часть первая

сигналы, часть вторая

  • базис Фурье
  • преобразование Фурье
  • прямоугольная функция
  • треугольная функция
  • гауссиана
  • дуальности
  • свертка
  • обобщенные функции
  • перемножение обобщенной функции
  • свертка обобщенной функции
  • скалирование функции Дирака

  • ныне и пристно и во веки веков рассматриваем бесконечно дифференцируемые функции одной вещественной переменной сходящиеся на бесконечностях. называем такие функции сигналами

    базис Фурье

    базис в пространстве функций вещественной переменной t
    
             { sin (2π * k * t) , cos (2π * k * t) },  где k ∈ ℕ
    
    

    и любой сигнал представим в виде:

    
                   ∞ 
                   ∑   Ak cos (2π * k)  +  Bk sin (2π * k) 
                  k=1
    
    
    или, комплексифицируя:
    
                   +∞                                     __
                   ∑  Ck * exp (i2π * k)          Ck ∈ ℂ, C-k = Ck, k ∈ ℕ, C₀ ∈ ℝ 
                 k=-∞
    
    

    коэффициенты Фурье

    пусть
    
                    f(t) = ∑ Cn * exp(i2πn * t) 
    
    
    тогда
    
          Cn * exp(i2πn * t) = f(t) - ∑ Ck * exp(i2πk * t)
                                     k≠n
    
    
          Cn  = f(t) * exp(-i2πn * t) - ∑ Ck * exp(i2πk * t) * exp(-i2πn * t)
                                       k≠n
    
    
          Cn  = f(t) * exp(-i2πn * t) - ∑ Ck * exp[i2π(k-n) * t]
                                       k≠n
    
    
          1         1                                        1
          ∫ Cn dt = ∫ f(t) * exp(-i * 2πn * t) dt  -  ∑ Ck * ∫ exp[i * 2π(k-n) * t] dt
          0         0                                k≠n    0
    
    
               1
          Cn = ∫ f(t) * exp(-i * 2πn * t) dt - ∑ Ck  *  0
               0                              k≠n
    
    
               1
          Cn = ∫ f(t) * exp(-i * 2πn * t) dt
               0
    
    
    Cn - это коэффициенты Фурье

    итак

    
                                 n
                    f(t)    ≈    ∑  Ck * exp(i * 2πk * t) 
                               k=-n
    
    
                    где     f(t)  ∈  L₂
    
                                   1
                    и       Ck  =  ∫  f(t) * exp(-i * 2πk * t)  dt
                                  0
    
    

    базис Фурье - ортонормированный

    
     1                                           1
     ∫ exp(i * 2πk * t) * exp(-i * 2πn * t) dt = ∫ exp(i * 2π[k-n] * t) dt = 1, k = n
     0                                           0                         = 0, k ≠ n
    
    
    
             | exp(i * 2πk * t) |₂ = 1
    
    

    комплексные экспоненты - ортонормальный базис в L₂([0, 1])

    координаты в базисе Фурье

    Ck - проекция f(t) на k-ый вектор этого базиса (k-ая координата функции в базисе Фурье):

    преобразование Фурье

    назовем сигналом вещественную функцию одной переменной во временной области определения. любой сигнал имеет спектр, который однозначно его характеризует

    f(t) - сигнал

    Ƒ[s] - спектр

    преобразование Фурье - это линейный оператор на пространстве функций вещественной переменной, отображающий в пространство функций комплексной переменной. иными словами - преобразование Фурье преобразует сигнал в его спектр

    обратное преобразование Фурье - это линейный оператор на пространстве функций комплексной переменной отображающий на пространство функций вещественной переменной. иными словами - обратное преобразование Фурье преобразует спектр в сигнал

                            ∞
                     Ƒ[s] = ∫ exp(-i2πst) * f(t) dt
                           -∞
    
                            ∞
                     f(t) = ∫ exp(i2πst) * Ƒ[s] ds
                           -∞
    

    прямоугольная функция

         Π(t) = 1   -1/2 ≤ t ≤ 1/2
              = 0   иначе 
                               
    
                ∞                        1/2
      Ƒ[Π(s)] = ∫ exp(-i2πst) * Π(t) dt = ∫ exp(-i2πst) dt 
               -∞                       -1/2
    
              = -1/i2πs  *  [exp(-iπs) - exp(iπs)]  =  sin(πs) / πs
              
              =  sinc(s)
    

