РАССЛОЕНИЯ И ПУЧКИ


Истоки теории топосов лежат главным образом в алгебраической геометрии, в частности в теории пучков. Для понимания того, что такое пучок, требуется некоторое знание топологии.

Понятие пучка тесно связано с моделями интуиционистской логики, но носит значительно более общий характер. Теория пучков дает целый понятийный каркас и имеет свой собственный язык.

Рассмотрим сначала теоретико-множественную структуру, называемую расслоением, лежащую в основе понятия пучка

Предположим, что A — совокупность попарно непересекающихся множеств, т. е. элементами A являются множества, не имеющие общих элементов. Нам нужна удобная система обозначения этих множеств. Поэтому предположим, что имеется множество меток, или индексов, для этих множеств. Для каждого индекса i имеется множество Ai, принадлежащее нашей совокупности, и каждый член совокупности A помечен таким образом, так что мы представляем A как совокупность всех этих Аi

Наглядно можно представлять себе, что множества Л,- «насажены» на элементы индексного множества:

Возникает очевидное отображение р:А->i. Если х∈A, то поскольку множества из A не пересекаются, существует ровно одно множество Ai, такое, что x∈Ai. Положим p(x)=i. Таким образом, все элементы из Ai отображаются в i, все элементы из Aj — в j и т. д. Мы можем теперь восстановить Ai как прообраз при отображении р множества {i}. Действительно,

p⁻({i}) = {x : р(х) = i} = Ai

Множество Ai называется слоем над i, элементы из Ai называются ростками в i, а вся структура — расслоением множеств над базисным пространством (базой) I. Множество A называется пространством расслоения.

Таким образом, расслоение множеств над I представляет собой в сущности функцию, область значений которой есть множество I. Но, конечно, эти два понятия не идентичны в концептуальном плане. Истолкование функции как расслоения открывает новые заманчивые перспективы.

Функция Т: I → 2 x I обладает интересным свойством: ее значение T (i) = <1,i> в i является ростком в i. Функция из базисного множества I в пространство расслоения, выбирающая один росток из каждого слоя, называется сечением данного расслоения

Пучок — это расслоение, обладающее некоторой дополнительной топологической структурой.

Пусть I — топологическое пространство и F — совокупность его открытых множеств. Пучком над I называется пара (А,р), где А — топологическое пространство и р:А->I — непрерывное отображение, являющееся локальным гомеоморфизмом. Последнее означает, что каждая точка х∈A имеет открытую окрестность U, которая гомеоморфно отображается функцией р на множество p(U)= {p(y):у∈U), являющееся открытым в I.

Объектами категории Тор(I) пучков над I служат пары (А,р), являющиеся пучками, а стрелками k:(A,р)→(В,q) — непрерывные отображения k:A→B, такие, что диаграмма

коммутативна. На самом деле такое отображение k будет открытым (поскольку это локальный гомеоморфизм). В частности, множество Im k = k(A) открыто в В.

Понятие топологического расслоения представляет только одну сторону теории пучков. Другая связана с понятием пучка как функтора, определенного на категории открытых множеств топологического пространства

Вот основные моменты этого развития: