ℋ        
математический анализ — «анализ бесконечно малых»
дифференциальное и интегральное исчисления

матан

  • сходимость интегралов
  • интегрирование по частям
  • решение интегральных уравнений заменой переменных
  • решение вещественных интегральных уравнений в комплексном поле
  • частные производные
  • частные производные при наложенных ограничениях
  • множители Лагранжа
  • законы Ньютона
  • законы термодинамики
  • оператор Гамильтона
  • градиент
  • дивергенция
  • ротор
  • уравнения Максвелла
  • теорема Стокса
  • теорема Гаусса
  • емкость
  • индуктивность
  • взаимная индуктивность

  • сходимость интегралов

    интегрирование по частям

    поскольку
    
             b                                  b                            |b
             ∫  [f' * g  +  f * g']  dt    =    ∫ (f * g)'  dt    =    f * g |
             a                                  a                            |a
    
    
    то
    
             b                          |b         b 
             ∫ f' * g  dt    =    f * g |     -    ∫ f * g'  dt
             a                          |a         a 
    
    
    или
    
             b                          |b         b 
             ∫ f * g'  dt    =    f * g |     -    ∫ f' * g  dt
             a                          |a         a 
    
    

    или так

           (u * v)'    =  u' * v   +   u * v'
    
           ∫ (u * v)'  =  ∫ u' * v    +   ∫ u * v'
    
           ∫ u  *  v'    =  u * v -  ∫ u' *  v
           ∫ u' *  v     =  u * v -  ∫ u  *  v'
    

    решение интегральных уравнений заменой переменных

    решение вещественных интегральных уравнений в комплексном поле

    частные производные

    дифференциал:
    
       f(x, y, z)
    
       df = ∂f/∂x  dx  +  ∂f/∂y  dy  +  ∂f/∂z  dz
    
    
    ряд Тайлора:
    
       f(x, y)
    
       ∆f = ∂f/∂x * ∆x  +  ∂f/∂y * ∆y  +  1/2 * ∂²f/∂x² * ∆x²  +  1/2 * ∂f²/∂y² * ∆y²  +  ∂²f/∂x∂y
    
    
    и
       det ( ∂²f/∂x∂x  ∂²f/∂x∂y  
             ∂²f/∂y∂x  ∂²f/∂y∂y  ) 
    
          = 0      неопределено
          < 0      точка перегиба
          > 0      ∂²/∂x² > 0 (∂²/∂y² > 0)   максимум
                   ∂²/∂x² < 0 (∂²/∂y² < 0)   минимум 
    
    

    частные производные при наложенных ограничениях

     
                    f(x, y, z)
    
                    g(x, y, z) = const 
    
                    пусть y = const
    
    
                    (∂f/∂z)y = ?
    
    
    итак:
                  
                    df = ∂f/∂x dx  +  ∂f/∂y dy  +  ∂f/∂z dz
    
                    dy = 0
    
                    df = ∂f/∂x dx  +  ∂f/∂z dz
    
    
    теперь:
    
                    dg = ∂g/∂x dx  +  ∂g/∂y dy  +  ∂g/∂z dz
    
                    dg = 0,    dy = 0
    
                    - ∂g/∂x dx  =  ∂g/∂z dz
    
                     dx  =  -  gz/gx dz
    
    
    в итоге:
    
                   df = fx * ( -  gz/gx)  dz  + fz dz 
    
                   df = ( - fx * gz/gx  + fz)  dz 
    
                   (∂f/∂z)y = ( fz - fx * gz/gx )
    
    

    множители Лагранжа

    нахождение локального минимакса функции нескольких переменных f(x, y z) при наложенных ограничениях g(x, y, z) = const

    итак:

    
                     ∇ f  =  λ * ∇ g 
    
                     L = ∇ f  -  λ * ∇ g
    
                     L = 0
    
                     ∂L/∂x  =  0
                     ∂L/∂y  =  0
                     ∂L/∂z  =  0
                     ∂L/∂λ  =  0
    
    

    законы Ньютона

    ньютонова потенциальная система - это система Лагранжа в Эвклидовом пространстве, в которой функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциальной энергий. движения этой системы являются экстртремалями вариационного принципа - принципа наименьшего действия

           F = dp/dt
                        где               
                        F   - внешняя сила, действующая на тело
                        p   - импульс тела = m * v
                        m   - масса тела
                        v   - скорость тела = dr/dt
                        r   - радиус-вектор тела
    
    

    если F = 0, то либо v = 0, либо dv/dt = 0

    импульс взаимодействующих тел консервативен

    например, система масс и упругих пружин в невесомости

    закон Хука в матричной форме: M * x" + K * x = 0 , x(0) , x'(0)

         \\\\\\\
            |
        k1  8
            |
         +--+--+       
         |  m1 |    
         +--+--+
            |
        k2  8
            |
         +--+--+
         |  m2 |       
         +--+--+
            |
        k3  8
            |
         ///////
    
