вар.исчисление      
функциональный анализ изучает векторные пространства функций и их отображения. "функциональный анализ" обозначает линейную алгебру в бесконечном числе измерений с добавлением третьей линейной операции - "скалярное умножение векторов" - к операциям "сложения векторов" и "умножения вектора на скаляр"

функан

  • уравнение Эйлера-Лагранжа
  • Лагранжиан
  • Гамильтониан и скобки Пуассона { f₁, f₂ }
  • скобки Дирака <bra|ket> и базис Дирака
  • матрицы Паули
  • матрицы Дирака (γ-матрицы)
  • уравнение Дирака
  • уравнение Шредингера
  • уравнение Клейна-Гордона

  • метрическим пространством называется пара (X , d), где X — некоторое множество, и d (x1,x2) — неотрицательная невырожденная симметричная функция от пар точек из X, удовлетворяющая неравенству треугольника. функция d называется метрикой

    семейство C покрывает A ⊂ X (является покрытием A), если A ⊂ ∪C. дизъюнктное покрытие C множества называется разбиением этого множества

    сигма-алгебра множеств

    алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения

    пусть множество D есть множество подмножеств некого множества X. D называют сигма-алгеброй если:

  • X ∈ D
  • if A ∈ D => X\A ∈ D
  • Aₙ ∈ D ∀ n ∈ I =>; ⋃ₙ Aₙ ∈ D, где I - счетное множество индексов
  • для любого множества можно построить тривиальную сигма-алгебру, которая содержит только ∅ и еще одну тривиальную сигма-алгебру, которая содержит все подмножества множества X

    упорядоченное множество

    на множестве Х задан порядок, если для ∀ x,y,z ∈ X выполняются следующие условия:
    1. x < y , y < z ⇒ x < z
    2. x < x
    3. x < y , y < x ⇒ x = y
    порядок называется линейным если ∀ x,y ∈ X либо x < y либо y < x

    к примеру, порядок на ℂ - нелинеен (частичен)

    лемма Цорна и теорема Цермело

    эквивалент аксиомы выбора

    Lm: упорядоченное множество, в котором любое линейно упорядоченное подмножество ограниченно, содержит максимальный элемент

    Th: во всяком множестве можно ввести такой порядок, что любое его непустое подмножество будет обладать наименьшим в этом множестве элементом

    топология

    семейство подмножеств некоторого множества Ω называется топологией Τ на нем, если семейство обладает следующими свойствами:

    1. ∅ , Ω ∈ Τ
    2. ∩ любого семейства множеств из Т принадлежит Т
    3. ∪ любого конечного семейства множеств из Т принадлежит Т

    множество с заданной на нем топологией называется топологическим пространством. любое метрическое пространство является топологией по определению. обратное - неверно

    топологическое пространтсво называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают несовпадающими окрестностями. любое метризируемое топологическое пространство - хаусдорфово

    непрерывность

    пусть Ω и Δ - топологические пространства. отображение φ : Ω → Δ называется непрерывным в точке x ∈ Ω если для любой ее окрестности U существует такая окресность V ее образа, что φ(U) ⊆ V

    φ называется гомеоморфизмом, если оно обладает непрерывным обратным

    Th(Фишер-Рисс): пусть Р и К - бесконечномерные гильбертовы пространства с ортонормированными базисами. тогда существует единственный унитарный изоморфизм P → K, такой что переводит базис в базис

    Corr: всякое бесконечномерное гильбертово пространство унитарно изоморфно ℓ₂

    функционал

    функционал - это всегда оператор со значениями в поле скаляров. примерами линейного функционала являются:

    линейное пространство всех функционалов для некоторого векторного пространства V само является пространством, дуальным (сопряженным) к V. такое пространство всегда банахово, вне зависимости от того, банахово ли само пространство V

    в случае гильбертова пространства сопряженное к сопряженному совпадает с исходным - всякое гильбертово пространство рефлексивно

    интеграл Лебега

    пусть V - множество всех измеримых функций со значениями в ℝ₊

    интеграл Лебега ∫µ есть функционал V → ℝ₊, обладающий следующими свойствами:

    такой интеграл существует и определен однозначно


    уравнение Эйлера-Лагранжа

        рассмотрим линейный функционал Ф : V → ℝ такой что
    
               b            
        Ф(f) = ∫ L(f,f',t) dt 
               a    
    
        вариация g  ∈ V : на [a,b]  g(a) = 0 , g(b) = 0 , g ≠ 0 на этом интервале
        
        Ш(x) = Ф(f + g*x) 
        
               b                                   b        
        Ш(x) = ∫ L(f + g*x , (f + g*x)' , t) dt  = ∫ L(f + g*x , f' + g'*x , t) dt 
               a                                   a
    
