теорема Гёделя сама по себе не нуждается в семантике - ей не нужно ни ℕ, ни понятие "истинности" утверждений. она сугубо синтаксична:
если есть некоторая теория T, достаточно сложная (могущая доказать некоторые свойства натуральных чисел) и рекурсивная (множество аксиом конечно или описывается алгоритмом), то эта теория неполна: неверно, что она может доказать или опровергнуть любое утверждение
речь идёт только о ВОЗМОЖНОСТИ доказать/опровергнуть, т.е. о существовании каких-то формальных последовательностей символов (формальных доказательств из аксиом данной теории)
из того, что теория T неполна, мы можем мгновенно заключить, что она не "описывает" ℕ, т.к. для "описывания" ℕ ей пришлось бы доказывать все истинные в ℕ утверждения и опровергать все ложные; т.к. любое утверждение либо истинно в ℕ, либо ложно, T должна была бы быть полной теорией
далее: PA - Peano Arithmethic, G - теорема Гёделя о неполноте
Гёделево утверждение G для PA верно в ℕ, и мы это можем формально доказать, но не в самой PA (она это не может доказать, потому что внутри неё вообще нельзя определить "истинность в ℕ"), а в куда более мощной ZFC. ZFC мощна, и потому мы можем определить нашу "семантическую вселенную" ℕ в ней в качестве синтаксического объекта-множества ℕ, и свести любое семантическое утверждение об истинности в ℕ к синтаксическому утверждению о доказуемости соответствующего утверждения о множествах
Гёделево утверждение G для ZFC в каком-то неформальном смысле тоже "истинно", но формализовать эту "истинность" нам уже просто негде. разница между PA и ZFC вот в чём
и та и другая - формальные теории - некий набор аксиом, однако для первой ℕ не является частью теории, а является какой-то канонической моделью, которую мы выбрали, и в которой мы проверяем истинность или ложность утверждений PA (или любых других утверждений в том же языке арифметики, когда нам это удобно). для ZFC же ℕ - это объект, описываемый теорией, это множество, как любое другое множество, о котором ZFC что-то может доказать
если мы посмотрим на какую-то модель ZFC (очень гипотетически, т.к. существование такой модели мы не можем доказать вследствие 2-й теоремы Гёделя о неполноте), то ℕ в ней будет *элементом*, а не самой моделью
ℕ для ZFC - это как отдельное натуральное число для PA