модель Хотеллинга

Модель конкуренции на пространственно распределенном рынке является моделью взаимодействия участников, продающих однородный товар на рынке, многочисленные покупатели которого распределены на отрезке (в простейшем случае) или на более сложном множестве. Этот отрезок может отображать как физическое пространство (улица в городе, береговая линия, автомагистраль), так и пространство свойств продукции, предпочитаемых потребителями (линейка горизонтально дифференцированных свойств товара в модели монополистической конкуренции).

Имеются несколько альтернативных моделей пространственно распределенных рынков, в частности: Hotelling, 1929 Downs, 1957 Prescott,Vissher, 1977 Lancaster, 1979

покупатели, каждый из которых характеризуется своим расположением, распределены на отрезке однородно, с заданной плотностью. Покупатели, как и небольшое число продавцов, являются участниками игры и осуществляют выбор единственного продавца, у которого купят товар. Они руководствуются только двумя параметрами – ценой товара и стоимостью его доставки от точки расположения выбранного магазина до точки своего собственного местоположения.

Игра происходит в три шага для покупателей, а для продавцов – в два.

На первом шаге продавцы определяют местоположения своих торговых точек на рынке, на втором - устанавливают цены на свою продукцию, на третьем - покупатели выбирают продавцов

Относительно первого шага игры – определения местоположений – на основании, как оказалось впоследствии, неполного анализа игры цен, Хотеллингом был сделан вывод, что имеет место принцип стремления к максимальной унификации - стремления игроков к сближению своих местоположений. Тем не менее, опираясь на интуицию и здравый смысл, Хотеллинг сделал в своей статье оговорку, что стремление к унификации при достаточно близких местоположениях сталкивается с опасностью ценовых войн (т.е. «сбивания» цены конкурента под угрозой полного вытеснения с рынка - undercutting), но этот эффект был оставлен за рамками исследования на будущую перспективу.

Для подыгры второго шага были найдены игровые равновесия Курно–Хотеллинга–Нэша, т.е. равновесные цены и объемы выпуска продукции в зависимости от расположения игроков на рынке. Хотеллинг нашел локально оптимальное решение, но не исследовал, при каких условиях это локальное ценовое равновесие является глобальным.

Через 50 лет после работы Хотеллинга, в статье (d’Aspremont, Gabszewicz, Thisse, 1979), посвященной модели Хотеллинга, было показано, что в игре определения цен равновесие Нэша существует не всегда, и найдены ограничения, выполнение которых необходимо и достаточно для существования решения Хотеллинга.

При достаточно близком расположении игроков появляется возможность полностью вытеснить конкурента, отклонившись из локального равновесия резким понижением цены. Условие д’Апремона–Габжевича–Тисса определяет ту границу, за которой цена должна определяться с учетом этой возможности.

Дело в том, что целевые функции игроков являются разрывными и двухпиковыми. Равновесие Нэша существует, когда оба игрока выбирают второй пик, при условии того, что он выше первого. Содержательно это означает, что ни одному игроку не выгодно в условиях локального равновесия сбивать цены и полностью вытеснять конкурента с рынка. Если же указанные ограничения в точке локального равновесия Нэша–Хотеллинга не выполняются, то для одного или обоих игроков первый пик целевой функции становится выше второго, и такому игроку соответственно выгодно сбросить цены и занять монопольное положение на рынке. Однако для любого такого монопольного состояния рынка вытесненный игрок (при любых ценах, назначенных конкурентом, если только магазины не расположены в одной и той же точке пространства) всегда может назначить такие достаточно низкие ненулевые цены, при которых его область покупателей будет ненулевой и, следовательно, выигрыш также будет положительным. Таким образом, все монопольные состояния рынка также неустойчивые, и равновесных по Нэшу состояний в игре при таких достаточно близких друг к другу расположениях игроков не существует.

Так как решение подыгры определения цен (подыгры второго шага) существует не везде, то подыгра определения расположения (подыгра первого шага) и соответственно вся игровая задача становятся некорректными. Эта ситуация и является основной теоретической сложностью, возникающей в модели Хотеллинга, препятствующей ее удовлетворительному решению.

Пути разрешения описанной проблемы можно разделить на три класса.

Первый подход заключается в изменении транспортных тарифов таким образом, чтобы равновесие Нэша в ценовой подыгре существовало бы для любых вариантов пространственного расположения игроков. Начало этому подходу положено в (d’Aspremont, Gabszewicz, Thisse, 1979), где предложены квадратичные транспортные тарифы вместо линейных. При этом оказывается, что в подыгре установления цен равновесие существует всегда, а в подыгре местоположений вместо предполагавшегося Хотеллингом принципа максимальной унификации имеет место противоположный ему принцип максимальной дифференциации, стремление игроков занять максимально удаленные друг от друга точки. Дискуссия о соотношении принципов унификации и дифференциации в модели продолжается до сих пор, разные авторы предлагают различные ответы на этот вопрос. Значительная часть исследований по задаче пространственной конкуренции посвящена различным вариантам транспортных тарифов, так как это наиболее удачный способ, однако не снимающий полностью вопроса о том, что же происходит в тех случаях, когда ситуация ценовых войн все-таки имеет место.