        если f₀ есть экстремум , то dШ/df |f=f₀ = 0 
        
             b
        Ш' = ∫ (∂L/∂f * g + ∂L/∂f' * g') dt = 
             a
    
          b                       b                                        b
        = ∫ (∂L/∂f * g) dt    -   ∫ (d/dt (∂L/∂f') * g) dt   +   ∂L/∂f' * g |   =   0
          a                       a                                        a
    
        g(a) = g(b) = 0 и последний член равен нулю
        на ненулевом интервале ∫ равен нулю только если равно нулю подинтегральное выражение
        g на всем промежутке, кроме границ, нулю не равно и значит
        
        ∂L/∂f  -  d/dt (∂L/f')  =  0              
    
        есть условие эксремума функционала Ф
    QED
    

     

    для линейного функционала Ф = ∫ L(f, f', t) dt   уравнение   ∂L/∂x = d/dt (∂L/∂x') называется уравнением Эйлера-Лагранжа

     

    Лагранжиан

    ньютонова система характеризуется обобщенными координатами q и обобщенными скоростями q'

    ее лагранжиан, зависящий от обобщенных координат, скоростей и от времени есть L(q, q', t)

    интеграл по времени от лагранжиана L при заданной траектории называют действием S

    истинная траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действие S

     

    функция Лагранжа L для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией K и потенциальной энергией U

    
                L = K - U
    
    
    выразим через массу, скорость и высоту:
    
                L   =   m * v2 / 2    -    m * g * h
    
    
    на любом участке траектории Лагранжиан L должен быть минимален. тогда
    t L   =   ∇r L   
    
             d(∂L/∂v)/dt   =  ∂L/∂r
    
             dp/dt   =   ∂L/∂r
    где
                m   - масса тела
                r   - радиус-вектор тела
                v   - скорость тела = dr/dt
                p   - импульс тела = d(mv)/dt
    

    сам Лагранжиан L при этом - не консервативен

     

    Лагранжиан L инвариантен при замене базиса - переписываем формулы для K и U; все остальное остается в силе

     

    Гамильтониан и скобки Пуассона { f₁, f₂ }

    пусть x, y - координаты фазового пространства

    если

    
             dx/dt = - ∂H/∂y
             dy/dt = + ∂H/∂x
    
    
    то
    
             ℋ = H(x, y, t) - гамильтониан (или "энергетическая функция")
    
    

    есть такой оператор в пространстве функций { , }, который называется "скобки Пуассона":

      
      { f(x , y) , g(x , y) }  =  ∂f/∂y * ∂g/∂x - ∂f/∂x * ∂g/∂y
    
    
    тогда
      
            ∀ f = f(x , y , t)        df/dt  =  {f , ℋ}  +  ∂f/∂t
    
    

    скобки Дирака <bra|ket> и базис Дирака

    пространство состояний квантовой механики - это двумерное Гильбертово пространство над полем компексных чисел

    |kets>

    одним из возможных базисов в таком пространстве является пара векторов:
    
                |↑> = ( 1 + i * 0  
                        0 + i * 0 ) ∈ ℂ²
    
                |↓> = ( 0 + i * 0  
                        1 + i * 0 ) ∈ ℂ²
    
    

    > ketup = c(1 + 0i, 0 + 0i)
    > ketdn = c(0 + 0i, 1 + 0i)
    > ketup * ketdn
    [1] 0+0i 0+0i
    > ketdn * ketup
    [1] 0+0i 0+0i
    > sqrt (ketup * ketup)
    [1] 1+0i 0+0i
    > sqrt (ketdn * ketdn)
    [1] 0+0i 1+0i
    

    <bras|

    транспонированные (сопряженные) векторы суть есть:

                     
                <↑|  =  ( 1 - i * 0   0 - i * 0 )  =  |↑>* 
    
                <↓|  =  ( 0 - i * 0   1 - i * 0 )  =  |↓>*
    
    

    норма в Гильбертовом пространстве есть по определению скалярное произведение:

    
                <↑|↑>  =  <↑|T  *  |↑>  =  1 
    
                <↓|↓>  =  <↓|T  *  |↓>  =  1 
       
    

    таким образом, этот базис нормирован и ортогонален:

            |↑>   *   |↓>  =  0
    

    такой базис называют базисом Дирака

    в общем случае, квантовая система может находится в состоянии ψ ∈ ℂ² :

                 |ψ>  =  ( α     
                           β )  , α ∈ ℂ, β ∈ ℂ
    
                                          _         _ 
               <ψ|ψ>  =  <ψ|T  *  |ψ>  =  α * α  +  β * β  =  α2  +  β2 
    

    при решении задач квантовой механики все состояния должны быть нормализованы: <ψ|ψ> = 1

    при нормализации ψ,   α2 - вероятность того, что в данном состоянии ордината есть ↑, а β2 - вероятность того, что в данном состоянии ордината есть ↓

     

    матрицы Паули

    матрицы Паули определяют в Гильбертовом двумерном пространстве над полем комплексных чисел серию операций (вращений), позволяющих получить состояние физической системы в пространстве ℝ³ путем выполнения операций над (ненулевым) вектором такого пространства

    именно поэтому алгебра, сгенерированная на матрицах Паули, называется "алгеброй физического пространства"

    матрицы Паули, совместно с единичной матрицей I, образуют базис для GL(2,ℂ) - группы всех матриц размерностью 2х2 с определителем ±1 над полем комплексных чисел. единичную матрицу 2x2 иногда обозначают как σ₀

    матрицы Паули - это γ-матрицы для ℝ³ (частный случай матриц Дирака)

    вектор Паули:

    представим в виде:

    а также:

    и, наконец:

    та-дамм!

