1 )
    
         O(a * b) = ∞
    

    сопряженные элементы

    x,y ∈ G называются сопряженными если ∃ g ∈ G :   y = g ∙ x ∙ g⁻     ∧     y = g⁻ ∙ x ∙ g

    сопряжение задает соотношения эквивалентности ибо:

    класс сопряженности J = { x | (g ∙ x ∙ g⁻) , g ∈ G }

    G = ∐ Ji , X = {x₁..xₙ} и
    ∀ y∈G ∃ x∈X : y ~ x
    ∀ x , x'∈X :   x ~ x' <=> x = x'

    |Ji| делит |G| нацело

    для абелевых групп все классы сопряженности - одноэлементны

    пример: ℤ/3ℤ = { 0 , 1 , 2 }
    J₀ = 0 + 0 + 0 = 1 + 0 + 2 = 2 + 0 + 1 = 0
    J₁ = 0 + 1 + 0 = 1 + 1 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1
    J₂ = 0 + 2 + 0 = 1 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 = 2

    пример: для (неабелевой) группы кватернионов Q₈ существуют следующие классы сопряженности:
    J1 = {±1}
    J2 = {±i}
    J3 = {±j}
    J4 = {±k}

    пример: в группе перестановок Sₙ классы сопряженности включают элементы с одним и тем же количеством транспозиций

    пример: количество четных перестановок пяти элементов |A₅| = 60 и, значит, все 5-циклы (всего 24 элемента) разбиваются (как минимум) на два класса сопряженности: они не могут быть в одном классе, так как 24 не делит 60 нацело

    подгруппа

    H ⊆ G, являющееся группой относительно операции группы G, называется подгруппой G и обозначается как H ◃ G

    по определению H ◃ G тогда и только тогда, когда:

    для конечных групп достаточно убедиться что в подгруппе групповая операция попарно дает элемент подгруппы же, и тогда обратный и единичный будут там уже автоматически

    например, для группы движений прямой любая двухэлементная система {Id, S} является подгруппой (S -symmetry_reflection)

    для ℤ любой набор чисел, равных по модулю - является подгруппой. и других подгрупп (кроме тривиальных {0} и ℤ) на множестве целых чисел нет

    для группы движений прямой подгруппой являются переносы

    если H ◃ G, то класс сопряженности H равный

                      {g ∙ H ∙ g⁻ | ∀ g ∈ G} 
    
    является подгруппой. такие подгруппы называются сопряжёнными к H

    H ◃ G называется нормальной, (обозначается H ◂ G) если:

                   ∀ g ∈ G : (g ∙ H ∙ g⁻) ∈ H
    

    иными словами, H ◂ G тогда и только тогда, когда вместе с любым своим элементом H содержит и его класс сопряженности

    для нормальной подгруппы если (x ∙ y) ∈ H, то и (y ∙ x) ∈ H

    1 и G — всегда нормальные (тривиальные) подгруппы G. если других нормальных подгрупп нет, то группа G называется простой

    все подгруппы абелевой группы нормальны.

    циклическая группа порядка p Cp ≅ pℤ⁺ (где p - простое) не имеет подгрупп, кроме тривиальных

    группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа Эвклидовой (содержащей лишь преобразования сдвига и поворота) группы

    подгруппы {±1}, {±i}, {±j, {±k} группы кватернионов Q₈ являются нормальными

    по нормальным подгруппам можно факторизовать и они могут быть ядрами гомоморфизмов

    группа перестановок трех элементов S₃ является неабелевой группой наименьшего порядка

    S₃ = { e , (12), (13), (23), (132), (123) }

    пусть G = { e , (12) }. тогда

    { e , (12) } ∙ (23) = { (23) , (123) }
    (23) ∙ { e , (12) } = { (132) , (23) }

    и значит G не является нормальной подгруппой S₃

    подгруппа A₃ "четности" (сумма всех транспозиций - четное число, считая количество транспозиций в е за ноль) есть {e,(132),(123)}

