баннер


классическая формула вероятности и зары

пусть множество всех возможных случайных событий можно представить как совокупность элементарных событий

пусть при этом элементарные события имеют следующие три свойства:

тогда, вероятность реализации некоторого сложного события А есть отношение элементарных событий, благоприятных для А, к общему числу элементарных событий

пусть подбрасывается игральный кубик (зара), на гранях которого нанесены числа от 1 до 6. тогда множеством элементарных событий является множество целых чисел от 1 до 6: {1,2,3,4,5,6}. при этом такое множество событий удовлетворяет перечисленным трём свойствам

найдём вероятности некоторых сложных событий

Задача. найти вероятность того, что на игральном кубике выпадет нечётное число
Решение. всего на кубике 6 цифр, из них нечётными являются 1, 3 и 5 (вместе 3 числа). итак, искомая вероятность равна 3/6 = 1/2

Задача. найти вероятность того, что на игральной кости выпадет число, являющееся квадратом целого числа
Решение. всего на кубике 6 цифр, из них квадратами являются 1 и 4 (вместе 2 числа). итак, искомая вероятность равна 2/6 = 1/3

пусть теперь одновременно подбрасываются два кубика. покрасим кубики в разные цвета для того, чтобы их можно было отличать друг от друга. тогда множество элементарных событий - это множество упорядоченных пар (i,j), где iи j - это цифры, выпавшие на первом и втором кубиках соответственно (конечно, это целые числа от 1 до 6). здесь принципиальным является то, что пара является упорядоченной, т.е., например, (2,5) и (5,2) - это два разных события. тогда общее количество элементарных событий равно 6*6 = 36. при этом понятно, что все 36 элементарных событий являются взаимоисключающими, равновероятны и образуют полную группу событий

теперь можно забыть о покраске кубиков (как правило, игроки подбрасывают два кубика, которые нельзя отличить друг от друга, но надо помнить, что комбинации с двумя разными цифрами (например, 1-2) соответствует два элементарных события, а комбинации с одинаковыми цифрами (например, 1-1) - только одно

Задача. найти вероятность того, что сумма очков на двух кубиках равна 6
Решение. для этого события благоприятны такие комбинации 1-5, 2-4 и 3-3. при этом, комбинации 1-5 и 2-4 надо считать дважды, а 3-3 - только один раз, следовательно, количество благоприятных событий равно 5. итак, искомая вероятность равна 5/36

Задача. найти вероятность того, что при подбрасывании двух кубиков выпадет такая комбинация, в которой одно из чисел делится на второе
Решение. составим таблицу, в которой благоприятные комбинации будем обозначать «+», а неблагоприятные - «-»

  1 2 3 4 5 6
1 + + + + + +
2 + + - + - +
3 + - + - - +
4 + + - + - -
5 + - - - + -
6 + + + - - +

в таблице есть 22 плюса, следовательно, вероятность равна 22/36 = 11/18


выбрасывание шашек из дома и теория вероятностей

рассмотрим позицию 2а

Рис. 2а

6-ку можно сыграть одним способом - выбросить шашку с 6-го поля (6-Off), 5-ку - двумя способами - 5-Off или 6-1, 2-ку снять нельзя, но можно переиграть различными путями - 6-4, 5-3, 4-2 или 3-1

пусть выпало 5-5. это очень удачный бросок, лучший способ его сыграть - это 5-Off (3 раза), 6-1

пусть выпало 6-6 - это лучший бросок. его можно сыграть только одним способом - 6-Off (4 раза). после этого шестое поле становится свободным

пусть следующий бросок был 6-4. его можно сыграть двумя способами - 5-Off, 4-Off, либо 5-Off, 5-1, предпочтительным является первый способ

рассмотрим позицию 2б

Рис. 2б

пусть выпало 3-3. 2 тройки можно использовать на 6-Off, две другие тройки игрок вынужден переигрывать (лучший способ - 5-2 (2 раза)

