Экзаменационные вопросы, декабрь 1870 года.

В 60-е – 80-е годы XIX века, два раза в год - в декабре и июле - в город Лондон съезжались молодые люди – «от 16 до 19 лет», как предписывали правила, чтобы пройти некоторый экзамен. Они могли выбрать 5 (не больше) из 11 предлагаемых экзаменационных тем, именно:

Математика обязательна при любом выборе. Прочие четыре – по желанию.

В 1870 году, зимой, из 177 кандидатов экзамен выдержали 40. 22,6%. Это указывает на трудность экзамена. Ниже приведены вопросы декабря 1870 года, математический блок; перевод из "Sixteenth Report of Her Majesty's Civil Service Commissioners, Appendix 4: <...поскрипано...> ", pp.196-201 (1871).

Математика, день первый. Вторник, 13 декабря 1870 года. С 10:00 до 13:00.

1. Разделите 26 фунтов 9 шиллингов 7 пенсов на 82.

2. Какова разница в ярдах и дробных частях ярда между 10 чейнами 5 линками и 1 фарлонгом 2 родами?

3. На счёте после вычета 2 ½ процентов осталось 16 фунтов 14 шиллингов 9 пенсов. Какая сумма была на счёте перед вычетом процента?

4. Приняв 0,52 галлона в одном литре, найдите в английской валюте с точностью до пенни цену пинты жидкости, что стоит 10 франков за литр. 1200 франков соответствуют 49 фунтам.

5. Выразите 0,101 от 1 фунта 5 унций как долю центнера в десятичной дроби.

6. Некто занял 100 фунтов и выплачивает в конце каждого года по 25-ти фунтов, включая погашение капитального долга и интерес займодавца в размере 4 процента годовых от непогашенной суммы. Какой долг останется непогашенным после расчёта за третий год?

7. Разложите 2а2 – 3а – 35 на два множителя, содержащих первую степень а.

8. Решите следующие уравнения:

(1) 4х4 – 16х2 + 9 = 0 (с точностью два знака после запятой).

(2) Система двух уравнений:
а/x –b/y = a2/c2
(а/x)1/2 –(b/y) 1/2 =b/c

(3) Система двух уравнений:
x2 + xy = 12
y2 - xy = 8

(4) x2(x+3)+x =1

9. Два человека бегут с постоянной скоростью по окружности длиной в 1 440 ярдов, стартуя одновременно в противоположных направлениях. Через 4 минуты они встретились, миновав друг друга; затем тот, кто бежал медленнее, увеличил шаг и пробежал следующие 90 ярдов на минуту быстрее прежнего, а второй не изменил скорости. Следующим местом их встречи стала точка старта. Найдите, с какой скоростью начал бег каждый из них.

10. Покажите, при каких условиях отношение станет больше, а при каких – меньше, если добавить одно и то же число к числителю и знаменателю.
Если a, b, c и d имеют один порядок, докажите, что отношение a+c : b+d лежит между значениями a:b и c:d.

11. Докажите биномиальную теорему для целой положительной степени. Сколько положительных и отрицательных коэффициентов в разложении (1-x)12?

12. Сколькими вариантами могут прозвонить 8 колоколов, если один из них всегда начинает перезвоны?

13. Объясните преимущество числа 10 как основания логарифма.
Докажите, что если все логарифмы в таблице умножить на одно и то же число, они останутся логарифмами тех же чисел, но по другому основанию.
Воспользуйтесь логарифмами и найдите с точностью в три знака после запятой значение: 1,003/(0,008128735)1/2

Математика, день второй. Среда, 14 декабря 1870 года. 10:00 до 13:00.

1. Докажите, что в любом прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на стороне противолежащей прямому углу равна сумме площадей квадратов построенных на сторонах, прилежащих прямому углу.

Покажите, используя одну только Первую книгу Эвклида, что перпендикуляры, проведённые из середины катетов прямоугольного треугольника пересекутся в середине гипотенузы.

2. Для остроугольного треугольника покажите, что квадрат стороны противолежащей любому острому углу меньше чем сумма квадратов сторон, прилежащих этому углу на удвоенную величину площади прямоугольника, составленного из одной из прилежащих сторон и её продолжением (отрезком) до пересечения с перпендикуляром, опущенным из вершины противоположного угла.