    A₃ ◂ S₃ т.к. (23) ∙ { e , (132), (123) } ∙ (23) = { e , (312), (132) }

    аффинная группа

              Affₙ(K) = { ( g  u
                            0  1 )  |  g ∈ GLₙ(K) , u ∈ Kⁿ }
    
    не является нормальной в GLₙ₊₁(K)

    смежные классы

    пусть H ◃ G, g ∈ G

    левым смежным классом группы G по подгруппе H, порожденным элементом g, называется множество

        { H ∙ g | g∈G }

    правый смежный класс определяется как

        { g ∙ H | g∈G }
      

    пример:

    S₃
    H = { e , (12) } ◃ S₃
    g = (13)

    правым смежным классом элемента g будет g ∙ H = { (13) , (123) },
    левым смежным классом элемента g будет H ∙ g = { (13) , (132) }

    подгруппа H группы G является нормальной (H ◂ G), если g ∙ H = H ∙ g для всех g ∈ G т.е. если разбиения на левые и правые смежные классы совпадают

    однородное пространство

    H\G = { H ∙ g | g ∈ G } левое однородное пространство (класс конгруэтности)

    G/H = { g ∙ H | g ∈ G } правое однородное пространство (тоже класс конгруэнтности)

    |H\G| = |G/H| это индекс подгруппы H

    G = ∐ H\G = ∐ G/H

    x⁻ ∙ H = (H ∙ x)⁻

    фактор-группа

    чтобы говорить о факторизации нужно чтобы структура была сетоидом

    фактор-группа (quotient group) - это "сравнение по модулю" в мире групп, которое бьет исходную группу на конгруэнции. при этом в качестве "модуля", по которому происходит "сравнение", используется нормальная подгруппа. сами конгруэнции при этом подгруппами не являются, т.к. не содержат единицу

    на множестве классов (тех самых конгруэнциях) заводится структура группы с нейтралью, в качестве которой выступает та самая подгруппа H (используемая как "модуль"), и с исходной операцией (по Минковскому). для всех элементов конгруэнции выполняется:

        (X ∙ H)⁻ = X⁻ ∙ H
    
        1 = H

    фактор-группа группы G по нормальной подгруппе H обозначается G/H

    G/H = { x ∙ H | x∈G } с операцией по Минковскому:

        (x ∙ H) ⨯ (y ∙ H)
       = x ∙ (H ∙ y) ∙ H
       = x ∙ (y ∙ H) ∙ H
       = x ∙ y ∙ (H ∙ H)
       = x ∙ y ∙ H
    
    независимость правой части от представителей определяется нормальностью H

    если G абелева, циклическая или конечнопорождённая, то и ее фактор-группа G/H будет обладать тем же свойством

    H ⨯ G/G ≅ H

    H ⨯ G/H ≅ G

    пример:
    G = ℤ. подгруппы имеют вид H = nℤ (элементы G кратные n). смежные классы имеют вид a + n*ℤ, т.е. состоят из чисел которые дают один остаток при делении на n. складываются эти множества так же как и соответствующие остатки

    пример:
    фактор-группа ℝ/ℤ имеет естественную интерпретацию как группа T = {z∈ℂ | |z| = 1} поворотов плоскости вокруг начала координат. в самом деле - биекция

          ψ : ℝ/ℤ → T
          ψ x = cos 2πx + i * sin 2πx
      
    демонстрирует изоморфизм групп ℝ/ℤ и T
          ψ x = ψ (x + ℤ)
    

    пример факторизации - факторизация группы движений прямой по сдвигам создает группу из двух элементов - сами сдвиги и отражения - с нейтралью "сдвиги" т.к. сдвиг в композиции со сдвигом дает сдвиг, а сдвиг с композицией с отражением дает отражение. отражение в композиции с отражением дает сдвиг - так что все нормально с обратимостью. получается такая таблица Кели:

