слово "topos" означает "место" (in Greek)

расслоения и пучки


истоки теории топосов лежат главным образом в алгебраической геометрии, в частности в теории пучков. понятие пучка тесно связано с моделями интуиционистской логики, но носит значительно более общий характер. теория пучков дает целый понятийный каркас и имеет свой собственный язык

для понимания того, что такое "пучок", требуется знание топологии

рассмотрим сначала теоретико-множественную структуру, называемую расслоением, лежащую в основе понятия пучка

предположим, что A - совокупность попарно непересекающихся множеств, т.е. элементами A являются множества, не имеющие общих элементов

нам нужна удобная система обозначения этих множеств. поэтому предположим, что имеется множество меток, или индексов, для этих множеств. для каждого индекса i имеется множество Ai, принадлежащее нашей совокупности, и каждый член совокупности A помечен таким образом, так что мы представляем A как совокупность всех этих Аi

наглядно можно представлять себе, что множества A "насажены" на элементы индексного множества:

возникает очевидное отображение р:А→i

если х∈A, то поскольку множества из A не пересекаются, существует ровно одно множество Ai, такое, что x∈Ai

положим p(x)=i. т.о., все элементы из Ai отображаются в i, все элементы из Aj - в j и т.д.

мы можем теперь восстановить Ai как прообраз множества {i} при отображении р. действительно,

        p⁻({i}) = {x : р(х) = i} = Ai

множество Ai называется слоем над i, элементы из Ai называются ростками в i, а вся структура - расслоением множеств над базисным пространством (базой) I. множество A называется пространством расслоения

т.о., расслоение множеств над I представляет собой в сущности функцию, область значений которой есть множество I. но, конечно, эти два понятия не идентичны в концептуальном плане

истолкование функции как расслоения открывает новые перспективы

функция Т:I→2⨯I обладает интересным свойством: ее значение T(i) = <1 , i> в i является ростком в i

функция из базисного множества I в пространство расслоения, выбирающая один росток из каждого слоя, называется сечением данного расслоения

пучок - это расслоение, обладающее некоторой дополнительной топологической структурой

пусть I - топологическое пространство и F - совокупность его открытых множеств. пучком над I называется пара (А,р), где А это топологическое пространство и р:А→I это непрерывное отображение, являющееся локальным гомеоморфизмом. последнее означает, что каждая точка х∈A имеет открытую окрестность U, которая гомеоморфно отображается функцией р на множество p(U)={p(y):у∈U), являющееся открытым в I

объектами категории Тор(I) пучков над I служат пары (А,р), являющиеся пучками, а стрелками k:(A,р)→(В,q) - непрерывные отображения k:A→B, такие, что диаграмма


коммутативна. на самом деле такое отображение k будет открытым (поскольку это локальный гомеоморфизм). в частности, множество Im k = k(A) открыто в В

понятие топологического расслоения представляет только одну сторону теории пучков. другая связана с понятием пучка как функтора, определенного на категории открытых множеств топологического пространства

вот основные моменты развития этой теории:


a Topos is category with certain extra properties that make it a lot like the category of Sets

there are many different topoi and there are also many differences between them

the Axiom of Choice need not hold in a Topos, and the law of the excluded middle ("either P or not(P)") need not hold. the reason is that 'truth' is not a yes-or-no affair: instead, we keep track of 'how' true statements are, or more precisely where they are 'true'

some but not all Topoi contain a 'natural numbers object', which plays the role of the ℕ

a Topos is a category with:

A) says that there are:

B) says that for any objects X and Y, there is an object YX, called an exponential, which acts like "the set of functions from X to Y"

C) says that there is an object called the subobject classifier, Ω, which acts like the two-element set {0,1}. in the category of sets we use {0,1} as our set of "truth values". in particular, functions f:X→{0,1} are secretly the same as subsets of X. similarly, for any object X in a Topos, morphisms f:X→Ω are secretly the same as "subobjects" of X