Если в треугольнике ABC, A – вершина острого угла, то как перпендикуляр BD, опущенный из B, разделит AC,
если BC2 = AB2 + 3 AD2.

3. Противоположные углы любого четырёхугольника, вписанного в окружность, дают в сумме два прямых угла.

ABCD – четырёхугольник, вписанный в окружность, причём смежные стороны AB и BC равны;
докажите, что диагональ BD – биссектриса угла ADC.

4. Сформулируйте и докажите свойство пропорциональности, известное как «подобие», и приведите образец его использования на примере любой эвклидовой теоремы.

5. Если угол треугольника поделен пополам прямой линией, пересекающей основание, прямоугольник, составленный из сторон треугольника равен по площади прямоугольнику из отрезков основания плюс площадь квадрата, имеющего стороной биссектрису.

Пусть AD биссектриса угла BAC треугольника, пересекающая основание в точке D.
Докажите, что AC + CD:AD : : AD:AB – BD.

6. Когда прямая перпендикулярна плоскости? Постройте прямую, перпендикулярную плоскости из произвольной точки над плоскостью.

Пусть основание пирамиды равносторонний треугольник BCD; из вершины A опущен перпендикуляр, пересекающий основание в средней точке O. Докажите, что AO2 + 1/3BC2 = AC2.

7. В современных курсах тригонометрии, тригонометрические функции обычно определены как отношения, а в античных трактатах - как геометрические линии.
Покажите оба определения на примере синуса и косинуса;
объясните в согласии с вышесказанным уравнения:
(sin A)2 + (cos A)2 = 1,
(sin a)2 + (cos a)2 = r2, где r – радиус окружности.

Логарифм синуса 43010’ найден по таблицам как 9,8351341. Объясните это значение в соответствии с обеими системами.

8. Для любого плоского треугольника, где стороны a, b и c противолежат углам A, B и C докажите:

(1) 1 – cos A = (a-b+c)*(a+b-c)/(2bc)

(2) bc(cos A/2)2 + ac(cos B/2)2 + ab(cos C/2) = (a+b+c)2/4

9. В треугольнике, данном для решения:

(1) A = 300; BC = 3*(3)0,5; AC = 3

Или

(2) A = 300; AC = 3*(3)0,5; BC = 3

Исследуйте, какое решение даёт неоднозначный результат и покажите, что в неоднозначном решении один треугольник равнобедренный, а второй – прямоугольный.

10. Наблюдатель, стоя на горизонтальной плоскости, наблюдает за воздушным шаром с расстояния в полмили. Шар поднимается вертикально, равномерно и, в какой-то момент времени, виден наблюдателю под углом возвышения в 430 10’. Сразу после этого шар продолжает равномерный подъём в той же вертикальной плоскости, но под углом в 150 к вертикальному направлению и в противоположную от наблюдателя сторону. Наблюдатель, через 10 минут после первого наблюдения, находит угол возвышения шара как 640 25’. Найдите скорость движения шара в милях в час.

11. Пирамида имеет основанием правильный шестиугольник с длиной стороны 20 футов. Высота пирамиды, проходящая через центр основания, равна 15 футам. Найдите объём пирамиды и угол наклона к основанию одной из её граней.

На какой высоте должна пройти секущая плоскость, параллельная основанию, чтобы объём отсечённой пирамиды относился к объёму усечённой пирамиды как один к семи?

Математика, день третий. Пятница, 16 декабря 1870 года. 10:00 до 13:00.

1. Если y = ax + b и y = a1x + b1 – уравнения двух прямых в одной прямоугольной системе координат, найдите угол, под которым прямые пересекаются и условия, при которых прямые (1) параллельны и (2) перпендикулярны.

9x2 + 9y2 -12y -32 =0 – уравнение окружности. Напишите уравнение для её диаметра, если он наклонён к оси x на 450.

2. Постройте коническое сечение, описываемое уравнением 2x2 + 3xy +2y2 -8 = 0 и найдите его площадь.