пусть выпало 6-3. здесь не надо спешить выбрасывать 6-Off и переигрывать 5-2 или 4-1 . лучше сначала переиграть 6-3, тогда шестое поле становится свободным и 6-ку можно сыграть 5-Off. этот приём называется «заполнение щели». если в одном из следующих бросков выпадет 3-ка, то можно будет выбросить шашку, вместо того, чтобы только переигрывать

считается, что при выбрасывании шашек найти лучшую игру помогает «жадный принцип» - выбрасывать можно больше шашек, и переигрывать только тогда, когда выбрасывать невозможно

например, в позиции 2б бросок 4-2 надо играть 4-Off, 2-Off (хотя, возможно, хочется переиграть 2-ку 5-3, чтобы закрыть щель). дубль 2-2 следует играть 2-Off (4 раза) и т.д. как показало компьютерное моделирование, данный принцип является справедливым в значительном большинстве случаев, но могут быть и исключения. ситуации, в которых правило работает всегда, таковы. оставить на доске одну шашку всегда лучше, чем две, а две - лучше, чем три. разобранный далее пример 6б является контрпримером касательно «жадного принципа», показывающий, что иногда оставить четыре шашки лучше, чем три

позиция 2в является ещё одним контрпримером относительно «жадного принципа»

Рис. 2в

пусть выпало 2-4. оказывается, что игра 4-2, 3-Off при любой позиции противника является не худшей (а иногда лучшей), чем 4-Off, 2-Off

в дальнейшем мы найдем оптимальные ходы для случая, когда на доске остаётся только две шашки. но для этого надо будет разобраться, что такое классическая формула вероятности


выброс шашек на последних ходах

применим метод составления таблиц для анализа предпоследнего хода в нардах

пусть у игрока в доме осталась одна шашка на 2 и одна на 5. какова вероятность того, что он выкинет обе шашки за один ход?

опять рисуем таблицу. благоприятными являются комбинации, в которых меньшее число не менее 2, а большее - не менее 5. кроме того, не забываем, что дубли 2-2 и 3-3 также являются благоприятными, поскольку игрок имеет 4 хода

например, в результате розыгрыша комбинации 2-2 имеем:

2-Off (выбрасывание), 5-3, 3-1, 1-Off

  1 2 3 4 5 6
1 - - - - - -
2 - + - - + +
3 - - + - + +
4 - - - + + +
5 - + + + + +
6 - + + + + +

в таблице 19 плюсов, а значит искомая вероятность равна 19/36

аналогичным образом вычислим вероятности выброса для всех возможных случаев с одной и двумя шашками. приведенные цифры - это шансы закончить игру на данном ходу (из 36)

одна шашка

в первой строке приводится позиция шашки (от 1 до 6), во второй - количество шансов её выбросить (из 36)

Таблица 1

1 2 3 4 5 6
36 36 36 34 31 27

две шашки

для всех возможных вариантов расположения двух шашек вычислена вероятность (количество шансов из 36) выбросить обе шашки за один ход

Таблица 2

  1 2 3 4 5 6
1 36          
2 36 26        
3 34 25 17      
4 29 23 17 11    
5 23 19 14 10 6  
6 15 13 10 8 6 4

покажем, как данные таблицы могут быть полезны для выбора лучшего хода

рассмотрим позицию 3а

Рис. 3а

чёрные выбросили 6-1. к сожалению, этого недостаточно, чтобы выбросить все три шашки (достаточной является только одна комбинация 6-6). чёрные надеются, что белые не выбросят свои шашки, и чёрные смогут выиграть во время своего следующего хода

конечно, чёрные выбрасывают шашку с 6 (6-Off)

как сыграть 1 - передвинуть («переиграть») шашку с 6 на 5, или с 3 на 2? В результате остаются позиции двух шашек 5-3 и 6-2 соответственно

из Таблицы 2 находим, что комбинация шашек 5-3 даёт 14 шансов, а комбинация 6-2 дает лишь 13. итак, 5-3 является лучшей, и лучшим ходом является 6-Off, 6-5