         ( m1  0       ( x1"        ( k1+k2  -k2        ( x1
           0  m2 )  *    x2" )   +     -k2  k2+k3 )  *    x2 )  =  0
    
         x" + M⁻ * K * x = 0 
         x" = - M⁻ * K * x
         x(t) = exp (t * √(- M⁻ * K)) * x(0)
    

    octave> function [] = f (m, k, x0, n)
    >   p = sqrtm (- inv (m) * k) ;
    >   y = zeros (2,n) ; y(:,1) = x0 ;
    >   for t = 2 : n
    >     y(:,t) = expm (p) * y(:,t-1)
    >   end
    >   plot (t = 1 : n , y(1 , t) , t = 1 : n , y(2 , t))
    > end
    octave> m = [1 0 ; 0 9] ;
    octave> k = [3 -2 ; -2 5] ;
    octave> x0 = [1 , 3] ;
    octave> f (m, k, x0, 300) ;
    

    поправка СТО

    
           m = m₀ / √ 1 - (v/c)2
    
                     где
                        v  -  скорость тела
                        с  -  скорость света в вакууме
    

    законы термодинамики

    
           первый:   dE/dt = 0          энергия замкнутой системы постоянна 
    
           второй:   dS/dt > 0          энтропия замкнутой системы растет (в пределе - не изменяется)
    
    
    
                     dS/dE = 1/T       энергия E, температура T
                     dS/dV = P/T       обьем V, давление P
                     dS/dn = μ/T       количество частиц n, химпотенциал μ
                     dS/dQ = ℇ/T       количество заряда Q, напряжение ℇ
    
          ∆S  =  ∂S/∂E ∆E  -  ∂S/∂V ∆V  +  ∂S/∂n ∆n  +  ∂S/∂Q ∆Q
    
          ∆S  =  1/T ∆E  -  P/T ∆V  +  μ/T ∆n  +  ℇ/T ∆Q  =  1/T * (∆E  -  P ∆V  +  μ ∆n  +  ℇ ∆Q)
    
    

    оператор Гамильтона

    
            ∇ = [ ∂/∂x₁, ∂/∂x₂, ∂/∂x₃ ] 
    
    

    градиент

    градиент - это пример ковектора
    
            grad T = ∇ T = [ ∂T/∂x₁, ∂T/∂x₂, ∂T/∂x₃ ]
    
    
    градиент скалярного поля - это ковектор, указывающий направление наибольшего изменения функции. он равен нулю в точках локального минимакса

    дивергенция

    пусть есть векторное пространство ℝⁿ и поле в нем. нарисуем сферу некоторого радиуса с центром в р

    в любой точке на этой сфере есть нормаль, которую можно "сравнить" с величинй самого векторного поля - вычислить их скалярное произведение. это даст вам значение функции в точке на сфере

    теперь возьмем среднее значение функции для всей поверхности сферы - вычисляя поверхностный интеграл и деля на площадь поверхности сферы

    устремим радиус сферы к нулю и вычислим предел. получившееся число называется "дивергенцией" поля в точке р. это функция с областью значений в ℝ, значение которой в каждой точке поля говорит о том, в какой степени эта точка является "истоком" поля или его "стоком"

    никаких символов... никаких формул... чистая геометрия. разве это не прекрасно? эта картина дает концепцию того, что делает лаплассиан, поскольку значение функции есть дивергенция градиента. посмотрите на геометрическую картину и оцените свойства с этой точки зрения

    дивергенция — это пример линейного функционала, отображающего пространство на скаляр

    
            div E   =   ∇ ⋅ E   =   ∂Ex₁/∂x₁ + ∂Ex₂/∂x₂ + ∂Ex₃/∂x₃ 
    
    

    divergence (div) это "плотность потока" — количество потока входящего или покидающего окрестности точки

    ротор

    ротор (rot, curl) - это линейный оператор, отображающий одно векторное пространство в другое векторное пространство (той же размерности)
    
                                         (  11      12     13    
                                                                
            rot E   =   ∇ x E   =   det    ∂/∂x₁  ∂/∂x₂  ∂/∂x₃  
                                                                
                                            Ex₁    Ex₂    Ex₃  ) 
    
    

    ротор векторного пространства является показателем того, в какой степени это пространство турбулентно (завихрено)

    
                    div rot A  ≡  0
    
    

    уравнения Максвелла

    с точностью до констант:
    
            закон Кулона     ∇ ⋅ E    =    ρ
    
            закон Максвелла  ∇ ⋅ B    =    0
    
            закон Фарадея    ∇ x E    =  - ∂B/∂t
    
            закон Ампера     ∇ x B    =    ∂E/∂t  +  ζ
    
                             где
    
                                 E    -  электрическое поле
                                 B    -  магнитное поле
                                 ρ    -  обьемная плотность заряда
                                 ζ    -  плотность потока заряда
    
    

    теорема Стокса

    циркуляция по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора через эту поверхность:

                                      _
               ∫  E  dl  =  ∫ (rot E) n  ds
              (L)          (S)
    

    теорема Гаусса

    поток через замкнутую поверхность равен интегралу дивергенции по обьему, заключенному внутри этой поверхности:

                    _
               ∫  E n  ds  =  ∫  (div E)  dv
              (S)            (V)
    

    емкость

    TODO

    индуктивность

    TODO

    взаимная индуктивность

    TODO