         T   S
     -----------   
      T  T   S  
      S  S   T
      

    точно также можно факторизовать движения плоскости, повороты и отражения - факторизацией по поворотам со следующей таблицей Кели:

         R   S
     -----------   
      R  R   S  
      S  S   R
      
    нейтралью очевидно будет "повороты", а обратным элементом для отражений будут отражения

    пример фактор-группы в группе кватернионов:
    фактор-группой является подгруппа {1,-1}, а классами являются {1,-1} ; {i,-i} ; {j,-j} ; {k,-k}. и действительно:

        {i,-i} * {1,-1} = {i,-i} ;  {1,-1} * {i,-i} = {i,-i}
        {j,-j} * {1,-1} = {j,-j} ;  {1,-1} * {j,-j} = {j,-j}
        {k,-k} * {1,-1} = {k,-k} ;  {1,-1} * {k,-k} = {k,-k}        
    
        {i,-i} * {j,-j} = {k,-k} ;  {i,-i} * {k,-k} = {j,-j}
        {k,-k} * {j,-j} = {i,-i} ;  {j,-j} * {k,-k} = {i,-i}
        {i,-i} * {k,-k} = {j,-j} ;  {k,-k} * {i,-i} = {j,-j}     
      
    здесь умножение - это умножение по Минковскому. а группа из этих четырех классов с нейтралью {1,-1} изоморфна группе Клейна (ℤ/2ℤ) ⊕ (ℤ/2ℤ)

    пример фактор-группы для некоммутативной группы есть факторизация группы движений плоскости на группу вращения и группу отражения, где нейтралью служит группа вращения

    пример фактор-группы в группе перестановок четырех элементов: S₄/V₄ = S₃

    примеры групп

    симметрическая группа Sₙ

    различных перестановок множества с n элементами, с операцией "композиции двух перестановок" и нейтральным элементом - тривиальной перестановкой, имеет морфизм в группу {1, -1} ; * ; 1. при этом перестановки с четным числом транспозиций Aₙ отображаются в 1, а с нечетным отображаются в -1

    при представлении любого элемента группы Sₙ матрицей, ее определитель будет равен 1

          (132)                                (123)                           e
                                                                    
     ( 3     ( 0  0  1    ( 1        ( 2    ( 0  1  0    ( 1       ( 1     ( 1  0  0   ( 1
       1       1  0  0      2          3      0  0  1      2         2       0  1  0     2
       2 )     0  1  0 )    3 )        1 )    1  0  0 )    3 )       3 )     0  0  1 )   3 )
    
    
           (12)                                (23)                           (13)
        
     ( 2     ( 0  1  0    ( 1        ( 1    ( 1  0  0    ( 1       ( 3     ( 0  0  1   ( 1
       1       1  0  0      2          3      0  0  1      2         2       0  1  0     2
       3 )     0  0  1 )    3 )        2 )    0  1  0 )    3 )       1 )     1  0  0 )   3 )    
      
    таким образом группа перестановок n элементов может быть представлена подгруппой из SL(n). при этом трейс матрицы равен 3 для тривиальной перестановки, 0 - для циклических и 1 - для транспозиций