рассмотрим позицию 3б

Рис. 3б

чёрные выбросили 5-2. конечно, надо выбросить 5 (5-Off). как сыграть 2 - с 6 на 4 или с 3 на 1? В результате получим комбинации двух шашек 4-3 и 6-1 соответственно. из таблицы 2 находим, что комбинация 4-3 (17 шансов) является лучшей, чем 6-1 (15 шансов)

рассмотрим позицию 3в

Рис. 3в

на первый взгляд кажется, что 4-2 - это очень плохой бросок - надо переиграть 5-1 и 3-1. в результате у чёрных остаётся 3 шашки на единице, и даже, если чёрные будут иметь возможность следующего хода, то благоприятными бросками будут только дубли (всего 6 комбинаций). но посмотрим внимательнее!

бросок можно разыгрывать в любой последовательности. сначала сыграем двойку 5-3. таким образом, на позициях 4, 5 и 6 не осталось шашек. теперь четвёрку можно использовать на то, чтобы выбросить шашку из тройки 3-Off. в результате останется позиция 3-1

если чёрные будут иметь возможность следующего хода, то выбросят свои две шашки с вероятностью 34/36 (только комбинация 1-2 будет неблагоприятной)

обратим внимание на то, что для того, чтобы правильно разыгрывать предпоследний ход, не обязательно зазубривать Таблицу 2. сделаем из неё только нужные полезные выжимки. игрок выбирает, какую из двух оставшихся шашек надо переиграть, но в любом случае сумма позиций оставшихся шашек остаётся неизменной (в примере 1а) игрок выбирает между позициями 5-3 и 6-2, 5 + 3 = 6 + 2 = 8. сравним разные позиции при фиксированной сумме. так, например, для суммы 7 получим, что позиция 2-5 (19 шансов) является лучшей, чем 3-4 (17 шансов), которая, в свою очередь, является лучшей, чем1-6 (15 шансов). выводы для различных сумм представим в виде таблицы

Таблица 3

(1-3) > (2-2)
(1-4) > (2-3)
(1-5) = (2-4) > (3-3)
(2-5) > (3-4) > (1-6)
(3-5) > (2-6) > (4-4)
(3-6) = (4-5)
(4-6) > (5,5)

даже в конце игры для выбора лучшего хода надо учитывать не только свою позицию, но и позицию противника

продемонстрируем технический приём, который носит название «подготовка дубля»

Рис. 4аРис. 4а Рис. 4бРис. 4б

сравним позиции, представленные на рис. 4а и 4б. пусть чёрные должны сыграть 1-6. чисто внешне они отличаются тем, что в позиции 4а у белых на одну шашку больше. но это меняет стратегию игры чёрных.

в позиции 4а правильным ходом чёрных является 6-Off, 2-1. в результате чёрные будут иметь 4 шашки на полях 4, 3, 2 и 1. скорее всего (если белые не выбросят дубль) у белых будет ещё два хода, и за два хода чёрные имеют хорошие шансы выбросить свои четыре шашки

в позиции 4б дела чёрных значительно хуже. в лучшем для них случае (если белые не выбросят дубль), у них будет только один ход. снять четыре оставшиеся шашки можно только, если выбросить дубль. посмотрим, какие именно дубли будут благоприятными. если, как и в предыдущем примере, сыграть 6-Off, 2-1, то благоприятными будут дубли 6-6, 5-5 и 4-4

но если сыграть 6-Off, 4-3 (что на первый взгляд кажется нелогичным), то благоприятным становится также дубль 3-3 (говорят, что игрок "подготовил 3-3")

третий возможный ход 6-Off, 3-2 не является лучшим в обеих позициях.