    треугольная функция

    Λ(t) = 1-|t|   |t| ≤ 1
         = 0       иначе 
    
    
              ∞                         0                          1
    Ƒ[Λ(s)] = ∫ exp(-i2πst) * Λ(t) dt = ∫ exp(-i2πst) * (1+t) dt + ∫ exp(-i2πst) * (1-t) dt
             -∞                        -1                          0
    
    
                                            0                     0
        =    (1 + t) * exp(-i2πst) / (-i2πs)|     -   1/(-i2πs) * ∫ exp(-i2πst) * 1 dt   
                                           -1                    -1 
             +
                                            1                     1
             (1 - t) * exp(-i2πst) / (-i2πs)|     -   1/(-i2πs) * ∫ exp(-i2πst) * (-1) dt     
                                            0                     0 
    
    
        =       1/(-i2πs)                        -    1/(-i2πs)²  *  (1 - exp(+i2πs))
    
             +
        
               -1/(-i2πs)                        +    1/(-i2πs)²  *  (exp(-i2πs) - 1)
    
    
        =   [ exp(-i2πs) - 2 - exp(+i2πs) ]  /  (i2πs)²  
    
        =   [ exp(+iπs) * exp(+iπs)  -  2 - exp(-i2πs) * exp(-i2πs) ] / (i2πs)²
    
        =   [ exp(+iπs)  -  exp(-iπs) ]²  /  [ (i2)² * (πs)² ]
    
        =    sin²(πs)  /  (πs)² 
        
        =    sinc²(πs)
    

    гауссиана

       f(t) = exp(-πt²)
    
       Ƒ[s] = exp(-πs²) 
    

    дуальности

       Ƒ[f⁻]         =        Ƒ⁻[f]
    
       (Ƒ[f])⁻       =        Ƒ⁻[f]        =        Ƒ[f⁻]
    
       Ƒ(Ƒ[f])       =        f⁻
    
    
    
       Ƒ(Π)  =  sinc     
       Ƒ(sinc)   =   Ƒ(Ƒ[Π])   =   Π̅   =   Π⁻
    

    свертка

      Ƒ(f) + Ƒ(g)   =   Ƒ(f + g)
    
      Ƒ(f) * Ƒ(g)   =   Ƒ( ??? )
    
    
    
                     ∞                             ∞
      Ƒ(f) * Ƒ(g)  = ∫ exp(-i2πsx) * g(x) dt   *   ∫ exp(-i2πsy) * f(y) dy =
                    -∞                            -∞
    
                     ∞   ∞
                   = ∫ [ ∫ exp(-i2πs[x+y]) * g(x) dx ] * f(y) dy
                    -∞  -∞
    
      u = x + y, du = dx,  x = u - y 
    
                    ∞   ∞ 
                  = ∫ [ ∫ exp(-i2πsu) * g(u-y) du ] * f(y) dy 
                   -∞  -∞ 
    
                    ∞   ∞
                  = ∫ [ ∫ g(u-y) * f(y) dy ] * exp(-i2πsu) du
                   -∞  -∞
    
             ∞
      h(u) = ∫ g(u-y) * f(y) dy   
            -∞
    
                    ∞
                  = ∫ h(u) * exp(-i2πsu) du 
                   -∞
    
    
                  = Ƒ(h)  
    
    
    
    
    ∞ f(x) ⨀ g(x) = ∫ g(x-y) * f(y) dy = h(x) -∞ Ƒ(f) * Ƒ(g) = Ƒ [ f(x) ⨀ g(x) ] Ƒ[f⁽ⁿ⁾] = (i2πs)ⁿ * Ƒ[f]

    обобщенные функции

    обобщенная функция T - это линейный функционал на пространстве бесконечно дифференцируемых, сходящихся на бесконечностях функций

    
            T f  ∈  ℝ 
    
                    +∞
            T f  =  ∫ T(x) * f(x) dx
                   -∞
    

                     ∞
            δ₀ φ  =  ∫ δ₀ * φ(x) dx  =  φ(0)
                    -∞
    
                     ∞
            δₐ φ  =  ∫ δ₀(a-x) * φ(x) dx  =  φ(a)
                    -∞
    
                    ∞
            1 φ  =  ∫ φ(x) dx  =  φ(x)  
                   -∞
    

    таким образом, любой сигнал есть распределение функции Дирака с заданной плотностью