    под занавес:

     

    матрицы Дирака (γ-матрицы)

    матрицы Дирака - набор, удовлетворяющий (некоторым) антикоммутационным соотношениям

    матрицы Дирака могут быть записаны с использованием матриц Паули σx, σy, σz:

    еще одна матрица, которая получается произведением четырех γ-матриц и домножением на i:

    "красота спасет мир" (©)

    и мы плавно переходим в мир кватернионов

    
                          1              1
    
                          i              j
                                 ψ
                          j              j
    
                          k              k
    
    
    
               1 * (t, x, y, z) * 1  =  ( t,  x,   y,   z)
    
               1 * (t, x, y, z) * i  =  (-x,  t,   z,  -y)
    
               1 * (t, x, y, z) * j  =  ( ..., ..., ..., )
    
               1 * (t, x, y, z) * k  =  ( ..., ..., ..., )
    
               i * (t, x, y, z) * 1  =  ( ..., ..., ..., )
    
               i * (t, x, y, z) * i  =  ( ..., ..., ..., )
    
               i * (t, x, y, z) * j  =  ( ..., ..., ..., )
    
               i * (t, x, y, z) * k  =  ( ..., ..., ..., )
    
               j * (t, x, y, z) * 1  =  ( ..., ..., ..., )
    
               j * (t, x, y, z) * i  =  ( ..., ..., ..., )
    
               j * (t, x, y, z) * j  =  ( -t,  x,  -y,  z)
    
               j * (t, x, y, z) * k  =  ( ..., ..., ..., )
    
               k * (t, x, y, z) * 1  =  ( ..., ..., ..., )
    
               k * (t, x, y, z) * i  =  ( ..., ..., ..., )
    
               k * (t, x, y, z) * j  =  ( -x, -t, -z,  -y)
    
               k * (t, x, y, z) * k  =  ( ..., ..., ..., )
    
    

    в общем, мысль становится понятна - переводим формулы физики на язык трех кватернионов:

                    _                     _
               (t , r)               (E , p)              (∂/∂t , ∇)
    
                       
               где
                   _                 
                   r - радиус-вектор
                   _
                   p - импульс
    
                   E - энегрия
    
                   t - время
    
                   ∇ - оператор Гамильтона: (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) 
    
    

    и мир становится проще

    уравнение Дирака

                    1 * (∂/∂t , ∇) * ψ * 1 = ψ
    
                    i * (∂/∂t , ∇) * ψ * i = ψ
    
                    где ψ - волновая функция, 1 и i - кватернионы
    

    уравнение Шредингера

    с точностью до констант:
    
                 dψ/dt   =   ∇2 * ψ   +   U * ψ
    
    

    для решения применять будем метод разделения переменных

    пусть

                   _            _
                 ψ(r , t)  =  φ(r) * f(t)
    
    тогда
                 φ * df/dt    =     f * ∇2 φ    +    U * φ * f 
    

    разделим на f и на φ (поскольку при f = 0 и при φ = 0 решения тривиальны мы такие случаи не рассматриваем и можем делить не опасаясь нуля):

    
                 1/f * df/dt    =   1/φ * ∇2 φ    +    U
    
    
    левая часть зависит только от t и всегда может быть решена в экспонентах. правая часть зависит только от φ

    теперь надо приравнять левую и правую часть к константе, получаемой из граничных условий и решить систему

    нормализация решения:

    
                         ∫ |φk|2  dr  =   1
    
    

    если нормализовать не удается, то решения нет. можно провести ортогонализацию найденых решений:

                                _
                         ∫ φn * φm   dr  =  0     m ≠ n
    
    
    и тогда
    
                         | ψn |2   =    p(ψn)
    
    
    получаем вероятность нахождения системы в каком-либо конкретном состоянии

    теперь то же самое, но выраженное через кватернионы

    собираем частные производные ψ в кватернион и:

                     (∂/∂t  +  ∇² , 0) * ψ   =  U * ψ
    
                     ((∂/∂t , ∇) * (1 , ∇)) * ψ   =  (U , 0) * ψ
    

    уравнение Клейна-Гордона

                                    
                           (∂²/∂t²  -   ∇²   +   C) * ψ   =   0