приведём вероятности в процентах выигрыша чёрных, рассчитанные программой Gnu backgammon

  позиция 4а позиция 4б
6-Off, 2-1 62,93 7,18
6-Off, 4-3 44,07 9,57
6-Off, 3-2 43,00 7,18

приведём другие примеры подготовки дубля

в ситуации на рис. 5а чёрные после своего хода скорее всего будут иметь ещё два хода. игра 6-Off, 6-5 оставляет три шашки на полях 5, 4, 3, что даёт неплохие шансы выбросить их за следующие два хода (если за первый ход удаётся снять только одну шашку, то мы уже знаем, как переиграть другую. например, бросок 5-2 надо играть 5-Off, 3-1, что является лучшим, чем 5-Off, 4-2)

Рис. 5аРис. 5а Рис. 5бРис. 5б

в позиции 5б, скорее всего, у чёрных будет лишь ещё один ход. поэтому нелогичная на первый взгляд игра 6-Off, 4-3 добавляет дубль 3-3 множеству благоприятных бросков (6-6, 5-5 и 4-4 являются благоприятными в любом случае)

игра 6-Off, 4-2 не является оптимальной в любом случае

результаты компьютерных расчётов приведены в таблице

  позиция 5а позиция 5б
6-Off, 6-5 55.48 7,62
6-Off, 4-3 52.12 10.06
6-Off, 3-2 55.37 7,62

аналогично, в ситуации 6а лучшей игрой является 3-2-1-Off, 3-2, в то время как в 6б лучшей игрой, готовящей дубль 2-2 для следующего хода, является 3-2 (4 раза)

Рис. 6аРис. 6а Рис. 6бРис. 6б


вероятности нардовых событий

в чем специфика нардовых событий и почему последовательность уникальных событий приводит (применительно к нардам) к множеству ошибок?

мы рассмотрим два момента:

специфика нардовых событий, это всего лишь два пункта:

тезис, с которым сталкиваешься и часто слышишь, звучит примерно так: "Последовательности 1234215 и 55554666 равновероятны и между ними нет никакой разницы. все последовательности уникальны и у всех одинаковая вероятность выпадения"

это утверждение верно. но неправильное его (утверждения) понимание ведет к большой путанице и многочисленным заблуждениям

рассматривается вопрос: если пять бросков подряд не выпадала четверка ни на одном заре, какова вероятность увидеть, хоть одну четверку в шестом броске?

первый вариант ответа дают сторонники уникальности всех последовательностей: зары не имеют памяти, и не имеет значения, что выпадало до того - вероятность увидеть четверку на одном из зар равна 11 из 36, 11/36 = 30.56%. такая же вероятность будет, если до этого четверка не выпадала хоть 15 раз подряд!

отметим, что на вопрос: какова вероятность увидеть хоть одну четверку в одном броске, ответ 11/36 совершенно верен. но вопрос был про шесть бросков подряд, из которых в первых пяти четверки не было! а потому на заданный вопрос ответ 30.56% - неверен

второй вариант ответа звучит иначе: вероятность бросить одну четверку в одном броске зар действительно равна 11/36. вероятность НЕ бросить ее равна 36/36 - 11/36 = 25/36. в последовательности из шести бросков вероятность НЕ выбросить ни одной четверки, равна: (25/36)^6 = 11.22%

как видите, разница в 3 раза. а причина такого расхождения в том, что расчет вероятностей очень непростой - он требует хорошего знания математики и корректной постановки вопроса


вероятность выбрасывания зар

ожидание результата броска зар в нардах основано на теории вероятности. безусловно, начинающий игрок может одержать победу над профессионалом, но в череде поединков обязательно верх возьмет тот участник, которому удастся найти в каждой позиции максимально выгодные ходы. наблюдая за матчем профи, создается ощущение, что им еще до броска известно, какие числа окажутся на зарах. а все дело в том, что профи размещают шашки на игровом поле таким образом, чтобы как можно большее количество вариантов выброса зар было для них благоприятным

применение знаний теории вероятности резко увеличивает шансы участника выиграть

к примеру, известно, что чаще всего на игровых костях выпадает цифра "шесть" (либо как самостоятельное число либо как сумма чисел на двух зарах) - в 17 случаях из 36. т.е. на выпадение шестерки приходится около 50% вероятности. поэтому не удивительно, что в ходе поединка в нарды очень часто появляется возможность побить фишку соперника, стоящую на седьмой позиции от вашей. все просто - теория вероятности работает

вероятность выпадения на игровых кубиках постепенно уменьшается для чисел от пяти до единицы (включая сюда и суммы чисел на двух зарах)

к примеру, цифра 1 появляется на зарах в 11 случаях из 36

вероятность выпадения нечетных чисел, больших шести, резко снижается. так, семь появляется на костях в 6 случаях из 36, а девять - в 3 из 36

вот такая математика!