3. Дайте общую для параболы формулу расстояния (абсциссы) от точки на параболе до фокуса и расстояние от фокуса от вершины параболы.

4. Если S – фокус параболы, а PM – полуордината, опущенная на ось, докажите, что окружность, описанная вокруг треугольника SPM будет касательной к прямой, которая, в свою очередь, касательная к вершине параболы.

5. Сформулируйте и докажите фундаментальные свойства, связывающие сферические и полярные треугольники.

Найдите в общем виде формулу косинуса стороны и формулу косинуса угла сферического треугольника.

6. Найдите площадь сферического треугольника, используя понятие сферического эксцесса.

Пусть углы сферического треугольника на поверхности земли равны 420 2’ 35’’, 670 55’ 38’’, 700 1’ 48’’. Найдите площадь треугольника в квадратных милях, прняв диаметр Земли как 8 000 миль.

7. Какой предел выражается посредством производной функции одного переменного? Показать на примере производной sin x.

8. Дано u = log ((1+x)/(1-x))1/4. Найти du/dx.

Докажите, что если y3 -3x2y + x3 = 0, dy/dx = y/x.

9. Если u = f(x) имеет максимум, докажите для общего случая, что du/dx =0, а d2u/dx2 ограничена, и принимает отрицательное значение.

Докажите, что из всех треугольников с одинаковым основанием и периметром, равнобедренный имеет наибольшую площадь.

10. Если (r) радиус-вектор плоской кривой, (p) – перпендикуляр, опущенный из полюса на касательную к этой кривой, докажите, что радиус кривизны в точке, где (r) пересекает кривую равен rdr/dp.

В эллипсе, описываемом уравнением в полярных координатах, где полюс – фокус, именно p2 = b2r/(2a-r) где a и b полуоси, большая и малая, найдите, пользуясь вышеприведенным выражением, радиус кривизны на оконечности малой полуоси.

11. Возьмите интеграл от:

(1) du/dx = x2/(x2-4)

(2) du/dx = (sin x)2

12. Разберите дифференциальное уравнение, описывающее вращение объёма жидкости.

Найдите объём усечённого параболоида в терминах радиуса наибольшего кругового сечения и части вертикальной координаты, заключенной между сечениями.

Математика, день четвёртый. Суббота, 17 декабря 1870 года. 10:00 до 13:00.

1. Две силы, P и Q, приложены к одной точке с углом в 300 между ними. Если обратить силу Q в противоположное прежнему направление, как изменится направление равнодействующей?

2. Если на тело действуют две параллельные силу в одном направлении, докажите, что их всегда можно уравновесить одной силой, равной их сумме.

Если на тело действуют несколько сил, в разных направлениях, всегда ли их можно уравновесить одной силой? Укажите условия, когда указанные силы сами придут в равновесие.

3. Докажите, что две пары сил, действующие на тело в одной плоскости, но в противоположных направлениях уравновесят одна другую только при равенстве их моментов вращения.

Дверь тянут за ручку с некоторой силой, перпендикулярной плоскости двери, но она не открывается из-за болта в верхнем углу. Найдите усилия на петлях, верхней и нижней.

4. Маленькое тело заданного веса находится на плоскости, наклонённой к горизонту под заданным углом. Плоскость недостаточно шероховатая, так что тело скользит вниз. Дан коэффициент трения тела о плоскость. Найдите, какую минимальную силу, направленную по горизонтали, надо приложить к телу, чтобы удержать его в покое.

5. Используя формулу равноускоренного движения, докажите, что если тело скользит вниз по гладкой, наклонённой плоскости, скорость его меняется так же, как если бы оно прошло то же снижение в свободном падении, но время спуска увеличится.

Во французской книге написано, что тело, брошенное вверх в вакууме со скоростью 8,17 метров в секунду, поднимается до высоты в 3,4052 метра. Найдите по этим данным ускорение свободного падения в метрической системе с точностью 1 знак после запятой.

6. Упругий мяч движется с заданной скоростью в некотором направлении и ударяется о закреплённую доску. Найдите скорость отскока.