    подгруппа A₃ {e,(132),(123)} является нормальной подгруппой группы S₃


    в СКА Максима:
    (%i2)	e: matrix(
              [1,0,0],
    	  [0,1,0],
              [0,0,1]
            );
    e matrix(
    	 [1,	0,	0],
    	 [0,	1,	0],
    	 [0,	0,	1]
    	)
    (%i3)	m123: matrix(
    	 [0,1,0], 
    	 [0,0,1], 
    	 [1,0,0]
    	);
    (m123)	matrix(
    		[0,	1,	0],
    		[0,	0,	1],
    		[1,	0,	0]
    	)
    (%i4)	m132: matrix(
    	 [0,0,1], 
    	 [1,0,0], 
    	 [0,1,0]
    	);
    (m132)	matrix(
    		[0,	0,	1],
    		[1,	0,	0],
    		[0,	1,	0]
    	)
    (%i5)	m132 . m123
    	;
    (%o5)	matrix(
    		[1,	0,	0],
    		[0,	1,	0],
    		[0,	0,	1]
    	)
    (%i6)	m123 . m132;
    (%o6)	matrix(
    		[1,	0,	0],
    		[0,	1,	0],
    		[0,	0,	1]
    	)    
    (%i8)	m12;
    (%o8)	matrix(
    		[0,	1,	0],
    		[1,	0,	0],
    		[0,	0,	1]
    	)
    (%i9)	m13;
    (%o9)	matrix(
    		[0,	0,	1],
    		[0,	1,	0],
    		[1,	0,	0]
    	)
    (%i11)	m12 . m13;
    (%o11)	matrix(
    		[0,	1,	0],
    		[0,	0,	1],
    		[1,	0,	0]
    	)
    (%i13)	m23;
    (%o13)	matrix(
    		[1,	0,	0],
    		[0,	0,	1],
    		[0,	1,	0]
    	)
    (%i14)	m23 . m12;
    (%o14)	matrix(
    		[0,	1,	0],
    		[0,	0,	1],
    		[1,	0,	0]
    	)
    (%i15)	m123 . m12;
    (%o15)	matrix(
    		[1,	0,	0],
    		[0,	0,	1],
    		[0,	1,	0]
    	)
    (%i16)	m132 . m13;
    (%o16)	matrix(
    		[1,	0,	0],
    		[0,	0,	1],
    		[0,	1,	0]
                  )
    (%i17)	m12 . m123 . m12 ;
    (%o17)	matrix(
    		[0,	0,	1],
    		[1,	0,	0],
    		[0,	1,	0]
    	)
    (%i18)	m13 . m132 . m13;
    (%o18)	matrix(
    		[0,	1,	0],
    		[0,	0,	1],
    		[1,	0,	0]
    	)
    (%i19)	m12 . m123 . m12;
    (%o19)	matrix(
    		[0,	0,	1],
    		[1,	0,	0],
    		[0,	1,	0]
    	)
    (%i20)	m13 . m123 . m13;
    (%o20)	matrix(
    		[0,	0,	1],
    		[1,	0,	0],
    		[0,	1,	0]
    	)
    (%i21)	m12 . m132 . m12;
    (%o21)	matrix(
    		[0,	1,	0],
    		[0,	0,	1],
    		[1,	0,	0]
    	)
      

    симметрическая группа Sₙ коммутативна тогда и только тогда, когда n≤2. в частности, группа S₃ уже некоммутативна. действительно, для циклов (12), (13):

                (13) ∘ (12) ̸≠ (12) ∘ (13) 


    в СКА Максима:
     -->	
    (%i1)	e: matrix(
    	 [1,0], 
    	 [0,1]
    	);
    (e)	matrix(
    		[1,	0],
    		[0,	1]
    	)
    (%i2)	m12: matrix(
    	 [0,1], 
    	 [1,0]
    	);
    (m12)	matrix(
    		[0,	1],
    		[1,	0]
    	)
    (%i3)	e . m12;
    (%o3)	matrix(
    		[0,	1],
    		[1,	0]
    	)
    (%i4)	m12 . e ;
    (%o4)	matrix(
    		[0,	1],
    		[1,	0]
    	)    
    (%i6)	m12 . m12;
    (%o6)	matrix(
    		[1,	0],
    		[0,	1]
    	)
       

    Th Кэли

    Th: ЛЮБАЯ конечная группа изморфна какой-нибуть подгруппе симметрической группы Sₙ