вспомним классическую формулу вероятности события:

                                      Количество благоприятных событий
   Вероятность какого-либо условия = ----------------------------------
                                      Количество всех возможных событий

начнем с одного броска зар. это базовое, фундаментальное событие и знание вероятностей, связанных с одним броском необходимо для правильного восприятия игры

всего бросков зар может быть 6*6=36 вариантов, по 6 вариантов второго зара на каждую цифру первого зара (1-*, 2-*, 3-*, 4-*, 5-*, 6-*)

разделим броски на два типа:

обычный - цифры на зарах не равны, вероятность каждого конкретного такого броска равна 2 из 36, т.е. 2/36 или примерно 5.55%

примеры:
- вероятность броска 4:5 равна 2 из 36, т.к. благоприятных событий два: бросок 4:5 и бросок 5:4, а всего возможных событий 36
- вероятность броска 2:1 равна 2 из 36, т.к. благоприятных событий два: бросок 2:1 и бросок 1:2, а всего возможных событий 36
- вероятность броска 4:6 равна 2 из 36, т.к. благоприятных событий два: бросок 4:6 и бросок 6:4, а всего возможных событий 36

и т.д

парный (или куш) - цифры на зарах равны, вероятность каждого конкретного такого броска равна 1 из 36, т.е. 1/36 или примерно 2.78%

примеры:
- вероятность броска 5:5 равна 1 из 36, т.к. благоприятное событие всего одно: бросок 5:5, а всего возможных событий 36
- вероятность броска 4:4 равна 1 из 36, т.к. благоприятное событие всего одно: бросок 4:4, а всего возможных событий 36
- вероятность броска 1:1 равна 1 из 36, т.к. благоприятное событие всего одно: бросок 1:1, а всего возможных событий 36

и т.д.


вероятность какого-то условия на броске (бросках) зар

здесь может быть много разных и в большинстве своем важных с точки зрения практической игры вероятностей. начнем по порядку

А) вероятность какого-нибудь (любого) куша, независимо какого именно: кушей всего шесть (1:1, 2:2, 3:3, 4:4, 5:5, 6:6), а значит, вероятность каждого отдельнго равна 6/36=16.67%

Б) вероятность обычного броска (не куш), независимо от того, что именно выпадет на зарах. вероятность выбросить куш, как мы выяснили выше - 6 из 36, значит вероятность обычного броска равна 36/36-6/36=30/36=83.33%

В) вероятность, что в броске будет какая-то конкретная (как правило, очень нужная или наоборот очень нежелательная) цифра, независимо от того, какая цифра вторая
рассмотрим на примере вероятности выпадения хотя бы одной четверки. всего бросков 36: 1-*, 2-*, 3-*, 4-*, 5-*, 6-*. в бросках 4-* - шесть благоприятных вариантов (4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6), а в каждом из остальных пяти бросков по одному (1-4, 2-4, 3-4, 5-4, 6-4). итого: 11 вариантов из 36. вероятность того, что в броске будет хотя бы одна четверка = 11/36 = 30.56%. с остальными цифрами все точно так же

Г) вероятность, что в броске НЕ будет какой-то конкретной (одной) цифры
как мы выяснили выше, вероятность, что хоть одна цифра выпадет, равна 11 из 36. значит вероятность, что она НЕ выпадет, равна (36-11=25) 25/36=69.44%