                        ∞
         exp(i2πkx) φ = ∫ exp(i2πkx) * φ(x) dx = Ck
                       -∞
         это есть k-ая координата φ в базисе Фурье
    
         Ƒ̅T  φ  =  T Ƒ̅φ 
    
    
                                    ∞
         Ƒδ φ  =  δ Ƒφ  = (Ƒφ)(0) = ∫ exp(-i2π0) * φ(x) dx =  1 φ   ⇒  Ƒ δ = 1
                                   -∞
    

    δ - это максимально сжатая функция во временной области и максимально размазанная - в частотной

                             ∞
        Ƒδₐ φ  =  δₐ, Ƒφ  =  ∫ exp(-i2πax) * φ(x) dx  = 
                            -∞
    
                =  exp(-i2πax)  φ  ⇒ Ƒ δₐ = exp(-i2πax)
                                  
    C-a это есть -a-ая координата φ в базисе Фурье 
    
    
                                                ∞
         Ƒ exp(i2πax) φ  =  exp(i2πax), Ƒ φ  =  ∫ exp(i2πax) * Ƒ φ(x) dx
                                               -∞
            ∞
         =  ∫ Ƒ̅ Ƒ φ(a) dx  =  φ(a)  =  δₐ φ  ⇒ Ƒ exp(i2πax) = δₐ 
          -∞
    
    
        cos(2πax) = [exp(i2πax) + exp(-i2πax)] / 2  ⇒ Ƒ cos(2πax) = (δₐ  +  δ₋ₐ) / 2 
    
    
        sin(2πax) = [exp(i2πax) - exp(-i2πax)] / 2i ⇒ Ƒ sin(2πax) = (δₐ  -  δ₋ₐ) / 2i
    
    
               ∞                              ∞       ∞
        T' φ = ∫ T'(x) * φ(x) dx = T(x) * φ(x)|   -   ∫ T(x) * φ'(x) dx  =  - T φ'X
              -∞                             -∞      -∞
    

    функция Хевисайда

    u(x) = 1, x>0
         = 0, x≤0
    
    
                 ∞                      ∞
         u φ  =  ∫ u(x) * φ(x) dx   =   ∫ φ(x) dx   <   ∞ 
                -∞                      0
    
                                ∞                         ∞
         u' φ  =  - u φ'  =   - ∫ u(x) * φ'(x) dx   =   - ∫ φ'(x) dx   = 
                               -∞                         0
                   ∞
          =   -φ(x)|  =  φ(0)   =   δ φ  
                   0
    
         u' = δ
    

    важно!

                           Ƒ[T']     =    i2πs * Ƒ[T]
    
                           (Ƒ[T])'   =    Ƒ [-i2πs * T]
    

    перемножение обобщенной функции на обычную функцию

    перемножать обобщенные функции нельзя!, но можно умножать обобщенную функцию на сходящуюся всюду и бесконечно дифференцируемую

                   ∞                            ∞
     (f * T) φ  =  ∫ f(x) * T(x) * φ(x) dx  =   ∫ T(x) * f(x) * φ(x) dx  =  T (f * φ)
                  -∞                           -∞
    
    
      (f * δ) φ  =  δ  (f * φ)  =   f(0) * φ(0)  =   (f(0) * δ)  φ  
         
    
    
         f * δ   =   f(0) * δ
       
         f * δₐ  =   f(a) * δₐ
    

    свертка обобщенной функции и обычной

           Ƒ[f ⨀ T]   =   Ƒ[f] * Ƒ[T]
    
           f ⨀ δ   =   f 
       
           (f ⨀ δₐ)(x)   =    f(x-a)    
    
           δₐ ⨀ δₑ  =  δₐ₊ₑ
    
           (f ⨀ δₐ) ⨀ δₑ   =   f(x - a) ⨀ δₑ   =   f(x - a - e)   =   f(x - (a + e))
    

    скалирование функции Дирака

                          ∞ 
       δ(a * x) φ(x)  =   ∫ δ(a * x) * φ(x) dx 
                         -∞
    
           u = a * x
    
                      ∞
                  =   ∫ δ(u) * φ(u/a) * 1/a du = 
                     -∞       
    
                           ∞
                  =  1/a * ∫ δ(u) * φ(u/a) du  =  1/a * (δ  φ(u/a))  =  1/a *  φ(0)  
                          -∞
    
                  =  1/a * ( δ φ(x) )
    
    
          δ(a * x)   =   δ / |a|