    теорема Галуа

    Th: при n ≥ 5 : если H ◂ Sₙ , то H = e или H = Aₙ или H = Sₙ

    группа вращений правильного n-угольника

    пусть Γ – правильный n-угольник на эвклидовой плоскости. тогда поворот Γ на любой угол кратный 2π/n вокруг центра Γ совмещает Γ с собой. все такие повороты образуют конечную группу Cₙ порядка n, называемую циклической группой порядка n. каждый ее элемент является степенью поворота на угол 2π/n. ВСЕ такие группы изоморфны соответствующей подгруппе четных перестановок Aₙ симметрической группы Sₙ

    группа диэдра Dₙ

    группа симметрий правильного n-угольника
    пусть Γ – правильный n-угольник на эвклидовой плоскости. рассмотрим все движения эвклидовой плоскости, переводящие Γ в себя. кроме вращений сюда относятся также отражения относительно прямых, проходящих через две противоположные вершины Γ или середины противоположных сторон (если n четно), либо через какую-то вершину и середину противоположной стороны (если n нечетно)
    композиция двух отражений является вращением. получающаяся группа имеет порядок 2n

    общая линейная группа GL₂(K)

    обратимых 2×2-матриц над полем K с ± единичным определителем

            GLₙ(K) = { ( α β
                         γ δ )∈M(n,K) | α * δ - β * γ = ±1 }
    

    специальная линейная группа SL₂(K)

    2×2-матриц c положительным единичным определителем над полем K

            SL₂(K) = { ( α β
                         γ δ )∈M(2,K) | α * δ - β * γ = +1 }
    

    группа Клейна V₄

    возможно представление в виде множества, элементами которого являются функции

    а в качестве групповой операции рассматривается композиция с таблицей Кэли:
                 e  a  b  c
              e  e  a  b  c
              a  a  e  c  b
              b  b  c  e  a
              c  c  b  a  e
    
    другое представление группы V₄ есть множество двоичных чисел {00, 01, 10, 11} , а в качестве операции используется сложение по модулю с таблицей Кэли:
                00 01 10 11
             00 00 01 10 11
             01 01 00 11 10
             10 10 11 00 01
             11 11 10 01 00
    
    изоморфизм налицо

    еще V₄ изоморфна нормальной подгруппе группы перестановок S₄:

      { e, {(1,2),(3,4)}, {(1,3),(2,4)}, {(2,3),(1,4)} }
    

    и V₄ изоморфна нормальной подгруппе группы кватернионов:

        Q₈/{1,-1} = { {1,-1}, {i,-i}, {j,-j}, {k,-k} }
      

    некоммутативная группа кватернионов Q₈

    состоит из восьми матриц из M₄(ℝ): ±e, ±i, ±j, ±k, с операцией умножения

    таблица Кэли:
    
                 1   i   j   k
             1   1   i   j   k
             i   i  -1   k  -j
             j   j  -k  -1   i
             k   k   j  -i  -1
    матричное представление элементов группы:
    e = ( 1  0  0  0      i = ( 0 −1  0  0      j = ( 0  0 −1  0     k = ( 0  0  0 −1
          0  1  0  0            1  0  0  0            0  0  0  1           0  0 −1  0
          0  0  1  0            0  0  0 −1            1  0  0  0           0  1  0  0
          0  0  0  1 )          0  0  1  0 )          0 −1  0  0 )         1  0  0  0 )
    

    в ней все подгруппы нормальны: {±1} , {±1 , ±i} ,{±1 , ±j} , {±1 , ±k}

    Гамильтонова группа

    некоммутативная группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой. примером гамильтоновой группы является группа кватернионов Q₈

    аффинная группа

    пусть K – поле

    рассмотрим пары (g,u) где g ∈ GL(n,K) - квадратная матрица nxn, u ∈ Kⁿ - столбец высоты n

    определим на множестве GL(n,K) × Kⁿ умножение ∙, полагая

        (g1,u1) ∙ (g2,u2) = (g1 * g2 , g1 * u2 + u1)
      