Это наиболее важные и постоянно применяемые в практике для расчетов в игре случаи. из остального многообразия рассмотрим еще несколько отдельных случаев

a) какова вероятность того, что ДВА броска подряд ни разу НЕ выпадет шестерка?
вероятность НЕ выпадения шестерки в каждом броске равна 25/36. значит, в двух бросках НЕ выпадение будет равно 25/36*25/36=625/1296=48.23%

b) какова вероятность того, что в двух бросках подряд выпадет хотя бы одна шестерка?
вероятность НЕ выпадения шестерки в 2 бросках подряд 48.23% (см. выше). отсюда получаем, что вероятность выпадения хотя бы одной шестерки в хотя бы одном из двух подряд бросков равна 100-48.23=51.77%

c) какова вероятность того, что N бросков подряд ни разу НЕ выпадет шестерка?
вероятность НЕ выпадения шестерки в каждом броске равна 25/36. значит, в N бросках НЕ выпадение будет равно (25/36)^N

d) какова вероятность того, что в N бросках подряд выпадет хотя бы одна шестерка?
вероятность НЕ выпадения шестерки хотя бы в одном из N бросков подряд равна (25/36)^N, значит, вероятность выпадения равна 1-(25/36)^N

┌──────────┬──────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────
│Количество│Вероятность того, что в каком-нибудь  │Вероятность того, что N бросков 
│подряд    │из N бросков подряд выпадет хотя бы   │подряд НЕ выпадет ни одна        
│бросков N │одна конкретная цифра                 │конкретная цифра                
├──────────┼──────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────
│ 1        │           30.56%                     │               69.44%    
│ 2        │           51.77%                     │               48.23%    
│ 3        │           66.51%                     │               33.49%    
│ 4        │           76.74%                     │               23.26%    
│ 5        │           83.85%                     │               16.15%    
│ 6        │           88.78%                     │               11.22%    
│ 7        │           92.21%                     │                7.79%    
│ 8        │           94.59%                     │                5.41%    
│ 9        │           96.24%                     │                3.76%    
│10        │           97.39%                     │                2.61%
├──────────┼──────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────  

еще несколько вероятностей, которые бывают нужны

1. какова вероятность, что выпадет 4 или 6 (хотя бы одна из двух цифр)?
вероятность выпадения 4 равна 11 из 36, столько же для 6. всего уже 22 из 36. но считая варианты для 4, мы в т.ч. рассмотрели случаи 4-6 и 6-4, и то же самое сделали в расчете для 6. значит, эти два случая посчитаны дважды. вычитаем 2 из 22 и получаем ответ: 20/36 или 55.56% этот ответ будет правильным для любых двух разных цифр на зарах

2. Какова вероятность, что выпадет 2, 4 или 6 (хотя бы одна из трех цифр)?
вероятность выпадения 4 равна 11 из 36, столько же для 6 и для 2. всего уже 33 из 36. дважды посчитанные варианты: 2-4, 4-2, 2-6, 6-2, 4-6, 6-2. вычитаем 6 из 33 и получаем ответ: 27/36 или 75.00% этот ответ будет правильным для любых трех разных цифр на зарах

3. какова вероятность, что выпадет два раза подряд один и тот же куш (например, 6:6)?
вероятности в данном случае умножаются: (1/36)*(1/36)=(1/1296) или 0.077%
вероятность бросить 3 раза подряд 6:6 равна (1/36)*(1/36)*(1/36)=1/45565 или 0.0021%
вероятность бросить 4 раза подряд 6:6 равна (1/36)*(1/36)*(1/36)*(1/36)=1/1679616 или 0.00006%
этот ответ будет правильным для любого конкретного куша

4. какова вероятность, что выпадет два раза подряд какой-нибудь куш (любой)?
вероятности в данном случае умножаются: (1/6)*(1/6)=1/36 или 2.77%
Вероятность бросить 3 раза подряд какой-нибудь куш равна (1/6)*(1/6)*(1/6)=1/216 или 0.0046%
вероятность бросить 4 раза подряд какой-нибудь куш равна (1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)=1/1296 или 0.00077%