Другой подход (впервые предложенный в работе (Dasgupta, Maskin, 1986) и развитый далее в (Osborne, Pitchik, 1987)) связан с решением задачи Хотеллинга в смешанных стратегиях. Было доказано, что для двухшаговой игры существует решение в смешанных стратегиях и даже найдены некоторые свойства этого решения. Тем не менее исследовать задачу до конца и получить решение в явном виде до сих пор не удается.

Третий путь заключается в попытке модифицировать задачу. Хотя некоторые такие модели могут быть исследованы до конца, но при этом простота, прозрачность и очевидность исходной постановки задачи Хотеллинга теряется.

Таким образом, проблема учета ценовых войн в модели Хотеллинга, отмеченная и поставленная еще в первой работе, продолжает оставаться основным неразрешенным препятствием к полному исследованию модели.

Еще один важный параметр задачи, отмеченный, но опущенный при первоначальном рассмотрении Хотеллингом – эластичность рынка покупателей. В качестве ограничения модели в базовой постановке предполагается, что каждый покупатель обязан купить единицу товара, даже если при этом его полезность от покупки становится отрицательной. Проще всего учесть эластичность рынка можно с помощью условия неотрицательности полезности покупателя, т.е. если при покупке товара покупатель получает отрицательную полезность, то он отказывается от покупки.

Расширение модели, связанное с модификацией транспортных тарифов, уже упомянуто выше.

Другие важные расширения модели: - число игроков (больше 2); - пространственные множества, на которых происходит игра; - разные распределения покупателей; - использование вместо равновесия Нэша других игровых принципов оптимальности, например равновесия в смешанных стратегиях или равновесия Штакельберга, т.е. введение неодновременности принятия решений игроками; - и т.д.

Главным препятствием к полному исследованию модели было отсутствие равновесий Нэша для многих случаев расположения торговых точек игроков в пространстве. Это отсутствие решения в игре второго шага делало невозможным исследование первого шага, а следовательно - и всей игры. После обнаружения этой фундаментальной проблемы в (d’Aspremont, Gabszewicz, Thisse, 1979) все предложенные пути сводились к попыткам так или иначе ее обойти.

В работе (d’Aspremont, Gabszewicz, Thisse, 1979) авторы предложили использовать квадратичные функции транспортных затрат (вместо линейных), при которых ценовое равновесие существует всегда.

В (Economides, 1986) исследовалась двухшаговая задача с показательной функцией транспортных затрат x^α, 1≤α≤2 и получены условия существования ценовых равновесий.

В (Dasgupta, Maskin, 1986; Osborne, Pitchik, 1987) задача решалась в смешанных стратегиях, когда ценовая стратегия определяется как распределение цены на интервале, и было доказано, что равновесие всегда существует.

В (Tabuchi, Thisse, 1995) исследовалась двухшаговая задача с квадратичными функциями транспортных затрат при неравномерных распределениях покупателей, были получены решения для частных случаев распределений покупателей и показано существование несимметричных равновесий при симметричных распределениях покупателей.

В (Lambertini, 1997) рассматривались равновесия в двухшаговой игре с одновременным и последовательным принятием решений, квадратичными транспортными затратами и эластичным спросом и было показано, что решение существенно зависит от последовательности действий игроков.

В (Mazalov, Sakaguchi, 2003) рассматривалась двухшаговая задача с покупателями, расположенными внутри круга, и были найдены равновесия по ценам и расположениям.

В (Brenner, 2005) исследовалась двухшаговая задача с более чем двумя игроками, квадратичными транспортными затратами и эластичным спросом и показано, что в этом случае не выполняются ни принцип максимальной унификации, ни принцип максимальной дифференциации.

В (Benassi, Chirco, 2008) решалась двухшаговая задача с квадратичными функциями транспортных затрат при неравномерных распределениях покупателей и получено достаточное условие существования асимметричных равновесий для широкого класса распределений покупателей.

На качественном, неформальном уровне суть проблемы заключается в возможности ценовой войны, резкого понижения цены для полного захвата рынка.

Поскольку при реализации соперником такого демпинга игрок теряет все и получает наихудший результат из всех возможных, естественно предположить, что рациональной стратегией в областях несуществования равновесия Нэша будет стремление к наибольшему выигрышу при исключении указанного наихудшего исхода. Именно эта логика поведения заложена в идее равновесия в безопасных стратегиях. Поэтому, применительно к игре цен, его можно рассматривать как демпинговое ценовое равновесие, исключающее возможность ценовых войн. При этом устанавливающийся уровень цен будет существенно ниже, чем при обычном локальном равновесии Нэша, и тем ниже, чем ближе друг к другу расположены магазины соперников. После доопределения понятия решения ценовой подыгры дальнейшее исследование подыгры расположений не встречает принципиальных трудностей и позволяет завершить исследование задачи Хотеллинга в рамках традиционных концепций решения.