    получающаяся так группа называется аффинной группой степени n над K и обозначается Aff(n,K)

    матрица g называется линейной частью, а вектор u – трансляционной


    группа 4ℤ⁺ и группа {1, i, i², i³ }*, где i это мнимая единица - изоморфны

        0 1 2 3             1   i   i²  i³
      0 0 1 2 3          1  1   i   i²  i³
      1 1 2 3 0          i  i   i²  i³  1
      2 2 3 0 1          i² i²  i³  1   i
      3 3 0 1 2          i³ i³  1   i   i²
      

    * * *

    теорема Лагранжа

    Th: в конечной группе порядок любой ее подгруппы делит нацело порядок группы

    Proof:
    для левого смежного класса:
    |H ∙ x| = |x ∙ H| = |H| , x∈G

    класс сопряженности для любого элемента нормальной подгруппы всегда состоит из одного элемента, а значит
    h ↔ H ∙ x - биекция
    аналогично и для правого смежного класса
    QED

    любая конечная циклическая группа Cₙ изоморфна ℤ/nℤ, а любая бесконечная - изоморфна ℤ


    кольца

    любую группу по сложению можно превратить в кольцо - просто задав на ней тривиальное умножение:

       x * y = 0 , для любых x y из группы
    
    так, если взять группу единичных векторов трехмерного Эвклидова пространства, то скалярное умножение именно такой операцией для них и будет. но такое кольцо не будет областью целостности

    область целостности

    целостное кольцо (domain) — коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов которого не равно 0)

    пусть a и b — элементы целостного кольца R. говорят, что «a делит b» или «a — делитель b» (и пишут a|b), тогда и только тогда, когда существует элемент x∈R такой, что a∙x=b. делимость транзитивна: если a делит b и b делит c, то a делит c. если a делит b и c, то a делит также их сумму b+c и разность b-c

    для кольца с единицей делители единицы называются обратимыми элементами. обратимые элементы делят все остальные элементы кольца

    элементы a и b называются ассоциированными, если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда a=b∙x, где x — обратимый элемент

    элемент q≠0 области целостности называется неприводимым, если он не является обратимым и из равенства q = b ∙ c, следует, что либо b, либо c является обратимым

    ненулевой необратимый элемент p, не являющийся единицей называется простым, если из того, что p|(a ∙ b), следует p|a или p|b. любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности

    Булево кольцо (сигма-алгебра) является областью целостности только если состоит из двух элементов - пустого множества и сингелтона

    идеалы

    для кольца R идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно операции умножения

    идеал называется левым (правым), если он замкнут относительно операции слева (справа). в коммутативном случае эти понятия совпадают

    ИДЕАЛ - ЭТО ПОНЯТИЕ, СРОДНИ ПОНЯТИЮ НОРМАЛЬНОЙ ПОДГРУППЫ

    простейшими примерами идеала могут служить:

    поле - кольцо только с тривиальными идеалами

    любой идеал замкнут, поэтому является подкольцом

    если p — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал будет простым

    максимальным идеалом коммутативного кольца называется всякий идеал, не содержащийся ни в каком другом идеале

    если элемент x кольца R необратим, тогда все элементы кольца, кратные ему, образуют собственный идеал. каждый необратимый элемент кольца содержится в некотором максимальном идеале

    если элемент x кольца R обратим, всякий идеал, который его содержит, совпадает со всем кольцом, поэтому обратимые элементы не содержатся ни в каком собственном идеале, соответственно и ни в каком максимальном

    если все необратимые элементы кольца R образуют идеал, он является максимальным, и притом единственным. верно и обратное: если в кольце R максимальный идеал единствен, он включает в себя все необратимые элементы кольца. в этом случае кольцо R называется локальным

    характеристическое свойство максимального идеала: идеал I кольца R максимален, тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R/I является полем (в нём каждый элемент обратим). из характеристического свойства следует, что всякий максимальный идеал является простым