5. какова вероятность, что выпадет какой-нибудь (любой) куш хотя бы один раз из двух подряд бросков?
вероятность, что не выпадет никакой куш, равна 5/6, что в двух подряд бросках не будет ни одного куша (5/6)*(5/6)=25/36, значит, вероятность, что хоть раз выпадет, равна 1-(25/36)=11/36 или 30.56%
вероятность бросить хотя бы один раз какой-нибудь куш в одном из 3 бросков подряд равна 1-(5/6)^3 или 42.13%
вероятность бросить хотя бы один раз какой-нибудь куш в одном из 4 бросков подряд равна 1-(5/6)^4 или 51.77%
вероятность бросить конкретный куш хотя бы раз из N бросков: 1 - (35/36)^N
этот ответ будет правильным для любого конкретного куша

таблица вероятностей базовых нардовых событий

┌────────────────────────────────────────────────────────────────┬───────────────────┐
│Какой-либо конкретный куш                                       │1/36      │ 2.78%  │
│Какой-либо конкретный обычный бросок                            │2/36      │ 5.56%  │
│Какой-нибудь (любой) куш, не важно - какой именно               │6/36      │16.67%  │
│Обычный бросок - НЕ КУШ, какой-нибудь                           │30/36     │83.33%  │
│В броске будет какая-то конкретная цифра                        │11/36     │30.56%  │
│В броске НЕ будет какой-то конкретной (одной) цифры             │25/36     │69.44%  │
│ДВА броска подряд ни разу НЕ выпадет конкретная цифра           │625/1296  │48.23%  │
│В двух бросках подряд выпадет хотя бы одна конкретная цифра     │671/1296  │51.77%  │
│Выпадет 4 или 6 (какая-то из двух заданных цифр)                │20/36     │55.56%  │
│Выпадет 2, 4 или 6 (какая-то из трех заданных цифр)             │27/36     │75.00%  │
│Выпадет два раза подряд один и тот же конкретный куш            │(1/36)^2  │ 0.08%  │
│Выпадет два раза подряд какой-нибудь куш (любой)                │(1/6)^2   │ 2.78%  │
│Выпадет три раза подряд какой-нибудь куш (любой)                │(1/6)^3   │ 0.46%  │
│Выпадет любой куш хотя бы один раз из двух подряд бросков       │1-(5/6)^2 │30.56%  │
│Выпадет любой куш хотя бы один раз из трех подряд бросков       │1-(5/6)^3 │42.13%  │
│Выпадет любой куш хотя бы один раз из четырех подряд бросков    │1-(5/6)^4 │51.77%  │
└────────────────────────────────────────────────────────────────┴──────────┴────────┘

две интересные вероятности

1. в партии, с количеством ходов N, вероятность получить К кушей (например, куша 6:6) имеет вид:

                N! / (N - K)! / K! * 35^(N - K) / 36^N

для средней партии в длинные нарды получим таблицу и график ниже:

2. как часто партия должна заканчиваться с разницей в пипах всего 10 (в пределах 1 броска)? с разницей 20 пипов? смотрите таблицу и график

пятая строка этой таблицы говорит о том, что каждая десятая партия должна заканчиваться с разницей в пипах 50 очков. а первая строка должна вас приучить к тому, что примерно одинаково обоим игрокам (в пределах 10 пипов разница) бывает только в каждой третьей партии. а в 2 из 3 партий разница будет больше

еще одна забавная цифра: если вы сыграете 200 партий, то 3 из них закончастя с разницей в пипах около 100 очков


вероятность выбросить оставшиеся две шашки в самом конце игры

ну и, наконец, еще одна полезная таблица вероятностей

для того, чтобы таблица стала понятнее, несколько картинок с шашками:

1,1 - две шашки на выброс в пункте 24 (последняя позиция доски для белых)

2,5 - одна шашка в пункте 23 (предпоследняя позиция) и одна в пункте 20


в коротких нардах есть еще дополнительная специфика вероятностей событий, связанная с боем шашек и выходом с Бара