вердикт жюри

предположим, что после слушания всех свидетельств по делу вероятность того, что судья придет к правильному вердикту о невиновности обвиняемого, составляет 0.6

ясно, что в процессах, проходящих под председательством одного судьи, правильный вердикт будет вынесен в 60% случаев

трибунал (суд из трех судей), применяющий правило единогласия, примет верное решение только в 21.6% случаев (ибо 0.6*0.6*0.6=0.216). в остальных случаях трибунал либо не сможет прийти к единогласному решению (шесть случаев из восьми с вероятностью 0.72), либо единогласно примет неверный вердикт (один случай из восьми с вероятностью 0.4*0.4*0.4=0.064). однако если бы трибунал использовал правило простого большинства, он всегда приходил бы к решению, причем правильный вердикт принимался бы в 64.8% случаев

если же решение трибунала принимается либо единогласно, либо (при отсутствии единогласия) одним голосом председателя трибунала, то верное решение будет принято в 0.648% случаев

но можно ведь принимать решение "правилом большинства" - судей-то нечетное число и кто-то всегда будет в большинстве (если решение не единогласное). вероятность принятия правильного решения жюри судей непрерывно возрастает с увеличением жюри — при условии, что используется "правило простого большинства". это свойство "правила простого большинства" впервые обсудил Маркиз де Кондорсе (1785)

"Теорема жюри" (Кондорсе)

Th:
- n избирателей (нечетное число) выбирают из двух альтернатив, правильность которых априори является равновероятной
- избиратели делают свои суждения независимо и
- каждое суждение имеет одинаковую вероятность p оказаться верным, причем 0.5<p<1
тогда вероятность того, что группа вынесет правильное суждение при правиле "простого большинства", составит

это и есть формулировка "теоремы жюри"

данная величина стремится к единице при больших n

дозволение каждому индивиду i иметь свою собственную вероятность p_i не приводит к фундаментальному изменению Теоремы если распределение p_i является симметричным, а его среднее значение превышает 0.5

более серьезная проблема возникает при ослаблении второго условия

например, представим, что при заседании жюри для принятия решения о судьбе обвиняемого каждый присяжный начинает высказывать свое мнение. в подобной обстановке, когда никто не знает точно, виновен ли подсудимый, есть возможность, что выступающие позже других будут находиться под влиянием мнений, высказанных ранее. чем больше присяжных, которые уже сказали "виновен", тем больше вероятность, что следующий присяжный скажет то же самое. ясно, что в этой ситуации информационное содержание объединения всех голосов меньше, чем когда присяжные тайно излагают свои мнения на бумаге. в пределе, если все присяжные просто повторяют мнение первого высказавшегося, вероятность того, что их единогласный вердикт будет правильным, не больше, чем вероятность принятия правильного решения любым отдельным присяжным

если корреляция между голосами любых двух членов жюри не слишком велика, способность правила большинства "выявлять правду" не исчезает. Ladha (1992) вычислил следующее выражение для верхней границы корреляции между любыми двумя голосами, которая все еще обеспечивает выполнение "теоремы жюри":

по мере того как численность жюри n возрастает, минимальное возможное значение верхней границы стремится к 0.25


парадокс жюри

рассмотрим следующую игру

есть две урны. в одной находится 6 белых шаров и 4 черных, в другой — лишь 1 черный шар. эта информация известна всем n игрокам (n — нечетное число)
в ходе игры (в ее финальной стадии) из одной урны будет извлечен шар, и n игроков должны будут принять решение о цвете этого шара по правилу простого большинства: если они принимают правильное решение, тогда каждый получает денежный приз

нейтральный крупье сначала подбрасывает монету, чтобы определить урну, из которой будет взят шар. затем он вынимает шар из этой урны и показывает его первому игроку (и только ему одному)
затем он возвращает шар в урну, выбирает другой шар и показывает его второму игроку
так продолжается до тех пор, пока всем n игроков не будет показан один какой-то шар из этой урны

затем крупье выбирает другой шар из этой же урны, но никому его не показывает - и вот тут уже игроки голосуют по поводу его цвета. в момент голосования никто из игроков не знает об исходе подбрасывания монеты и знает только цвет одного шара - того, который ему показали минутами раньше

теперь рассмотрим стратегические варианты выбора одного игрока, Алисы

если ей показали черный шар, она знает, что он мог быть выбран из любой урны и вероятность того, что выигравший шар будет черным, составляет 0.7, (а именно: 0.5*1.0+0.5*0.4). ее оптимальная стратегия, основанная только на ее частной информации, заключается в голосовании за черное

этот голос отражает ее частную информацию, как требует "теорема жюри". но голосование за черное не является ее оптимальной стратегией, если она примет в расчет тот факт, что другие игроки провели аналогичные вычисления, а выбор будет производиться по правилу большинства. почему так?

с точки зрения Алисы при правиле большинства существуют всего две возможности:
- либо один из цветов получает большинство голосов остальных n–1 игроков,
- либо голоса остальных n-1 игроков распределяются поровну между двумя цветами

поскольку n–1 является четным числом, если один из цветов получает явное большинство, он должен выиграть с перевесом по меньшей мере в два голоса, не считая голоса Алисы - ее голос не может изменить исход голосования

однако если голоса остальных n–1 игроков разделяются поровну между цветами, тогда голос Алисы является определяющим. но в этом случае половина других игроков проголосовали за белый цвет! и если хотя бы один из них проголосовал за белое потому, что ему показали белый шар, то очевидно, что выигрышный шар выбран из урны, содержащей 6 белых шаров; и значит вероятность того, что он окажется черным, составляет не 0.7, как следует из частной информации Алисы, а всего лишь 0.4

если Алиса проигнорирует тот факт, что некоторым другим избирателям должны были показать белый шар в случае разделения их голосов поровну между цветами, и просто голосует на основе своей частной информации, она склонит выбор жюри в сторону события с меньшей вероятностью!

и она, и все остальные члены жюри будут в лучшем положении, если Алиса проигнорирует свою частную информацию и проголосует исходя только из общего знания об игре и того факта, что ее голос является решающим, только если голоса других игроков распределились поровну между двумя вариантами

разумеется, то, что справедливо для Алисы, верно и для всех остальных игроков. индивидуальной оптимальной стратегией каждого игрока будет голосование за белое, и голосование каждого за белое обеспечит равновесие Нэша

но как только каждый член жюри поймет структуру игры и примет упреждающую стратегию, обусловленную этой структурой, так сразу же все проголосуют за белое , даже если общая вероятность выбора белого шара составляет лишь 0.33

более того, все проголосуют за белое, даже если каждому игроку покажут черный шар!

в этой игре искреннее голосование является нерациональным, а рациональное (упреждающее) голосование каждого игрока приводит к худшим результатам, чем искреннее голосование. Austen–Smith и Banks (1996) доказали, что к этим патологическим результатам можно прийти при различных допущениях, не нарушающих основного содержания "теоремы жюри" Кондорсе

этот "парадокс голосования" наносит удар по самим нормативным основам демократии