    в кольце целых чисел ℤ максимальными идеалами являются все простые идеалы: если p - простое число, тогда идеал pℤ максимален. чётные числа образуют максимальный идеал, а числа, кратные 4 - образуют идеал, но не максимальный - этот идеал содержится в идеале чётных чисел

    фактор-кольцо

    чтобы говорить о факторизации нужно чтобы структура была сетоидом

    фактор-кольцо (quotient ring) — конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию фактор-группы

    любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять фактор-группу. однако для того, чтобы на этой фактор-группе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, т.е. являлась идеалом

    пусть I — идеал кольца R. определим на R отношение эквивалентности:

         x ≅ y <=> x ∙ y⁻ ∈ I 

    класс эквивалентности элемента x называется классом смежности по модулю идеала

    фактор-кольцо R/I — это множество классов смежности элементов R по модулю I, на котором следующим образом определены операции сложения и умножения:

         (a + I) + (b + I) = (a + b) + I
         (a + I) ∙ (b + I) = (a ∙ b) + I
    

    кольцо вычетов как пример фактор-кольца

    пусть ℤ — кольцо целых чисел, nℤ — идеал, состоящий из чисел, кратных n. тогда ℤ/nℤ — кольцо вычетов по модулю n. это простейший пример фактор-кольца

    кольцо вычетов по модулю простого числа образуют поля

    пример построения поля

    конечное поле ℤ/2ℤ из двух элементов обычно обозначается как F₂

    полином x²+x+1 неприводим над F₂ так как не имеет целых корней

    следовательно, фактор-кольцо F₂[x]/(x²+x+1) является полем

    это поле состоит из четырёх элементов: {0, 1, x, x+1}

    все конечные поля можно построить аналогичным образом

    примеры колец

    Эвклидовы кольца

    это кольцо, в котором возможно деление с остатком. пусть x,y ∈ R, y ≠ 0. тогда

         x = q * y + r , q,r ∈ R
    

    Нетеровы кольца

    кольцо называется Нетеровым, если каждый идеал в нем конечнопорожден

    примеры:

             ℤ         кольцо целых чисел
             K[t]      кольцо полиномов Тейлора 
             K[t, t⁻]  кольцо полиномов Лорана


    ну вот. о чём все эти "морфизмы". все они как-то описывают отношения между двумя разными объектами из одного класса — к примеру между двумя разными кольцами. "разными" это в смысле "в общем случае разными", они могут оказаться и одним и тем же кольцом

    что такое "отношение между объектами"?

    чтобы сравнить два объекта (два кольца) мы строим функцию, которая каждому элементу одного кольца сопоставляет элемент другого кольца. понятно, что таких функций можно построить черт знает сколько, и потому в общем случае полезностью это дело не отличается. ну например, можно всем элементам одного кольца сопоставить один произвольный элемент другого. получим какое-то отображение. наверняка оно будет бесполезным. однако, пусть наши кольца в каком-то (непонятном пока) смысле "похожи" друг на друга. тогда, возможно, нам удастся построить какую-то хорошую (а не произвольно выдуманную) функцию отображения

    наша структура (кольцо) — это добавление операций к изначальному множеству. вся алгебра — она об этом, мы добавили операцию, потом добавили операцию, потом добавили операцию… (другим примером может служить топология — это добавление структуры, которая является некоторым множеством подмножеств изначального множества — там речь не совсем об операциях). раз мы говорим об операциях, "похожими" кольцами могли бы быть такие, у которых операции применённые "одинаково" дают "похожий" результат. вот и получаем. функция, сохраняющая нашу структуру, сохраняющая операции кольца, называется гомоморфизмом. это в данном случае наиболее общий из "морфизмов"