7. Тело брошено вверх под произвольным углом, на него действует одна лишь сила гравитации. Если даны две точки его траектории, находящиеся на одной высоте над горизонтальной плоскостью, проходящей через точку броска, докажите, что в этих точках тело будет двигаться с равными скоростями.

8. Что такое гидростатический парадокс, какой факт относящийся к давлению жидкостей он иллюстрирует?

9. Для покоящейся жидкости, покажите, что разница давлений в двух точках есть функция разницы глубин этих точек.

10. Прямая труба в 12 дюймов длины с закрытым нижним отверстием и открытым верхним погружена в воду в вертикальном положении так, что нижний её торец в 10 футах под поверхностью воды. До какого объёма сожмётся атмосферный воздух в трубе? Примите, что атмосферное давление соответствует 32 футам водяного столба.

11. Опишите, какими измерительными средствами можно найти плотность куска железа?

13. Объясните, как сифон выкачивает жидкость из сосуда и какие ограничения существуют в таком процессе?

* * *

Это были приёмные экзамены в Королевскую военную академию, Вулидж

Вулиджская академия готовила офицеров-артиллеристов и сапёров. Приёмные экзамены предполагались и в Сандхерст, и в другие военно-учебные заведения, однако испытания Вулиджской академии были самыми зубодробительными – естественно, учитывая специфику работы – в части математики. Набравший меньше 800 баллов по этой дисциплине к дальнейшим экзаменам не допускался. Пехота и кавалерия - Сандхерст; там, конечно, математика пожиже - но есть!

Это сдавали юноши, повторюсь, 16 – 19 лет; по 3 часа на один блок задания. Возможно, кто-нибудь захочет примерить эти вопросы на своих детей, внуков, учеников, да и на себя – как знать? Сумеют ли они – или Вы в 16-19 лет - сделать первый шаг к службе, чтобы стать «... инженерами / Инженерных ее величества Войск / С содержаньем и в чине Сапёра»? (Р.Киплинг).


комментарии

Скажите пожалуйста, в каком источнике вы нашли этот экзамен? Очень интересный набор вопросов; мне хочется показать его своим английским коллегам.

Так вот же: «Parlamentary Paper. Reports from Commissioners, Session 9 February – 21 August 1871, vol XVII». Английские коллеги его немедленно найдут.

Навскидку: похоже, в первой задаче четвертого блока не хватает данных.

Да, не хватает модулей сил. Возможно, предполагается равенство IPI и IQI.

В первом дне, в 12-м вопросе есть предпосылка, что каждый колокол звонит ровно один раз?

Оригинал: "...can be rung with 8 bells..." - думаю, 1 раз каждый колокол за 1 перезвон.

А как-то обосновывалось получение 1500 баллов за латынь и древнегреческий, сравнительно с 1000 по прочим наукам? Или чисто социальная причина - "гандикап" для выпускников Итона и т.п.?

И это (каста), и ещё одно: в курсе самой академии стоят латынь и греческий наряду с французским и немецким - но есть разница. Древние языки идут только "по выбору", французский и немецкий - в обязательном курсе плюс их углублённое изучение, по выбору кадета. Т.е. древние языки не только "приёмный барьер", но и часть академического курса. Я думаю, здесь сработала известная и старая образовательная теория - изучение латыни и греческого полезно для развития мышления, как такового.

Ну это вступительный экзамен. А вот интересно - был ли специальный экзамен на офицерский чин, как в РИ, где лица, с высшим образованием, могли, после службы вольноопределяющимися, сдать экзамен на чин?

Очень серьёзные экзамены! Не менее половины максимального балла по обязательным предметам: математика, механика, фортификация, артиллерия - по каждому и в сумме. Не менее трети по добровольно выбранным курсам академии. Периодические экзамены внешними, не зависящими от академии, экзаменаторами. Если кадет не управится за 3 года (всё обучение два с половиной) - отчисление. Что касается приёмных экзаменов: там хитроумный свод правил со всякими "если" на полутора страницах, но суть такая - от 2000, причём

Ошибка в 3. Дайте общую формулу для абсциссы фокусного расстояния параболы и расстояние фокуса от вершины параболы.
(наверное, абсцисса фокуса имелась в виду...)