    может так случиться, что гомоморфизм взаимно однозначен aka биективен. тогда, если мы перемножаем или складываем что-то в одном кольце, мы можем повторить то же самое в другом (биекция), при этом результаты в двух кольцах будут соответствовать (гомоморфизм). получается, кольца ведут себя одинаково при любых применениях операций кольца. наша структура одинакова, при том, что множества, на которых она введена, могут быть разные. в подавляющем большинстве случаев природа множества не важна или несущественна, а потому наши кольца можно считать практически одним и тем же. это изоморфизм, и кольца зовутся изоморфными. вот, к примеру, теорема: "существует два кольца простого порядка". вот здесь подсчёт ведётся с точностью до изоморфизма, то есть все изоморфные между собой кольца считаются за одно

    эндоморфизм - это гомоморфизм кольца на себя. это заход немного с другой стороны. ведь кольца необязательно должны быть разные — в данном случае, мы хотим сравнивать наше кольцо не с другим кольцом, а с ним самим — есть ли в нём, к примеру, подмножество с такой же структурой, как и у всего кольца

    автоморфизм - это изоморфизм кольца на себя. это можно назвать "симметрией". мы отображаем объект на себя взаимно однозначно (а значит нет каких-то непокрытых участков в образе или прообразе), с сохранением всей структуры. отличным (и отвратительным одновременно) примером будет тождественное отображение — элементу кольца сопоставляем этот же элемент, симметрия налицо, полезных свойств у отображения мало. зато, если существуют нетривиальные автоморфизмы, кольцо обладает какой-то дополнительной внутренней симметрией


    решетка

    решётка (lattice) — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани

    решётка может быть определена как алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются + и *), удовлетворяющая следующим тождествам:

      a + b = sup (a , b)
    
      a * b = inf (a , b)
    
      
      a + a  = a
      a * a  = a                      идемпотентность
    
      a + b = b + a
      a * b = b * a                   коммутативность
    
      a + (b + c) = (a + b) + c
      a * (b * c) = (a *  b) * c      ассоциативность
    
      a * (a + b) =  a
      a + (a * b) =  a                поглощение

    эквивалентны следующие утверждения:

      a ≤ b
      a * b = a
      a + b = b

    отображение f : L → M одной решетки в другую называется гомоморфизмом, если оно сохраняет операции

       
         f (X * Y) = f (X) * f (Y)
    и   
         f (X + Y) = f (X) + f (Y) 
    для любых X,Y ∈ L

    отображение f : L → M одной решетки в другую называется дуальным гомоморфизмом, если оно переставляет операции, т.е.

         f (X * Y) = f (X) + f (Y)
    и
         f (X + Y) = f (X) * f (Y)
    для любых X,Y ∈ L

    появление понятия «решётка» относится к середине XIX века. чётко его сформулировал Дедекинд в работах 1894 и 1897 годов. термин «lattice» был введён Биркгофом в 1933 году. роль теории решёток объясняется тем, что многие факты, касающиеся множества идеалов и множества нормальных подгрупп, выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории решёток

    фильтры

    фильтр — подмножество решётки, удовлетворяющее определённым условиям

    подмножество F элементов решётки L называется фильтром, если

      для всех a b ∈ F
      a * b ∈ F
    
      для всех a ∈ F и b таких, что a ≤ b
      b ∈ F

    фильтр F решетки L называется собственным, если F ≠ L. собственный фильтр такой, что не существует других собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром

    фильтр F называется простым, если для всех a,b ∈ F выполняется: a + b ∈ F => (a ∈ F) \/ (b ∈ F)

    минимальный фильтр, содержащий данный элемент x, называется главным фильтром, сгенерированным элементом x

    ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным. каждый фильтр содержится в ультрафильтре

    фильтр — это понятие, сродни идеалу. если F фильтр, то L/F является идеалом

    фильтр не может быть топологией, а топология не может быть фильтром, поскольку фильтр не может содержать в себе пустого множества, а любая топология обязана содержать в себе пустое множество


    индекс